dari ruang vektor berdimensi hingga V (dimana I adalah suatu himpunan indeks) disebut basis bagi V jika V = span(ψ) dan vektorvektor
|
|
- Suryadi Bambang Sugiarto
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 BAB 3 FRAME Sinyal kontinu dapat kita diskritisasi dengan menggunakan ekspansi vektor. Sifat yang paling esensial untuk melakukan hal tersebut adalah adanya operator yang menjamin bahwa ekspansi vektor yang kita lakukan memang merepresentasikan sinyal kontinu yang diharapkan. Pada bab ini akan dibahas ekspansi vektor oleh operator frame, serta keunggulannya dibandingkan ekspansi oleh basis ortonormal. Untuk selanjutnya, ruang Hilbert yang dibicarakan dalam tugas akhir ini adalah ruang Hilbert separabel. 3.1 Basis Suatu subhimpunan Ψ = {ψ i } i I dari ruang vektor berdimensi hingga V (dimana I adalah suatu himpunan indeks) disebut basis bagi V jika V = span(ψ) dan vektorvektor di Ψ bebas linier. Jika I = {1,..., n}, kita katakan V berdimensi n. Basis Ψ = {ψ i } i I disebut basis ortonormal jika vektor-vektornya ortonormal, yaitu ψ i, ψ j = δ ij. Ekspansi vektor oleh basis ortonormal diberikan oleh : x = i I ψ i, x ψ i ψ i, x disebut koefisien ekspansi dari x. Sebagai contoh sederhana, pandang himpunan di R 2 berikut: Ψ = {ψ 1, ψ 2 } = {(1, 0), (0, 1)}. Jelas bahwa Ψ adalah basis ortonormal dari R 2. Dengan demikian, 12
2 BAB 3. FRAME 13 setiap vektor x = (x 1, x 2 ) R 2 dapat diekspansi oleh Ψ, yaitu: x = (1, 0), (x 1, x 2 ) (1, 0) + (0, 1), (x 1, x 2 ) (0, 1) x = x 1 (1, 0) + x 2 (0, 1) (3.1) Dalam pemrosesan sinyal, misalnya transmisi, koefisien ekspansi dipandang sebagai kode dari sinyal yang bersangkutan. Kode ini kemudian akan ditransmisikan melalui media perantara. Secara umum, kode yang dikirim dapat berbeda dengan kode yang diterima. Dalam kasus ekspansi oleh basis ortonormal, kesalahan ini tidak dapat dideteksi oleh satu kali proses transmisi. Perhatikan (3.1). Misalkan kode yang dikirim adalah x 1 dan x 2, sedangkan kode yang diterima adalah x 1 dan x 3. Proses rekonstruksi dari kode yang diterima diberikan oleh: x 1 (1, 0) + x 3 (0, 1) = (x 1, x 3 ) R 2. Jadi, vektor yang dikirim dan yang diterima sama-sama berada di R 2 sehingga proses transmisi dianggap berhasil. Padahal, (x 1, x 2 ) (x 1, x 3 ). Kesalahan seperti ini tidak dapat dideteksi hanya dengan satu kali proses transmisi, diperlukan beberapa kali pengulangan proses yang akan berdampak negatif pada efisiensi dan efektivitas pemrosesan sinyal. 3.2 Frame Konsep frame merujuk pada perluasan konsep basis yang memungkinkan adanya vektor-vektor basis yang berlebih (redundant). Jadi, berbeda dengan basis secara umum, sistem basis yang bergantung linier ini mengandung vektor-vektor basis yang lebih banyak daripada dimensi ruangnya. Definisi 19. Keluarga fungsi (ϕ i ) i I dalam ruang Hilbert H disebut frame jika terdapat dua konstanta 0 < A B < sehingga untuk setiap x H berlaku A x 2 i I ϕ i, x 2 B x 2 (3.2) A dan B disebut batas-batas frame.
3 BAB 3. FRAME 14 Jika kedua batas frame sama, A = B, maka frame ini disebut frame ketat. Frame Parseval adalah frame ketat dengan batas frame A = 1. Dari (3.2), untuk frame ketat, kita peroleh yang ekuivalen dengan ϕ i, x 2 = A x 2 (3.3) i I i I 1 2 ϕ i, x = x 2 (3.4) A yaitu, keluarga Φ = ( 1 A ϕ i ) i I adalah frame Parseval. Dengan kata lain, sebarang frame ketat dapat diubah menjadi frame Parseval. Dengan A = 1, (3.4) tampak mirip dengan identitas Parseval yang menyebabkan ia dinamai frame Parseval. Pada frame ketat, x H diekspansi seperti berikut ini: x = 1 ϕ i, x ϕ i (3.5) A i I Meskipun persamaan (3.5) mirip dengan ekspansi vektor oleh basis ortonormal, secara umum frame tidak menyatakan suatu basis ortonormal. Sebaliknya, vektorvektor frame boleh bergantung linier dan oleh karena itu tidak harus membentuk basis. Berikut ini akan diberikan contoh bagaimana frame dapat meningkatkan efisiensi dan efektivitas pemrosesan sinyal, khususnya dalam pendeteksian kesalahan. Contoh 2. Ambil H = R 2, e 1 = (1, 0), e 2 = (0, 1), e 3 = ( 1, 0), e 4 = (0, 1). Untuk sebarang v = (v 1, v 2 ) di H, kita peroleh 4 v, e j 2 = v v v v 2 2 j=1 = 2[ v v 2 2 ] = 2 v 2. Jadi {e 1, e 2, e 3, e 4 } adalah frame ketat dengan batas frame A = 2, dan jelas bukan basis ortonormal: keempat vektor e 1, e 2, e 3, e 4 tidak bebas linier. Dari (3.5), kita peroleh bahwa setiap v = (v 1, v 2 ) H diekspansi oleh {e 1, e 2, e 3, e 4 }
4 BAB 3. FRAME 15 menjadi: v = e j, v e j j=1 = 1 2 [v 1(1, 0) + v 2 (0, 1) + ( v 1 )( 1, 0) + ( v 2 )(0, 1)]. Jika kita akan mentransmisikan v, maka yang kita transmisikan adalah barisan kode {v 1, v 2, v 1, v 2 }. Perhatikan bahwa komponen pertama dan kedua masingmasing merupakan balikan dari komponen ketiga dan keempat. Dengan menggunakan sifat ini, kita dapat mendeteksi kesalahan setidaknya hanya dengan satu kali proses transmisi, yaitu jika pada barisan kode yang diterima, komponen pertama bukan balikan dari komponen ketiga atau komponen kedua bukan balikan dari komponen keempat, maka dengan yakin dapat kita katakan bahwa telah terjadi kesalahan dalam proses transmisi. 3.3 Operator Frame Pada bagian ini akan dibahas operator frame secara umum. Definisi 20. Misalkan (ϕ i ) i I adalah frame di ruang Hilbert H. Maka operator frame T adalah operator linier dari H ke l 2 yang didefinisikan oleh: T (x) = ( x, ϕ i ) i I (T (x)) i = x, ϕ i. Dari Definisi 20 diperoleh bahwa T (x) 2 B x 2, yaitu T adalah operator linier terbatas. Maka, terdapat T, adjoint dari T yang dengan mudah dapat dihitung: T (x), y = y, T (x) = y j x, ϕ j = x, y j ϕ j = x, T (y). Jadi, T (y) = y jϕ j.
