TRANSFORMASI LAPLACE Matematika Lanjut 2
Definisi: Transformasi Laplace adalah transformasi dari suatu fungsi waktu f(t), t menjadi fungsi frekuensi F(s). Transformasi dilakukan dengan operasi perkalian dan integrasi yang didefinisikan sebagai berikut: L{f(t)} = f () t e st dt = F(s) Dimana: e = bilangan Euler = 2.71828.. s = konstanta frekuensi kompleks e st Faktor perkalian membuat fungsi F(s) konvergen untuk batasan s tertentu. Notasi L disebut operator Laplace.
Contoh: 1. Tentukan transformasi Laplace dari fungsi 2 f () t t! Jawab: st L{f(t)} = F( s) f ( t) e dt Untuk s >, akan berlaku: 2 st t e dt 2 st st st t e te e 2 3 1 2 2 s s s 1 2 2 Lim b s s s b 2 st st st t e te e 2 3 1 2 sb 2 sb 2 sb 1 2 2 2 Lim b e be e e e e 2 3 2 3 b s s s s s s 2 [ ] 3 s 2 3 s
3 2. Tentukan transformasi Laplace dari fungsi f () t t! Jawab: st F( s) f ( t) e dt 3 st t e dt 3 st 2 st st st 2 3 4 1 3 6 6 t e t e te e s s s s 1 3 6 6 Lim t e t e te e b s s s s 3 st 2 st st st 2 3 4 1 3 sb 3 2 sb 6 sb 6 sb 1 3 6 6 Lim b e b e be e 2 3 4 b s s s s e e e e 2 3 4 s s s s Sekali lagi, untuk s >, akan berlaku: 6 [ ] 4 s 6 4 s 3 2
Dengan demikian, secara umum transformasi Laplace untuk fungsi waktu n f () t t adalah: L{t n n! } = F(s) = ; dengan syarat s > n 1 s Coba anda buktikan!! Bagaimana jika s??
Dengan menggunakan definisi transformasi Laplace dan melakukan operasi integrasi seperti pada contoh-contoh sebelumnya, maka akan diperoleh hasil transformasi Laplace untuk beberapa fungsi umum sebagai berikut: f(t) F(s) n t 1, n1,2,3,... p t, p, p 1 at e, a 1 ; s s n n! 1 ; s s 1 ; s a ( s a) a s ( s a ) s s ( s a ) a ; s a 2 2 ( s a ) sin( at), a ; 2 2 cos( at), a ; 2 2 sinh( at), cosh( at), p 1 s a a ( p 1) ; s s ( s a ) 2 2 ; s a
Kilasan Fungsi Gamma Notasi Г menyatakan fungsi Gamma, yaitu fungsi yang didefinisikan sebagai berikut: Memiliki sifat: p x ( p 1) x e dx; p 1 ( p 1) p( p), 1 2 dan 1 1 Akan dipelajari lebih lanjut dalam bab berikutnya.
Perhatikan contoh berikut: L{2t+t} = 2 st 2 st st t 2 t e dt ( t e 2 te ) dt Dengan menggunakan sifat integral, akan diperoleh: 2 st st t e dt 2te dt 2 st st t e dt 2 te dt = L{t 2 } + L{2t}
Sehingga secara umum untuk sembarang fungsi waktu f(t), g(t) dan sembarang skalar k, berlaku: L{k.f(t) ± g(t)} = k.l{f(t)} ± L{g(t)} Dengan kata lain, transformasi Laplace memenuhi sifat linieritas terhadap penjumlahan dan perkalian skalar. Dan operator Laplace L merupakan operator linier. Sifat linieritas dari transformasi Laplace ini dapat digunakan untuk menghitung hasil transformasi Laplace dari fungsi-fungsi yang melibatkan penjumlahan dua fungsi atau lebih dan perkalian skalar didalamnya.
Transformasi Laplace untuk Fungsi Tangga Satuan Definisi fungsi tangga: Untuk sembarang bilangan riil a, maka fungsi : jika t a ( ta) 1 jika t a disebut fungsi tangga satuan. Transformasi Laplace untuk fungsi tangga s(t-a) adalah: e s as L{ ( t a) } = ; dengan syarat s >
Soal Latihan: Tentukanlah transformasi Laplace dari fungsi-fungsi waktu berikut: 1. 2. 3. 4. 5. f ( t) 3t t 12 4 1 2 4 3 f ( t) t 2 t f t e e 2 2 ( ) 6 t t f ( t) sin 2t 2cos t 1 f t t t ( ) sinh3 cosh 3
Invers dari Transformasi Laplace Hasil transformasi Laplace dari suatu fungsi waktu yaitu F(s) dapat dikembalikan lagi menjadi fungsi asalnya, dengan operator L -1 yang disebut invers dari transformasi Laplace. Secara matematis dapat ditulis: Jika L{f(t)} = F(s), maka L -1 {F(s)} = f(t) Sehingga, L -1 L -1 dst n! f () t t n 1 s as e ( t a) s n
Contoh: 2s3s s L -1 L -1 5 3 = L -1 2 s 3s 5 5 5 s s s 3 1 1 1 2. 3. 5 4 2 s s s 1 5 s 1 4 s = 2. L -1 L -1 3. L -1 1 2 s = = 2 1 3 4! 3! 1! 4 3 t t t 1 1 12 6 4 3 t t 3t
Teorema-Teorema dalam Transformasi Laplace Teorema 1 [Transformasi Laplace dari Turunan Fungsi] L {f (t)} = s. L{f(t)} f() dimana f() adalah nilai awal untuk fungsi f, atau disebut juga initial value Teorema 2 [Transformasi Laplace dari Turunan Fungsi] L{f n (t)} = s n. L{f(t)}-s n-1.f()-s n-2.f ()-s n-3.f ()-.. f (n-1) () Teorema 3 [Teorema Translasi Pertama] Jika L{f(t)} = F(s), maka L {e at f(t)} = F(s-a). Sehingga juga L -1 {F(s-a)} = e at f(t) Teorema 4 [Teorema Translasi Kedua] Jika L{f(t)} = F(s), maka L { ( t a).f(t)} = e -as.f(s) Sehingga juga L -1 {e -as.f(s)} = ( t a).f(t)
Teorema 5 Jika L{f(t)} = F(s), maka L {f(at)} =(1/a). F(s/a) Sehingga juga L -1 {F(s/a)} = a.f(at) Teorema 6 Jika L{f(t)} = F(s), maka untuk n =1,2,3, berlaku L {t n f(t)} = (-1) n.f (n) (s) Sehingga berlaku juga L -1 {F (n) (s)} = (-1) n t n f(t) Teorema 7 [Teorema Fungsi Periodik] Jika f(t) adalah fungsi periodik dengan periode P >, yaitu f(t+p) = f(t) maka P L {t n f(t)} = e st 1 e f () t dt sp
Teorema 8 [Teorema Pengintegralan] Jika L{f(t)} = F(s), maka L t Fs () f ( u) du s Sehingga juga berlaku L -1 Fs () s t f ( u) du Teorema 9 Jika lim t f t t () ada dan L{f(t)} = F(s), maka L f() t F( u) du t s
Teorema 1 [Teorema Konvolusi] Jika L{f(t)} = F(s) dan L{g(t)} = G(s), maka L t f ( u) g( t u) duf( s). G( s) Sehingga juga berlaku: L -1 {F(s).G(s)} = t f ( u) g( t u) du
Soal Latihan: Buku diktat halaman 262-265. Soal nomor 28-33!! Buku diktat halaman 288-27. Soal nomor 39-44!!