0
DISTRIBUSI KHUSUS YANG DIKENAL Kita sudah membahas fugsi peluag atau fugsi desitas, baik defiisiya maupu sifatya. Fugsi peluag atau fugsi desitas ii merupaka ciri dari sebuah distribusi, artiya fugsi peluag kepuyaa sebuah distribusi berpeubah acak diskrit da fugsi desitas kepuyaa sebuah distribusi berpeubah acak kotiu. Pada uraia berikut aka dijelaska fugsi peluag atau fugsi desitas yag mempuyai betuk tertetu. Hal ii berakibat peubah acakya megikuti suatu distribusi yag mempuyai ama tertetu pula. Distribusi yag mempuyai betuk da ama tertetu itu diamaka distribusi khusus. Beberapa distribusi khusus dari peubah acak diskrit yag dikeal aka dibahas dalam Bab 8 da beberapa distribusi khusus dari peubah acak kotiu yag dikeal aka dibahas dalam Bab 9.
BEBERAPA DISTRIBUSI KHUSUS DISKRIT DIKENAL Dalam hal ii aka dibahas beberapa distribusi yag mempuyai betuk fugsi peluag da ama tertetu dari peubah acak diskrit, yaitu: distribusi Beroulli, distribusi biomial, distribusi triomial, distribusi Poisso, distribusi geometrik, da distribusi hipergeometrik. Pada uraia sebelumya, kita sudah membahas fugsi peluag yag diperoleh berdasarka eksperime atau sifatya. Fugsi peluag seperti itu betukya beraeka macam, sehigga betuk tersebut tidak mempuyai ama. Selai itu, fugsi peluag bisa mempuyai betuk yag tertetu da ama tertetu pula. Distribusi yag mempuyai betuk fugsi peluag da ama tertetu itu diamaka distribusi khusus diskrit. DISTRIBUSI BINOMIAL Apabila sebuah eksperime mempuyai dua hasil yag mucul, seperti sukses da gagal, dega masig-masig peluagya p da ( - p), maka peristiwa yag diperhatika, baik sukses maupu gagal aka berdistribusi Beroulli. Defiisi 8.: FUNGSI PELUANG BERNOULLI Peubah acak X dikataka berdistribusi Beroulli, jika da haya jika fugsi peluagya berbetuk: p(x) = P(X = x) = p x ( - p) - x ; x = 0, Peubah acak X yag berdistribusi Beroulli dikataka juga peubah acak Beroulli. Peulisa otasi dari peubah acak yag berdistribusi Beroulli adalah B(x;,p), artiya peubah acak X berdistribusi Beroulli dega peristiwa yag diperhatika, baik sukses maupu gagal diyataka dega x, bayak eksperime yag dilakuka satu kali, da peluag terjadiya peristiwa yag diperhatika, baik sukses maupu gagal sebesar p. Sebuah eksperime dikataka megikuti distribusi Beroulli, jika eksperime itu memeuhi sifat-sifat sebagai berikut:. Eksperimeya terdiri atas dua peristiwa, yaitu peristiwa yag diperhatika (serig disebut peristiwa sukses) da peristiwa yag tidak diperhatika (serig disebut peristiwa gagal).. Eksperimeya haya dilakuka sekali saja.
Rataa, varias, da fugsi pembagkit mome dari distribusi Beroulli bisa dilihat dalam Dalil 8.. Dalil 8.: PARAMETER DISTRIBUSI BERNOULLI Rataa, varias, da fugsi pembagkit mome dari distribusi Beroulli sebagai berikut:. = p. = p( - p) 3. M X (t) = ( - p) + p.e t ; t Grafik dari fugsi peluag distribusi Beroulli sebagai berikut: p(x) -p p 0 x GAMBAR 8. GRAFIK FUNGSI PELUANG DISTRIBUSI BERNOULLI DISTRIBUSI BINOMIAL Misalya kita melakuka suatu eksperime yag haya meghasilka dua peristiwa, seperti peristiwa sukses (S) da peristiwa gagal (G).. Peluag terjadiya peristiwa S, P(S), sebesar p da peluag terjadiya peristiwa G, P(G), sebesar - p. Kemudia eksperime itu diulag sampai kali secara bebas. Dari kali pegulaga itu, peristiwa S terjadi sebayak x kali da sisaya ( - x) kali terjadi peristiwa G. Kita aka 3
