Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3 Week 4: Separasi Variabel untuk Persamaan Panas Orde Satu Tim Ilmu Komputasi Coordinator contact: Dr. Putu Harry Gunawan phgunawan@telkomuniversity.ac.id
1 Persamaan Panas 1D 2 Separasi Variabel 3 Contoh 4 Latihan 5 Perhatian!
Persamaan Panas 1D Persamaan panas Sebuah batang besi tipis dengan panjang L dipanaskan dengan api di bagian tengah besi sedangkan ujung kiri dan kanan besi dipertahankan dalam suhu dingin yakni 0 0 C (lihat Gambar di bawah ini).
Persamaan Panas 1D Persamaan panas Sebuah batang besi tipis dengan panjang L dipanaskan dengan api di bagian tengah besi sedangkan ujung kiri dan kanan besi dipertahankan dalam suhu dingin yakni 0 0 C (lihat Gambar di bawah ini). Sehingga nantinya dapat diamati bahwa besarnya temperatur di daerah tengah besi akan lebih besar dibandingkan dengan daerah lainnya.
Persamaan Panas 1D Persamaan panas Sebuah batang besi tipis dengan panjang L dipanaskan dengan api di bagian tengah besi sedangkan ujung kiri dan kanan besi dipertahankan dalam suhu dingin yakni 0 0 C (lihat Gambar di bawah ini). Sehingga nantinya dapat diamati bahwa besarnya temperatur di daerah tengah besi akan lebih besar dibandingkan dengan daerah lainnya. Selanjutnya, pada waktu tertentu atau waktu akhir pengamatan, api dipadamkan dan pengamatan dilanjutkan dengan mengukur penyebaran panas dari tengah ke bagian lainnya selama proses pendinginan.
Persamaan Panas 1D Persamaan panas Asumsikan sebuah batang besi memiliki panjang L = 1 m, maka formulasi matematika dari penyebaran panas dalam sebuah domain Ω = [0 : 1] adalah sebagai berikut
Persamaan Panas 1D Persamaan panas Asumsikan sebuah batang besi memiliki panjang L = 1 m, maka formulasi matematika dari penyebaran panas dalam sebuah domain Ω = [0 : 1] adalah sebagai berikut u(x, t) = µ 2 u(x, t) + Q(x), t x 2 t > 0, x (0, 1) (1.1) u(0, x) = f (x, ) x [0, 1] (1.2) u(x, t) = g(x), t 0, x {0, 1} (1.3)
Persamaan Panas 1D Persamaan panas Asumsikan sebuah batang besi memiliki panjang L = 1 m, maka formulasi matematika dari penyebaran panas dalam sebuah domain Ω = [0 : 1] adalah sebagai berikut u(x, t) = µ 2 u(x, t) + Q(x), t x 2 t > 0, x (0, 1) (1.1) u(0, x) = f (x, ) x [0, 1] (1.2) u(x, t) = g(x), t 0, x {0, 1} (1.3) dengan u(x, t) merupakan temperatur,
Persamaan Panas 1D Persamaan panas Asumsikan sebuah batang besi memiliki panjang L = 1 m, maka formulasi matematika dari penyebaran panas dalam sebuah domain Ω = [0 : 1] adalah sebagai berikut u(x, t) = µ 2 u(x, t) + Q(x), t x 2 t > 0, x (0, 1) (1.1) u(0, x) = f (x, ) x [0, 1] (1.2) u(x, t) = g(x), t 0, x {0, 1} (1.3) dengan u(x, t) merupakan temperatur, Q(x) sumber dalam (internal source),
Persamaan Panas 1D Persamaan panas Asumsikan sebuah batang besi memiliki panjang L = 1 m, maka formulasi matematika dari penyebaran panas dalam sebuah domain Ω = [0 : 1] adalah sebagai berikut u(x, t) = µ 2 u(x, t) + Q(x), t x 2 t > 0, x (0, 1) (1.1) u(0, x) = f (x, ) x [0, 1] (1.2) u(x, t) = g(x), t 0, x {0, 1} (1.3) dengan u(x, t) merupakan temperatur, Q(x) sumber dalam (internal source), f (x) distribusi awal panas,
Persamaan Panas 1D Persamaan panas Asumsikan sebuah batang besi memiliki panjang L = 1 m, maka formulasi matematika dari penyebaran panas dalam sebuah domain Ω = [0 : 1] adalah sebagai berikut u(x, t) = µ 2 u(x, t) + Q(x), t x 2 t > 0, x (0, 1) (1.1) u(0, x) = f (x, ) x [0, 1] (1.2) u(x, t) = g(x), t 0, x {0, 1} (1.3) dengan u(x, t) merupakan temperatur, Q(x) sumber dalam (internal source), f (x) distribusi awal panas, g(x) fungsi batas (boundary),
