Optimasi Dalam Rancangan Teknik - Optimisasi - Suatu proses untuk memaksimumkan suatu nilai yang diinginkan atau meminimumkan suatu nilai yang tidak diinginkan. Fungsi tujuan : biaya, keuntungan, berat, dsb Fungsi kendala : fungsional, regional hubungan antar variabel spesifikasi Cara? * Evolusi * Intuisi * Trial & error modeling * Algoritma numerikal 1
Metoda Optimisasi Secara Numerik 1. Dengan Kalkulus Differensial (a) Melibatkan 1 Peubah (satu var bebas) Contoh: U = f ( x ) du dx d 2 U dx 2< 0 d 2 U dx 2> 0 Titik ekstrim Ekstrim maksimum Ekstrim minimum Kasus optimisasi ketebalan insulasi Minimisasi biaya ( insulator & bahan bakar ) C = K 1 1/X + K 2 X C : biaya per tahun K 1 : biaya bahan bakar ( per tahun ) K 2 : biaya insulator ( per tahun ) Tidak ada kendala fungsional Kendala regional 25 mm x 100 mm biaya tersedia (M) dc dx = -K 1 X = 1 X 2 + K 2 (min) K 1 K 2 => pertimbangkan kendala regional 2
(b) Melibatkan2 Peubah (dua var bebas) Contoh: U = f(x,y) U x U y } titik ekstrim x 2 D < 0 > 0 } Ekstrim maks x 2 D > 0 > 0 } Ekstrim min D = x 2 y x x y y 2 = 2 U x 2 y 2 - x y y x 3
Kasus Optimisasi bahan =>Minimisasi bahan x y z Akan dibuat kotak tanpa tutup yang volumenya 4 liter. Berapa ukuran kotak agar luas bahan pembuatnya minimum? L = xy + 2 xz + 2 yz Kendala fungsional : xyz = 4 => (3 var 2 var) Z = 4 xy x,y,z > L = xy + y + X L x = Y - X 2 (1) L y = X - y 2 (2) (1) Y - X 2 Y = X 2 substitusikan (1) ke (2) X - X - 2 X 4 1 X 4 X 4 - X X ( X 3 - ) X ( X - 2 ) ( X 2 + 2X + 4 ) 4
Rancangan Teknik X positif X 2 + 2x + 4 definit positif x = 2 X = 2 => y = 2 z = 1 L ( x,y,z ) = L ( 2,2,1 ) min? 2 L 16 = = 2 x 2 x 3 2 L 16 = = 2 y 2 y 3 2 L x y = 1 2 L y x = 1 2 1 D = = 4-1 1 2 = 3 > 0 min. Rancangan Teknik 2. Optimisasi dengan Lagrange Multipliers U = U1 ( x,y,z ) fungsi tujuan kendala fungsional : Q 1 = Q 1 ( x,y,z ) Q n = Q n ( x,y,z ) LE= U 1 (x,y,z) + λ 1 Q 1 (x,y,z) +.. + λ n Q n (x,y,z) Lagrange Expression Great Mathematician Joseph Louis Lagrange (1736-113) was born in Turin-French, got his first professorship when he was 19, became director of the mathematical section of The Berlin Academy in 1766. His important major work was in the calculus of variation, differential equation, approximation theory etc. Pada titik optimum harus dipenuhi : LE ; LE ; LE x y z LE λ 1 LE λ n 5
Rancangan Teknik Instalasi tabung pindah panas pada heat exchanger => Minimisasi biaya (dari ukuran shell) Untuk keperluan pindah panas, dibutuhkan tabung 300 (lineal) m pada susunan sedemikian rupa sehingga tiap 1m 2 penampang shell dapat diisi 20 buah tabung (kendala fungsional) Rancangan Teknik Harga tabung : $ 700 Harga shell : 25 D 2.5 L Biaya ruang : 20 DL Fungsi tujuan : C = 700 + 25 D 2.5 L + 20 DL Kendala fungsional : πd 2 L ( 20 tb/m 2 ) = 300 4 5π D 2 L = 300 300 Q1 = L 5π D 2 LE = 700 + 25 D 2.5 L + 20 DL + λ (L 300 / 5π D 2 ) Fungsi tujuan Kendala fungsional 6
