PENGGUNAAN INTEGRA 1. Menghitung luas suatu daerah ang dibatasi oleh kurva dan sumbu-sumbu koordinat.. Menghitung volume benda putar. 9 uas daerah di bawah kurva Volume benda putar ang diputar mengelilingi sumbu Y
Integral Tentu uas Daerah Teorema Dasar Kalkulus Misalkan f adalah fungsi ang kontinu pada selang [a, b] dan misalkan F adalah anti turunan dari f pada selang tersebut, maka berlaku : b f( ) d F( b) F( a) a Untuk meringkas penulisan, F(b) F(a) dinotasikan sebagai F() b a Contoh 1 : Hitunglah nilai dari 6 Jawab 1 1 d 6 d = 1 = () () [(-1) (-1) ] = 16 8 + + = 1 Net
Menghitung uas dengan Integral uas Daerah Secara geometri definisi integral Riemaan di atas dapat diartikan sebagai luas daerah di bawah kurva = f() pada interval [a, b]. Jumlah uas Partisi Berubah Menjadi Integral f() f() Tentukan limitna n a b n i1 f( i ) i b a f ( ) d a b b f( ) d lim a n n i1 f( i ) i Net
Menghitung uas dengan Integral uas Daerah Kegiatan pokok dalam menghitung luas daerah dengan integral tentu adalah: i f() 1. Gambar daerahna.. Partisi daerahna. Aproksimasi luas sebuah partisi i f( i ) i f( i ) i. Jumlahkan luas partisi i a f( i ) i 5. Ambil limitna = lim f( i ) i 6. Natakan dalam integral a f( ) d Net
Menghitung uas dengan Integral uas Daerah Contoh 1. Hitunglah luas daerah tertutup ang dibatasi kurva =, sumbu, dan garis = Jawab angkah penelesaian : 1. Gambarlah daerahna i f( ). Partisi daerahna. Aproksimasi luasna i i i. Jumlahkan luasna i i 5. Ambil limit jumlah luasna i = lim i i 6. Natakan dalam integral dan i hitung nilaina d 9 i Net
Menghitung uas dengan Integral uas Daerah Contoh. Hitunglah luas daerah tertutup ang dibatasi kurva =, sumbu Y, dan garis = Jawab angkah penelesaian : 1. Gambarlah daerahna. Partisi daerahna. Aproksimasi luasna i. i f ( ). Jumlahkan luasna. 5. Ambil limit jumlah luasna = lim. 6. Natakan dalam integral dan hitung nilaina. d.8 16 Net
Menghitung uas dengan Integral uas Daerah Contoh. Hitunglah luas daerah tertutup ang dibatasi kurva = -, sumbu, dan garis = 6 Jawab angkah penelesaian: i 1. Gambar dan Partisi daerahna. Aproksimasi : i ( i - i ) i dan i i i j A j -( j - j ) j. Jumlahkan : ( i - i ) i dan A i j 6 -( j - j ) j. Ambil limitna = lim ( i - i ) i ( ) A j dan A = lim -( j - j ) j 5. Natakan dalam integral ( ) d A 6 ( ) d f( ) Net
Menghitung uas dengan Integral uas Daerah uas Daerah ( ) d i A A 1 () 6 1 ( () ) d 1 6 A (6) A 7 A 15 1 (6) 16 6 6 () 15 uas daerah 6 1 () 1 1 i i ( i i ) j j A j f( ) 6 Net
Menghitung uas dengan Integral Kesimpulan : f() i uas Daerah uas Daerah i f( i ) b. d a b. d a Net
Menghitung uas dengan Integral uas Daerah uas Daerah UAS DAERAH ANTARA DUA KURVA Perhatikan kurva = f() dan = g() dengan f() > g() pada selang [a, b] di bawah ini. Dengan menggunakan cara : partisi, aproksimasi, jumlahkan, ambil limitna, integralkan, maka dapat ditentukan luas daerah antara dua kurva tersebut. angkah penelesaian: 1. Partisi daerahna f(). Aproksimasi : i [ f() g() ]. Jumlahkan : [ f() g() ] 5. Ambil limitna : a i b f( ) g( ) = lim [ f() g() ] 6. Natakan dalam integral tertentu g() b a f( ) g( ) d Net
