Itegral etu Jika fugsi kotiu yag didefiisika utuk, kita bagi selag mejadi selag bagia berlebar sama Misalka berupa titik ujug selag bagia ii da pilih titik sampel di dalam selag bagia ii, sehigga terletak dalam selagbagia ke-, Defiisi itegral tetu dari sampai adalah (Stewart ) urua Parsial urua parsial terhadap di adalah didiferesialka mejadi oleh hasil kali F '( x ) f '( g ( x )) g '( x ) yag diberika Jika da keduaya fugsi yag dapat didiferesialka, maka Adaika adalah fugsi dari da yag terdiferesialka, x g () t da dua-duaya adalah fugsi dari yag terdiferesialka Maka adalah fugsi dari yag terdiferesiasika da (Stewart ) urua parsial terhadap di adalah Sistem Diamik Sistem Diamik (SD) adalah suatu sistem yag berubah sesuai waktu Sistem Diamik diyataka sebagai berikut: urua parsial dari fugsi dua variabel adalah berupa fugsi lai yaitu da yag didefiisika f (x) merupaka fugsi dari x (Kreyszig 993) Sistem Persamaa Diferesial Liear Suatu persamaa diferesial liear orde diyataka sebagai berikut: Notasi utuk urua Parsial adalah misalka, maka (Stewart, ) Atura Ratai Jika da keduaya dapat didiferesialka, da F f g adalah fugsi komposisi yag didefiisika oleh F ( x ) f ( g ( x )), maka dapat Dega fugsi terhadap Jika maka persamaa di atas disebut persamaa diferesial liear homoge da jika maka disebut persamaa diferesial liear takhomoge (Farlow 994) Metode Pegitegrala Persamaa Diferesial Orde Pertama Misalka diberika betuk umum persamaa diferesial liear orde pertama () Dega megguaka metode faktor pegitegrala yag diotasika oleh dapat diperoleh
3 () utuk mecari, persamaa () dituruka da disederhaaka mejadi Jika diasumsika (3), maka didapatka (4) lalu megitegralka kedua ruas didapatka (5) da adalah semua kumpula ati derivatif Selajutya, kalika kedua ruas pada persamaa () faktor pegitegrala, sehigga (6) Elimiasi persamaa () persamaa (6), sehigga diperoleh (7) substitusika faktor pegitegrala yag berasal dari persamaa (5) ke persamaa (7), akibatya (8) Itegralka kedua ruas pada persamaa (8) Sehigga diperoleh da didapatka solusi umumya yaitu Istilah Ekoomi (9) (Farlow 994) Pertumbuha Ekoomi Pertumbuha ekoomi adalah perkembaga kegiata dalam perekoomia yag meyebabka barag da jasa yag diproduksi dalam masyarakat bertambah igkat pertumbuha ekoomi meujukka persetase keaika pedapata asioal real pada suatu tahu tertetu, dibadigka pedapata asioal real pada tahu sebelumya (Makiw 3) Ivestasi Ivestasi adalah barag-barag yag dibeli oleh idividu da perusahaa utuk meambah persediaa modal mereka (Makiw 3) eaga Kerja eaga kerja adalah kemampua atau kemahira yag dimiliki suatu produk utuk diguaka dalam proses produksi (Sukiro 4) abuga abuga adalah bagia dari pedapata yag tidak dikeluarka utuk kosumsi (Makiw 3) abuga Nasioal abuga asioal adalah pedapata total dalam perekoomia yag tersisa setelah dipakai (Makiw ) igkat Disko igkat disko adalah tigkat buga yag dibebaka oleh bak setral ketika memijamka daa ke bak (Makiw 3) Kosumsi Kosumsi adalah kegiata membeli barag-barag da jasa-jasa yag dihasilka oleh sektor perusahaa (Sukiro 4) Utilitas Utilitas adalah ukura kebahagiaa, kegembiraa atau kepuasa (Makiw ) Ejoymet Ejoymet adalah kepuasa yag diikmati lagsug (Ramsey 98) Disutilitas Disutilitas adalah kepuasa yag tidak diikmati lagsug (Ramsey 98)
