BAB II TINJAUAN PUSTAKA

BAB II TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini dituliskan beberapa aspek teoritis sebagai landasan teori dalam penelitian ini yaitu teori bilangan, bilangan bulat modulo?, struktur aljabar dan masalah logaritma diskret. 2.1 Teori Bilangan Himpunan integer?ggg????????????? GGG? dinotasikan dengan simbol?. Definisi 2.1.1 (Menezes et al., 1997) Misalkan??? adalah integer. Maka? membagi? jika terdapat integer? sedemikian sehingga????. Jika? membagi??maka dinotasikan oleh???. Definisi 2.1.2 (Menezes et al., 1997). Jika? dan? adalah integer dengan???, maka pembagian? oleh? menghasilkan integer? (hasil pembagian) dan?(sisa pembagian) sehingga??????, di mana????? G Sisa pembagian dinotasikan a mod b dan hasil pembagian dinotasikan a div b. Definisi 2.1.3 (Menezes et al. 1997) Suatu integer?dikatakan pembagi bersama dari? dan? jika??? dan??? G Definisi 2.1.4 (Menezes et al., 1997) Suatu integer tak negatif d disebut pembagi bersama terbesar (greatest common divisor/gcd) dari integer? dan??dinotasikan?????????? jika 1.? adalah pembagi bersama? dan?, 2. jika? dengan??? dan???, maka???. Definisi 2.1.5 (Menezes et al., 1997) Integer? dan? dikatakan prima relatif atau disebut juga koprima jika?????????? G Definisi 2.1.6 (Menezes et al., 1997) Untuk???, didefinisikan???? adalah banyaknya bilangan bulat pada selang????? yang prima relatif dengan?. Fungsi? disebut fungsi-? Euler.

6 Teorema 2.1.7 Teorema dasar aritmetika. (Menezes et al., 1997) bilangan bulat??? dapat difaktorkan sebagai produk kuasa prima yang khas :?? S H S H g S N H N, di mana p i adalah bilangan prima yang berbeda dan e i bilangan bulat positif. Teorema 2.1.8 Sifat-sifat fungsi-? Euler (Menezes, et al., 1997) 1. Jika? prima, maka????????. Setiap 2. Fungsi-? Euler bersifat multiplikatif. Artinya, jika?????????? maka?????????????? 3. Jika?????????? g???? adalah faktorisasi prima dari?, maka????????????????????????????. Definisi 2.1.9 (Childs, 2009) Untuk sebarang bilangan????dapat dituliskan dalam suatu bilangan? menggunakan kuasa?,???????????????? GGG??????? di mana untuk setiap????? GGG??? dimana?????????, hal ini disebut representasi dari? dalam basis (atau radix)?. 2.2 Bilangan Bulat Modulo? Definisi 2.2.1 (Menezes et al., 1997) Misalkan? bilangan bulat positif. Bilangan bulat modulo?, dinotasikan??, adalah himpunan bilangan bulat???????g?????. Operasi penjumlahan, pengurangan dinyatakan dalam modulo?. Definisi 2.2.2 (Menezes et al., 1997) Jika? dan? adalah integer, maka? disebut kongruen? modulo?, ditulis????????, jika? membagi????ginteger? disebut modulus dari kongruensi. Teorema 2.2.3 Sistem Residu Lengkap (Niven et al., 1991, diacu dalam Lestari 2007) Sistem Residu Lengkap Modulo? GJika???????? maka? disebut residu dari? modulo? GSelanjutnya himpunan?????????g???? dinamakan sistem residu lengkap (SRL) modulo? jika untuk setiap integer? terdapat satu dan hanya satu?? sedemikian sehingga?????????g

