Pendugaan Parameter Ayundyah Kesumawati Prodi Statistika FMIPA-UII April 13, 2015 Ayundyah (UII) Pendugaan Parameter April 13, 2015 1 / 30
Pendugaan 1 Proses yang menggunakan sampel statistik untuk menduga / menaksir hubungan parameter populasi yg tidak diketahui 2 Penduga : suatu statistik yg digunakan untuk menduga suatu parameter 3 Estimasi: Pengukuran terhadap nilai parameternya (populasi) dari data sampel yang diketahui Ayundyah (UII) Pendugaan Parameter April 13, 2015 2 / 30
Sifat-sifat Penduga 1 θ merupakan penduga tak bias dari θ jika E(ˆθ)=θ 2 ˆθ merupakan penduga konsisten bagi θ apabila nilai ˆθ cenderung mendekati nilai parameter θ untuk n yang semakin besar mendekati tak terhingga 3 ˆθ merupakan penduga yang efisien bagi θ jika penduga ˆθ memiliki varians tau standar deviasi yang lebih kecil dibandingkan dengan penduga lainnya. 4 ˆθ merupakan penduga yang cukup bagi θ apabila ˆθ mencakup seluruh informasi tentang θ yang terkandung di dalam sampel. Ayundyah (UII) Pendugaan Parameter April 13, 2015 3 / 30
Jenis-jenis pendugaan berdasarkan cara penyajiannya 1 Pendugaan Titik Pendugaan yg hanya mempunyai atau menyebutkan satu nilai. Tidak memberikan selisih atau jarak antara nilai penduga dengan nilai sebenarnya (parameter) 2 Pendugaan Interval Pendugaan yg memp dua nilai sbg pembatasan/ daerah pembatasan Digunakan tingkat keyakinan thd daerah yg nilai sebenarnya/parameternya akan berada. Nilai (1-α) disebut koefisien kepercayaan Selang kepercayaan : (1-α) x 100 Ayundyah (UII) Pendugaan Parameter April 13, 2015 4 / 30
Jenis-jenis pendugaan berdasarkan parameternya 1 Pendugaan rata-rata 2 Pendugaan proporsi 3 Pendugaan varians Ayundyah (UII) Pendugaan Parameter April 13, 2015 5 / 30
Pendugaan interval untuk rata-rata 1 Untuk sampel besar (n > 30) a. Utk populasi tdk terbatas/ populasi terbatas yg pengambilan sampelnya dgn pengembalian dan σ diketahui X Z α 2. σ n < µ < X + Z α 2. σ n (1) Penaksiran rata-rata sampel adalah menentukan interval nilai rata-rata sampel yang dapat memuat parameter rata-rata populasi, jika dipakai distribusi probabilitas normal, confedence interval untuk rata-rata ditentukan. Ayundyah (UII) Pendugaan Parameter April 13, 2015 6 / 30
Sehingga didapat dua batas kepercayaan ˆθ = x Z α 2. σ n dan ˆθ = x + Z α 2. σ n (2) Contoh: Rata-rata IP sampel acak 36 mahasiswa tingkat S-1 adalah 2,6. Hitung selang kepercayaan 95 % dan 99 % untuk rata-rata IP semua mahasiswa S-1! Anggap bahwa standar deviasi populasinya 0,3. Ayundyah (UII) Pendugaan Parameter April 13, 2015 7 / 30
b. Untuk populasi terbatas, pengambilan sampel tanpa pengembalian dan σ diketahui σ N n X Z α/2 n. N 1 < µ < X + Z σ N n α/2. n N 1 (3) Ayundyah (UII) Pendugaan Parameter April 13, 2015 8 / 30
2. Untuk sampel kecil (n 30) X t α 2. s n < µ < X + t α 2. s n (4) dengan s = Σ n i=1 X i n 1 (Σn i=1 X i) 2 n(n 1) Ayundyah (UII) Pendugaan Parameter April 13, 2015 9 / 30
