METODE NUMERIK SOLUSI PERSAMAAN NON LINEAR

Transkripsi

1 METODE NUMERIK SOLUSI PERSAMAAN NON LINEAR

2 Metode Biseksi Ide awal metode ini adalah metode table, dimana area dibagi menjadi N bagian. Hanya saja metode biseksi ini membagi range menjadi 2 bagian, dari dua bagian ini dipilih bagian mana yang mengandung dan bagian yang tidak mengandung akar dibuang.hal ini dilakukan berulang-ulang hingga diperoleh akar persamaan.

3 Metode Biseksi

4 Metode Biseksi Untuk menggunakan metode biseksi, terlebih dahulu ditentukan batas bawah a dan batas atas b.kemudian dihitung nilai tengah : = a + b Dari nilai ini perlu dilakukan pengecekan keberadaan akar. Secara matematik, suatu range terdapat akar persamaan bila a dan b berlawanan tanda atau dituliskan : a. b < 0 2

5 Metode Biseksi * Dari nilai X yang di dapat perlu dilakukan pengecekkan akar, keberadaan akar yakni : Jika.a < 0, maka b =, b =, a = tetap atau.b < 0, maka a =, a =, b = tetap Setelah diketahui dibagian mana terdapat akar, maka batas bawah dan batas atas di perbaharui sesuai dengan range dari bagian yang mempunyai akar.

6 Akar persamaan biasanya di tentukan berdasarkan iterasi maksimum yang diberikan, tetapi yang paling banyak digunakan yakni dengan menentukaan toleransi error e yang di tetapkan.

7 Algoritma Biseksi

8 Contoh Soal Tentukanlah salah satu akar dari persamaan pangkat tiga berikut ini ; = X 3 + X = 0

9 Tabel Perhitungan Metode Biseksi I i X i+1 k i i+1 K , , ,5 2 1,75-1, , ,5 1,75 1,625-1,875 0, , ,625 1,

10 Tabel Perhitungan Metode Biseksi I i X i+1 k i i+1 K , , , , , , , , ,

11 Keuntungan BISEKSI Selalu berhasil menemukan akar solusi yang dicari, atau dengan kata lain selalu konvergen

12 Kelemahan Biseksi Bekerja sangat lambat. Tidak memandang bahwa sebenarnya akar atau solusi yang dicari telah berada dekat sekali dengan X 0 ataupun X 1

13 Contoh Soal Dimana = a + b 2 Pada iterasi ke 13 diperoleh = 1,73206 dan = Untuk menghentikan iterasi, dapat dilakukan dengan menggunakan toleransi error atau iterasi maksimum. Catatan : Dengan menggunakan metode biseksi dengan tolerasi error dibutuhkan 13 iterasi, semakin teliti kecil toleransi errorny maka semakin besar jumlah iterasi yang dibutuhkan.

14 Contoh Soal Selesaikan persamaan e - +1 = 0, dengan menggunakan range =[-1,0], Dengan toleransi error 0,001 atau iterasi maksimum yang di tentukan adalah 10 iterasi

15 Contoh Soal Cari akar akar penyelesaian dari persamaan non linear dibawah ini dengan metode biseksi : a. X 3 X 2 - X + 1 b. X 3 9X X 6 = 0 c. X6 X 1 = 0

16 Metode Regula Falsi metode pencarian akar persamaan dengan memanaatkan kemiringan dan selisih tinggi dari dua titik batas range. Dua titik a dan b pada ungsi digunakan untuk mengestimasi posisi c dari akar interpolasi linier. Dikenal dengan metode False Position

17 Metode Regula Falsi

18 Metode Regula Falsi b b a b a b = 0 a b a b b b = a b a b b a =

19 Algoritma Metode Regula Falsi

20 Metode Newton Raphson metode pendekatan yang menggunakan satu titik awal dan mendekatinya dengan memperhatikan slope atau gradien pada titik tersebut. Titik pendekatan ke n+1 dituliskan dengan : X n+1 = n - F F 1 n n

21 Metode Newton Raphson

22 Algoritma Metode Newton Raphson 1. Deinisikan ungsi dan 1 2. Tentukan toleransi error e dan iterasi maksimum n 3. Tentukan nilai pendekatan awal 0 4. Hitung 0 dan 0 5. Untuk iterasi I = 1 s/d n atau i > e Hitung i dan 1 i i+ 1 = i 1 i i 6. Akar persamaan adalah nilai i yang terakhir diperoleh.

23 Contoh Soal Selesaikan persamaan - e - = 0 dengan titik pendekatan awal 0 =0 = - e - =1+e - 0 = 0 - e -0 = -1 0 = 1 + e -0 = = 0 = = 1 0 0,5

24 Contoh Soal 1 = -0, dan 1 1 = 1, = 2 = -0, dan 1 2 = 1, = 1 0,5 0, , = = , = -1, Suatu bilangan yang sangat kecil. Sehingga akar persamaan = 0, , , , = = 1 2 0,567143

25 Contoh - e - = 0 0 =0, e =

26 Metode Secant Metode Newton Raphson memerlukan perhitungan turunan ungsi. Tidak semua ungsi mudah dicari turunannya terutama ungsi yang bentuknya rumit. Turunan ungsi dapat dihilangkan dengan cara menggantinya dengan bentuk lain yang ekivalen Modiikasi metode Newton Raphson dinamakan metode Secant.

27 r r+1 r 1 r

28 1 1 ' = = r r r r y ' 1 r r r r = = r r r r r r r

29 Algoritma Metode Secant : Deinisikan ungsi F Deinisikan torelansi error e dan iterasi maksimum n Masukkan dua nilai pendekatan awal yang di antaranya terdapat akar yaitu 0 dan 1, sebaiknya gunakan metode tabel atau grais untuk menjamin titik pendakatannya adalah titik pendekatan yang konvergensinya pada akar persamaan yang diharapkan. Hitung F0 dan F1 sebagai y0 dan y1 Untuk iterasi I = 1 s/d n atau Fi i+ 1 = i y i y i i y i1 i1 hitung y i+1 = F i+1 Akar persamaan adalah nilai yang terakhir.

30 Contoh Soal Penyelesaian e - = 0?