MATEMATIKA EKONOMI. Telkom University

Transkripsi

1 MATEMATIKA EKONOMI Telkom University

2 Diferensial Parsial Diferensial parsial Nilai ekstrim: maksimum dan minimum

3 Diferensial Parsial y = f(x,z) = x 3 +5z 2 4x 2 z 6xz 2 +8z 7 f x (x,z) = 3x 2 8xz 6z 2 f z (x,z) = 10z 4x 2 12xz+8 dy = f x (x,z) dx + f z (x,z) dz = ( 3x 2 8xz 6z 2 ) dx + ( 10z 4x 2 12xz+8 ) dz Keterangan: a. Derivatif parsial: f x (x,z) dan f z (x,z) b. Diferensial parsial: f x (x,z) dx dan f z (x,z) dz c. Diferensial total: dy = f x (x,z) dx + f z (x,z) dz

4 Nilai Ekstrim: Maksimum dan Minimum Fungsi y= f(x,z) akan mencapai titik ekstrim jk f x (x,z)=0 dan f z (x,z)=0 Maksimum bila f xx (x,z)<0 dan f zz (x,z)<0 Minimum bila f xx (x,z)>0 dan f zz (x,z)>0

5 Penerapan Ekonomi Permintaan marjinal dan elastisitas permintaan parsial Perusahaan dg 2 produk dan biaya produksi gabungan

6 Permintaan Marjinal Jika barang A dan barang B mempunyai hubungan penggunaan, dengan fungsi permintaan Permintaan marjinal Q da =f(p a,p b ) dan Q db =f(p a,p b ) a. ( Q da / P a ) Perm. marj. A berkenaan dg P a b. ( Q db / P a ) Perm. marj. B berkenaan dg P a c. ( Q da / P b ) Perm. marj. A berkenaan dg P b d. ( Q db / P b ) Perm. marj. B berkenaan dg P b

7 Elastisitas Permintaan Parsial Elastisitas harga permintaan 1. η da = ( Q da / P a )(P a /Q da ) 2. η db = ( Q db / P b )(P b /Q db ) Elastisitas silang permintaan 1. η ab =( Q da / P b )(P b /Q da ) 2. η ba = ( Q db / P a )(P a /Q db )

8 Elastisitas Permintaan Parsial Keterangan: a. Jk η ab, η ba <0 untuk P a dan P b tertentu, mk brg A & B saling melengkapi Penurunan harga salah satu brg akn diikuti oleh kenaikan permintaan atas keduanya b. Jk η ab, η ba >0 untuk P a dan P b tertentu, mk brg A & B saling menggantikan Penurunan harga salah satu brg akn diikuti oleh kenaikan permintaan atas brg tsb & penurunan permintaan atas brg lainnya

9 Contoh Soal Fungsi permintaan akan brg A dan B masing-masing ditunjukkan oleh Q da (P a ) 2 (P b ) 3 1=0 dan Q db (P a ) 3 P b 1=0 Berapakah elastisitas permintaan masing-masing barang dan bagaimana hubungan antara kedua barang tersebut?

10 Jawab Q da (P a ) 2 (P b ) 3 1 =0 Q da (P a ) 2 (P b ) 3 =1 Q da =1/((P a ) 2 (P b ) 3 ) =(P a ) -2 (P b ) -3 Q db (P a ) 3 P b 1 =0 Q db (P a ) 3 P b =1 Q db =1/((P a ) 3 P b ) =(P a ) -3 (P b ) -1

11 Jawab η da = ( Q da / P a )(P a /Q da ) =(-2(P a ) -3 (P b ))P a /((P a ) -2 (P b ) -3 ) =-2 η ab =( Q da / P b )(P b /Q da ) =(-3(P a ) -2 (P b ) -4 )P b /((P a ) -2 (P b ) -3 ) =-3 Barang A elastis krn η da >1 η db = ( Q db / P b )(P b /Q db ) =(-(P a ) -3 (P b ) -2 )P b /((P a ) -3 (P b ) -1 ) =-1 η ba = ( Q db / P a )(P a /Q db ) =(-3(P a ) -4 (P b ) -1 )P a /((P a ) -3 (P b ) -1 ) =-3 Karena η ab, η ba <0, mk brg A & B saling melengkapi Barang B uniter krn η da =1

