Algoritma Prodi S1 Pendidikan Matematika UMT April 4, 016
Algoritma Algoritma
Algoritma adalah salah satu metode numerik yang dapat digunakan untuk menentukan nilai x yang meminimumkan suatu fungsi dari f (x). Metode Numerik ini analogi nya sama seperti metode numerik lainnya seperti GR, Fibonacci dan biseksi, namun tentu saja memiliki karakteristik tersendiri
Algoritma Algoritma Dichotomus Algoritima Dichotomus adalah sebagai berikut Diberikan suatu fungsi yang memaks atau memin Z = F (x), dan akan ditentukan nilai x yang memaks atau memin Z = F (x) tersebut
Algoritma Algoritma Dichotomus Algoritima Dichotomus adalah sebagai berikut Diberikan suatu fungsi yang memaks atau memin Z = F (x), dan akan ditentukan nilai x yang memaks atau memin Z = F (x) tersebut Tetapkan konstanta ɛ > 0 dan jarak akhir l(lenght) > 0 yang diinginkan
Algoritma Algoritma Dichotomus Algoritima Dichotomus adalah sebagai berikut Diberikan suatu fungsi yang memaks atau memin Z = F (x), dan akan ditentukan nilai x yang memaks atau memin Z = F (x) tersebut Tetapkan konstanta ɛ > 0 dan jarak akhir l(lenght) > 0 yang diinginkan Tetapkan interval awal [a 1, b 1 ]. Pemilihan interval ini harus mengapit dari nilai x yang memaks atau memin Z = F (x) di atas
Algoritma Algoritma Dichotomus Algoritima Dichotomus adalah sebagai berikut Diberikan suatu fungsi yang memaks atau memin Z = F (x), dan akan ditentukan nilai x yang memaks atau memin Z = F (x) tersebut Tetapkan konstanta ɛ > 0 dan jarak akhir l(lenght) > 0 yang diinginkan Tetapkan interval awal [a 1, b 1 ]. Pemilihan interval ini harus mengapit dari nilai x yang memaks atau memin Z = F (x) di atas Tentukan nilai n terkecil yang memenuhi pertidaksamaan ( 1 )n l b a
Algoritma Algoritma Dichotomus Algoritima Dichotomus adalah sebagai berikut Diberikan suatu fungsi yang memaks atau memin Z = F (x), dan akan ditentukan nilai x yang memaks atau memin Z = F (x) tersebut Tetapkan konstanta ɛ > 0 dan jarak akhir l(lenght) > 0 yang diinginkan Tetapkan interval awal [a 1, b 1 ]. Pemilihan interval ini harus mengapit dari nilai x yang memaks atau memin Z = F (x) di atas Tentukan nilai n terkecil yang memenuhi pertidaksamaan ( 1 )n l b a
Algoritma lanjutan Penentuan λ k dan µ k dilakukan dengan cara: λ k = a k+b k ɛ dan µ k = a k+b k + ɛ
Algoritma lanjutan Penentuan λ k dan µ k dilakukan dengan cara: λ k = a k+b k ɛ dan µ k = a k+b k + ɛ Kondisi 1 Jika F (λ k ) < F (µ k ), pilih a k+1 = a k dan b k+1 = µ k Kondisi Jika F (λ k ) > F (µ k ), pilih a k+1 = λ k dan b k+1 = b k
Algoritma lanjutan Penentuan λ k dan µ k dilakukan dengan cara: λ k = a k+b k ɛ dan µ k = a k+b k + ɛ Kondisi 1 Jika F (λ k ) < F (µ k ), pilih a k+1 = a k dan b k+1 = µ k Kondisi Jika F (λ k ) > F (µ k ), pilih a k+1 = λ k dan b k+1 = b k Iterasi berhenti ketika b k a k < l