4 Bliss Bliss adalah ejoymet maksimum (Ramsey 98) Modal Modal adalah peralata, mesi, kedaraa, materi, da keterampila yag diguaka dalam produksi barag da jasa (Makiw 3) Akumulasi Modal Akumulasi modal (capital accumulatio) aka diperoleh bila sebagia dari pedapata yag diterima saat ii ditabug da diivestasika lagi tujua meigkatka pedapata di masa depa (odaro et al 3) Fugsi Produksi Fugsi produksi utuk suatu barag tertetu, meyataka iput kapital da meyataka iput teaga kerja sedagka tada titik-titik pada fugsi di atas meujukka kemugkia diguakaya iput produksi yag lai, memperlihatka jumlah output maksimum yag diperoleh megguaka berbagai alteratif kombiasi iput produksi (Makiw 3) Produk Marjial Misalka didefiisika fugsi produksi meyataka iput kapital da meyataka iput teaga kerja Produk marjial dari suatu iput adalah output tambaha yag dapat diperoleh meambah iput yag bersagkuta uit, sedagka iput-iput lai diaggap kosta Secara matematis diotasika sebagai berikut: Produk marjial terhadap kapital PM Produk marjial terhadap teaga kerja PM (Nicholso ) Fugsi Utilitas Fugsi utilitas adalah suatu fugsi yag meujukka kepuasa seseorag dari megosumsi barag da jasa, yag diotasika sebagai berikut : Dega adalah keguaa atau utilitas total, merupaka bayakya produk yag dikosumsi (Nicholso ) 3 Fugsi Kokaf Defiisi (Himpua Koveks) Himpua C R dikataka himpua koveks jika da haya jika utuk setiap x da y di C, maka ruas garis yag meghubugka x da y juga terletak di C Dega kata lai himpua C R dikataka himpua koveks jika da haya jika utuk setiap x da y di C da utuk setiap λ, maka vektor juga terletak di C (Peressii et al 988) Defiisi (Fugsi Kokaf) Misalka adalah fugsi berilai real yag terdefiisi pada himpua koveks C di R, maka fugsi f dikataka kokaf di C jika utuk setiap x, y di C da utuk setiap λ (Peressii et al 988) eorema Jika f fugsi terdiferesialka dua kali pada suatu selag I, maka f fugsi kokaf pada I jika da haya jika, utuk setiap (Peressii et al 988) 4 Kalkulus Variasi Kalkulus variasi merupaka salah satu tekik utuk meyelesaika masalah pegoptimuma fugsioal yag meyelidiki ilai maksimum atau miimum dari itegral tertetu yag bergatug pada suatu fugsi Fugsioal da Variasi Fugsioal, diotasika sebagai, adalah suatu atura yag megkaitka tiap fugsi suatu bilaga tuggal erdapat aalogi atara fugsi fugsioal Argume dari fugsi merupaka peubah, misalya, sedagka argume dari fugsioal merupaka fugsi, misalya Apabila fugsi secara legkap dapat ditetuka ketika peubahya diberika ilai-ilai tertetu, maka suatu fugsioal secara legkap ditetuka oleh piliha fugsi tertetu dari sekumpula fugsi yag admissible, yaitu fugsi yag membawa sistem dari state awal pada waktu kepada state termial pada waktu
5 termial Icremet atau keaika dari argume fugsi adalah, semetara icremet dari argume fugsioal disebut variasi yag diotasika Betuk fugsioal yag serig diguaka dalam kalkulus variasi adalah:, adalah fugsi skalar, da adalah kostata Fugsi diasumsika mempuyai turua parsial pertama da kedua yag kotiu terhadap semua argumeya Misalka adalah kelas dari semua fugsi kotiu yag terdefiisi pada sebuah iterval tertutup da adalah kelas dari semua fugsi yag terdefiisi pada selag da mempuyai turua pertama