12 Perusahaan dg 2 Produk dan Biaya Produksi Gabungan Perusahaan menghasilkan dua macam produk Biaya keduanya merupakan biaya produksi gabungan Keuntungan maksimum dihitung menggunakan pendekatan diferensial

13 Perusahaan dg 2 Produk dan Biaya Produksi Gabungan Penerimaan dr memproduksi A: R a =Q a P a =f(q a ) Penerimaan dr memproduksi B: R b =Q b P b =f(q b ) Penerimaan total : TR=R a +R b =f(q a )+f(q b ) Biaya total : TC=f(Q a,q b ) Fungsi keuntungan : π=tr-tc π maksimum bila π =0, yaitu π/ Q a =0 dan π/ Q b =0 (i) Dari (i), Q a dan Q b dapat diperoleh. Selanjutnya nilai π maksimum dapat dihitung.

14 Contoh Soal Biaya total yang dikeluarkan sebuah perusahaan yg memproduksi dua macam barang ditunjukkan TC=(Q a ) 2 +3(Q b ) 2 +Q a Q b Hasil jual masing-masing barang per unit adalah P a =7 sedangkan P b =20. a. Hitunglah berapa unit masing-masing yg hrs diproduksi agar keuntungannya maksimum! b. Hitunglah besar keuntungan maksimum tsb?

15 Jawab a. Q maksimum R a = Q a P a = 7Q a dan R b = Q b P b = 20Q b TR= R a +R b = 7Q a +20Q b π = TR TC = (7Q a +20Q b ) ((Q a ) 2 +3(Q b ) 2 +Q a Q b ) = 7Q a +20Q b (Q a ) 2 3(Q b ) 2 Q a Q b

16 Jawab Agar π maksimum, π =0 i. π/ Q a =0 mk 7 2Q a Q b =0 ii. π/ Q b =0 mk 20 6Q b Q a =0 Dari (i) dan (ii) diperoleh Q a =2 dan Q b =3 b. π maksimum π =7Q a +20Q b (Q a ) 2 3(Q b ) 2 Q a Q b = =37

17 Optimisasi Bersyarat Metode Lagrange Metode Kuhn Tucker

18 Metode Lagrange Penghitungan nilai ekstrim sebuah fungsi yang menghadapi kendala berupa sebuah fungsi lain. Membentuk sebuah fungsi baru, yaitu fungsi Lagrange.

19 Fungsi Lagrange Misalkan hendak dioptimumkan: z=f(x,y) Dengan syarat harus terpenuhi: u=g(x,y) Maka fungsi Lagrangenya: F(x,y,λ)=f(x,y)+ λg(x,y)

20 Optimisasi Fungsi Lagrange Nilai ekstrim dapat dicari dengan memformulasikan derivatif-parsial pertamanya sama dengan 0: Nilai ekstrim tersebut: F x (x,y,λ)=f x +λg x =0 F y (x,y,λ)=f y +λg y =0 Maksimum bila F xx <0 dan F yy <0. Minimum bila F xx >0 dan F yy >0.

21 Contoh Soal Tentukan nilai ekstrim z=xy dengan syarat x+2y=10!

22 Jawab Fungsi Lagrange F(x,y,λ) = xy+λ(x+2y-10) = xy+λx+λ2y-λ10 Syarat agar F(x,y,λ) optimum, F (x,y,λ)=0 F x (x,y,λ)=y+λ=0 diperoleh λ=-y F y (x,y,λ)=x+2λ=0 diperoleh λ=-x/2 Sehingga diperoleh 2y=x Substitusi 2y=x terhadap fungsi kendala x+2y=10, diperoleh y=2,5 dan x=5. Karena F xx= 0 dan F yy= 0 maka f(5;2,5)=12,5

23 LATIHAN Tentukan nilai ekstrim z dari fungsi z = 2x + 2y dengan syarat x 2 + y 2 = 8. Jelaskan jenis nilai ekstrimnya.