7 Teorema 2.2.4 Sistem Residu Tereduksi Modulo? (Niven et al., 1991, diacu dalam Lestari 2007). Sistem residu tereduksi (SRT) modulo? adalah himpunan bilangan bulat??, di mana???????????????????????g Selanjutnya, setiap? yang prima relatif dengan? kongruen dengan suatu?? pada himpunan tersebut. Definisi 2.2.5 (Menezes et al., 1997) Misalkan????.? memiliki invers jika dan hanya jika??????????. Definisi 2.2.6 (Menezes et al., 1997) Misalkan????. Multiplikatif invers atau invers perkalian dari? modulo? adalah sebuah bilangan bulat???? sedemikian sehingga?????????. Jika? ada, maka pasti unik, dan? disebut memiliki invers (invertible). Invers dari? dinotasikan sebagai???. Teorema 2.2.7 (Menezes et al. 1997) Misalkan? jika dan hanya jika?????????? G??. Maka? adalah invertibel Definisi 2.2.8 (Menezes et al., 1997) Misalkan??????. Pembagian? oleh? modulo? adalah perkalian? dengan??? modulo?, yang terdefinisi jika? mempunyai invers modulo?. Teorema 2.2.9 (Menezes et al. 1997) Misalkan p adalah prima. 1. (Teorema Fermat) Jika??????????, maka???????????g 2. Jika?????????,???????????? untuk setiap integer? G 3. Khususnya, untuk sembarang integer???????????g Teorema 2.2.10 Teorema Sisa Cina (Menezes????G?1997) Misalkan??????g??? merupakan integer prima relatif satu sama lain, dan misalkan??????g??? adalah sembarang integer maka sistem kongruensi???????????,???????????,,???????????.. (?) mempunyai solusi. Jika?? adalah salah satu solusinya, maka bilangan bulat? memenuhi sistem kongruensi (?) jika dan hanya jika??????? untuk suatu bilangan bulat? dan?????? g??.

8 Algoritma 2.2.11 Gauss (Menezes????G?1997). Solusi? dari Teorema 2.2.10 dapat dihitung sebagai?? s???????????????, dimana??????? dan????????????. Lemma 2.2.12 (Safaat 2007) Andaikan M adalah himpunan hingga dan diketahui ada fungsi????? G Dipilih???? untuk membangkitkan barisan?????????g dengan menggunakan iterasi?????????? untuk???. Ada????? sehingga????? untuk??? dan ada??? sehingga??????. Jika barisan?????????g dibangkitkan oleh????? menggunakan iterasi????????????? untuk??? maka hasilnya akan sama dengan barisan?????????g Teorema 2.2.12 Sifat-sifat kongruensi (Koshy 2007). Misal??????? dan? adalah integer, maka pernyataan berikut benar : 1.???????? jika dan hanya jika?????? untuk suatu integer? G 2.???????? (sifat refleksi) 3. Jika??? (mod n) maka????mod??g(sifat simetri) 4. Jika???????? dan????????? maka????????g(sifat transitif) 5.????????mod?? dan????mod???maka (i)????????????? (ii??????????? 6. Jika???????? maka (i)????????????, (ii)??????????g 7. Jika?????????? dan gcd(??????, maka????????g 8. Jika?????????? dan gcd???????, maka??????????g 9. Jika?????????, di mana?????, maka?????????????ggg?????g 10. Jika????????? maka?????????? untuk sembarang integer positif?.

9 Teorema 2.2.13 (Menezes et al. 1997) Misalkan??????????G Kongruensi????????? mempunyai solusi? jika dan hanya jika? membagi?, dalam hal ini terdapat solusi eksak? antara? dan??. 2.3 Struktur Aljabar 2.3.1 Grup Operasi biner (?? pada suatu himpunan? adalah suatu fungsi??????????????????????????? Operasi biner??? pada himpunan? harus memenuhi ketiga kriteria berikut: 1. Universal, semua elemen??? harus mempunyai nilai. 2. Unik, tidak bernilai ganda. 3. Tertutup, setiap??? harus berada di?. Definisi 2.3.1.1 (Aliatiningtyas, 2002) Sruktur aljabar? dengan operasi biner??) disebut grup jika memenuhi aksioma-aksioma berikut: 1. Opersai biner??? bersifat assosiatif: yaitu berlaku,???????????????????????. 2. Terdapat elemen identitas??? untuk??? pada?, sehingga berlaku??????????????. 3. Untuk setiap??? terdapat?????, sedemikian????????????????????? yang dalam hal ini? adalah elemen identitas dan??? adalah invers dari?. Grup? disebut grup komutatif jika operasi??? bersifat komutatif yaitu :?????????????? G Definisi 2.3.1.2 (Guritman 2004) Misal? sembarang grup,???, dan? bilangan bulat positif, maka:???? G?? G??? g?????????????? G??? G?????? g????????.???????