Persamaan Panas 1D Persamaan panas Asumsikan sebuah batang besi memiliki panjang L = 1 m, maka formulasi matematika dari penyebaran panas dalam sebuah domain Ω = [0 : 1] adalah sebagai berikut u(x, t) = µ 2 u(x, t) + Q(x), t x 2 t > 0, x (0, 1) (1.1) u(0, x) = f (x, ) x [0, 1] (1.2) u(x, t) = g(x), t 0, x {0, 1} (1.3) dengan u(x, t) merupakan temperatur, Q(x) sumber dalam (internal source), f (x) distribusi awal panas, g(x) fungsi batas (boundary), µ koesien difusi,
Persamaan Panas 1D Persamaan panas Asumsikan sebuah batang besi memiliki panjang L = 1 m, maka formulasi matematika dari penyebaran panas dalam sebuah domain Ω = [0 : 1] adalah sebagai berikut u(x, t) = µ 2 u(x, t) + Q(x), t x 2 t > 0, x (0, 1) (1.1) u(0, x) = f (x, ) x [0, 1] (1.2) u(x, t) = g(x), t 0, x {0, 1} (1.3) dengan u(x, t) merupakan temperatur, Q(x) sumber dalam (internal source), f (x) distribusi awal panas, g(x) fungsi batas (boundary), µ koesien difusi, x and t menyatakan ruang dan waktu berurutan.
Persamaan Panas 1D Persamaan Panas Untuk menyederhanakan persamaan diatas (Q(x) = 0), maka kita dapat menulis ulang persamaan (1.1-1.3) menjadi: u u t µ 2, x 2 x (0, 1), t > 0 (1.4) u(x, 0) = f (x), x [0, 1] (1.5) u(0, t) = 0, u(1, t) = 0. t 0 (1.6)
Persamaan Panas Persamaan Panas 1D
Separasi variabel Solusi separasi adalah solusi dari persamaan (1.4-1.6) dalam bentuk u(x, t) = X (x)t (t). (2.1) Penting bahwa variabel bebas dinotasikan dengan huruf kecil sedangkan fungsi dengan huruf kapital. Tujuan pertama kita adalah mencari kemungkinan solusi separasi sebanyak mungkin.
Separasi variabel Substitusikan persamaan ke dalam didapat u(x, t) = X (x)t (t). (2.2) u = u t µ 2 x 2 (2.3)
Separasi variabel Substitusikan persamaan ke dalam u(x, t) = X (x)t (t). (2.2) u = u t µ 2 x 2 (2.3) didapat X (x)t (t) = µx (x)t (t),
Separasi variabel Selanjutnya kita bagi dengan µx (x)t (t), didapat T (t) µt (t) = X (x) X (x). (2.4)
Separasi variabel Selanjutnya kita bagi dengan µx (x)t (t), didapat T (t) µt (t) = X (x) X (x). (2.4) Dapat kita lihat bahwa persamaan di sebelah kiri semuanya bergantung pada t dan sebaliknya di sebelah kanan semua bergantung pada x.
Separasi variabel Selanjutnya kita bagi dengan µx (x)t (t), didapat T (t) µt (t) = X (x) X (x). (2.4) Dapat kita lihat bahwa persamaan di sebelah kiri semuanya bergantung pada t dan sebaliknya di sebelah kanan semua bergantung pada x. Bagaimana mungkin fungsi yang bergantung pada waktu, sama dengan fungsi yang bergantung pada spasial?
Separasi variabel Selanjutnya kita bagi dengan µx (x)t (t), didapat T (t) µt (t) = X (x) X (x). (2.4) Dapat kita lihat bahwa persamaan di sebelah kiri semuanya bergantung pada t dan sebaliknya di sebelah kanan semua bergantung pada x. Bagaimana mungkin fungsi yang bergantung pada waktu, sama dengan fungsi yang bergantung pada spasial? Jika variabel x dan t merupakan sembarang variabel bebas, maka x tidak dapat menjadi fungsi dari t dan sebaliknya.
Separasi variabel Maka dari itu, kita perlu mengklaim bahwa kedua sisi (2.4) haruslah sama dengan suatu konstanta yang sama, yakni T (t) µt (t) = λ = X (x) X (x), (2.5) dengan λ adalah sembarang bilangan konstan yang disebut dengan konstanta separasi (the separation constant).
