Persamaan Diferensial Parsial Umum Orde Pertama

Ukuran: px

Mulai penontonan dengan halaman:

Download "Persamaan Diferensial Parsial Umum Orde Pertama"

Widyawati Lesmono
7 tahun lalu
Tontonan:

1 Persamaan Diferensial Parsial Umum Orde Pertama Persamaan diferensial parsial umum orde pertama untuk fungsi memiliki bentuk: di mana dan. Dalam hal ini dipandang sebagai fungsi dari lima argumen. Di sini adalah solusi atau permukaan integral dari PDP (1) tersebut. Apa yang mengagumkan dalam menyelesaikan permasalahan di atas ialah bahwa PDP (1) dapat diubah ke dalam sistem PDB. Kerucut Monge Terkait dengan bentuk permukaan, secara geometris kita memperoleh arah normal dari suatu titik yang berada dalam permukaan itu sebagai dan bidang singgung pada permukaan itu di titik sebagai Namun demikian, tanpa tambahan data lebih lanjut, PDP umum (1) mengarahkan kita sejumlah kemungkinan bidang singgung. Kumpulan bidang-bidang singgung yang melalui titik dapat membentuk semacam selubung (envelop) berbentuk kerucut dengan titik puncak (vertex), yang disebut kerucut Monge. Pada kasus khusus PDP orde satu quasi-linear kerucut ini berdegenerasi menjadi garis singgung di titik. Dari konsep tersebut kita juga memiliki selubung keluarga permukaan integral menambakan parameter yang merupakan fungsi dan dalam : sehingga kita dapat Permukaan integral yang menjadi solusi memenuhi ketentuan (Fritz John, 1978). Selubung menyentuh permukaan sepanjang kurva. Di sepanjang kurva tersebut kita memiliki hubungan: Dari (2) bila menganggap sebagai parameter ( dan dipandang sebagai fungsi dalam, maka kita dapat menulis (2) sebagai pembangkit (generator) yang memenuhi persamaan diferensial Turunan total dari (1) memberikan kita persamaan

2 Dari (3) dan (4) kita memperoleh arah dari pembangkit Kurva karakteristik pada permukaan integral sistem persamaan diferensial: definisikan sebagai kurva yang memenuhi memenuhi Turunan kurva tersebut terhadap parameter sesuai dengan arah pembangkit (5). Sistem PDB (6) masih kurang terdeterminasi (underdetermined) karena jumlah persamaannya masih lebih kecil daripada jumlah argumen fungsinya. Agar sistem persamaannya menjadi terdeterminasi maka perlu ditambahkan dua persamaan lagi. Dari (1) kita telah mengetahui: Turunan parsial terhadap dan adalah: Kemudian dengan diferensial total dan memperhatikan sistem (6) serta (7) kita memperoleh: Dan akhirnya

3 Sistem lima PDB (6) dan (8) merupakan sistem otonom, yakni parameter tidak muncul dalam ruas kanan persamaan, dan tidak memerlukan data tentang dalam mengkonstruksinya. Kesatuan persamaan (1), (6) dan (8) disebut persamaan-persamaan karakteristik. Pita Karakteristik Setiap elemen yang memenuhi persamaan-persamaan karakteristik disebut karakteristik. Keluarga elemen dengan satu parameter disebut pita (strip), jika dan merupakan tangen (arah bidang singgung) terhadap kurva yang dibentuk oleh titik-titik yang merupakan pendukung pita tersebut. Dengan demikian elemen-elemen tersebut harus memenuhi syarat pita: Syarat pita sama dengan persamaan generator (3) sebagai mana dinyatakan di atas. Selanjutnya karena untuk mengkonstruksikan suatu permukaan integral kita membutuhkan dua parameter, data dari PDP saja belum cukup. Kita membutuhkan semacam nilai awal yang identik dengan nilai batas pada pemecahan PDP dengan metode deret Fourier. Nilai awal ini adalah data berupa kurva dengan parameter yang kedua. Hal ini mengiring kita kepada masalah Cauchy. Jadi seperti penyelesaian PDP dengan deret Fourier memerlukan masalah nilai batas, penyelesaian PDP dengan metode geometrik memerlukan masalah Cauchy. Masalah Cauchy Masalah Cauchy untuk bentuk (1) adalah mencari permukaan integral yang melalui kurva diberikan dengan parameter tertentu: yang Dengan demikian kita memperoleh tambahan data terhadap PDP (1). Formulasi masalah Cauchy ialah diberikan data berupa PDP (1) kita diminta untuk menentukan di mana menyentuh kurva. Di sini tambahan data (9) memungkinkan kita untuk memperoleh yang diekpresikan dalam dan. Dari turunan total kita juga memiliki:

4 Di mana dan. Di sini juga berlaku: Kita akan mengkonstruksi fungsi-fungsi dengan dua parameter, di mana (10) diperoleh saat, yang dinyatakan dengan: Dan tentunya (11) memenuhi persamaan (1). Kita dapat menulis ulang sistem persamaan karakteristik (4) dan (7) dalam (11) dan (12) sebagai berikut: Kemudian kita mengintegrasikan sistem persamaan di atas terhadap dengan batas integrasi Sistem persamaan (13) dan (14) mengandung bila sehingga sistem ini menjawab (11). Bila jacobian, maka berdasarkan teori invers fungsi kita dapat menuliskan dan dengan sebagai argumennya, atau dengan kata lain dan.

5 Subsitusikan hasil-hasil ini ke dalam, maka kita memperoleh solusi PDP (1) yang melalui kurva (8), yang dinyatakan dalam bentuk: Contoh 1. Persamaan karakteristik yang diperoleh ialah Dari sistem PDB karakteristik di atas, pertama-tama kita peroleh solusi untuk dulu Kemudian kita substitusikan hasil-hasil di atas ke dalam dua persamaan pertama untuk memperoleh solusi dan : Perlu diperhatikan bahwa adalah fungsi-fungsi dalam parameter, yang dipenuhi saat. Kita akan melanjutkan pembahasan PDP di atas apabila permukaan integral yang akan dicari menyentuh kurva dengan persamaan parametrik berikut: Data tersebut membawa soal menjadi masalah Cauchy dengan hubungan sebagai berikut:

6 Solusi dari sistem persamaan karakteristik dalam parameter dan di atas ialah: Karena nilai jacobian maka dapat memperoleh fungsi invers dari dan dengan dan sebagai subyek persamaan: Kemudian dengan mensubstitusi hasil-hasil ini ke dalam PDP atau permukaan integral:, maka kita akan memperoleh solusi Contoh 2. Diberikan PDP: dengan konstanta positif. Kita dapat menuliskan PDP tersebut dalam bentuk. Dari sini kita memperoleh persamaan-persamaan karakteristik sebagai berikut: Diberikan kurva awal:. Dengan memilih dan kita memperoleh pita karakteristik: Secara khusus jika kurva awal yang diberikan memiliki nilai hubungan, maka kita memperoleh

7 Persamaan dengan dua parameter yang kita dapatkan dengan menerapkan (13) dan (14) ialah: PDP dalam contoh 2, muncul dari permodelan masalah optik. Tiap garis-garis dari ditafsirkan sebagai front gelombang yang bergerak dengan waktu. Contoh 3. Diberikan data PDP: yang menyentuh kurva dengan persamaan parametrik: PDP tersebut dapat dituliskan dalam bentuk lain:, dengan persamaanpersamaan karakteristik: Dari kita memperoleh solusi atau, hasil ini kita substitusikan dalam dua persamaan terakhir Kita memperoleh solusi dari kedua PDB ini sebagai: Sementara itu kita juga memiliki hubungan

8 Akhirnya kita memperoleh dan. Karena nilai dan pada, maka kita memperoleh dan. Kita substitusikan dalam persamaan dan akan mengakibatkan: Kemudian kita memecahkan PDB untuk dan : Tanpa harus memeriksa jacobian, kita dapat memanfaatkan identitas trigonometris untuk memperoleh ekspresi fungsi dalam dan.

dokumen-dokumen yang mirip

BAB III PEMODELAN PERSAMAAN INTEGRAL PADA ALIRAN FLUIDA

BAB III PEMODELAN PERSAMAAN INTEGRAL PADA ALIRAN FLUIDA 3.1 Deskripsi Masalah Permasalahan yang dibahas di dalam Tugas Akhir ini adalah mengenai aliran fluida yang mengalir keluar melalui sebuah celah