10 Teorema 2.3.1.3 (Aliatiningtyas, 2002)?????? G? merupakan grup komutatif. Teorema 2.3.1.4 (Guritman 2004) Jika? yaitu suatu grup dan???, maka untuk setiap bilangan bulat? dan? berlaku hukum eksponen: 1.????????? G 2.????????? 3.?????????????. Definisi 2.3.1.5 (Guritman 2004) Misal? dan? grup. Suatu homomorfisma (grup) dari? ke? adalah suatu fungsi????? sehingga untuk sembarang? dan? di dalam? berlaku??????????????g Definisi 2.3.1.6 (Guritman 2004) Misal?? dan?? grup. Homomorfisma??????? yang bijektif disebut isomorfisma dari?? ke??. Dua grup?? dan?? dikatakan isomorfik, dinotasikan??????jika ada suatu isomorfisma dari?? ke?? GBayangan (Imej) dari?? dinotasikan Im????yaitu Im?????????????????????G Kernel dari f, dinotasikan ker (f), yaitu Ker (????????????????G Definisi 2.3.1.7 (Aliatiningtyas 2002) Misalkan? grup dan? subgrup dari?. Maka N disebut subgrup normal dari? jika????,???????????? G Definisi 2.3.1.8 (Aliatiningtyas 2002) Misalkan? grup,? subgrup normal dari? dan himpunan??? beserta operasi perkalian pada??? adalah sebagai berikut:????????????????????? G Maka??? merupakan grup dan disebut grup faktor dari? oleh?. Teorema 2.3.1.9 Teorema Dasar Homomorfisma untuk Grup (Aliatiningtyas 2002) Misalkan?????? epimorfisma (surjektif) grup dengan Ker???? maka??????g

11 Definisi 2.3.1.10 (Menezes, et al. 1997) Suatu grup? dikatakan berhingga jika kardinalitas? berhingga. Banyaknya unsur dari grup hingga disebut order. Definisi 2.3.1.11 (Menezes, et al. 1997) Misalkan? grup dan???. Order dari? (notasi O(a)) didefinisikan sebagai integer positif terkecil? sedemikian sehingga????, jika integer tersebut ada. Jika tidak terdapat integer?yang demikian maka order dari? adalah tak hingga. Definisi 2.3.1.12 (Menezes, et al. 1997) Suatu himpunan bagian tak nol? dari grup? adalah subgrup dari? jika? adalah grup yang operasinya sama dengan?. Jika? adalah subgrup dari? dan???, maka? disebut proper subgrup dari?. Definisi 2.3.1.13 (Aliatiningtyas 2002) Misal? adalah subgrup dari grup? dan??? GHimpunan bagian?????????? disebut koset kiri dari? yang memuat?, dan?????????? dan disebut koset kanan dari? yang memuat? G Teorema 2.3.1.14 Teorema Lagrange (Guritman 2004). Misalkan? yaitu grup berhingga dan? subgrup dari?. Maka order dari? membagi order? G Akibatnya, jika? sembarang elemen?, maka???? membagi order? G Lemma 2.3.1.15 (Rokhayat, 2005) Jika order dari? modulo? adalah? maka,???????g????? saling tidak kongruen. Definisi 2.3.1.16 Guritman, 2004) Grup? disebut siklik jika dan hanya jika ada elemen??? (? disebut generator) sehingga?????????????? Lemma 2.3.1.17 (Guritman 2004) Misalkan????? dengan??????jika???? maka????????????? merupakan subgrup dari? dan?????? G Proposisi 2.3.1.18 (Guritman, 2004)?????????? akan merupakan grup terhadap perkalian jika dan hanya jika? adalah prima. Misalkan? adalah prima,???????????g?????