24 Jawab 1. Kondisi Kuhn-Tucker a. f x (x,y)-λg x (x,y)=0 yaitu 2x y λ=0 b. f y (x,y)-λg y (x,y)=0 yaitu x+4y λ=0 c. λg(x,y)=0 λ(x+y 8)=0 2. Uji (1.c) a. Jk λ=0 Dari (1.a): 2x y λ=0 2x y 0=0 2x=y Dari (1.b): x+4y λ=0 x+4y 0=0 x=4y Haruslah x=y=0, tetapi kendala x+y 8 tidak terpenuhi.

25 Jawab b. Jk g(x,y)=0 atau y=8 x Dari (1.a): 2x y λ=0 2x (8 x ) λ=0 2x 8+x λ=0 3x 8= λ Dari (1.b): x+4y λ=0 x+4(8 x) λ=0 x+32 4x λ=0 (i) 5x+32=λ....(ii) Subsitusi & eliminasi pers (i) dan (ii), shg diperoleh x=5 dan λ =7 Dengan demikian y=8 x=3 dan f(5,3)=5 2 (5)(3)+2(3) 2 =28 Fungsi f(x,y)=x 2 xy+2y 2 dapat diminumkan oleh x=5 dan y=3 karena kendala x+y 8 terpenuhi oleh kedua nilai x dan y tsb.

26 Penerapan Ekonomi Utilitas marjinal parsial dan keseimbangan konsumsi Produk marjinal parsial dan keseimbangan produksi

27 Utilitas Marjinal Parsial Misalkan konsumen hanya mengkonsumsi brg X dan Y, mk fungsi kepuasan konsumen (utilitas) adalah: Utilitas marjinal parsial U=f(x,y) 1. U/ x=0 utilitas marjinal berkenaan dg brg X 2. U/ y=0 utilitas marjinal berkenaan dg brg Y

28 Keseimbangan Konsumsi Definisi: suatu keadaan atau tingkat kombinasi konsumsi bbrp mcm brg yg memberikan kepuasan optimum Tingkat kombinasi konsumsi yg memberikan kepuasan optimum atau keseimbangan konsumsi dpt dicari dg Metode Lagrange atau Kuhn-Tucker Fungsi utilitas U=f(x,y) dimaksimumkan terhadap fungsi anggaran M=xP x +yp y dengan M adalah pendapatan konsumen

29 Keseimbangan Konsumsi Fungsi Lagrange: F(x,y)=f(x,y)+λ(xP x +yp y M) Agar F maksimum F x (x,y)=0 yaitu f x (x,y)+λp x =0 F y (x,y)=0 yaitu f y (x,y)+λp y =0 (1) (2)

30 Keseimbangan Konsumsi Selanjutnya perhatikan: Utilitas total: U=f(x,y) Utilitas marjinal: MU=U =f (x,y) i. Utilitas marjinal barang X: MU x =f x (x,y) ii. Utilitas marjinal barang Y: MU y =f y (x,y) Menurut (1) dan (2), keseimbangan konsumsi tercapai apabila: (f x (x,y))/p x = (f y (x,y))/p y MU x /P x = MU y /P y

31 Contoh Soal Kepuasan seorang konsumen dari mengkonsumsi brg X dan Y dicerminkan oleh fungsi utilitas U=x 2 y 3. jumlah pendapatan konsumen Rp.1.000,00, harga X dan Y per unit masing-masing 25 rupiah dan 50 rupiah. a. Bentuklah fungsi utilitas marjinal untuk masing-masing barang! b. Berapa utilitas marjinal tersebut jika konsumen mengkonsumsi 14 unit X dan dan 13 unit Y? c. Jelaskan apakah dg mengkonsumsi 14 unit X dan 13 unti Y kepuasan konsumen optimum atau tidak?

32 Jawab a. U=x 2 y 3 MU x = 2xy 3 MU y = 2x 2 y 2 b. Jika x=14 dan y=13 Mu x = 2(14)(13) 3 = Mu y = 3(14) 2 (13) 2 = c. Kepuasan konsumen MU x /P x =61.516/25 =2.460,64 MU y /P y =99.372/50 =1.987,44 Karena MU x /P x MU y /P y maka tidak terjadi keseimbangan konsumsi.

33 Latihan Hana akan membeli kasur dan lemari untuk perlengkapan asrama mahasiswa dengan harga Rp 1.5jt per kasur dan Rp 500rb per lemari. Misalkan fungsi utilitas U = 2k 3 l 3 (k kasur dan l lemari), tentukan: a. Fungsi utilitas marjinal untuk kedua barang! b. Utilitas marjinal untuk pembelian 10 kasur dan 5 lemari! c. Apakah kepuasan konsumen optimum dengan pembelian pada poin (b)?