Separasi variabel Maka dari itu, kita perlu mengklaim bahwa kedua sisi (2.4) haruslah sama dengan suatu konstanta yang sama, yakni T (t) µt (t) = λ = X (x) X (x), (2.5) dengan λ adalah sembarang bilangan konstan yang disebut dengan konstanta separasi (the separation constant). Tanda negatif diberikan untuk mempermudah dalam pencarian solusi, kita akan bahas selanjutnya mengapa tanda minus ini berguna.
Separasi variabel Dari (2.5), kita mendapatkan dua buah persamaan diferensial biasa (PDB): X (x) + λx (x) = 0, (2.6) T (t) + λµt (t) = 0. (2.7) Tugas sekarang adalah mencari solusi dari PDB di atas!
Separasi variabel Solusi PDB persamaan (2.6) cara I Misalkan λ = β 2, dengan β > 0 sehingga memiliki solusi, X (x) + λx (x) = 0, (2.8)
Separasi variabel Solusi PDB persamaan (2.6) cara I Misalkan λ = β 2, dengan β > 0 sehingga X (x) + λx (x) = 0, (2.8) memiliki solusi, X (x) = A cos(βx) + B sin(βx). (2.9)
Separasi variabel Solusi PDB persamaan (2.6) cara I X (x) = A cos(βx) + B sin(βx). (2.10) Akan tetapi dengan melakukan substitusi kondisi batas (nilai = 0) ke rumus (2.10) didapat:
Separasi variabel Solusi PDB persamaan (2.6) cara I X (x) = A cos(βx) + B sin(βx). (2.10) Akan tetapi dengan melakukan substitusi kondisi batas (nilai = 0) ke rumus (2.10) didapat: 0 = X (0) = A dan 0 = X (L) = B sin(βl).
Separasi variabel Solusi PDB persamaan (2.6) cara I X (x) = A cos(βx) + B sin(βx). (2.10) Akan tetapi dengan melakukan substitusi kondisi batas (nilai = 0) ke rumus (2.10) didapat: 0 = X (0) = A dan 0 = X (L) = B sin(βl). Tentu saja kita tidak mengharapkan nilai A = B = 0 karena tidak akan menarik, sehingga yang diharapkan adalah sin(βl) = 0.
Separasi variabel Solusi PDB persamaan (2.6) cara I X (x) = A cos(βx) + B sin(βx). (2.10) Akan tetapi dengan melakukan substitusi kondisi batas (nilai = 0) ke rumus (2.10) didapat: 0 = X (0) = A dan 0 = X (L) = B sin(βl). Tentu saja kita tidak mengharapkan nilai A = B = 0 karena tidak akan menarik, sehingga yang diharapkan adalah sin(βl) = 0. Jadi dapat dilakukan dengan mengubah akar fungsi sinusoidal βl = kπ, untuk k = 1, 2,. Sehingga didapat ( ) kπ 2 λ k = β 2 =, dan Xk(x) = sin L ( kπx L ). (2.11)
Separasi variabel Solusi PDB persamaan (2.6) cara II Seperti dijelaskan sebelumnya, kita menggunakan tanda minus pada λ pada persamaan (2.5) untuk mempermudah solusi dan menetapkan bahwa konstanta yang dipilih adalah konstanta positif λ > 0, jadi persamaan (2.6) dapat dibentuk menjadi X (x) = λx (x), LX = λx. Sehingga fungsi X (x) merupakan fungsi eigen, yang memiliki solusi ( ) kπ 2 λ k =, dan Xk(x) = sin L ( kπx L ). (2.12) (Masalah nilai eigen dapat di review kembali pada matakuliah PDB/PDA)
Masalah Nilai Eigen (Review) Lema 1.1 Lema Nilai dan fungsi eigen dari masalah u (x) = f (x), x (0, L), u(0) = u(l) = 0 (2.13) diberikan sebagai berikut ( ) kπ 2 λ k = dan uk(x) = sin L ( kπx L ) k = 1, 2,, (2.14) Proof. Bukti dari lema ini dapat ditemukan di buku Tveito, et al. untuk lebih lengkapnya.
Separasi variabel Solusi PDB persamaan (2.7) Solusi PDB, T (t) + λµt (t) = 0, berupa
Separasi variabel Solusi PDB persamaan (2.7) Solusi PDB, berupa T (t) + λµt (t) = 0, T (t) = Ae λµt, dan dapat dibentuk menjadi T k (t) = A k e λ kµt = A k e ( kπ L ) 2 µt for k = 1, 2,, (2.15) dengan A k adalah sembarang konstan.