5 BAB 3. FRAME 16 Operator linier T : H l 2 memetakan x H ke ( x, ϕ j ) l 2. Maka, oleh operator adjoint T : l 2 H, ( x, ϕ j ) dipetakan menjadi: T (( x, ϕ j ) ) = x, ϕ j ϕ j Teorema 11 menyatakan bahwa x = x, ϕ j ϕ j = x jika dan hanya jika ϕ j adalah basis ortonormal di ruang Hilbert H. Telah disebutkan bahwa secara umum, frame bukan basis ortonormal. Dengan demikan, T T (x) = x tidak selalu dipenuhi. Hingga bagian ini, kita telah mengetahui bagaimana vektor diekspansi oleh frame. Akan tetapi, adjoint dari operator frame ternyata tidak memberi jaminan dalam proses rekonstruksi vektor yang telah kita ekspansi. Kita perlu mencari operator lain yang menjamin bahwa vektor yang telah kita ekspansi dapat kita konstruksi ulang menjadi vektor yang sama. Perhatikan bahwa T T (x), x = x, ϕ j 2, maka kita dapat menuliskan (3.2) sebagai: AI T T BI, (3.6) dengan I adalah operator identitas pada H. Dari (3.6), kita peroleh: B 1 I (T T ) 1 A 1 I, yang mengakibatkan B 1 x 2 (T T (x), x) 1 = (T T (ϕ j, x)) 1 2 A 1 x 2, yaitu bahwa ((T T ) 1 (ϕ j )) juga adalah frame. Definisikan ( ϕ j )j J = ((T T ) 1 (ϕ j )), frame dual dari (ϕ j ). Operator frame dari frame dual ini adalah T : H l 2
6 BAB 3. FRAME 17 x j x, ϕ j yang memenuhi T (x) = T (T T ) 1 (x) T T = (T T ) 1 T T = I = T T Jadi, jika kita mengekspansi vektor x oleh T : H l 2 x ( x, ϕ j ) maka T : l 2 H akan merekonstruksi ( x, ϕ j ) menjadi x, yaitu ( x, ϕ j ) x, ϕ j ϕ j = x. Dengan mudah dapat diperiksa bahwa frame dual dari ( ϕ j ) adalah (ϕ j ). Kita dapat menulis ulang T T = I = T T sebagai x, ϕ j ϕ j = x = x, ϕ j ϕ j. (3.7) Ini berarti kita telah memperoleh rumus rekonstruksi untuk x dari x, ϕ j. Dengan demikian, jika diberikan suatu frame (ϕ j ), hal yang perlu dilakukan untuk menerapkan (3.7) adalah menghitung ϕ j = (T T ) 1 (ϕ j ). 3.4 Frame Parseval Secara khusus, frame Parseval memberi kita kemudahan dalam menghitung frame dualnya, karena pada frame Parseval berlaku: ϕ j, x 2 = x 2. Selanjutnya, (3.6) dapat kita tulis ulang menjadi T T = I.
7 BAB 3. FRAME 18 Ini berarti, (T T ) 1 = I. Sehingga, frame dual untuk frame Parseval adalah ( ϕ j ) = ((T T ) 1 (ϕ j )) = (ϕ j ) yaitu frame Parseval itu sendiri. Perhatikan kembali operator frame secara umum. Misalkan S = T T. S(x) = T T (x) = x, ϕ j ϕ j. Karena S memiliki invers, maka kita dapat menuliskan x sebagai komposisi dari S dan inversnya, yaitu x = SS 1 (x) = S 1 (x), ϕ j ϕj. Karena S adalah operator positif, maka terdapat secara tunggal akar kuadrat positif dari S yang juga self-adjoint. Ruas kanan persamaan di atas dapat ditulis sebagai: S 1 (x), ϕ j ϕj = S 1/2 (x), S 1/2 (ϕ j ) ϕ j. Dengan memisalkan g = S 1/2 (x), maka kita peroleh: I(x) = S 1/2 S 1/2 (x) = S 1/2 (g) = g, S 1/2 (ϕ j ) ϕ j. Lebih jauh, kita dapatkan: g = g, S 1/2 (ϕ j ) S 1/2 (ϕ j ), yaitu bahwa S 1/2 (ϕ j ) adalah frame Parseval. Jadi, dari sebarang frame, kita dapat membentuk frame Parseval. berikut ini meringkas pekerjaan yang baru saja kita lakukan. Teorema Teorema 21. Untuk setiap frame (ϕ j ) (dengan frame operator S), terdapat frame Parseval S 1/2 (ϕ j ).