Menghitung uas dengan Integral uas Daerah Contoh. Hitunglah luas daerah tertutup ang dibatasi kurva = dan garis = - Jawab angkah penelesaian: 1. Gambar daerahna. Tentukan titik potong kedua kurva = + = ( + )( 1) = diperoleh = - dan = 1. Partisi daerahna. Aproksimasi luasna i ( - - ) 5. Natakan dalam integral tertentu ( ) i 5 1 ( d - - -1 1 ) 1 Net
Menghitung uas dengan Integral uas Daerah uas Daerah 1 ( ) d 1 (1) 1 1 ( ) 1 8 1 ( ) ( ) ( ) i 5 5 1 1 1 1 8 - - -1 1 1 Net
Menghitung uas dengan Integral uas Daerah Untuk kasus tertentu pemartisian secara vertikal menebabkan ada dua bentuk integral. Akibatna diperlukan waktu lebih lama untuk i g() f( ) g( ) f() menghitungna. A i a b f( ) a uas daerah = b f( ) d f ( ) g( ) d a Net
Menghitung uas dengan Integral uas Daerah uas Daerah Jika daerah tersebut dipartisi secara horisontal, maka akan diperoleh satu bentuk integral ang menatakan luas daerah tersebut. Sehingga penelesaianna menjadi lebih sederhana dari sebelumna. d g( ) g( ) f( ) f( ) g( ) f( ) i c d uas daerah = g ( ) f( ) c d Net
Menghitung uas dengan Integral uas Daerah Contoh 5. Hitunglah luas daerah di kuadran I ang dibatasi kurva =, garis + = 6, dan sumbu Jawab angkah penelesaian: 1. Gambar daerahna. Tentukan titik potong kedua kurva = 6 + 6 = ( + )( ) = diperoleh = - dan =. Partisi daerahna. Aproksimasi luasna i (6 - - ) 5. Natakan dalam integral tertentu uas daerah = 6 d 6 ( 6 ) i 6 6 Net
Menghitung uas dengan Integral uas Daerah uas Daerah uas daerah = uas daerah = 6 d 6 uas daerah = 6() 6 ( 6 ) uas daerah = uas daerah = 1 8 i 6 6 Net
Pendahuluan Bola lampu di samping dapat dipandang sebagai benda putar jika kurva di atasna diputar menurut garis horisontal. Pada pokok bahasan ini akan dipelajari juga penggunaan integral untuk menghitung volume benda putar.
Pendahuluan Suatu daerah jika di putar mengelilingi garis tertentu sejauh 6º, maka akan terbentuk suatu benda putar. Kegiatan pokok dalam menghitung volume benda putar dengan integral adalah: partisi, aproksimasi, penjumlahan, pengambilan limit, dan menatakan dalam integral tentu. Gb. Net
Pendahuluan Dalam menentukan volume benda putar ang harus diperhatikan adalah bagaimana bentuk sebuah partisi jika diputar. Berdasarkan bentuk partisi tersebut, maka metode ang digunakan untuk menentukan volume benda putar dibagi menjadi : 1. Metode cakram. Metode cincin. Metode kulit tabung 1 - - 1 1 Net
Metode Cakram Metode cakram ang digunakan dalam menentukan volume benda putar dapat dianalogikan seperti menentukan volume mentimun dengan memotong-motongna sehingga tiap potongan berbentuk cakram. Net
Metode Cakram Bentuk cakram di samping dapat dianggap sebagai tabung dengan jari-jari r = f(), tinggi h =. Sehingga volumena dapat diaproksimasi sebagai V r h atau V f(). Dengan cara jumlahkan, ambil limitna, dan natakan dalam integral diperoleh: V f() V = lim f() v a [ f( )] d h= f() r f() a Net
Metode Cakram Contoh 7. Hitunglah volume benda putar ang terjadi jika daerah ang dibatasi kurva = + 1, sumbu, sumbu, garis = diputar mengelilingi sumbu sejauh 6º. Jawab angkah penelesaian: 1. Gambarlah daerahna. Buat sebuah partisi. Tentukan ukuran dan bentuk partisi. Aproksimasi volume partisi 1 1 1 h= r 1 ang diputar, jumlahkan, ambil limitna, dan natakan dalam bentuk integral. Net
Metode Cakram V r h V ( + 1) V ( + 1) h= V = lim ( + 1) V ( 1) d r 1 V ( 1) d V V 5 5 1 16 5 1 15 11 ( ) Net