meghitug besar peluag bahwa bayak peristiwa sukses dalam eksperime itu sebayak x kali. Dalam hal ii, salah satu susua dari pegulaga eksperime sampai kali itu adalah: S S S... S G G G... G x kali ( - x) kali Karea setiap pegulaga bersifat bebas, P(S) = p da P(G) = - p berharga tetap utuk setiap pegulaga percobaa, maka besar peluag dari peristiwa susua di atas adalah: P(S S S S G G G G) = P(S).P(S).P(S).. P(S).P(G).P(G).P(G).. P(G) = (p)(p)(p) (p)( - p)( - p)( - p) ( - p) = p x ( - p) - x Karea bayak susua keseluruha peristiwa S terjadi ada cara, maka peluag bahwa x peristiwa S terjadi dalam x kali adalah: P(X = x) = x px ( - p) - x Berdasarka uraia di atas, kita dapat medefiisika distribusi biomial. Defiisi 8.: FUNGSI PELUANG BINOMIAL Peubah acak X dikataka berdistribusi biomial, jika da haya jika fugsi peluagya berbetuk: p x P X x x p x p x ( ) ( ) ( ) ; x = 0,,, 3,, Peubah acak X yag berdistribusi biomial dikataka juga peubah acak biomial. Peulisa otasi dari peubah acak X yag berdistribusi biomial adalah B(x;,p), artiya peubah acak X berdistribusi biomial dega bayak pegulaga eksperime sampai kali, peluag terjadi peristiwa sukses sebesar p, da bayak peristiwa sukses terjadi ada x. Sebuah eksperime dikataka megikuti distribusi biomial, jika eksperime itu memeuhi sifat-sifat sebagai berikut:. Eksperimeya terdiri atas dua peristiwa, seperti sukses da gagal.. Eksperimeya diulag beberapa kali da ditetuka bayak pegulagaya. 4
3. peluag terjadiya peristiwa sukses da gagal pada setiap pegulaga eksperime bersifat tetap. 4. Setiap pegulaga eksperime bersifat bebas. Rataa, varias, da fugsi pembagkit mome dari distribusi biomial bisa dilihat dalam Dalil 8.. Dalil 8.: PARAMETER DISTRIBUSI BINOMIAL Rataa, varias, da fugsi pembagkit mome dari distribusi biomial sebagai berikut:. = p. = p( - p) 3. M X (t) = [( - p) + p.e t ] ; t Grafik dari fugsi peluag distribusi biomial bisa dilihat dalam Gambar 8.. p(x) 0 3 - - x GAMBAR 8. GRAFIK FUNGSI PELUANG DISTRIBUSI BINOMIAL 5
DISTRIBUSI TRINOMIAL Distribusi biomial bisa diperluas mejadi distribusi triomial. Defiisi 8.3: FUNGSI PELUANG TRINOMIA Peubah acak X da Y dikataka berdistribusi triomial, jika da haya jika fugsi peluagya berbetuk: p( x, y)! x y x y p p p3 ; x + y x! y! ( x y)! p + p + p 3 = Peubah acak X yag berdistribusi triomial dikataka juga peubah acak triomial. Peulisa otasi dari peubah acak X da Y yag berdistribusi triomial adalah T(x,y;,p,p ), artiya peubah acak X da Y berdistribusi triomial dega bayak pegulaga eksperimeya sampai kali, peluag terjadi peristiwa sukses pertama da kedua berturutturut p (x) da p (y), da bayak peristiwa sukses pertama da kedua masig-masig x da y. Fugsi pembagkit mome dari distribusi triomial bisa dilihat dalam Dalil 8.3. Dalil 8.3: FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN GABUNGAN TRINOMIAL Fugsi pembagkit mome dari distribusi triomial adalah: t t,.. M t t p e p e p ; t,t 3 Berdasarka fugsi pembagkit mome gabuga dari X da Y, kita bisa meetuka fugsi pembagkit mome margial masig-masig dari X da Y. Fugsi pembagkit mome margial dari X adalah: t, 0. M t M t p e p p X 3 t 0 M t M t, p. e p ; t X Teryata betuk di atas merupaka fugsi pembagkit mome dari distribusi biomial dega bayak pegulaga eksperimeya sampai kali da peluag terjadiya peristiwa sukses pertama sebesar p, sehigga bisa ditulis: X ~ B(x;,p ) Maka fugsi peluag dari X berbetuk: p x x p x p x ( ) ; x = 0,,, 3,, Rataa da varias dari X adalah: 6
E(X) =.p Var(X) =.p ( - p ) Fugsi pembagkit mome margial dari Y adalah: t 0,. M t M t p p e p Y 3 t 0 M t M, t p. e p ; t Y Teryata betuk di atas merupaka fugsi pembagkit mome dari distribusi biomial dega bayak pegulaga eksperimeya sampai kali da peluag terjadiya peristiwa sukses kedua sebesar p, sehigga bisa ditulis: Y ~ B(y;,p ) Maka fugsi peluag dari Y berbetuk: p y y p y p y ( ) ; y = 0,,, 3,, Rataa da varias dari Y adalah: E(Y) =.p Var(Y) =.p ( - p ) Dari uraia di atas, kita dapat meyimpulka bahwa jika X da Y berdistribusi triomial, maka distribusi margial masig-masig dari X da Y adalah distribusi biomial. Distribusi bersyarat dari X diberika Y = y berasal dari distribusi biomial dega bayak pegulaga eksperimeya sampai ( - y) da peluag terjadiya peristiwa sukses sebesar p /(-p ), sehigga bisa ditulis: p X y ~ Bx; y, p Da distribusi bersyarat dari Y diberika X = x berasal dari distribusi biomial dega bayak pegulaga eksperimeya sampai ( - x) da peluag terjadiya peristiwa sukses sebesar p /(-p ), sehigga bisa ditulis: p Y x ~ B y; x, p 7
8