BAB 2 RUANG HILBERT. 2.1 Definisi Ruang Hilbert
BAB 2 RUANG HILBERT Pokok pembicaraan kita dalam tugas akhir ini berpangkal pada teori ruang Hilbert. Untuk itu di bab ini akan diberikan definisi ruang Hilbert dan ciri-cirinya, separabilitas ruang Hilbert,
Lebih terperinciBAB III OPERATOR LINEAR TERBATAS PADA RUANG HILBERT. Operator merupakan salah satu materi yang akan dibahas dalam fungsi
BAB III OPERATOR LINEAR TERBATAS PADA RUANG HILBERT 3.1 Operator linear Operator merupakan salah satu materi yang akan dibahas dalam fungsi real yaitu suatu fungsi dari ruang vektor ke ruang vektor. Ruang
Lebih terperinciDASAR-DASAR TEORI RUANG HILBERT
DASAR-DASAR TEORI RUANG HILBERT Herry P. Suryawan 1 Geometri Ruang Hilbert Definisi 1.1 Ruang vektor kompleks V disebut ruang hasilkali dalam jika ada fungsi (.,.) : V V C sehingga untuk setiap x, y, z
Lebih terperinciREDUNDANSI FRAME DAN PENGARUHNYA PADA DEKOMPOSISI FUNGSI DI RUANG HILBERT
Page 1 of 33 REDUNDANSI FRAME DAN PENGARUHNYA PADA DEKOMPOSISI FUNGSI DI RUANG HILBERT SUZYANNA NRP.1208 201 002 July 13, 2010 ABSTRAK Page 2 of 33 Konsep frame di ruang hasil kali dalam dapat dipandang
Lebih terperinciRENCANA KEGIATAN PERKULIAHAN Kode Mata Kuliah : MAA 526 Nama Mata Kuliah : Analisis Fungsional
Ming gu ke RENCANA KEGIATAN PERKULIAHAN Kode Mata Kuliah : MAA 56 Nama Mata Kuliah : Analisis Fungsional T o p i k S u b T o p i k 1. Ruang Banach - Ruang metrik - Ruang vektor bernorm - Barisan di ruang
Lebih terperinciBAB II TEORI KODING DAN TEORI INVARIAN
BAB II TEORI KODING DAN TEORI INVARIAN Pada bab 1 ini akan dibahas definisi kode, khususnya kode linier atas dan pencacah bobot Hammingnya. Di samping itu, akan dijelaskanan invarian, ring invarian dan
Lebih terperinciAljabar Linear Elementer
BAB I RUANG VEKTOR Pada kuliah Aljabar Matriks kita telah mendiskusikan struktur ruang R 2 dan R 3 beserta semua konsep yang terkait. Pada bab ini kita akan membicarakan struktur yang merupakan bentuk
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Analisis fungsional merupakan salah satu cabang dari kelompok analisis
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Analisis fungsional merupakan salah satu cabang dari kelompok analisis yang membahas operator, operator linear dan sifat-sifatnya. Sebuah pemetaan antar ruang bernorm
Lebih terperinci4.1 Algoritma Ortogonalisasi Gram-Schmidt yang Diperumum
BAB 4 ORTOGONALISASI GRAM-SCHMIDT YANG DIPERUMUM Diberikan sebarang barisan hingga vektor di ruang Hilbert berdimensi hingga. Pada bab ini akan diberikan algoritma untuk menghitung frame Parseval pada
Lebih terperinciKarakteristik Operator Positif Pada Ruang Hilbert
SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 05 A - 4 Karakteristik Operator Positif Pada Ruang Hilbert Gunawan Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Muhammadiyah Purwokerto gunoge@gmailcom
Lebih terperinciUNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA
Ruang Norm Sumanang Muhtar Gozali UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA Definisi. Misalkan suatu ruang vektor atas. Norm pada didefinisikan sebagai fungsi. : yang memenuhi N1. 0 N2. 0 0 N3.,, N4.,, Kita dapat
Lebih terperinciBAB II DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS
BAB II DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS A. OPERASI ELEMENTER TERHADAP BARIS DAN KOLOM SUATU MATRIKS Matriks A = berdimensi mxn dapat dibentuk matriks baru dengan menggandakan perubahan bentuk baris dan/atau
Lebih terperinciBAB III KEKONVERGENAN LEMAH
BAB III KEKONVERGENAN LEMAH Bab ini membahas inti kajian tugas akhir. Di dalamnya akan dibahas mengenai kekonvergenan lemah beserta sifat-sifat yang terkait dengannya. Sifatsifat yang dikaji pada bab ini
Lebih terperinciPENGANTAR ANALISIS FUNGSIONAL
PENGANTAR ANALISIS FUNGSIONAL SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ANALISIS UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2010 2 KATA PENGANTAR Bismillahirrahmanirrahim Segala puji bagi Allah Rabb semesta alam. Shalawat
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Dalam ilmu matematika, banyak pembahasan di bidang analisis dan topologi yang memerlukan pengertian ruang Hilbert. Ruang Hilbert merupakan konsep abstrak yang mendasari
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Ilmu Matematika merupakan salah satu cabang ilmu yang berperan penting dalam berbagai bidang. Salah satu cabang ilmu matematika yang banyak diperbincangkan
Lebih terperinci17. Transformasi Wavelet Kontinu dan Frame
17. Transformasi Wavelet Kontinu dan Frame Pada 16 kita mempelajari basis ortonormal {e 2πimx g(x n)} dengan g = χ [,1). Transformasi f f(x)g(x n)e 2πimx dx, m, n Z, dikenal sebagai transformasi Fourier
