Ujian Tengah Semester

Transkripsi

1 Ujian Tengah Semester Mata Kuliah : PAM 252 Metode Numerik Jurusan : Matematika FMIPA Unand Hari/Tanggal : Selasa/31 Maret 2015 Waktu : (100 menit) Dosen : Dr. Susila Bahri (Kelas A dan C) Dr. Mahdhivan Syafwan (Kelas B): Sifat Ujian : Tutup Buku Petunjuk : Jawablah soal-soal berikut dengan lengkap dan tepat. Diperbolehkan menggunakan kalkulator dengan single-line display. Semua perhitungan yang diminta dalam soal dilakukan sampai 4 angka desimal. Bobot nilai tiap soal ditunjukkan dengan angka-angka di tepi kanan. 1. Jelaskan tentang galat pemotongan dan galat pembulatan dalam metode numerik disertai dengan ilustrasi contohnya masing-masing. [10] 2. Diberikan persamaan. (a) Tunjukkan bahwa persamaan tersebut mempunyai akar dalam selang. [10] (b) Terapkan metode bagi dua untuk menentukan hampiran dari akar persamaan di atas dalam selang dengan torelansi galat sebesar. (Tuliskan rincian hitungannya dan letakkan hasilnya dalam sebuah tabel). [20] 3. Untuk menghitung nilai dari, dibentuk persamaan. Terapkan tiga iterasi metode tali busur (sekan) untuk menentukan hampiran dengan menggunakan tebakan awal dan. (Tuliskan rincian hitungannya dan letakkan hasilnya dalam sebuah tabel). [20] 4. Diberikan SPL ukuran. Tuliskan algoritma untuk mengeliminasi pada persamaan ke- sampai ke- dengan elemen penumpu (lihat ilustrasi di bawah). [15] 5. Gunakan eliminasi Gauss dengan penumpuan parsial untuk menentukan determinan dari [25] matriks di bawah ini (tuliskan rincian proses dan hitungannya dalam setiap langkah). ~ Selamat Ujian ~

2 Ujian Tengah Semester - Solusi Mata Kuliah : PAM 252 Metode Numerik Jurusan : Matematika FMIPA Unand Hari/Tanggal : Selasa/31 Maret 2015 Waktu : (100 menit) Dosen : Dr. Susila Bahri (Kelas A dan C) Dr. Mahdhivan Syafwan (Kelas B): Sifat Ujian : Tutup Buku Petunjuk : Jawablah soal-soal berikut dengan lengkap dan tepat. Diperbolehkan menggunakan kalkulator dengan single-line display. Semua perhitungan yang diminta dalam soal dilakukan sampai 4 angka desimal. Bobot nilai tiap soal ditunjukkan dengan angka-angka di tepi kanan. 1. Jelaskan tentang galat pemotongan dan galat pembulatan dalam metode numerik disertai dengan ilustrasi contohnya masing-masing. [10] (a) Galat pemotongan adalah galat yang timbul akibat pemotongan rumus matematika tertentu untuk menghampiri suatu besaran. Sebagai contoh ilustrasi, misalkan ingin dihitung. Perhatikan bahwa deret Maclaurin dari diberikan oleh Jika suku diaproksimasi sampai sejumlah suku tertentu saja, misalkan hanya sampai, maka diperoleh dengan galat pemotongan sebesar (b) Galat pembulatan adalah galat yang timbul akibat pembulatan bilangan. Biasanya terjadi karena keterbatasan memori atau ketelitian pada alat komputasi yang dipakai. Sebagai contoh ilustrasi, misalkan kita menggunakan komputer/kalkulator dengan kemampuan menyimpan sampai 5 angka desimal. Jika kita ingin menyimpan bilangan, maka bilangan tersebut disimpan menjadi. 2. Diberikan persamaan. (a) Tunjukkan bahwa persamaan tersebut mempunyai akar dalam selang. [10] Bukti: Tulis. Perhatikan bahwa adalah fungsi kontinu (keterangan tambahan: karena fungsi polinom). Selanjutnya perhatikan juga bahwa. Berdasarkan Teorema Bolzano, maka terdapat sedemikian sehingga. Artinya persamaan mempunyai akar dalam selang. (terbukti) Catatan: Soalnya kurang tepat, harusnya dalam selang.

3 (b) Terapkan metode bagi dua untuk menentukan hampiran dari akar persamaan di atas dalam selang dengan torelansi galat sebesar. (Tuliskan rincian hitungannya dan letakkan hasilnya dalam sebuah tabel). [20] Iterasi ke-1 Iterasi ke-2 Iterasi ke-3 Iterasi ke-4 Iterasi ke-5 (berhenti). Jadi akar dari persamaan dihampiri oleh. (yang menjawab dapat dibenarkan). Hasil dalam tabel:

4 3. Untuk menghitung nilai dari, dibentuk persamaan. Terapkan tiga iterasi metode tali busur (sekan) untuk menentukan hampiran dengan menggunakan tebakan awal dan. (Tuliskan rincian hitungannya dan letakkan hasilnya dalam sebuah tabel). [20] Dalam hal ini. Iterasi ke-1 Iterasi ke-2 Iterasi ke-3 Hasil dalam tabel: Diberikan SPL ukuran. Tuliskan algoritma untuk mengeliminasi pada persamaan ke- sampai ke- dengan elemen penumpu (lihat ilustrasi di bawah). [15]

5 Masukan: n ukuran SPL a[i,j] i=1,2,,n; j=1,2,,n+1 Keluaran: a[i,j] i=1,2,,n; j=1,2,,n+1 elemen matriks lengkap elemen matriks lengkap dimana x[1] pada pers ke-2 s.d ke-n sudah tereliminasi Langkah-Langkah: 1. jika abs(a[1,1])<1e-15 maka proses gagal, stop 2. untuk i=2,3,,n p:=a[i,1]/a[1,1] untuk j=1,2,,n+1 a[i,j]:=a[i,j]-p*a[1,j] Catatan: Keluaran juga boleh disimpan dalam variabel lain, misalkan b[i,j], namun mesti didefinisikan dulu di awal langkah. 5. Gunakan eliminasi Gauss dengan penumpuan parsial untuk menentukan determinan dari [25] matriks di bawah ini (tuliskan rincian proses dan hitungannya dalam setiap langkah). Terjadi dua kali pertukaran baris. Jadi