Aljabar Linier Elementer Kuliah 26
Materi Kuliah Transformasi Linier Umum Kernel dan Range 10/11/2014 Yanita, Matematika FMIPA Unand 2
Transformasi Linier Umum Definisi Misalkan V dan W adalah ruang vektor dan T adalah fungsi dari V ke W, atau T: V W. Maka T disebut transformasi linier dari V ke W jika semua vektor u dan v pada Vdan semua scalar k, berlaku: a. T u + v = T u + T(v) b. T ku = kt(u) Catatan: Jika V = W maka transformasi linier T: V V disebut sebagai operator linier pada V. 10/11/2014 Yanita, Matematika FMIPA Unand 3
Contoh Misalkan V dan W ruang vector. 1. Fungsi T: V W dengan T v = 0 untuk setiap v V adalah transformasi linier. 2. Fungsi T: V V dengan T v = v untuk setiap v V adalah transformasi linier (= disebut juga sebagai operator identitas) 10/11/2014 Yanita, Matematika FMIPA Unand 4
Contoh 1. Diketahui bahwa P n dan P n+1 adalah ruang vector. Didefinisikan T: P n P n+1 dengan T p x = xp(x) untuk setiap p(x) P n. Maka T adalah transformasi linier. (p x = c 0 + c 1 x + + c n x n. 2. Misalkan V ruang hasilkali dalam dan v 0 adalah sebarang vector tetap di V. Didefinisikan T: V R dengan T v = v, v 0. Maka T adalah transformasi linier. 3. Misalkan V = C(, ) adalah ruang vector yang terdiri dari fungsi-fungsi kontinu pada (, ) dan W = C (, ) adalah ruang vector yang terdiri dari fungsi-fungsi dengan turunan pertama kontinu pada (, ). Didefinisikan T: V Wdengan x T f x = 0 f(x)dx. Maka T adalah transformasi linier. 10/11/2014 Yanita, Matematika FMIPA Unand 5
Sifat-sifat Teorema 8.1.1 Jika T: V W adalah transformasi linier, maka: a. T 0 = 0 b. T v = T(v) untuk semua v V c. T v w = T v T(w) untuk semua v, w V. Misalkan v 1, v 2,, v n adalah vector-vector pada V dan scalar-scalar c 1, c 2,, c n sebarang, maka d. T c 1 v 1 + c 1 v 2 + + c 1 v n = c 1 T v 1 + c 2 T v 2 + + c n T v n 10/11/2014 Yanita, Matematika FMIPA Unand 6
Transformasi Komposisi Definisi Misalkan T 1 : U V dan T 2 : V W adalah transformasi linier, komposisi T 2 dengan T 1, dinotasikan dengan T 2 T 1 (dibaca T 2 lingkaran T 1 ) adalah fungsi yang didefinisikan dengan dimana u U T 2 T 1 u = T 2 T 1 u Catatan: Definisi ini mensyaratkan bahwa domain T 2 (yaitu V) memuat range T 1. 10/11/2014 Yanita, Matematika FMIPA Unand 7
Teorema 8.1.2 Jika T 1 : U V dan T 2 : V W adalah transformasi linier, maka T 2 T 1 : U W juga merupakan tansformasi linier. Contoh: Misalkan T 1 : P 1 P 2 dan T 2 : P 2 P 2 adalah transformasi linier yang didefinisikan dengan T 1 p(x) = xp(x) dan T 2 p(x) = p(2x + 4). Maka komposisi T 2 T 1 : P 1 P 2 diberikan oleh rumus T 2 T 1 p x = T 2 T 1 p(x) = T 2 xp(x) = 2x + 4 p(2x + 4) 10/11/2014 Yanita, Matematika FMIPA Unand 8
Transformasi Linier dari R n ke R m Transformasi linier T: R n R m didefinisikan oleh persamaanpersamaan berbentuk: w 1 = a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n w 2 = a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n (1) w m = a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n Atau T x 1 x 2 x n = w 1 w 2 w m untuk setiap x 1 x 2 x n R n 10/11/2014 Yanita, Matematika FMIPA Unand 9