Lebih terperinciBAB IV TRANSFORMASI LINEAR. sebuah vektor yang unik di dalam W dengan sebuah vektor di dalam V, maka kita mengatakan F
BAB IV TRANSFORMASI LINEAR 4.. Transformasi Linear Jika V dan W adalah ruang vektor dan F adalah sebuah fungsi yang mengasosiasikan sebuah vektor yang unik di dalam W dengan sebuah vektor di dalam V, maka
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Misalkan diberikan suatu ruang vektor atas lapangan R atau C. Jika
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Misalkan diberikan suatu ruang vektor atas lapangan R atau C. Jika dilengkapi dengan suatu norma., maka dikenal bahwa suatu ruang vektor bernorma. Kemudian
Lebih terperinciAljabar Linier Elementer. Kuliah 26
Aljabar Linier Elementer Kuliah 26 Materi Kuliah Transformasi Linier Umum Kernel dan Range 10/11/2014 Yanita, Matematika FMIPA Unand 2 Transformasi Linier Umum Definisi Misalkan V dan W adalah ruang vektor
Lebih terperinciOPERATOR PADA RUANG BARISAN TERBATAS
OPERATOR PADA RUANG BARISAN TERBATAS Muslim Ansori *,Tiryono 2, Suharsono S 2,Dorrah Azis 2 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung,2 Jln. Soemantri Brodjonegoro No Bandar Lampung email: ansomath@yahoo.com
Lebih terperinciBab I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah
Bab I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Salah satu struktur aljabar yang harus dikuasai oleh seorang matematikawan adalah grup yaitu suatu himpunan tak kosong G yang dilengkapi dengan satu operasi
Lebih terperinciPertama, daftarkan kedua himpunan vektor: himpunan yang merentang diikuti dengan himpunan yang bergantung linear, perhatikan:
Dimensi dari Suatu Ruang Vektor Jika suatu ruang vektor V memiliki suatu himpunan S yang merentang V, maka ukuran dari sembarang himpunan di V yang bebas linier tidak akan melebihi ukuran dari S. Teorema
Lebih terperinciBAB II TEORI DASAR. S, torus, topologi adalah suatu himpunan yang mempunyai topologi, yaitu koleksi dari
BAB II TEORI DASAR Pada skripsi ini, akan dipelajari perbedaan sifat grup fundamental yang dimiliki beberapa ruang topologi, yaitu 2 S, torus, 2 P dan figure eight. Ruang topologi adalah suatu himpunan
Lebih terperinciII. LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan dijelaskan mengenai teori-teori yang berhubungan dengan
II. LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dijelaskan mengenai teori-teori yang berhubungan dengan penelitian ini sehingga dapat dijadikan sebagai landasan berfikir dalam melakukan penelitian dan akan mempermudah
Lebih terperinciPertemuan Ke 2 SISTEM PERSAMAAN LINEAR (SPL) By SUTOYO,ST.,MT
Pertemuan Ke SISTEM PERSAMAAN LINEAR (SPL) By SUTOYO,ST,MT Pendahuluan Suatu sistem persamaan linier (atau himpunan persaman linier simultan) adalah satu set persamaan dari sejumlah unsur yang tak diketahui
Lebih terperinciPROYEKSI ORTHOGONAL PADA RUANG HILBERT. ROSMAN SIREGAR Fakultas Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Jurusan Matematika Universitas Sumatera Utara
PROYEKSI ORTHOGONAL PADA RUANG HILBERT ROSMAN SIREGAR Fakultas Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Jurusan Matematika Universitas Sumatera Utara Pendahuluan Pada umumnya suatu teorema mempunyai ruang lingkup
Lebih terperinciTINJAUAN PUSTAKA. Ruang metrik merupakan ruang abstrak, yaitu ruang yang dibangun oleh
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Ruang Metrik Ruang metrik merupakan ruang abstrak, yaitu ruang yang dibangun oleh aksioma-aksioma tertentu. Ruang metrik merupakan hal yang fundamental dalam analisis fungsional,
Lebih terperinciMateri Aljabar Linear Lanjut
Materi Aljabar Linear Lanjut TRANSFORMASI LINIER DARI R n KE R m ; GEOMETRI TRANSFORMASI LINIER DARI R 2 KE R 2 Disusun oleh: Dwi Lestari, M.Sc email: dwilestari@uny.ac.id JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA
Lebih terperinciKumpulan Soal,,,,,!!!
Kumpulan Soal,,,,,!!! Materi: Matriks & Ruang Vektor 1. BEBAS LINEAR S 3. BASIS DAN DIMENSI O A L 2. KOMBINASI LINEAR NeXt FITRIYANTI NAKUL Page 1 1. BEBAS LINEAR Cakupan materi ini mengkaji tentang himpunan
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
5 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A Matriks 1 Pengertian Matriks Definisi 21 Matriks adalah kumpulan bilangan bilangan yang disusun secara khusus dalam bentuk baris kolom sehingga membentuk empat persegi panjang
Lebih terperinciAljabar Linier Elementer
Aljabar Linier Elementer Kuliah 15 dan 16 11/11/2014 1 Materi Kuliah Kebebasan Linier Basis dan Dimensi 11/11/2014 Yanita, Matematika Unand 2 5.3 Kebebasan Linier Definisi Jika S = v 1, v 2,, v r adalah
Lebih terperinciSOAL-SOAL PEMBAHASAN FUNGSI KOMPOSISI & INVERS FUNGSI