Metode Cakram Contoh 8. Hitunglah volume benda putar ang terjadi jika daerah ang dibatasi kurva =, sumbu, garis = diputar mengelilingi sumbu sejauh 6º. Jawab angkah penelesaian: 1. Gambarlah daerahna. Buatlah sebuah partisi. Tentukan ukuran dan bentuk partisi. Aproksimasi volume partisi ang diputar, jumlahkan, ambil limitna, dan natakan dalam r h= bentuk integral. Net
Metode Cakram V r h V () V V = lim V d V d V V r h= V 1 1 ( ) Net
Metode Cincin Metode cincin ang digunakan dalam menentukan volume benda putar dapat dianalogikan seperti menentukan volume bawang bomba dengan memotong-motongna ang potonganna berbentuk cincin. Net
Metode Cincin Menghitung volume benda putar dengan menggunakan metode cincin dilakukan dengan memanfaatkan rumus volume cincin seperti gambar di samping, aitu V= (R r )h Gb. 5 h r R Net
Metode Cincin Contoh 9. Hitunglah volume benda putar ang terjadi jika daerah ang dibatasi kurva = dan garis = diputar mengelilingi sumbu sejauh 6º. Jawab angkah penelesaian: 1. Gambarlah daerahna =. Buat sebuah partisi. Tentukan ukuran dan bentuk partisi. Aproksimasi volume partisi ang diputar, jumlahkan, ambil limitna, dan natakan dalam bentuk integral. Net
Metode Cincin V (R r ) h V [ () ( ) ] = V ( ) V ( ) V = lim ( ) r= R= V ( ) d V 5 5 1 V V V ( ) 5 ( 16 ) 15 96 6 15 Net
Metode Kulit Tabung Metode kulit tabung ang digunakan untuk menentukan volume benda putar dapat dianalogikan seperti menentukan volume roti pada gambar disamping. Net
Metode Kulit Tabung r r h V = rhδr h r Δr Net
Metode Kulit Tabung Contoh 1. Hitunglah volume benda putar ang terjadi jika daerah ang dibatasi kurva =, garis =, dan sumbu diputar mengelilingi sumbu sejauh 6º. Jawab angkah penelesaian: 1. Gambarlah daerahna. Buatlah sebuah partisi. Tentukan ukuran dan bentuk partisi.. Aproksimasi volume partisi ang diputar, jumlahkan, ambil limitna, dan natakan dalam bentuk integral. 1 1 Net
Metode Kulit Tabung r = 1 1 h = 1 1 1 V rh V ()( ) V V = lim V V V d 1 8 Net
Metode Kulit Tabung Jika daerah pada contoh ke-1 tersebut dipartisi secara horisontal dan sebuah partisi diputar mengelilingi sumbu, maka partisi tersebut membentuk cincin. Volume benda putar tersebut dihitung dengan metode cincin adalah sebagai berikut. 1 r= R = 1 - -1 1 1 V (R r ) V ( - ) V ( ) V = lim ( ) V d V V V 1 ( 16 8) 8 Net
atihan atihan (6 soal) Petunjuk : Kesempatan menjawab hana 1 kali Net
atihan uas daerah ang diarsir pada gambar di bawah ini dapat dinatakan dalam bentuk integral sebagai... A Soal 1. d D ( ) d Y B d E ( ) d C d X Net
atihan Soal 1. uas daerah ang diarsir pada gambar di bawah ini dapat dinatakan dalam bentuk integral sebagai... A d D ( ) d Y B d E ( ) d C d X Jawaban Anda Benar ( ) ( ) = lim ( ) ( )d ( Jawaban D ) Net
atihan Soal 1. uas daerah ang diarsir pada gambar di bawah ini dapat dinatakan dalam bentuk integral sebagai... A d D ( ) d Y B d E ( ) d - C d X Jawaban Anda Salah ( ) ( ) = lim ( ) ( )d ( Jawaban D ) Net
atihan Soal. uas daerah ang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan. A,5 satuan luas D 9 1/ satuan luas Y B 6 satuan luas E 1 / satuan luas C 7,5 satuan luas X Net
atihan Soal. uas daerah ang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan. A,5 satuan luas D 9 1/ satuan luas Y B 6 satuan luas E 1 / satuan luas C 7,5 satuan luas X Jawaban Anda Benar ( ) ( ) = lim ( ) ( )d 1 8 (8 8 ) ( 8 ) 1 ( Jawaban E ) Net