Separasi variabel Solusi umum PDP panas Pada akhirnya, terdapat tak hingga banyaknya solusi separasi untuk persamaan panas (1.4-1.5),
Separasi variabel Solusi umum PDP panas Pada akhirnya, terdapat tak hingga banyaknya solusi separasi untuk persamaan panas (1.4-1.5), u k (x, t) = A k e ( ( ) kπ ) 2 kπx µt L sin for k = 1, 2,. (2.16) L
Separasi variabel Solusi umum PDP panas Selain itu akumulasi dari banyaknya berhingga solusi N juga merupakan sebuah solusi yakni,
Separasi variabel Solusi umum PDP panas Selain itu akumulasi dari banyaknya berhingga solusi N juga merupakan sebuah solusi yakni, u(x, t) = N A k e ( kπ ) 2 µt L sin k=1 ( kπx L ), (2.17)
Separasi variabel Solusi umum PDP panas Selain itu akumulasi dari banyaknya berhingga solusi N juga merupakan sebuah solusi yakni, u(x, t) = N A k e ( kπ ) 2 µt L sin k=1 ( kπx L ), (2.17) dengan asumsi bahwa fungsi awal ( f merupakan kombinasi linear ) kπx berhingga dari fungsi eigen {sin L }, f (x) = N A k sin k=1 ( kπx L ). (2.18)
Contoh Contoh separasi variabel Contoh Andaikan kita memiliki masalah difusi sebagai berikut, maka solusinya adalah u = u t µ 2, x (0, 1), t > 0 (3.1) x 2 u(0, t) = 0, u(1, t) = 0. t 0 (3.2) u(x, 0) = 3 sin(πx) + 5 sin(4πx), x [0, 1] (3.3)
Contoh Contoh separasi variabel Contoh Andaikan kita memiliki masalah difusi sebagai berikut, maka solusinya adalah u = u t µ 2, x (0, 1), t > 0 (3.1) x 2 u(0, t) = 0, u(1, t) = 0. t 0 (3.2) u(x, 0) = 3 sin(πx) + 5 sin(4πx), x [0, 1] (3.3) u(x, t) = 3e π2t sin(πx) + 5e 16π2t sin(4πx). (3.4)
Contoh Contoh separasi variabel Solusi diatas dapat digambarkan sebagai fungsi x pada gambar di bawah ini, pada saat t = 0, 0.01 dan 0.1. Figure : Solusi dari persamaan panas dengan f (x) = 3 sin(πx) + 5 sin(4πx) untuk t = 0, 0.01 dan 0.1.
Latihan Latihan separasi variabel Latihan Selesaikan masalah difusi sebagai berikut, u = u t µ 2, x (0, L), t > 0 (4.1) x 2 u(0, t) = 0, u(l, t) = 0. t 0 (4.2) u(x, 0) = f (x), x [0, L] (4.3) 1. f (x) = ( ) πx 6 sin L 2. f (x) = 12 sin ( 9πx L ) ( 7 sin 4πx ) L
Perhatian! Perhatian! Solusi umum PDP panas Solusi umum persamaan panas, u(x, t) = N A k e ( kπ ) 2 µt L sin k=1 ( kπx L ), (5.1) hanya untuk fungsi awal ( f, merupakan kombinasi linear berhingga ) kπx dari fungsi eigen {sin L }, f (x) = N A k sin k=1 ( kπx L ). (5.2)
Perhatian! Perhatian! Solusi umum PDP panas Bagaimana jika fungsi awal f, merupakan ( bukan kombinasi linear ) kπx berhingga dari fungsi eigen {sin L }?
Perhatian! Perhatian! Solusi umum PDP panas Bagaimana jika fungsi awal f, merupakan ( bukan kombinasi linear ) kπx berhingga dari fungsi eigen {sin L }? Misalkan diberikan fungsi awal berupa konstanta f (x) = 1. (5.3)
Perhatian! Perhatian! Solusi umum PDP panas Untuk mengatasi hal ini, diperlukan jumlah tak hingga kombinasi linier dari kondisi awal, yakni f (x) = A k sin k=1 ( kπx L ) = 1 (5.4) dengan membuat N menuju tak hingga, dan kita dapatkan solusi umumnya ( kπx ( kπx u(x, t) = A k e )2t L sin L k=1 ). (5.5) Pada pertemuan berikutnya, akan dijelaskan bagaimana mencari A k (yaitu koesien Fourier) yang dapat dihitung dari fungsi f (x), yakni fungsi yang bukan merupakan kombinasi linier fungsi sinusoidal.
End of presentation!