12 merupakan grup abelian (komutatif) terhadap operasi perkalian modulo?. Jika????? invers dari? adalah solusi dari persamaan???????. Secara umum, untuk sembarang integer? dengan???, himpunan yang didefinisikan??????????????????????? adalah merupakan grup komutatif terhadap operasi perkalian modulo?. Integer? dan? sehingga gcd(?????? disebut prima relatif. Teorema 2.3.1.19 Sifat-sifat Grup Siklik (Guritman 2004). 1. Setiap grup siklik adalah abelian (komutatif). 2. Setiap subgrup dari grup siklik yaitu siklik. 3. Jika????? dan???? maka?????????g 4. Jika G yaitu grup siklik berorder n dan suatu bilangan bulat k n, maka ada b? G sehingga?????? G 5. Misalkan? yaitu grup abelian berorder??dengan? dan? prima relatif. Jika????? dengan????? dan? dengan??????, maka? merupakan grup siklik dengan?????? 6. Unsur?? merupakan generator dari?????dengan????? jika dan hanya jika?dan? prima relatif. 2.3.2 Ring (Gelanggang) Definisi 2.3.2.1 (Aliatiningtyas 2002) Struktur aljabar??????? dengan operasi (+) disebut operasi penjumlahan dan operasi??? disebut operasi perkalian, adalah ring jika memenuhi aksioma-aksioma berikut ini. 1.????? grup komutatif. 2. Operasi perkalian bersifat asosiatif. 3. Hukum distributif kiri berlaku??,?,???,???????????? Hukum distributif kanan berlaku,????????,????????????g Elemen identitas terhadap??? dinotasikan dengan? dan disebut elemen nol. Selanjutnya, 1. Jika operasi perkalian bersifat komutatif,?????????????? maka? disebut ring komutatif.

13 2. Jika ada elemen identitas dibawah operasi perkalian (elemen ini disebut elemen kesatuan, dinotasikan dengan 1 dan disingkat unkes),??????1??,????????? maka? disebut ring dengan elemen kesatuan (unkes). Teorema 2.3.2.2 (Aliatiningtyas, 2002) Himpunan?????? G? terdiri dari bilangan-bilangan bulat modulo? merupakan ring. Teorema 2.3.2.3 (Buchman, diacu dalam Riyanto, 2007) Jika? adalah bilangan bulat dengan??? maka??????g? adalah ring komutatif dengan unkes (uniti)???? selanjutnya ring seperti ini disebut dengan ring bilangan bulat modulo?. Definisi 2.3.2.4 (Aliatiningtyas 2002) Misalkan? ring,??????? G Himpunan bagian I disebut ideal jika memenuhi: 1. a, b? I? a b? I 2. r? R, a? I? ra? I dan ar? I. Definisi 2.3.2.5 (Rosdiana, 2008) Misalkan? ring komutatif dengan elemen kesatuan 1 dan???. Suatu himpunan dilambangkan dengan???, didefinisikan sebagai????????????. Dapat ditunjukkan bahwa??? merupakan ideal dan disebut ideal utama yang dibangun oleh?. Definisi 2.3.2.6 (Aliatiningtyas 2002) Ideal M dari ring R disebut ideal maksimal jika tidak ada ideal sejati dari R yang memuat M. Definisi 2.3.2.7 (Aliatiningtyas 2002) Fungsi? dari ring R ke ring R disebut homomorfisma jika? a,b? R, berlaku? (a + b) =? (a) +? (b)? (ab) =? (a)? (b) Kernel? = { a? R? (a) = 0 }, 0 elemen nol dari R. Im(?????????????????? ). Jika ada isomorfisma dari R ke R, maka dikatakan R isomorfik dengan R, dinotasikan: R? R. Teorema 2.3.2.8 (Rosdiana, 2008) misal???? ker????????????????? merupakan ideal.?? ring homomorfisme. Maka