atihan Soal. uas daerah ang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan. A B,5 satuan luas 6 satuan luas D E 9 1/ satuan luas 1 / satuan luas Y C 7,5 satuan luas - X Jawaban Anda Salah ( ) ( ) = lim ( ) ( )d 1 8 (8 8 ) ( 8 ) 1 ( Jawaban E ) Net
atihan Soal. uas daerah ang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan. A 5 satuan luas D 9 1/ satuan luas Y B 7 / satuan luas E 1 1/ satuan luas C 8 satuan luas X 8 Net
atihan Soal. uas daerah ang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan. A 5 satuan luas D 9 1/ satuan luas Y B 7 / satuan luas E 1 1/ satuan luas C 8 satuan luas X 8 Jawaban Anda Benar (8 -) 16 8 (8 ) d 8 9 1 ( Jawaban D ) 8 1 Net
atihan Soal. uas daerah ang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan. A 5 satuan luas D 9 1/ satuan luas Y B 7 / satuan luas E 1 1/ satuan luas C 8 satuan luas X 8 Jawaban Anda Salah (8 -) 16 8 (8 ) d 8 9 1 ( Jawaban D ) 8 1 Net
atihan Soal. uas daerah ang dibatasi oleh kurva = dan garis + = adalah. A,5 satuan luas D 1 / satuan luas B,5 satuan luas E 5/6 satuan luas C 6 satuan luas Net
atihan Soal. uas daerah ang dibatasi oleh kurva = dan garis + = adalah. A,5 satuan luas D 1 / satuan luas Y B,5 satuan luas E 5/6 satuan luas 1 X C 6 satuan luas - Jawaban Anda Benar [( ) ] 8 ( 1 1 ) ( ) 1 ( ) d 9, 5 ( Jawaban B ) 1 1 1 Net
atihan Soal. uas daerah ang dibatasi oleh kurva = dan garis + = adalah. A,5 satuan luas D 1 / satuan luas Y 1 B,5 satuan luas E 5/6 satuan luas X C 6 satuan luas - Jawaban Anda Salah [( ) ] 8 ( 1 1 ) ( ) 1 ( ) d 9, 5 ( Jawaban B ) 1 1 1 Net
atihan Soal 5. Daerah ang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu Y sebesar 6. Jika digunakan metode kulit tabung, maka bentuk integral ang menatakan volume benda putar tersebut adalah... A v d D v d Y X B v d E v (16 ) d X C v d Net
atihan Soal 5. Daerah ang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu Y sebesar 6. Jika digunakan metode kulit tabung, maka bentuk integral ang menatakan volume benda putar tersebut adalah... A v d D v d Y X B v d E v (16 ) d X C v d Jawaban Anda Benar V V d ( Jawaban D ) Net
atihan Soal 5. Daerah ang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu Y sebesar 6. Jika digunakan metode kulit tabung, maka bentuk integral ang menatakan volume benda putar tersebut adalah... A v B v C v d d d D E v d v (16 ) d Y X X Jawaban Anda Salah V V d ( Jawaban D ) Net
atihan Soal 6. Daerah ang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu X sebesar 6. Volume benda putar ang terjadi adalah. A satuan volum D 1 satuan volum Y B 6 satuan volum E 15 satuan volum X C 8 satuan volum X Net
atihan Soal 6. Daerah ang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu X sebesar 6. Volume benda putar ang terjadi adalah. A satuan volum D 1 satuan volum Y B 6 satuan volum E 15 satuan volum X C 8 satuan volum X Jawaban Anda Benar V () V V d 1 V 8 ( Jawaban C ) Net
atihan Soal 6. Daerah ang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu X sebesar 6. Volume benda putar ang terjadi adalah. A satuan volum D 1 satuan volum B 6 satuan volum E 15 satuan volum C 8 satuan volum Y X X Jawaban Anda Salah V () V V d 1 V 8 ( Jawaban C ) Net