34 Latihan Jika diketahui fungsi utilitas U = 4xy x 2-3y 2 dan harga barang x = 2, harga barang y = 3 serta pendapatan konsumen adalah 45. Tentukan nilai x dan y yang dapat memaksimumkan utilitas? Berapa besar utilitas tersebut

35 Produk Marjinal Parsial Jika untuk memproduksi suatu brg dianggap hanya ada 2 mcm masukan variabel (katakanlah K dan L), mk fungsi produksinya dinyatakan dengan: Produk marjinal parsial: P=f(k,l) P/ k adl produk marjinal berkenaan dg masukan K P/ l adl produk marjinal berkenaan dg masukan L

36 Keseimbangan Produksi Definisi: suatu keadaan atau tingkat penggunaan kombinasi faktor-faktor produksi scr optimum. Tingkat kombinasi penggunaan masukan yg optimum dpt dicari dg Metode Lagrange Fungsi produksi P=f(k,l) dimaksimumkan terhadap fungsi anggaran M=kP k +lp l dengan M adalah total anggaran untuk membeli masukan K dan L

37 Keseimbangan Produksi Fungsi tujuan yg hendak dioptimumkan: P=f(k,l) Fungsi kendala yg dihadapi: M=kP k +lp l Fungsi baru Lagrange: F(k,l)=f(k,l)+λ(kP k +lp l M) Syarat yg diperlukan agar F(k,l) maksimum: F k (k,l)=0 yaitu f k (k,l)+λp k =0..(1) F l (k,l)=0 yaitu f l (k,l)+λp l =0..(2) Dari (1) dan (2) nilai k dan l bisa didapat. Selanjutnya P maksimum bisa diperoleh.

38 Contoh Soal Seorang produsen mencadangkan Rp.96,00 untuk membeli masukan K dan masukan L. harga per unit masukan K adalah Rp.4,00 dan masukan L adalah Rp.3,00. Fungsi produksinya P=12kl. a. Berapa unit masing-masing masukan seharusnya ia gunakan agar produksinya optimum? b. Berapa unit keluaran yg dihasilkan dengan kombinasi tsb?

39 Jawab Fungsi tujuan yg hendak dioptimumkan: P=12kl Fungsi kendala yg dihadapi: 96=4k+3l Fungsi baru Lagrange: F(k,l)=12kl+λ(4k+3l 96) Agar F(k,l) maksimum: F x (k,l)=0 yaitu 12l 4λ=0 F y (k,l)=0 yaitu 12k 3λ=0..(1)..(2)

40 Jawab Dari (1) dan (2), diperoleh 3l=4k Subsitusi pers tsb ke fungsi kendala: 96 =4k+3l =4k+4k =8k Diperoleh k=12 dan l=16 Sehingga P=12kl= =2304

41 Metode Kuhn Tucker Optimisasi fungsi terhadap sebuah fungsi pertidaksamaan. Bentuk permasalahan: Maksimumkan fungsi tujuan f(x,y) terhadap kendala g(x,y) 0 Minimumkan fungsi tujuan f(x,y) terhadap kendala g(x,y) 0

42 Prosedur Kuhn Tucker (1) 1. Rumuskan permasalahan: Maksimumkan f(x,y) terhadap g(x,y) 0 Minimumkan f(x,y) terhadap g(x,y) 0 2. Tetapkan kondisi Kuhn-Tucker: a. f x (x,y)-λg x (x,y)=0 b. f y (x,y)-λg y (x,y)=0 c. λg(x,y)=0

43 Prosedur Kuhn Tucker (2) 3. Ujilah (2c) untuk λ=0 dan g(x,y)=0 guna menentukan mana yang memenuhi persamaan (2a), persamaan (2b), dan pertidaksamaan kendala g(x,y). 4. Nilai-nilai x dan y yang memenuhi ketiga kondisi tersebut merupakan nilai-nilai yang mengoptimumkan fungsi tujuan f(x,y).

44 Contoh Soal Minimumkan f(x,y)=x 2 xy+2y 2 terhadap x+y 8