MODUL XI SELANG KEPERCAYAAN UNTUK KEPERCAYAAN

Transkripsi

1 MODUL XI SELANG KEPERCAYAAN UNTUK KEPERCAYAAN Taksiran suatu parameter populasi dapat diberikan berupa taksiran titik atau berupa taksiran selang. Taksiran titik suatu parameter populasi θ merupakan nilai tunggal θ suatu statistik Θ. Sebagai contoh, nilai x suatu statistik X, dihitung dari suatu ukuran n, merupakan taksiran titik parameter populasi µ. Statistik yang digunakan untuk mendapatkan taksiran titik penaksir. Taksiran selang untuk µ dari suatu populasi ialah suatu selang yang berbentuk ˆ µ ˆ < µ < µ, di mana ˆ µ ˆ & µ tergantung pada nilai statistik µˆ. Biasanya µˆ = X, dengan kata lain ˆ µ ˆ & µ tergantung pada X. Atau ˆµ = x k dan ˆµ = x + k, dengan k ditentukan dari distribusi sampel X. Catatan : parameter adalah konstanta dari suatu distribusi yang nilainya tertentu tapi tidak diketahui, misalnya µ &. perbedaan sampel berlainan memberikan nilai X yang berbeda, ini mengakibatkan penaksiran selang bagi parameter µ berbeda pula. Misalkan dari suatu distribusi sampel µˆ dapat ditentukan ˆ µ ˆ & µ, sedemikian sehingga P = ˆ µ < µ < ˆ µ = α. Maka dengan peluang α.00 % ini, sampel acak yang diambil akan menghasilkan suatu selang yang mengandung µ. Contoh : Misalkan P = ˆ µ < µ < ˆ µ Artinya, yang dihitung berdasarkan = sampel acak yang diambil, disebut selang kepercayaan 95%, dengan kata lain kita percaya 95% bahwa selang yang dihitung mengandung parameter yang sesungguhnya dari populasi.

2 A. SELANG KEPERCAYAAN PADA DISTRIBUSI NORMAL Perhatikan gambar di atas. Selang kepercayaan α.00 % adalah selang pada daerah yang diaksir, yaitu antara z α / dan z α/. Misalkan ambil α = 0.05 = 5%, maka α = 95%. Jadi, selang kepercayaan 95% adalah selang antara z,5 % dan z,5%. Nilai ± z α / dinamakan nilai kritis dan diambil dari tabel normal. Di bawah ini beberapa nilai kritis z untuk beberapa nilai α yang sering digunakan. α Nilai z α/ % = % = % = B. SELANG KEPERCAYAAN PADA DISTRIBUSI T Perhatikan gambar di bawah ini Penggunaannya sama dengan selang kepercayaan pada distribusi normal. Nilai t dapat dilihat dari tabel t, dengan v menyatakan derajat kebebasan dan berapa persen selang kepercayaan yang diinginkan. Perhatikan besarnya v untuk data yang berasal dari populasi : v = n - α menyatakan untuk data yang berasal dari populasi yang saling bebas atau tidak berpasangan : v = n + n. C. PERINTAH-PERINTAH MINITAB UNTUK SELANG KEPERCAYAAN 8

3 Z INTERVAL K % C... C n 00 Digunakan untuk mencari selang kepercayaan K %, data berasal dari populasi dengan nilai diketahui. Bentuk selang tersebut adalah : x z + α / n, x z / n / α / Di mana : x = mean data n = ukuran sampel z = nilai dari tabel normal untuk K % T INTERVAL K % C... C n 00 Digunakan untuk mencari selang kepercayaan K %, data berasal dari populasi dengan tidak diketahui, atau data berasal dari populasi berpasangan dengan dan tidak diketahui. Bentuk selang tersebut adalah : x t n +, α / s / n, x t n, α / s / n Di mana : x = mean data s = standar deviasi sampel n = ukuran sampel t = nilai dari tabel t untuk K % dan derajat kebebasan n- D. CONTOH SOAL. Sebuah mesin menghasilkan potongan logam berbentuk silinder. Sampel beberapa potongan diukur dan ternyata diameternya :.0, 0.97,.03,.04, 0.99, 0.98, 0.99,.0 dan.03. Hitunglah selang kepercayaan 99% untuk rataan diameter potongan yang dihasilkan mesin tersebut bila dimisalkan distribusinya hampir normal. Jawab: 8

4 MTB > set C DATA > DATA > end MTB > tinterval 99.0 C N MEAN STDEV SEMEAN 99.0 PERCENT C.I C , Data berikut menyatakan waktu putar film yang diproduksi dua perusahaan film. Waktu menit Perusahaan A Perusahaan B Hitunglah selang kepercayaan 90% untuk selisih kedua rataan waktu putar film yang diproduksi kedua perusahaan. Anggap bahwa waktu putar berdistribusi hampir normal. Jawab: MTB > read C C DATA > DATA > 94 8 DATA > 0 3 DATA > 87 9 DATA > DATA > 88 8 DATA > end MTB > let C3 = C C MTB > tinterval 90 C3 N MEAN STDEV SEMEAN 90.0 PERCENT C.I C , 8.9 E. LATIHAN. Ambil sampel acak sebanyak 00, dari distribusi normal baku, dan tentukan selang kepercayaan 90%, 95% dan 99%. Lakukan juga untuk sampel dari N0, 4 dan N0, 6. Apa yang dapat anda simpulkan! Buat juga perhitungannya secara manual untuk selang kepercayaan 90% dgn N0, 4. Gunakan tabel normal. Tujuh botol yang mirip masing-masing berisi asam sulfat sebanyak 9.8, 0., 0.4, 9.8, 0.0, 0. dan 9.6 liter. Carilah selang 83

5 kepercayaan 95% untuk rataan isi botol semacam itu, bila distribusinya dianggap hampir normal. Lakukan pula perhitungan secara manual. Gunakan tabel t 3. Suatu perusahaan menyatakan bahwa sejenis diet baru akan menurunkan berat badan seseorang rata-rata 4.5 kg dalam minggu. Berat tujuh wanita yang menggunakan diet ini dicatat sebelum dan sesudah jangka waktu minggu Berat sebelum Berat sesudah Hitung selang kepercayaan 95% untuk selisih rataan berat, dan perhatikan apakah pernyataan perusahaan tersebut benar? Anggap distribusi berat hampir normal. 4. Pemerintah memberikan dana ke jurusan pertanian 9 universitas untuk menguji kemampuan menghasilkan dua varietas padi. Tiap varietas ditanam di petak sawah yang sama luasnya di tiap universitas dan hasilnya, dlm kg per detik sbb: Universitas Varietas A Varietas B Hitunglah selang kepercayaan 95% untuk rataan selisih hasil kedua jenis, anggap bahwa distribusi hasil hampir normal. Jelaskan mengapa kedua varietas perlu dibuat berpasangan dalam soal ini. Buat juga perhitungan manualnya. Gunakan tabel t 84

6 SELANG KEPERCAYAAN POPULASI POPULASI diketahui tdk diketahui berpasangan dr pop. normal n < 30 n = n 30, n tdk diketahui = s d = s d X X D = X X distribusi distribusi t distribusi t normal µ x ± tn, α/ s / n µ < d ± tn, α/ µ < x ± zα / / n < s / d n 85