Notasi Matriks Untuk Transformasi Linier Untuk persamaan (1), dapat dibuat dalam notasi matriks, yaitu w 1 a 11 a 12 a 1n x 1 w 2 a 21 a 21 a 2n x = 2 w m a m1 a m1 a mn x n Atau w = Ax Matriks A = [a ij ] disebut matriks standar untuk transformasi linier T. T disebut perkalian dengan A Berdasarkan ini, notasi T: R n R m ditulis sebagai T A : R n R m, sehingga T A x = Ax Catatan: Jika n = m maka disebut operator linier. 10/11/2014 Yanita, Matematika FMIPA Unand 10
Contoh Transformasi linier T: R 4 R 3 didefinisikan dengan persamaan-persamaan w 1 = 2x 1 3x 2 + x 3 5x 4 w 2 = 4x 1 + x 2 2x 3 + x 4 (*) w 3 = 5x 1 x 2 + 4x 3 Atau T R 4 x 1 x 2 x 3 x 4 = w 1 w 2 w 3 atau T x 1 x 2 x 3 x 4 = 2x 1 3x 2 + x 3 5x 4 4x 1 + x 2 2x 3 + x 4 5x 1 x 2 + 4x 3 untuk setiap x 1 x 2 x 3 x 4 Dapat dinyatakan dalam bentuk matriks sebagai berikut: w 1 w 2 w 3 = 2 3 1 4 1 2 5 1 4 5 1 0 x 1 x 2 x 3 x 4 atau T A x = Ax dengan A = 2 3 1 4 1 2 5 1 4 5 1 0 10/11/2014 Yanita, Matematika FMIPA Unand 11
Kernel dan Range Definisi Misalkan T: V W adalah transformasi linier, maka: a. Himpunan vector-vector pada V yang dipetakan oleh T ke 0 disebut kernel dari T. Ker T = v V T v = 0 b. Himpunan semua vector pada W yang merupakan bayangan karena T dari setidaknya satu buah vector pada Vdisebut range dari T. R T = T(v) v V. Catatan: Range = Image 10/11/2014 Yanita, Matematika FMIPA Unand 12
Contoh Dengan memperhatikan contoh 1. Fungsi T: V W dengan T v = 0 untuk setiap v V adalah transformasi linier. 2. Fungsi T: V V dengan T v = v untuk setiap v V adalah transformasi linier (= disebut juga sebagai operator identitas) Maka 1. Ker T = v V T v = 0 = V dan R T = T(v) v V = 0. 2. Ker T = v V T v = 0 = v V v = 0 = 0 dan R T = T(v) v V = V 10/11/2014 Yanita, Matematika FMIPA Unand 13
Sifat Teorema 8.2.1 Misalkan T: V W adalah transformasi linier, maka: 1. Kernel dari T adalah subruang dari V 2. Range dari T adalah subruang dari W 10/11/2014 Yanita, Matematika FMIPA Unand 14
Definisi Jika T: V W adalah transformasi linier, maka dimensi range dari T disebut sebagai rank dari T dan dinotasikan dengan rank(t). Dimensi kernel dari T disebut nulitas dari T dan dinotasikan dengan nulitas(t). 10/11/2014 Yanita, Matematika FMIPA Unand 15
Contoh Perhatikan Contoh pada slide 11, yaitu x 1 2x x 1 3x 2 + x 3 5x 4 T 2 = 4x x 1 + x 2 2x 3 + x 4 3 x 5x 4 1 x 2 + 4x 3 Tentukan rank dan nullitas dari T A. Penyelesaian: untuk setiap x 1 x 2 x 3 x 4 R 4 Diselesaikan dengan cara menyelesaikan rank dan nullitas dari matriks 2 3 1 5 A = 4 1 2 1 5 1 4 4 10/11/2014 Yanita, Matematika FMIPA Unand 16
Teorema Dimensi untuk Transformasi Linier Teorema 8.2.3 Jika T: V W adalah transformasi linier dari suatu ruang vector berdimensi n ke suatu ruang vector W, maka rank T + nulitas T = n 10/11/2014 Yanita, Matematika FMIPA Unand 17