SOAL-SOAL PEMBAHASAN FUNGSI KOMPOSISI & INVERS FUNGSI Fendi Alfi Fauzi 16 April 014 1. Jika f x) p x, p konstanta positif, maka f x + x ) Jawab: f x + 1) f x) p x f x + x ) p x +x f x + 1) p x+1 f x +
Lebih terperinciTRANSFORMASI LINIER (Kajian Fungsi antar Ruang Vektor)
Outline TRANSFORMASI LINIER (Kajian Fungsi antar Ruang Vektor) Drs. Antonius Cahya Prihandoko, M.App.Sc PS. Pendidikan Matematika PS. Sistem Informasi University of Jember Indonesia Jember, 2009 Outline
Lebih terperinciSOLUSI PENDEKATAN TERBAIK SISTEM PERSAMAAN LINEAR TAK KONSISTEN MENGGUNAKAN DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR
Buletin Ilmiah Math. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 03, No. 1 (2014), hal 91 98. SOLUSI PENDEKATAN TERBAIK SISTEM PERSAMAAN LINEAR TAK KONSISTEN MENGGUNAKAN DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR Febrianti,
Lebih terperinciAnalisis Fungsional. Oleh: Dr. Rizky Rosjanuardi, M.Si Jurusan Pendidikan Matematika UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA
Analisis Fungsional Oleh: Dr. Rizky Rosjanuardi, M.Si Jurusan Pendidikan Matematika UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA Lingkup Materi Ruang Metrik dan Ruang Topologi Kelengkapan Ruang Banach Ruang Hilbert
Lebih terperinciTINJAUAN PUSTAKA Analisis Biplot Biasa
TINJAUAN PUSTAKA Analisis Biplot Biasa Analisis biplot merupakan suatu upaya untuk memberikan peragaan grafik dari matriks data dalam suatu plot dengan menumpangtindihkan vektor-vektor dalam ruang berdimensi
Lebih terperinciBeberapa Sifat Operator Self Adjoint dalam Ruang Hilbert
Vol 12, No 2, 153-159, Januari 2016 Beberapa Sifat Operator Self Adjoint dalam Ruang Hilbert Firman Abstrak Misalkan adalah operator linier dengan adalah ruang Hilbert Pada operator linier dikenal istilah
Lebih terperinci9. Teori Aproksimasi
44 Hendra Gunawan 9 Teori Aproksimasi Mulai bab ini tema kita adalah aproksimasi fungsi dan interpolasi Diberikan sebuah fungsi f, baik secara utuh ataupun hanya beberapilai di titik-titik tertentu saja,
Lebih terperinciSATUAN ACARA PERKULIAHAN UNIVERSITAS GUNADARMA
Mata Kuliah : Matematika Diskrit 2 Kode / SKS : IT02 / 3 SKS Program Studi : Sistem Komputer Fakultas : Ilmu Komputer & Teknologi Informasi. Pendahuluan 2. Vektor.. Pengantar mata kuliah aljabar linier.
Lebih terperinciBAB III PEREDUKSIAN RUANG INDIVIDU DENGAN ANALISIS KOMPONEN UTAMA. Analisis komponen utama adalah metode statistika multivariat yang
BAB III PEREDUKSIAN RUANG INDIVIDU DENGAN ANALISIS KOMPONEN UTAMA Analisis komponen utama adalah metode statistika multivariat yang bertujuan untuk mereduksi dimensi data dengan membentuk kombinasi linear
Lebih terperinciyang Dibangun oleh Ukuran Bernilai Proyeksi
SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2015 Integral pada A - 3 yang Dibangun oleh Ukuran Bernilai Proyeksi Arta Ekayanti dan Ch. Rini Indrati. FMIPA Universitas Gadjah Mada arta_ekayanti@ymail.com
Lebih terperinciGARIS-GARIS BESAR PROGRAM PEMBELAJARAN
GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PEMBELAJARAN Mata Kuliah : Aljabar Linear Kode / SKS : TIF-5xxx / 3 SKS Dosen : - Deskripsi Singkat : Mata kuliah ini berisi Sistem persamaan Linier dan Matriks, Determinan, Vektor
Lebih terperinciSATUAN ACARA PERKULIAHAN MATA KULIAH KALKULUS LANJUT A (S1 / TEKNIK INFORMATIKA ) KODE / SKS KD
SATUAN ACARA PERKULIAHAN MATA KULIAH KALKULUS LANJUT A (S1 / TEKNIK INFORMATIKA ) KODE / SKS KD-045315 Mingg u Ke Pokok Bahasan dan TIU Sub-pokok Bahasan dan Sasaran Belajar Cara Pengajaran Media Tugas
Lebih terperinciMODUL DAN KEUJUDAN BASIS PADA MODUL BEBAS
MODUL DAN KEUJUDAN BASIS PADA MODUL BEBAS MODULES AND BASES OF FREE MODULES Dian Mardiani Pendidikan Matematika, STKIP Garut Garut, Indonesia Alfid51@yahoo.com Abstrak Penelitian ini membahas beberapa
Lebih terperinciORTOGONALISASI GRAM-SCHMIDT YANG DIPERUMUM UNTUK MEMBANGUN FRAME PARSEVAL
ORTOGONALISASI GRAM-SCHMIDT YANG DIPERUMUM UNTUK MEMBANGUN FRAME PARSEVAL TUGAS AKHIR Diajukan untuk Memenuhi Persyaratan Sidang Sarjana Program Studi Matematika ITB Disusun oleh: Maria Anestasia 10103014
Lebih terperinciAljabar Linier Elementer. Kuliah 7
Aljabar Linier Elementer Kuliah 7 Materi Kuliah Ekspansi kofaktor Aturan Cramer 2 2.4 Espansi Kofaktor; Aturan Cramer Definisi: Jika A adalah matriks bujur sangkar, maka minor dari entri a ij dinyatakan
Lebih terperinciBAB III MATRIKS HERMITIAN. dan konsep-konsep lainnya yang berkaitan dengan matriks Hermitian. Matriks
BAB III MATRIKS HERMITIAN Pada bab ini, akan dibahas beberapa konsep penting dari matriks Hermitian dan konsep-konsep lainnya yang berkaitan dengan matriks Hermitian. Matriks Hermitian merupakan kelas
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA. tegak, perlu diketahui tentang materi-materi sebagai berikut.