Latihan Soal 1 Sebuah perusahaan ingin mengestimasi rata-rata waktu yang diperlukan oleh sebuah mesin yang digunakan untuk memproduksi satu jenis kain. Diambil secara acak 36 pis kain, waktu rata-rata yang diperlukan untuk memproduksi 1 pis kain adalah 15 menit. Jika diasumsikan standar deviasi populasi 3 menit, tentukan estimasi interval rata-rata dengan tingkat confidence (tingkat kepercayaan) 95 %? 2 Lima karyawan PT TELITI dipilih secara acak, kemudian diukur beratnya. Datanya adalah 62, 67, 70, 65 dan 60 kg. Buatlah pendugaan interval rata-ratanya dgn tingkat keyakinan 99%? Ayundyah (UII) Pendugaan Parameter April 13, 2015 10 / 30
Pendugaan Interval Untuk Proporsi 1. Untuk sampel besar (n > 30) a. Untuk populasi tidak terbatas p Z α/2 p(1 p) n < P < p + Z α/2 p(1 p) n b. Untuk populasi terbatas dan pengambilan sampel tanpa pengembalian p(1 p) N n p(1 p) N n p Z α/2 n N 1 < P < p + Z α/2 n N 1 (6) (5) Ayundyah (UII) Pendugaan Parameter April 13, 2015 11 / 30
2. Untuk sampel kecil (n 30) p t α/2 p(1 p) n < P < p + t α/2 p(1 p) n (7) Ayundyah (UII) Pendugaan Parameter April 13, 2015 12 / 30
Latihan Soal 1. Sebuah peti kemas diperiksa untuk menaksir persentase barang rusak. Untuk keperluan tersebut, diambil 60 buah barang yang ada dalam peti dan diperoleh 9 buah rusak. Dugalah persentase barang yang rusak. Digunakan interval keyakinan 99 %. 2. Sebuah Sampel sebanyak 25 buah apel, 8 diantaranya apel kualitas rusak. Dengan interval keyakinan 95%, tentukan proporsi apel yang rusak? 3. Sebuah perusahaan memproduksi baut, menggunakan mesin otomatis dengan diameter menyebar mengikuti distribusi normal yang standar deviasinya (populasi) 0,02 milimeter. Diambil sampel acak empat buah baut untuk suatu pemeriksaan, ternyata rata-rata diameternya sebesar 24,98mm. Buatlah selang kepercayaan dengan tingkat kepercayaan 98 persen bagi rata-rata baut. Ayundyah (UII) Pendugaan Parameter April 13, 2015 13 / 30
4. Lima karyawan PT TELITI dipilih secara acak, kemudian diukur beratnya. Datanya adalah 62, 67, 70, 65 dan 60 kg. Buatlah pendugaan interval rata-ratanya dgn tingkat keyakinan 99 % 5. Dari sampel random 400 orang yg makan siang di restoran NIKMAT selama beberapa hari Sabtu, diperoleh data 125 org yg menyukai makanan tradisional. Tentukan pendugaan interval bagi proporsi sebenarnya, orang yg menyukai makanan tradisional utk makan siangnya pd hari Sabtu di restoran tersebut dgn menggunakan interval keyakinan 98 % Ayundyah (UII) Pendugaan Parameter April 13, 2015 14 / 30
Pendugaan Parameter Dua Populasi Dalam materi ini akan dibahas metode inferensi (pendugaan) statistik untuk membandingkan dua perlakuan atau dua populasi berdasarkan sampel-sampel yang independen. Bila ada 2 populasi masing-masing dengan rata-rata µ 1 dan µ 2, varians σ 2 1 dan σ 2 2, maka estimasi dari selisih µ 1 dan µ 2 adalah x 1 dan x 2, sehingga Z = (x 1 x 2 ) (µ 1 µ 2 ) (σ ) ( ) 2 1 σ 2 + 2 n 1 n 2 Ayundyah (UII) Pendugaan Parameter April 13, 2015 15 / 30
Pendugaan Interval Beda Dua Rata-Rata 1. Untuk sampel besar dan σ 2 1 dan σ2 2 diketahui ( X 1 X 2 ) Z α 2.σ X 1 X 2 < (µ 1 µ 2 ) < ( X 1 X 2 ) + Z α 2.σ X 1 X 2 dengan (σ ) ( ) 2 σ X 1 X 2 = 1 σ 2 + 2 n 1 n 2 Ayundyah (UII) Pendugaan Parameter April 13, 2015 16 / 30
