ARAH KONJUGAT. dibuat guna memenuhi tugas UAS Mata Kuliah Metode Numerik Dosen: Rukmono Budi Utomo M.Sc. 4 juni Dadang Supriadi A2

Transkripsi

1 ARAH KONJUGAT dibuat guna memenuhi tugas UAS Mata Kuliah Metode Numerik Dosen: Rukmono Budi Utomo M.Sc. 4 juni 2016 Dadang Supriadi A2 UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH TANGERANG FAKULTAS KEGURUAN ILMU DAN PENDIDIKAN PENDIDIKAN MATEMATIKA 1

2 1 pengertian Arah Konjugasi Metode numerik Arah Konjugasi merupakan salah satu metode numerik yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah optimisasi, yakni menentukan nilai X = {x 1, x 2 } R 2 yang meminimalkan atau memaksimalkan Z = F (X. Metode Arah Konjugasi dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan optimasi yang memiliki fungsi tujuan dengan banyak variabel (vektor. 2 Algoritma Metode Numerik Arah Konjugasi Berikut ini langkah-langkah Algoritma Metode Numerik Arah Konjugasi: 1. Diberikan fungsi Z = F (x 1, x 2 dan akan ditentukan nilai X = {x 1, x 2 } yang meminimumkan atau memaksimumkan nilai Z = F (x 1, x 2 tersebut. 2. Ambil sembarang titik awal X 1 = {x 1, x 2 } R 2 3. Bentuk Matriks Hessian seperti berikut ini: H = ( Z x 2 1 Z x 2 x 1 Z x 1 x 2 Z x Tetapkan arah pencarian d 1 = [ 1 2 ], d 2 = [ a b ] 5. Lalu didapat nilai d 2 dengan cara: d 2 = d t 1 Hd 2 dan sama dengankan nol, sehingga diperoleh nilai d k+1 dengan cara: d k+1 = d t k Hd k+1 6. Tentukan λ k = min Z (X k + λ k d k dan X k+1 = X k + λ k d k 7. Iterasi berhenti ketika norm X k+1 X k < ε dengan ε > 0 yang merupakan suatu konstanta positif untuk menunjukkan kesalahan yang ditoleransi 3 Contoh Penerapan Arah Konjugasi Tentukan nilai X = {x 1, x 2 } yang meminimalkan Z (x 1, x 2 = 3x x 2 2 6x 1 6x 2 x 1 dengan menggunakan metode Arah Konjugasi dengan toleransi kesalahan ε = 0, 01 Ambil sembarang titik awal X 1 = { 1, 2} R 2 2

3 Dibentuk Matriks Hessian H = ( Z x 2 1 Z x 2 x 1 H = ( Z x 1 x 2 Z x 2 2 Tetapkan arah pencarian d 1 dan d 2 dengan [ ] 1 d 1 =, d 0 2 = [ a b ] d 2 = d t 1 Hd 2 [ ] [ 6 6 a 0 = [1 0] 6 6 b 0 = 6a + 6b a = b ] Ambil a=2, b=1, dengan demikian diperoleh [ ] 1 d 2 = 1 Nilai λ 1 dapat ditentukan sebagai berikut: λ 1 = min Z(X 1 + λ 1 d 1 = Z(( 1, 2 + λ 1 (1, 0 = Z ( 1 + λ 1, 2 Substitusikan x 1 dan x 2 ke fungsi Z, lalu didapat nilai: Z ( 1 + λ 1, 2 = λ 1 2 8λ Derivatifkan Z ( 1 + λ 1, 2 dan sama dengankan nol, sehingga diperoleh λ 1 = 4. Lalu substitusikan nilai λ 1 = 4 ke: X 2 = X 1 + λ 1 d 1 = (3, 2 Karena X 2 X 1 = 4 > 0, 01 = ε maka iterasi dilanjutkan Dengan langkah yang sama, diperoleh λ 2 = 0 dan X 3 = (3, 2. Berdasarkan hal tersebut X 3 X 2 = 0 > 0, 01 = ε maka iterasi berhenti Dengan demikian iterasi STOP. Jadi X yang meminimumkan fungsi Z dalam soal ini adalah X 3 = (0 CATATAN Perlu diperhatikan bahwa X 3 X 2 = 0, hal ini mengindikasikan bahwa kesalahan perhitungan numerik error ε = 0 yang menandakan bahwa solusi numeriknya juga merupakan solusi analitiknya. 3

4 4 Contoh Penyelesaian Dengan Analitik Tentukan nilai X = {x 1, x 2 } yang meminimalkan Z (x 1, x 2 = 3x x 2 2 6x 1 6x 2 x 1 dengan menggunakan metode Analitik dengan toleransi kesalahan ε = 0, 01 Solusi Z x 1 = 6x 1 6 6x 2 Karena Z x 1 Selanjutnya Z x 2 = 6x 2 6x 1 = 0 dan juga karena Z x 2 = 0, maka diperoleh x 1 = 1 dan x 2 = 1. 2 Z x 1 2 = 6 2 Z x 2 2 = 6 Karena 2 Z x 2 1 = 6 > 0 dan 2 Z x 2 1 ( 2 Z Z x 2 1 ( x 1 x 2 2 = 0 = 0 maka terbukti bahwa titik 3,2 merupakan titik yang meminimumkan fungsi Z = x 1, x 2 dalam soal ini. 4