Rancangan Teknik LE = 700 + 25 D 2.5 L + 20 DL + λ( L 300/5πD 2 ) (1) LE D = 62.5 D 1.5 L + 20L + 2 λ 60/ πd 3 (2) LE L = 25 D 2.5 + 20 D + λ (3) LE λ = L - 300 5πD 2 (4) (4) L = 60/ πd 2 (3) λ = - 25 D 2.5 20 D } substisusikan ke (2) 62.5 D 1.5 60/ πd 2 + 20 60/πD 2 + 2 (-25D 2.5 20D)60/πD 3 (masing masing dibagi dengan 60/ πd 2 ) 62.5 D 1.5 + 20 50D 1.5 40 D 1.5 = 1.6 => D = 1.37 m (substitusi D pada kendala fungsional) L = 10.2 m C = $ 1540 Contoh soal Sebuah perkebunan besar bermaksud mengembangkan 2 blok kebun berbentuk bujur sangkar yang berukuran sama, dengan sisi sepanjang S, dan satu blok kebun lain berbentuk lingkaran dengan jari-jari R. Ukuran masing-masing blok akan ditentukan berdasarkan banyaknya bahan yang tersedia untuk pembuatan pagar di sekeliling kebun percobaan tersebut. Jika perkebunan tersebut memiliki bahan untuk pembuatan pagar besi sepanjang total 000 m, dan manajernya bermaksud menggunakan seluruh bahan tersebut untuk memagari kebun percobaan yang akan dibuat, berapa R dan S agar pagar tersebut memagari luasan yang maksimum? 7
Y Z D X Rancangan Teknik 3. Optimisasi dengan Geometric Programming => jika fungsi tujuan merupakan posynomial U = U 1 + U 2 = C 1 x a1 + C 2 x a2 g = ( U 1 /W 1 ) W1 ( U 2 /W 2 ) W2 g* = U * minimum jika W 1 & W 2 tepat * W 1 & W 2 pembobot atas U 1 & U 2 W 1 + W 2 = 1 a 1 W 1 + a 2 W 2 Penyelesaian langsung jika derajat Kesulitan, DK T : jumlah suku ruas kanan N : jumlah variabel DK : T ( N + 1 ) Untuk DK > 0 perlu teknik kondensasi * Polimomial dengan semua suku positif
Rancangan Teknik Contoh masalah insulasi ; Jika U = 120 x + 150.000 X 4 total cost = biaya insulasi + biaya B.B. dengan GP DK = 2 ( 1 + 1 ) U = U 1 + U 2 = C 1 X a1 + C 2 X a2 U 1 = 120 x ; U 2 = C 1 = 120 ; C 2 = 150.000 a 1 = 1 ; a 2 = -4 150.000 X 4 Rancangan Teknik g = ( 120 x / w 1 ) w1 ( 150000/x 4 w 2 ) w2 w 1 + w 2 = 1 a 1 w 1 + a 2 w 2 = w 1 4w 2 w 1 = 4/5 w 2 = 1/5 g* = U* = 120 4/5 4/5 150000 1/5 1 1/5 4/5 X 1/5 X 4 = ( 150 4/5 ) ( 750000 1/5 ) ( X 4/5 ) ( X 4/5 ) = ( 55.06 ) ( 14.96 ) (1) = 24 W1 = U1 * U1*+U2* = U1 * U* 4 = 120 X => X = 5.49 5 24 9
Rancangan Teknik Tugas Kelompok : Disain suatu kotak persegi 4 yang optimal : Fungsi tujuan : U = 40 LWH + 10 LW + 20 LH + 40 HW box L : panjang W : lebar H : tinggi }? Agar U minimum > Pecahkan dengan Geometric Programming 10