yag kotiu apa meguragi sifat keumuma, misalya ditetuka, da Sehigga betuk fugsioal di atas dapat diubah mejadi () Masalah selajutya adalah memilih fugsi dalam sehigga memaksimumka itegral pada persamaa () syarat da kedua titik ujug peubah ditetuka (fixed) yaitu da, agar fugsioal optimum (maksimum/miimum) Utuk memperoleh fugsioal yag optimum, diperluka ilai yag memberika ilai ekstrem pada fugsioal Fugsi yag memberika ilai ekstrem diperoleh kosep variasi (icremet) Variasi dari fugsioal pada persamaa () syarat da kedua titik ujug peubah ditetuka, diperoleh megguaka deret aylor dua peubah sebagai berikut J ( x h ) f ( x h, x h, t ) d t f ( x, x, t) dt ( hf hf x ) dt x h f hhf f h dt xx xx xx + ( ) J ( x) ( hf hf ) x dt x h f hhf f h dt xx xx xx + ( ) J ( x h) J ( x) J ( x) J ( x) J ( x) J ( x) J ( x) J J ( x h ) J ( x ) J ( x) J ( x) ( hf hf ) x dt x ( h f hhf f h ) dt xx xx xx h ( t ) x ( t ) x ( t ) x ( t ) * adalah orde yag lebih tiggi utuk h Notasi disebut variasi pertama da disebut variasi keduavariasi pertama berpera sebagai syarat perlu utuk adaya ekstremum, sedagka variasi kedua berpera sebagai syarat cukup Defiisi 3 (Nilai Maksimum da Nilai Miimum) Fugsioal dikataka mecapai maksimum (miimum) lokal atau relatif sepajag apabila ( ), yaitu utuk semua fugsi-fugsi yag cukup dekat Fugsioal dikataka mecapai maksimum (miimum) global sepajag apabila ( ), yaitu utuk semua fugsi (u 993) 5 Persamaa Euler Persamaa Euler merupaka syarat perlu utuk meyelesaika masalah optimum dalam kalkulus variasi Misalka meyataka kelas semua fugsi kotiu yag terdefiisi pada selag da meyataka kelas semua fugsi yag didefiisika di selag da memiliki turua ke- yag kotiu Misal, masalah variasi diberika () titik ujug da adalah tetap,,, da adalah fugsi skalar Permasalahaya adalah memilih fugsi diatara fugsi-fugsi admissible, yaitu semua fugsi yag memiliki titik awal di da titik akhir di yag memberika ilai maksimum atau ilai miimum utuk fugsioal
6 Syarat perlu utuk adaya ekstremum adalah J ( x ) Misalka, () da sebarag fugsi yag memeuhi Lema Misal da himpua semua fugsi kotiu da dapat dituruka di da adalah tetap Jika (3) utuk semua, maka utuk semua Bukti : (lihat Lampira ) (u 993) Lema ii berpera dalam pembuktia persamaa Euler eorema Misalka didefiisika pada da memeuhi syarat batas, Maka syarat perlu bagi utuk memiliki ekstremum adalah fugsi memeuhi persamaa Euler: Bukti : (lihat Lampira ), (4) 6 Kasus Khusus Persamaa Euler (u 993) Fugsi tidak memuat secara eksplisit (autoomous) Fugsioal objektif diberika dalam betuk Persamaa Euler memberika (5) (6) Kalika persamaa (6), sehigga memberika Bukti : (lihat Lampira 3) Ii berarti bahwa (7), (8) kostata (u 993) 7 Syarat Batas dalam Kalkulus Variasi Misalka, diberika masalah meetuka ekstremum utuk fugsioal objektif da adalah tetap, sedagka da adalah bebas Variasi pertamaya adalah (9) Karea variasi pada titik ujug tidak mempegaruhi variasi dalam selag terbuka, maka syarat perlu utuk adalah dipeuhiya persamaa Euler, yaitu Akibatya, persamaa (9) mejadi Dega diketahui, kemudia meghasilka Syarat Batas: () Syarat batas ii aka meetuka ilai da Secara umum, syarat batas () mejadi () Utuk kasus,, tetap da bebas, maka, tetapi da Persamaa () memberika () (u 993)