BAB II TINJAUAN PUSTAKA Sebelum pembahasan mengenai irisan bidang datar dengan tabung lingkaran tegak, perlu diketahui tentang materi-materi sebagai berikut. A. Matriks Matriks adalah himpunan skalar (bilangan
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. yang biasanya dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut: =
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Matriks Definisi 2.1 (Lipschutz, 2006): Matriks adalah susunan segiempat dari skalarskalar yang biasanya dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut: Setiap skalar yang terdapat dalam
Lebih terperinciSATUAN ACARA PERKULIAHAN MATA KULIAH : ALJABAR LINIER KODE / SKS : IT / 2 SKS
SATUAN ACARA PERKULIAHAN MATA KULIAH : ALJABAR LINIER KODE / SKS : IT0143231 / 2 SKS Deskripsi: - Mata kuliah ini mempelajari konsep aljabar linear sebagai dasar untuk membuat algoritma dalam permasalahan
Lebih terperinciKALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia
KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia BAB II. FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN Fungsi dan Operasi pada Fungsi Beberapa Fungsi Khusus Limit dan Limit
Lebih terperinciTable of Contents. Table of Contents 1
Table of Contents Table of Contents 1 1 Pendahuluan 2 1.1 Koreksi dan deteksi pola kesalahan....................... 5 1.2 Laju Informasi.................................. 6 1.3 Efek dari penambahan paritas..........................
Lebih terperinciTINJAUAN PUSTAKA. Dalam bab ini akan dibahas beberapa konsep mendasar meliputi ruang vektor,
II. TINJAUAN PUSTAKA Dalam bab ini akan dibahas beberapa konsep mendasar meliputi ruang vektor, ruang Bernorm dan ruang Banach, ruang barisan, operator linear (transformasi linear) serta teorema-teorema
Lebih terperinciSUBRUANG MARKED. Suryoto Jurusan Matematika, FMIPA-UNDIP Semarang. Abstrak
SUBRUANG MARKED Suryoto Jurusan Matematika, FMIPA-UNDIP Semarang Abstrak Misalkan V suatu ruang vektor berdimensi hingga atas lapangan kompleks C, T operator linier nilpoten pada V dan W subruang T-invariant
Lebih terperinciMetode Koefisien Tak Tentu untuk Penyelesaian PD Linier Homogen Tak Homogen orde-2 Matematika Teknik I_SIGIT KUSMARYANTO
Metode Koefisien Tak Tentu untuk Penyelesaian Persamaan Diferensial Linier Tak Homogen orde-2 Solusi PD pada PD Linier Tak Homogen ditentukan dari solusi umum PD Linier Homogen dan PD Linier Tak Homogen.
Lebih terperinci11. FUNGSI MONOTON (DAN FUNGSI KONVEKS)
11. FUNGSI MONOTON (DAN FUNGSI KONVEKS) 11.1 Definisi dan Limit Fungsi Monoton Misalkan f terdefinisi pada suatu himpunan H. Kita katakan bahwa f naik pada H apabila untuk setiap x, y H dengan x < y berlaku
Lebih terperinciII. M A T R I K S ... A... Contoh II.1 : Macam-macam ukuran matriks 2 A. 1 3 Matrik A berukuran 3 x 1. Matriks B berukuran 1 x 3
11 II. M A T R I K S Untuk mencari pemecahan sistem persamaan linier dapat digunakan beberapa cara. Salah satu yang paling mudah adalah dengan menggunakan matriks. Dalam matematika istilah matriks digunakan
Lebih terperinciBAB 4 KEKONSISTENAN PENDUGA DARI FUNGSI SEBARAN DAN FUNGSI KEPEKATAN WAKTU TUNGGU DARI PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT
29 BAB 4 KEKONSISTENAN PENDUGA DARI FUNGSI SEBARAN DAN FUNGSI KEPEKATAN WAKTU TUNGGU DARI PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT 4.1 Perumusan Penduga Misalkan adalah proses Poisson nonhomogen
Lebih terperinciG a a = e = a a. b. Berdasarkan Contoh 1.2 bagian b diperoleh himpunan semua bilangan bulat Z. merupakan grup terhadap penjumlahan bilangan.
2. Grup Definisi 1.3 Suatu grup < G, > adalah himpunan tak-kosong G bersama-sama dengan operasi biner pada G sehingga memenuhi aksioma- aksioma berikut: a. operasi biner bersifat asosiatif, yaitu a, b,
Lebih terperinciPERSAMAAN SCHRÖDINGER TAK BERGANTUNG WAKTU DAN APLIKASINYA PADA SISTEM POTENSIAL 1 D
PERSAMAAN SCHRÖDINGER TAK BERGANTUNG WAKTU DAN APLIKASINYA PADA SISTEM POTENSIAL 1 D Keadaan Stasioner Pada pembahasan sebelumnya mengenai fungsi gelombang, telah dijelaskan bahwa potensial dalam persamaan
Lebih terperinciBAB III MENENTUKAN PRIORITAS DALAM AHP. Wharton School of Business University of Pennsylvania pada sekitar tahun 1970-an
BAB III MENENTUKAN PRIORITAS DALAM AHP Pada bab ini dibahas mengenai AHP yang dikembangkan oleh Thomas L Saaty di Wharton School of Business University of Pennsylvania pada sekitar tahun 970-an dan baru
Lebih terperinciSUMMARY ALJABAR LINEAR
SUMMARY ALJABAR LINEAR SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ANALISIS UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2010 2 KATA PENGANTAR Bismillahirrahmanirrahim Segala puji bagi Allah Rabb semesta alam. Shalawat serta
Lebih terperinciBAB II KAJIAN TEORI. definisi mengenai grup, ring, dan lapangan serta teori-teori pengkodean yang
BAB II KAJIAN TEORI Pada Bab II ini berisi kajian teori. Di bab ini akan dijelaskan beberapa definisi mengenai grup, ring, dan lapangan serta teori-teori pengkodean yang mendasari teori kode BCH. A. Grup
Lebih terperinci7. NILAI-NILAI VEKTOR EIGEN. Nilai Eigen dan Vektor Eigen Diagonalisasi Diagonalisasi Ortogonal
7. NILAI-NILAI VEKTOR EIGEN Nilai Eigen dan Vektor Eigen Diagonalisasi Diagonalisasi Ortogonal Nilai Eigen, Vektor Eigen Diketahui A matriks nxn dan x adalah suatu vektor pada R n, maka biasanya tdk ada
Lebih terperinciBAB 7 TRANSFORMASI LINEAR PADA RUANG VEKTOR
BAB 7 TRANSFORMASI LINEAR PADA RUANG VEKTOR A. DEFINISI DASAR 1. Definisi-1 Suatu pemetaan f dari ruang vektor V ke ruang vektor W adalah aturan perkawanan sedemikian sehingga setiap vektor v V dikawankan
Lebih terperinci7. Transformasi Fourier
Pengantar Analisis Fourier dan eori Aproksimasi 33 7. ransformasi Fourier Pada bab sebelumnya kita telah melihat bahwa setiap fungsi f L 1 ([0, 1] L ([0, 1] dapat dinyatakan sebagai deret Fourier f(x =
Lebih terperinciI. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde 1 (Review)
I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 / 6 Teori Umum Bentuk umum sistem persamaan diferensial linier orde satu
Lebih terperinciTeorema Titik Tetap di Ruang Norm-2 Standar
Teorema Titik Tetap di Ruang Norm- Standar Muh. Nur Universitas Hasanuddin Abstract Pada tulisan ini, akan dipelajari ruang norm- standar, yakni ruang hasil kali dalam yang dilengkapi dengan norm- standar.