Contoh Soal Diketahui nilai ujian kimia yang diberikan pada 50 siswa putri dan 75 siswa putra mempunyai rata-rata secara berurutan adalah 76 dan 86. Cari selang kepercayaan 96 % untuk selisih µ 1 -µ 2. Anggap standar deviasi populasi untuk masing-masing putri dan putra adalah 8 dan 6 Ayundyah (UII) Pendugaan Parameter April 13, 2015 17 / 30
Misal : X 1 = 86 adalah nilai siswa putra, n 1 =75 dan σ 1 =6 X 1 = 76 adalah nilai siswa putri, n 1 =50 dan σ 1 =8 α = 0, 04 z 0,02 = 2, 05. Sehingga Selang kepercayaan 96 % bagi selisih rata-rata nilai siswa putra dengan siswa putri adalah ( ) X 1 X 2 Z α.σ 2 X 1 X 2 < (µ 1 µ 2 ) < ( ) X 1 X 2 + Z α (86 76) (2, 05). 8 2 sehingga diperoleh... < (µ 1 µ 2 ) <... 50 + 62 75 < (µ 1 µ 2 ) < (86 76) + (2, 05) 8 2 2.σ X 1 X 2 75 + 62 50 Ayundyah (UII) Pendugaan Parameter April 13, 2015 18 / 30
Interpretasi 1. Dapat dipercaya 96 % bahwa selisih rata-rata nilai ujian kimia semua siswa putra dengan siswa putri berkisar antara 3,43 hingga 8,57. 2. Dengan tingkat signifikansi 4 %, rata-rata nilai ujian kimia semua siswa putra lebih tinggi antara 3.43 hingga 8.57 dari nilai ujian kimia semua siswa putri. Ayundyah (UII) Pendugaan Parameter April 13, 2015 19 / 30
2. Untuk sampel kecil, σ1 2 dan σ2 2 tidak diketahui, selang kepercayaan (1-α) 100% untuk µ 1 µ 2 ( ) X 1 X 2 t α.s 2 X 1 X 2 < (µ 1 µ 2 ) < ( ) X 1 X 2 + t α.s 2 X 1 X 2 dengan dan s X 1 X 2 = ( (n 1 1)s1 2 + (n 2 1)s2 2 ) ( ) 1 1. + n 1 + n 2 2 n 1 n 2 s1 2 = ΣX 1 2 n 1 1 (ΣX 1) 2 n 1 (n 1 1) s2 2 = ΣX 2 2 n 2 1 (ΣX 2) 2 n 2 (n 2 1) Ayundyah (UII) Pendugaan Parameter April 13, 2015 20 / 30
Contoh Suatu sampel random sebanyak 12 buah, dari jenis produk yang dihasilkan oleh suatu perusahaan mempunyai berat rata-rata 3.11 gr dengan standar deviasi 0.771 gr. Sedangkan sampel yang lain dari jenis produk yang dihasilkan perusahaan lainnya berjumlah 15 buah dengan berat rata-rata 2.04 grdan standar deviasi 0.448. Distribusi berat produk diasumsikan berdistribusi normal, estimasilah perbedaan rata-rata tersebut dengan tingkat kepercayaan 90 persen. Ayundyah (UII) Pendugaan Parameter April 13, 2015 21 / 30
2. Selang kepercayaan (1-α)100 % untuk µ 1 µ 2 ; dimana σ1 2 σ2 2, σ2 1 dan σ2 2 tidak diketahui. ( ) X 1 X 2 t v α. 2 dengan s1 2 + s2 2 < µ 1 µ 2 < ( ) X 1 X 2 + t v α. n 1 n 2 2 s 2 1 n 1 + s2 2 n 2 v = ( S 2 1 ( S 2 1 + S 2 2 n 1 ) 2 n 1 ) 2 ( S 2 2 ) 2 n 1 n 2 (n 1 1) + (n 2 1) Ayundyah (UII) Pendugaan Parameter April 13, 2015 22 / 30
Soal Latihan Dalam sebuah penelitian kadar kimia-ortofosfor, a5 sampel dikumpulkan dari stasion 1 dan 12 sampel diukur dari stasion 2. ke 15 sampel dari stasion 1 mempunyai rata-rata kadar ortofosfor 3.84 mg/l dan standar deviasi 3.07 mg/l, sedangkan 12 sampel dari stasion 2 mempunyai rata-rata kadar 1.49 mg/l dengan standar deviasi 0.80 mg/l. Cari selang kepercayaan 95% untuk selisih rata-rata kadar ortofosfor sesungguhnya pada kedua stasion tersebut, anggap bahwa pengamatan berasal dari populasi normal dengan varians yang berbeda Ayundyah (UII) Pendugaan Parameter April 13, 2015 23 / 30
