Matematika

Transkripsi

1 Fungsi dan Kekontinuan D3 Analis Kimia FMIPA Universitas Islam Indonesia

2 Ilustrasi 1 Nol mutlak, yaitu temperatur T C di mana semua aktivitas molekular berhenti, dapat didekati namun tidak pernah dapat dicapai dalam praktiknya. 2 Ahli ekonomi yang berbicara mengenai keuntungan dalam kondisi ideal atau engineer yang menggambarkan spesifikasi ideal dari suatu mesin, sesungguhnya sedang berurusan dengan perilaku limit. Proses limit merupakan suatu perilaku dari sebuah fungsi f(x) sebagaimana x mendekati suatu nilai konstan c yang mungkin termasuk atau tidak termasuk dalam domain f.

3 f(x), x mendekati c sama dengan L, ditulis lim f(x) = L jika untuk setiap x yang cukup dekat dengan c, tetapi x c, maka f(x) mendekati L.

4 Secara geometris, pernyataan limit lim f(x) = L berarti bahwa ketinggian grafik y = f(x) mendekati L seiring x mendekati c.

5 Contoh 1 Tentukan nilai dari Solusi: x 1 lim x 1 x 1 Nilai f(x) mendekati 0.5 ketika x mendekati 1, maka x 1 x 1 = 0.5 lim x 1

6 Perlu diperhatikan bahwa limit menggambarkan perilaku dari suatu fungsi yang mendekati suatu titik tertentu, belum tentu pada titik itu sendiri.

7 Perilaku Fungsi di mana lim x 3 f(x) = 4

8 Grafik berikut menunjukkan dua fungsi yang tidak memiliki limit ketika x mendekati 2.

9 Jika lim f(x) dan lim g(x) ada, maka 1 lim[f(x) ± g(x)] = lim f(x) ± lim g(x) 2 lim[kf(x)] = k lim f(x), untuk suatu k konstan 3 lim [f(x)g(x)] = [lim f(x)][lim g(x)] f(x) 4 lim g(x) = lim f(x) lim g(x), jika lim g(x) 0 5 lim [f(x)] p = [lim f(x)] p, jika [lim f(x)] p ada

10 Contoh 2 a. Tentukan lim x 2 (2x 2 7x + 6). lim x 2 (2x2 7x + 6) = lim 2x 2 lim 7x + lim 6 x 2 x 2 x 2 = 2 lim x 2 7 lim x + lim 6 x 2 x 2 x 2 ( ) 2 = 2 lim x lim 7x + lim 6 x 2 x 2 x 2 = = 0

11 b. Tentukan lim x 1 7x 2x 1 lim 7x 2x 1 = lim 7x lim 2x 1 x 1 x 1 x 1 ( ) = 7 lim x lim (2x 1) x 1 x 1 = (7 1) = 7

12 Dua Fungsi Linier Dua Fungsi Linier Untuk suatu k konstan, lim k = k dan lim x = c yaitu, limit dari suatu konstan adalah konstan itu sendiri, dan limit dari fungsi f(x) = x bilamana x mendekati c adalah c.

13

14 Polinomial Polinomial Jika p(x) dan q(x) adalah polinomial, maka lim p(x) = p(c) dan p(x) lim q(x) = p(c), jika q(c) 0 q(c)

15 Contoh 3 1 Tentukan lim Solusi: lim x 1 x 2 1 x 1 x 2 1 x 2 3x+2 x 2 3x+2 = lim 2 Tentukan lim Solusi: x 1 lim x 1 x 1 x 1 lim 1 x 1 x+1 = 1 2 x 1 x 1 x 1 (x 1)(x+1) (x 1)(x 2) = lim x+1 x 1 x 2 = 2 1 = 2 = lim ( x 1)( x+1) x 1 (x 1)( = lim x+1) x 1 x 1 (x 1)( x+1) =

16 Kanan dan Kiri Kanan lim f(x) = L berarti bahwa bilamana x mendekati c dari kanan, + maka f(x) dekat dengan L. Kiri lim f(x) = L berarti bahwa bilamana x mendekati c dari kiri, maka f(x) dekat dengan L.

17 Teorema 1 lim Akibat f(x) = L jika dan hanya jika lim f(x) = lim f(x) = L. + Jika lim f(x) lim f(x) maka lim f(x) tidak ada. +

18 Contoh 4 Tentukan lim x 1 f(x) jika ada, dengan f(x) = Solusi: Untuk x < 1, f(x) = 2x 1, maka Untuk x > 1, lim x 1 { 2x 1, x < 1 x 3, x > 1 f(x) = lim 1) = 1 (2x x 1 lim f(x) = lim x 1 + x 1 x3 = 1 + Karena lim f(x) = 1 = lim f(x), maka lim f(x) = 1. x 1 x 1 + x 1

19 Contoh 5 Tentukan lim f(x) di mana f(x) = x x 0 x. Solusi: Fungsi f(x) { mempunyai dua nilai yaitu: 1, x < 0 f(x) = 1, x > 0 diperoleh lim f(x) = 1 dan lim f(x) = 1, maka f(x) tidak x 0 x 0 + memiliki limit ketika x mendekati 0.

20 Latihan 1 1 x lim 2 4 x 2 x 2 2 x lim 3 4x 2 +x+6 x 1 x+1 3 lim x 3 x 9 x 9 4 x lim 2 3x+2 x 2 x lim x 1 x 1 x 1 6 lim x 2 x 3 +8 x 4 16

21 Menuju Tak Hingga Menuju Tak Hingga Jika nilai dari f(x) mendekati L ketika x bertambah tanpa batas, Sama halnya dengan lim f(x) = L x + lim f(x) = M x jika nilai fungsi f(x) mendekati M ketika x turun tanpa batas.

22 Secara geometrik ditunjukkan oleh grafik berikut