Lebih terperinci8. Deret Fourier yang Diperumum dan Hampiran Terbaik di L 2 (a, b)
8. Deret Fourier yang Diperumum dan Hampiran Terbaik di L (a, b) 8.1 Deret Fourier yang Diperumum Jika {ϕ n } 1 adalah basis ortonormal untuk L (a, b) dan f L (a, b), maka f, ϕ n disebut koefisien Fourier
Lebih terperinciSUBRUANG VEKTOR. Disusun Untuk Memenuhi Mata Kuliah Aljabar Linier. Dosen Pembimbing: Abdul Aziz Saefudin, M.Pd
SUBRUANG VEKTOR Disusun Untuk Memenuhi Mata Kuliah Aljabar Linier Dosen Pembimbing: Abdul Aziz Saefudin, M.Pd Disusun Oleh : Kelompok 6/ III A4 1. Nina Octaviani Nugraheni 14144100115 2. Emi Suryani 14144100126
Lebih terperinciBab 2 LANDASAN TEORI
17 Bab 2 LANDASAN TEORI 2.1 Aljabar Matriks 2.1.1 Definisi Matriks Matriks adalah suatu kumpulan angka-angka yang juga sering disebut elemen-elemen yang disusun secara teratur menurut baris dan kolom sehingga
Lebih terperinciCandi Gebang Permai Blok R/6 Yogyakarta Telp. : ; Fax. :
ii Aljabar Linear Kata Pengantar iii iv Aljabar Linear ALJABAR LINEAR Oleh : Setiadji Edisi Pertama Cetakan Pertama, 2008 Hak Cipta 2008 pada penulis, Hak Cipta dilindungi undang-undang. Dilarang memperbanyak
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSATAKA
4 II. TINJAUAN PUSATAKA 2.1 Operator Definisi 2.1.1 (Kreyszig, 1989) Suatu pemetaan pada ruang vektor khususnya ruang bernorma disebut operator. Definisi 2.1.2 (Kreyszig, 1989) Diberikan ruang Bernorm
Lebih terperincimatematika wajib K-13 FUNGSI INVERS K e l a s f -1 Fungsi invers
K- matematika wajib K e l a s X FUNGSI INVERS tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut.. Memahami pengertian invers dan ungsi invers.. Memahami cara
Lebih terperinciBAB III TRANSFORMASI MATRIKS DERET DIRICHLET HOLOMORFIK. A. Transformasi Matriks Mengawetkan Kekonvergenan
BAB III TRANSFORMASI MATRIKS DERET DIRICHLET HOLOMORFIK A. Transformasi Matriks Mengawetkan Kekonvergenan Pada bagian A ini pembahasan dibagi menjadi dua bagian, yang pertama membahas mengenai transformasi
Lebih terperinciSuatu himpunan tak kosong F dengan operasi penjumlahan dan perkalian, dikatakan sebagai field jika untuk setiap,, memenuhi sifat-sifat berikut:
Bagian 5. RUANG VEKTOR 5.1 Lapangan (Field) Suatu himpunan tak kosong F dengan operasi penjumlahan dan perkalian, dikatakan sebagai field jika untuk setiap,, memenuhi sifat-sifat berikut: 1. dan 2., 3.,
Lebih terperinci8.3 Inverse Linear Transformations
8.3 Inverse Linear Transformations Definition One to One Transformasi linear T:V W dikatakan one-to-one jika T memetakan vektor-vektor berbeda pada V ke vektorvektor berbeda pada W. Jika A adalah suatu
Lebih terperinciMemahami konsep dasar turunan fungsi dan menggunakan turunan fungsi pada
5 TURUNAN JUMLAH PERTEMUAN : 4 PERTEMUAN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS : Memahami konsep dasar turunan fungsi dan menggunakan turunan fungsi pada permasalahan yang ada Materi : 5.1 Pendahuluan Ide awal adanya
Lebih terperinciANALISIS NUMERIK LANJUT. Hendra Gunawan, Ph.D. 2006/2007
ANALISIS NUMERIK LANJUT Hendra Gunawan, Ph.D. 2006/2007 BAB I. RUANG LINEAR Pelajari definisi dan contoh: ruang linear (hal. 1-3); subruang (hal. 3); kombinasi linear (hal. 4); bebas/bergantung linear
Lebih terperinciDIAGONALISASI MATRIKS KOMPLEKS
Buletin Ilmiah Mat Stat dan Terapannya (Bimaster) Volume 04, No 3 (2015), hal 337-346 DIAGONALISASI MATRIKS KOMPLEKS Heronimus Hengki, Helmi, Mariatul Kiftiah INTISARI Matriks kompleks merupakan matriks
Lebih terperinci1.1. Definisi, Notasi, dan Operasi Vektor 1.2. Susunan Koordinat Ruang R n 1.3. Vektor di dalam R n 1.4. Persamaan garis lurus dan bidang rata
SATUAN ACARA PERKULIAHAN (SAP) MATA KULIAH : MATEMATIKA INFORMATIKA 2 JURUSAN : S1-TEKNIK INFORMATIKA KODE MATA KULIAH : IT-045214 Referensi : [1]. Yusuf Yahya, D. Suryadi. H.S., Agus S., Matematika untuk
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Pembahasan mendasar mengenai matriks terutama yang berkaitan dengan matriks yang dapat didiagonalisasi telah jelas disajikan dalam referensi yang biasanya digunakan
Lebih terperinciHimpunan dan Fungsi. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Himpunan dan Fungsi Dr Rizky Rosjanuardi P PENDAHULUAN ada modul ini dibahas konsep himpunan dan fungsi Pada Kegiatan Belajar 1 dibahas konsep-konsep dasar dan sifat dari himpunan, sedangkan pada
