Kode Makala M-6 PENYELESAIAN INTEGRASI NUMERIK DENGAN MATLAB Rata Widyati Jurusa Matematika, FMIPA Uiversitas Negeri Jakarta ABSTRAK Metode umerik dapat diguaka utuk megampiri itegrasi yag dapat meyelesaika masala dega cepat tapa arus megitug secara maual. Sala satu metode yag diguaka adala metode Newto Cotes yaitu metode yag umum utuk meuruka kaida itegrasi umerik. Poliom iterpolasi mejadi dasar metode Newto Cotes, yaitu megampiri ugsi dega poliom iterpolasi p. Dega batua peragkat luak Matlab maka asil yag diperole dapat lebi cepat, tepat da akurat dibadig cara maual biasa. Kata kuci : Newto-Cotes, itegrasi umerik, poliom iterpolasi, Matlab PENDAHULUAN Itegral mempuyai bayak terapa dalam bidag sais da rekayasa. Dalam praktek rekayasa serigkali ugsi yag ditegrasika adala ugsi empirik yag diberika dalam betuk tabel atau itegrad-ya, tidak dalam betuk ugsi elemeter seperti si, ugsi Gamma, da sebagaiya atau ugsi eksplisit yag terlalu rumit utuk ditegralka. Ole sebab itu metode umerik dapat diguaka utuk megampiri itegrasi. Dalam peyelesaia masala itegrasi umerik, pegguaa sotware atau peragkat luak sagatla membatu karea dapat megetaui peyelesaiaya secara cepat seigga dapat megaalisis persoala dega tepat da akurat. Peragkat luak yag diguaka utuk peyelesaia masala adala Matlab. Meurut Higam, Matlab memiliki sistem yag iterakti utuk perituga secara umerik. Sedagka meurut Webb Peter, dkk 999 baasa Matlab utuk umerik tela dikembagka agar diguaka sesuai dega atura sais da rekayasa serta baasa script seperti Visual Basic da Perl membatu dalam aplikasi o umerik. Semiar Nasioal Peelitia, Pedidika da Peerapa MIPA M- 8
Rumusa Masala Permasalaa itegrasi umerik adala megitug secara umerik itegral tetu yaitu I d = b a yag dalam al ii a da b adala batas-batas itegrasi, adala ugsi yag dapat diberika secara eksplisit dalam betuk persamaa ataupu secara empirik dalam betuk tabel ilai. Kemudia masala ii aka diselesaika dega megguaka Matlab 7 Release sebagai peragkat luakya. Tujua Peelitia ii bertujua utuk mempermuda da mempercepat perituga itegrasi umerik dega megguaka peragkat luak Matlab dibadigka dega cara maual biasa. Selai itu, asil yag diperole dari suatu masala diarapka dapat lebi tepat da akurat. Pembatasa Masala Dalam meuruka rumus itegrasi umerik terdapat tiga pedekata, yaitu berdasarka tasira gometri itegral tetu, poliom iterpolasi da kuadratur Gauss. Yag aka dibaas pada peelitia kali ii adala berdasarka pedekata kedua, yaitu poliom iterpolasi dega rumus itegrasi umerik yag dituruka digologka ke dalam metode Newto Cotes. METODE PENELITIAN Metode Newto Cotes adala metode yag umum utuk meuruka kaida itegrasi umerik. Meurut Muir, poliom iterpolasi mejadi dasar metode Newto Cotes yaitu megampiri ugsi dega poliom iterpolasi p b = d = I p d a b a yag dalam al ii, p = a a a - a - a Semiar Nasioal Peelitia, Pedidika da Peerapa MIPA M- 9
Poliom iterpolasi diguaka karea suku-suku poliom muda diitegralka dega rumus itegral yag suda baku yaitu a a d = C Dari beberapa kaida itegrasi umerik yag dituruka dari Metode Newto Cotes, dua diataraya yag aka diselesaika dega Matlab adala Kaida Trapesium Trapezoidal Rule da Kaida Simpso / Simpso / Rule. Kaida Trapesium Iterval [a,b] dipartisi mejadi iterval yag pajagya sama, b-a/ =. y T T T T j T =a j- j - = b b I = d = d L d L a j j d Setiap itegral bagia ilaiya diampiri ole luas trapesium seigga diperole: T j = j j d = { j j } = j j I = T T T j T = { } { } { j- j } { - } = - = { i= i Semiar Nasioal Peelitia, Pedidika da Peerapa MIPA M- 5