Pendugaan interval beda dua proporsi (P 1 P 2 ) Z α/2.s (p1 p 2 ) < p 1 p 2 < (P 1 P 2 ) + Z α/2.s (p1 p 2 ) dengan S p1 p 2 = p 1 (1 p 1 ) n 1 + p 2(1 p 2 ) n 2 Ayundyah (UII) Pendugaan Parameter April 13, 2015 24 / 30
Contoh Suatu perubahan dalam cara pembuatan suku cadang sedang direncanakan. Sampel diambil dari cara lama maupun yang baru untuk melihat apakah cara baru tersebut memberikan perbaiikan. Bila 75 dari 1500 suku cadang yang berasal dari cara lama ternyata cacat. Dan 80 dari 2000 yang berasal dari cara baru ternyata cacat. Carilah selang kepercayaan 90 % untuk selisih sesungguhnya proporsi yang baik dalam kedua cara tersebut! Ayundyah (UII) Pendugaan Parameter April 13, 2015 25 / 30
Estimasi Varians Populasi Sangat diperlukan untuk mengetahui sejauh mana sebaran nilai parameter sehingga dapat dijadikan untuk mengambil langkah-langkah dalam mengendalikannya Misalnya: yang berkaitan dg suatu tingkat kualitas produk, diinginkan agar bukan hanya rata-rata nilai parameternya yg memenuhi suatu persyaratan tetapi juga konsistensi dari nilai tersebut harus bisa terjamin Ayundyah (UII) Pendugaan Parameter April 13, 2015 26 / 30
Estimasi Varians Populasi Estimasi interval varians populasi berbentuk: (n 1)s 2 χ 2 α/2;v < σ 2 x < (n 1)s2 χ 2 1 α/2;v keterangan: χ 2 α/2;v = Nilai kritis yang tergantung tingkat kepercayaan dan derajat kebebasan v α = 1 - tingkat kepercayaan v = derajat kebebasan = n - 1 Ayundyah (UII) Pendugaan Parameter April 13, 2015 27 / 30
Contoh Suatu mesin pengisi gandum ke dalam kemasan dirancang untuk bekerja mengisi gandum ke dalam kotak rata-rata sebanyak 25 kg. Suatu pemeriksaan terhadap 15 kotak menunjukkan bahwa deviasi standard pengisian gandum itu adalah 0,0894 kg. Estimasikan deviasi standard populasi dg tingkat kepercayaan 95 % Ayundyah (UII) Pendugaan Parameter April 13, 2015 28 / 30
Latihan Soal 1. Dua jenis tambang ingin dibandingkan kekuatannya. Untuk itu, 50 potong tambang dr setiap jenis diuji dlm kondisi yg sama. Jenis A memiliki kekuatan rata-rata 87,2 kg dgn simpangan baku 6,3 kg, sedangkan jenis B memiliki kekuatan rata-rata 78,3 kg dgn simpangan baku 5,6 kg. Buatlah pendugaan interval beda dua rata-rata dgn interval keyakinan 94 % 2. Suatu sampel random sebanyak 300 org dewasa dan 400 remaja yg pernah menyaksikan sebuah acara di RCTI diketahui bahwa 125 org dewasa dan 250 remaja menyatakan suka pd acara tsb. Berapa beda proporsi dr seluruh org dewasa dan remaja yg menyukai acara tsb bl digunakan tingkat keyakinan 90% Ayundyah (UII) Pendugaan Parameter April 13, 2015 29 / 30
3. Data berikut berupa masa putar film yang diproduksi dua perusahaan film. Buatlah pendugaan interval bagi beda dua rata-rata masa putar film-film yang diproduksi oleh dua perusahaan tersebut dengan menggunakan interval keyakinan % Ayundyah (UII) Pendugaan Parameter April 13, 2015 30 / 30