Algoritma Tentukan nilai x yang meminimumkan fungsi F (x) = x 5x + 3 dengan selang awal [0, ], ɛ = 0.01 dan l = 0.1 Solusi Tentukan nilai n terkecil yang memenuhi pertidaksamaan ( 1 )n l b a = 1 0, didapatkan n = 5
Algoritma Tentukan nilai x yang meminimumkan fungsi F (x) = x 5x + 3 dengan selang awal [0, ], ɛ = 0.01 dan l = 0.1 Solusi Tentukan nilai n terkecil yang memenuhi pertidaksamaan ( 1 )n l b a = 1 0, didapatkan n = 5 λ 1 = 0+ 0.01 dan µ 1 = 0+ + 0.01, didapatkan λ 1 = 0.99 dan µ 1 = 1.01
Algoritma Tentukan nilai x yang meminimumkan fungsi F (x) = x 5x + 3 dengan selang awal [0, ], ɛ = 0.01 dan l = 0.1 Solusi Tentukan nilai n terkecil yang memenuhi pertidaksamaan ( 1 )n l b a = 1 0, didapatkan n = 5 λ 1 = 0+ 0.01 dan µ 1 = 0+ + 0.01, didapatkan λ 1 = 0.99 dan µ 1 = 1.01 F (λ 1 ) = 0.010 > F (λ ) = 0.0098, dengan demikian a = 0.99 dan b =
Algoritma Tentukan nilai x yang meminimumkan fungsi F (x) = x 5x + 3 dengan selang awal [0, ], ɛ = 0.01 dan l = 0.1 Solusi Tentukan nilai n terkecil yang memenuhi pertidaksamaan ( 1 )n l b a = 1 0, didapatkan n = 5 λ 1 = 0+ 0.01 dan µ 1 = 0+ + 0.01, didapatkan λ 1 = 0.99 dan µ 1 = 1.01 F (λ 1 ) = 0.010 > F (λ ) = 0.0098, dengan demikian a = 0.99 dan b = b 1 a 1 = > 0.1 = l, iterasi dilanjutkan sampai terpenuhinya kondisi b k a k < l
Algoritma lanjutan Hasil perhitungan disajikan dalam tabel di bawah ini: a k b k λ k µ k F (λ k ) F (µ k ) 0 0.99 1.01 0.010-0.0098 0.99 1.485 1.505-0.01455 0.00505 0.99 1.505 1.375 1.575-0.147-0.149.................................... 1.375 1.319375............
Algoritma lanjutan Hasil perhitungan disajikan dalam tabel di bawah ini: a k b k λ k µ k F (λ k ) F (µ k ) 0 0.99 1.01 0.010-0.0098 0.99 1.485 1.505-0.01455 0.00505 0.99 1.505 1.375 1.575-0.147-0.149.................................... 1.375 1.319375............ Terlihat bahwa pada iterasi ke 6, b k a k < 0.1 = l dengan demikian iterasi berhenti dan nilai x yang meminimumkan fungsi F (x) = x 5x + 3 ada pada selang [1.375, 1.319375] dengan hampiran solusi x = 1.784375 dan nilai F (x ) = 0.13383
Algoritma lanjutan Apabila solusi analitik dicari, maka nilai x asli yang yang meminimumkan fungsi F (x) = x 5x + 3 adalah x = 1.5 dengan F (x ) = 0.15. Eror kesalahan nilai hampiran numerik adalah ɛ = 1.784375 1.5 = 0.084375 dengan eror nilai F (x ) terhadap F (x) adalah 0.001617
Algoritma lanjutan Apabila solusi analitik dicari, maka nilai x asli yang yang meminimumkan fungsi F (x) = x 5x + 3 adalah x = 1.5 dengan F (x ) = 0.15. Eror kesalahan nilai hampiran numerik adalah ɛ = 1.784375 1.5 = 0.084375 dengan eror nilai F (x ) terhadap F (x) adalah 0.001617 Tugas Tentukan nilai x yang meminimumkan F (x) = X 3 3X dengan selang awal [0, 4], ɛ = l = 0 + JumlahanNim. Kumpulkan Minggu depan.