Semiar Nasioal Peelitia, Pedidika da Peerapa MIPA M- 5 Kaida Simpso / Iterval [a,b] dipartisi mejadi iterval yag pajagya sama, b-a/ =. y =a i = = b Pada atura Simpso, misalka ugsi diampiri dega poliom iterpolasi derajat yag graikya berbetuk parabola. Luas daera yag diitug sebagai ampira ilai itegrasi adala daera dibawa parabola. Utuk itu dibutuka bua titik data, misalka,,,, da,. Poliom iterpolasi derajat yag melalui ketiga titik tersebut adala :! P = Itegrasika p di dalam iterval [,] seigga diperole : d P d I Misalka kurva sepajag iterval itegrasi [a,b] dibagi mejadi bua titik diskrit,,, dega geap da setiap tiga bua titik dikurva diampiri dega parabola poliom iterpolasi derajat maka aka dipuyai / bua potoga parabola. Bila masig-masig poliom derajat dua tersebut diitegralka didalam subiterval itegrasiya, maka jumla seluru itegral tersebut membetuk kaida Simpso / gabuga : = = b a tot d d d d I......... y= y=p
i i i=,,5 i=,,6 HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN Tekik Itegrasi umeris megitug ugsi dega ugsi lai g, dimaa g dipili seigga dega muda dapat megitug bidag dibawa g. Meurut Etter, D.M, dkk, maki baik perituga g ke, maki baik pula perituga dari itegral. Sedagka meurut Susila, I. Nyoma 99, dua dari tekik itegrasi yag palig umum yaitu megitug dega sekumpula ugsi liear potoga atau dega sekumpula ugsi parabolis potoga. Bila megitug ugsi dega ugsi liear potoga kemudia dapat megitug bidag dari trapesium yag meyusu bidag di bawa ugsi liear potoga maka tekik ii disebut Kaida Trapesium. Sedagka bila megitug ugsi dega ugsi kuadratis potoga, kemudia dapat megitug da meambaka bidag dari kompoe ii disebut dega Kaida Simpso. A. Kaida Simpso / Hampira ilai itegrasi yag lebi baik dapat ditigkatka dega megguaka poliom iterpolasi berderajat lebi tiggi. Misalka ugsi diampiri dega poliom iterpolasi derajat yag graikya berbetuk parabola. Luas daera yag diitug sebagai ampira ilai itegrasi adala daera dibawa parabola. Utuk itu dibutuka bua titik data, misalka,,,, da,. Dalam kaida ii, sebuta / mucul karea didalam rumus peyelesaiaya terdapat aktor / sekaligus utuk membedaka kaida Simpso yag lai yaitu /8. Meurut Liedield, G. da Pey, Jo, dalam pegguaa kaida Simpso / mesyaratka jumla subiterval arus geap, al ii berbeda dega kaida trapesium yag tidak mempuyai persyarata megeai jumla subiterval. Dimisalka ugsi yag aka diselesaika secara Matlab dega megguaka kaida Simpso / adala : I = e d Semiar Nasioal Peelitia, Pedidika da Peerapa MIPA M- 5
maka peyelesaia utuk ugsi diatas dega megguaka Matlab adala sebagai berikut : %Kaida Simpso / megguaka vektor uctio q=simpuc,a,b,m =b-a/m; =[a::b]; y=evaluc,; v=*oesm,; v=*oesm/,; v::m=v::mv; v=; vm=; q=y*v; q=q*/; v=ep.^; Hasil yag diperole adala sebagai berikut : >> =; i=; >> disp Nilai Itegral ; >> wile <8 simpval=simp'',,,; prit'%.%.9\',,simpval; =*; i=i; ed Nilai Itegral.6776 8.675 6.6656.665 6.66576 >> B. Kaida Trapesium Dega megguaka ugsi yag sama, yaitu : Semiar Nasioal Peelitia, Pedidika da Peerapa MIPA M- 5
I = e d maka peyelesaia utuk ugsi diatas dega kaida trapesium da diselesaika dega megguaka Matlab adala sebagai berikut : uctio v= v=ep.^; Setela dijalaka, maka asil yag diperole adala : >> =; i=; >> disp Nilai Itegral ; >> wile <8 =/; =::; =; trapval=*trapz; prit'%.%.9\',,trapval; =*; i=i; ed Nilai Itegral.967886 8.69776 6.6.69 6.6769 >> KESIMPULAN Peyelesaia itegral secara umerik dega alat batu peragkat luak Matlab diarapka dapat memberika solusi yag lebi cepat, tepat da muda. Dega megguaka metode Newto Cotes, yaitu kaida Simpso / da Trapesium maka dapat diliat perbedaa ketelitia dari masig-masig kaida. Kaida Simpso / mempuyai ketelitia yag lebi tiggi dibadig dega kaida Trapesium karea mempuyai poliomial berderajat lebi tiggi. Semiar Nasioal Peelitia, Pedidika da Peerapa MIPA M- 5
DAFTAR PUSTAKA Etter,D.M. Kucicky, D.C., wit Hull, Doug.,, Pegatar Matlab 6, Ideks, Jakarta. Higam, Nicolas, J.,, Matlab: A Tool or Teacig ad Researc, Departmet o Matematics, Uiversity o Macester. Liedield, George, da Pey, Jo,, Numerical Metods usig Matlab, Pretice Hall, New Jersey. Muir, Rialdi,, Metode Numerik, Iormatika, Badug. Susila, I. Nyoma, 99, Dasar-Dasar Metode Numerik, DEPDIKBUD, Jakarta. Webb, Peter ad Wilso, Gregory V., 999, Matlab as a Scriptig Laguage, Dr. Dobb s Joural. Semiar Nasioal Peelitia, Pedidika da Peerapa MIPA M- 55