14 Definisi 2.3.2.9 (Aliatiningtyas 2002) Misalkan R ring, N ideal dari?? maka koset-koset aditif dari N adalah??? dengan???. Definisikan:?????????????. Operasi penjumlahan dan perkalian didefinisikan:?????????????????????????????????? G Teorema 2.3.2.10 (Aliatiningtyas 2002))????????? disebut ring faktor dari? oleh? G merupakan ring dan 2.3.3 Field (Lapangan) Definisi 2.3.3.1 (Menezes et al., 1997) Field adalah ring komutatif, ada elemen kesatuan (unkes) dan semua elemen tak nolnya mempunyai invers perkalian. Definisi 2.3.3.2 (Menezes et al., 1997) Suatu field? dikatakan berhingga (finite field) jika himpunannya memiliki banyak elemen yang berhingga. Order? adalah banyaknya elemen?. Teorema 2.3.3.3 (Menezes, et al,. 1997)?? adalah field jika dan hanya jika? bilangan prima. 2.4 Polinomial Ring Definisi 2.4.1 (Menezes et al., 1997) Jika? adalah ring maka polinomial???? dalam peubah (indeterminit)? yang diekspresikan dalam bentuk?????????????????????? di mana masing-masing???? dan???.?? adalah koefisien dari?? dalam????. Integer terbesar? pada???? disebut derajat????, dinotasikan deg???? dan?? disebut koepisien utama (leading koefisien) dari????. Jika??????? dan???? maka???? berderajat nol dan disebut polinomial konstan. Jika semua koefisien???? adalah nol maka???? disebut polinomial nol dan derajatnya??. Jika koeofisien utamanya 1 maka???? disebut polinomial monik. Definisi 2.4.2 (Rosdiana 2008) Misalkan??????????????????????? dan???????????????????????? dengan asumsi???? dan???? berderajat sama maka operasi penjumlahan dan perkaliannya adalah:

15?????????????????????????????????????????????????????????????????????????? Teorema 2.4.3 (Fraleigh 2000) Himpunan???? terdiri dari setiap polinomial dalam peubah x dengan koefisien dalam ring? merupakan sebuah ring dibawah operasi penjumlahan dan perkalian polinomial. Selanjutnya jika? komutatif maka???? juga komutatif, dan jika? memiliki unkes? maka? juga merupakan unkes dalam????g Teorema 2.4.4 (Rosdiana 2009) Misalkan F field, I ideal tak nol di F[x], dan elemen g(x)? F[x]. Ideal I??J?[?? jika dan hanya jika g(x) merupakan polinomial tak nol berderajat terendah di I. Definisi 2.4.5 (Fraleigh, 2000) Suatu polinomial yang bukan konstanta????????? adalah irreducible atas? atau irreducible atas???? jika???? tidak dapat dinyatakan sebagai perkalian???????? yakni dua polinomial???? dan???? dalam ) >[@yang keduanya berderajat lebih rendah dari????gjika????????? polinomial yang bukan konstanta tak irreducible maka???? adalah reducible. Proposisi 2.4.6 (Laurtzen, 2003) Misalkan????????? maka ideal?????? adalah ideal maksimal jika dan hanya jika???? adalah irreducible atas?. Teorema 2.4.7 (Menezes 1997) Jika???? adalah irreducible atas?, maka ring faktor??????????? adalah field. Teorema 2.4.8 (Menezes et al,. 1997) Polinomial irreducible?????????? berderajat? adalah polinomial primitif jika dan hanya jika???? membagi??? untuk????? dan bukan untuk integer positif terkecil?. Teorema 2.4.9 (Menezes et al. 1997)????? adalah faktorisasi domain tunggal. Yakni, setiap polinomial tak nol?????????? memiliki faktorisasi???????????????????? g??????? di mana????? polinomial irreducible dalam?????,?? adalah positif integer, dan????.