Lebih terperinciBab 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang
Bab 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Teori himpunan fuzzy banyak diterapkan dalam berbagai disiplin ilmu seperti teori kontrol dan manajemen sains, pemodelan matematika dan berbagai aplikasi dalam bidang
Lebih terperinci8.1 Transformasi Linier Umum. Bukan lagi transformasi R n R m, tetapi transformasi linier dari
8.1 Transformasi Linier Umum Bukan lagi transformasi R n R m, tetapi transformasi linier dari ruang vektor V vektor W. Definisi Jika T: V W adalah suatu fungsi dari suatu ruang vektor V ke ruang vektor
Lebih terperinciBAB 3 PRODUK SILANG DAN PENDAHULUAN ALJABAR TOEPLITZ
BAB 3 PRODUK SILANG DAN PENDAHULUAN ALJABAR TOEPLITZ Pada bab ini diberikan salah satu konsep aljabar-c yaitu produk silang dari suatu sistem dinamik. Selanjutnya dibahas beberapa konsep aljabar Toeplitz
Lebih terperinci3 LIMIT DAN KEKONTINUAN
Menurut Bartle dan Sherbet (994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun oleh berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan, kekonvergenan
Lebih terperinciAljabar Linier. Kuliah
Aljabar Linier Kuliah 10 11 12 Materi Kuliah Transformasi Linier Kernel dan Image dari Transformasi Linier isomorfisma Teorema Rank plus Nullity 1/11/2014 Yanita FMIPA Matematika Unand 2 Transformasi Linier
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI A. Matriks 1. Pengertian Matriks Definisi II.A.1 Matriks didefinisikan sebagai susunan persegi panjang dari bilangan-bilangan yang diatur dalam baris dan kolom. Contoh II.A.1: 9 5
Lebih terperinciBAB II DASAR DASAR TEORI
BAB II DASA DASA TEOI.. uang ruang Vektor.. uang Vektor Umum Defenisi dan sifat sifat sederhana Defenisi : Misalkan V adalah sebarang himpunan benda yang didefenisikan dua operasi, yakni penambahan perkalian
Lebih terperinciAljabar Linier Sistem koordinat, dimensi ruang vektor dan rank
Aljabar Linier Sistem koordinat, dimensi ruang vektor dan rank khozin mu tamar 9 Oktober 2014 PERTEMUAN-4 : SISTEM KOORDINAT, DIMEN- SI RUANG VEKTOR DAN RANK 1. Sistem koordinat (a) Ketunggalan scalar
Lebih terperinciDASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA
(Bekal untuk Para Sarjana dan Magister Matematika) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. November 19, 2007 Secara geometris, f kontinu di suatu titik berarti bahwa grafiknya tidak terputus
Lebih terperinciRING FAKTOR DAN HOMOMORFISMA
BAB 8 RING FAKTOR DAN HOMOMORFISMA Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengenal dan mengaplikasikan sifat-sifat Ring Faktor dan Homomorfisma Ring Tujuan Instruksional
Lebih terperinciSATUAN ACARA PERKULIAHAN MATA KULIAH : ALJABAR LINIER JURUSAN : TEKNIK KOMPUTER JUMLAH SKS : Definisi, Notasi, dan Operasi Vektor 2.
SATUAN ACARA PERKULIAHAN MATA KULIAH : ALJABAR LINIER JURUSAN : TEKNIK KOMPUTER JUMLAH SKS : 3 Minggu Ke Pokok Bahasan dan TIU Sub Pokok Bahasan Sasaran Belajar Cara Pengajaran Media Tugas Referens i 1
Lebih terperinciBAB 3 FUNGSI MONOTON MATRIKS
BAB 3 FUNGSI MONOTON MATRIKS Pada bab ini akan dibahas fungsi monoton matriks. Dalam mengkontruksi fungsi monoton matriks banyak istilah yang harus kita ketahui sebelumnya. Beberapa konsep yang akan dibahas
Lebih terperinciGRUP MONOTETIK TOPOLOGI DISKRIT BERHINGGA PADA DUALITAS PONTRYAGIN
Saintia Matematika Vol. 1, No. 6 (2013), pp. 591 602. GRUP MONOTETIK TOPOLOGI DISKRIT BERHINGGA PADA DUALITAS PONTRYAGIN L.F.D. Bali, Tulus, Mardiningsih Abstrak. Dalam teori grup topologi kompak lokal,
Lebih terperinciWARP PADA SEBUAH SEGITIGA
Jurnal Matematika UNAND Vol. 3 No. 3 Hal. 26 33 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND WARP PADA SEBUAH SEGITIGA ABDUL ZAKY, MAHDHIVAN SYAFWAN Program Studi Matematika, Fakultas Matematika dan
Lebih terperinciANALISIS REAL 1 SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ANALISIS
ANALISIS REAL 1 SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ANALISIS UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2010 2 KATA PENGANTAR Bismillahirrahmanirrahim Segala puji bagi Allah Rabb semesta alam. Shalawat serta salam
Lebih terperinciMATRIKS Nuryanto, ST., MT.
MateMatika ekonomi MATRIKS TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Setelah mempelajari bab ini, anda diharapkan dapat : 1. Pengertian matriks 2. Operasi matriks 3. Jenis matriks 4. Determinan 5. Matriks invers 6.
Lebih terperinci