16 2.5 Perluasan Field Teorema 2.5.1 (Rosdiana, 2008) Misal? subfield dari field?,??? dan? tak tentu (indeterminit). Pemetaan????????? yang didefinisikan dengan????????????? di mana???????????????????????,????????? merupakan homomorfisme. Homomorfisma? F disebut homomorfisma evaluasi, dan berlaku???????,???????,???. Definisi 2.5.2 (Rosdiana, 2008) Jika? field yang memuat subfield?, maka? disebut perluasan field dari?. Teorema 2.5.3 (Fraleigh 2000) Misalkan? adalah field dan???? adalah polinomial tak konstan di????. Ada perluasan field? dari? dan ada??? sedemikian sehingga??????. Definisi 2.5.4 (Rosdiana 2009) Jika field E dibangun oleh unsur c atas field F, maka E disebut perluasan dari F dan unsur c disebut unsur primitif atau akar primitif untuk perluasan. Definisi 2.5.5 (Rosdiana 2009) Misal? perluasan field dari field? dan???.? disebut algebraic atas? jika?????? untuk????????? yang tak nol. Teorema 2.5.6 (Rosdiana 2009) Misal?????? dengan??? algebraic atas?, dan deg???????????. Setiap unsur Ε dari?????? dapat dinyatakan secara unik dalam bentuk?????????? GGG?????????, di mana???? G Teorema 2.5.7 (Menezes et al., 1997) 1. Jika F adalah finite field, maka F mempunyai?? elemen untuk? prima dan??? G 2. Untuk setiap perpangkatan bilangan prima??,??? terdapat satu finite field berorder??. Field ini dinotasikan??????. Teorema 2.5.8 (Menezes et al. 1997) Misalkan????????? adalah polinomial irreducible atas? berderajat?. Maka? [x]??i?[?? adalah finite field berorder?? GPenjumlahan dan perkalian polinomial dinyatakan dalam bentuk modulo????g

17 Teorema 2.5.9 (Rosdiana 2009) Misal berderajat m atas??,???? adalah polinomial irredusibel adalah field.?????????????????????????????????g????????? Definisi 2.5.10 (Guritman 2005) Diberikan sembarang himpunan? dan sembarang field?. Pada? didefinisikan aturan penjumlahan dan aturan perkalian skalar vektor.? disebut ruang vektor atas? jika memenuhi aksioma-aksioma berikut. 1.?????????? K????????? G 2.?????????????????????????G 3.?? K??????????????????? G 4.???????? K?????????????, dalam hal ini???? G 5.??????????????? G 6.????????????? K???????? G 7.?????????????????????????G 8.????????????????????????? G 9. (??????,? u?? )???? u =?????G 10.?????????? di mana? adalah unsur identitas dari? terhadap operasi perkalian Definisi 2.5.11 (Rosdiana, 2008) Misalkan? perluasan field dari field? dan??? agebraic atas?. Polinomial irreducible untuk? atas? dari polinomial monik???? dinotasikan dengan irr(???? dan derajat polinomial irreducible untuk? atas? dinotasikan dengan deg(????. Teorema 2.5.12 (Rosdiana 2009) Misal? perluasan field dari field? dan??? algebraic atas?. Jika deg???????, maka???? adalah ruang vektor atas? berdimensi-? dengan basis {??????? GGG??????G Teorema 2.5.13 (Menezes, et al. 1997) Himpunan elemen-elemen tak nol?????? membentuk sebuah grup dibawah operasi perkalian disebut grup perkalian dari??????. dinotasikan dengan???????.

18 Teorema 2.5.14 (Menezes et al. 1997) Grup?????? di mana???? adalah grup siklik multiplikatif berorder??. Karenanya???????????.?? untuk setiap Teorema 2.5.15 (Rosdiana, 2008) Sembarang?????? memuat elemen primitif atau akar primitif. Definisi 2.5.16 (Menezes at.al 1997) Suatu polinomial irreducible?????????? berderajat? disebut polinomial primitif dengan akar?, jika? adalah generator dari???????. 2.6 Masalah Logaritma Diskret Definisi 2.6.1 (Menezes et al. 1997) Misal? adalah grup siklik hingga berorder?. Misal? adalah suatu generator dari?, dan misalkan???. Logaritma diskret dari?, dengan basis?, dinotasikan????? adalah integer tunggal?,?????? 1, sedemikian sehingga???? G Teorema 2.6.2 (Menezes et al. 1997) Jika??adalah generator grup siklik? berorder??????? dan? adalah integer maka????????????????????????? dan?????????????????? Definisi 2.6.3 (Menezes et al. 1997) Diberikan grup siklik hingga? berorder?, suatu generator? dari?, dan???, Masalah logaritma diskret adalah menentukan integer?,??????? sedemikian sehingga???? (mod?) Teorema 2.6.4 (Lestari, 2007) Misalkan? adalah generator dari??, maka untuk Q setiap???? Q terdapat nilai? yang khas pada rentang????????? sedemikian sehingga????????????g