5 Metode Stepest Descent Siti Eliyawati June 10, Pengertian Metode Numerik Stepest Descent merupakan salah satu metode numerik yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah optimisasi,yakni menentukan nilai X = {x 1, x 2 } R 2 yang meminimalkan atau memaksimalkan Z = F (X Metode untuk menyelesaikan masalah optimisasi ini juga dapat menggunakan metode aksial, Hooke and Jeeve atau Roosenberg Tentu saja setiap metode numerik memiliki algoritma yang berbeda dengan kecepatan tingkat efektivitas pencarian O (Big Ohyang berbeda serta tingkat kesalahan yang berbeda pula. 2 Algoritma Stepest Descent Algoritma Stepest Descent dapat dijelaskan sebagai berikut: Diberikan fungsi Z = F (x 1, x 2 dan akan ditentukan nilai X = {x 1, x 2 } yang meminimalkan atau memaksimalkan nilai Z = F (x 1, x 2 tersebut Tentukan sebarang titik awal X 1 = {x 1, x 2 } dan konstanta > 0 ( t Bentuk Z(x 1, x 2 = Z x 1, Z x 2 dan tentukan Z(X1 dan lakukan untuk Z(X k jika norm Z (x k kuarang dari, maka iterasi stop jika tidak lanjutkan tentukan d k = Z(x k, λ k = minz(x k + λ k d k dan x k+1 = x k + λ k d k 3 Contoh Penggunaan Stepest Descent Tentukan nilai X = {x 1, x 2 } yang meminimlkan Z = (x 1, x 2 = 12x 1 4x 2 +3x x 2 2 dengan menggunakan metode Stepest Descent Solusi Iterasi 1 1

6 Berdasarkan soal diatas, dapat ditentukan ( x1 Z(x 1, x 2 = 4 + 4x 2 Ambil sebarang titik awal X 1 = {1, 1} R 2, berdasarkan hal demikian Z(1, 1 = ( 6 karena Z (1, 1 = 6 > 0, 01 =, maka berdasarkan hal tersebut iterasi dilanjutkan 0 Selanjutnya dapat ditentukan ( 6 d 1 = Z(1, 1 = 0 dan dengan λ 1 = min Z(X 1 + λ 1 d 1 = Z(1, 1 + (6λ 1, 0 = Z(1 + 6λ 1, 1 Z(1 + 6λ 1, 1 = 12(1 + 6λ 1 4(1 + 3(1 + 6λ (1 2 = 12 72λ λ λ = 108λ λ 1 11 Untuk memperoleh nilai λ 1, derivatifkan Z(1 + 6λ 1, 1 dan sama dengankan nol, sehingga diperoleh Z = (1 + 6λ 1 = 216λ λ 1 36 = 0 λ 1 = 1 6 Iterasi II selanjutnya X 2 dapat dicari dengan dengan dan Z (2, 1 = 0 < 0, 01 = X 2 = X 1 + λ 1 d 1 = (1, (6.0 = (1, 1 + (1, 0 = (2, 1 Z(2, 1 = 0 0 2

7 Berdasarkan hal tersebut karena Z (2, 1 = 0 < 0, 01 =, maka iterasi berhenti sehingga solusi numerik nilai {X 1, X 2 } yang meminimalkan Z{X 1, X 2 } dalam soal ini adalah X 2 = 2, 1 catatan Perlu di ingat bahwa, karena Z (2, 1 = 0 hal ini mengindikasikan masalah kesalahan perhitungan numerik error = 0 yang mengindikasikan bahwa solusi numerik juga merupakan solusi analitiknya. 3

8 METODE NUMERIK HOOKE AND JEEVES Disusun untuk memenuhi Tugas Ujian Akhir Semester Metodi Numerik June 8, 2016 Disusun Oleh : Febri Eka Putra S FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH TANGERANG Jln. Perintis Kemerdekaan I/33 Cikokol Kota Tangerang Tahun Ajaran

9 BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Metode Numerik adalah teknik untuk menyelesaikan permasalahan-permasalahan yang diformulasikan secara matematik dengan cara operasi hitung. Terdapat banyak jenis metode numerik, namun pada dasarnya masing-masing metode tersebut memiliki karakteristik umum, yaitu selalu mencangkup sejumlah kalkulasi aritmatika. Menurut Chapra dan Chanale, metode numerik adalah teknik dimana masalah matematika diformulasikan sedemikian rupa sehingga dapat diselesaikan oleh pengoprasian aritmatika. Menurut Rochmad, metode numerik adalah suatu teknik untuk memformulasikan masalah matematika sehingga dapat diselesaikan dengan operasi aritmatika yang terdiri dari operasi tambah, kurang, kali, dan bagi. Menurut Drs. Heri Sutarno, metode numerik merupakan alat untuk memecahkan masalah matematika yang sangat handal. Banyak permasalahan teknik yang mustahil dapat diselesaikan secara analitik, karena kita sering dihadapkan pada sistem-sistem persamaan yang besar, tidak linear dan cakupan yang kompleks, dapat diselesaikan dengan metode numerik. Alasan memakai Metode Numerik ini karena tidak semua permasalahan matematis atau perhitungan matematis dapat diselesaikan dengan mudah. Bahkan dalam prinsip matematik, suatu persoalan matematik yang paling pertama dilihat adalah apakah persoalan itu memiliki penyelesaian atau tidak. Jadi, jika suatu persoalan sudah sangat sulit atau tidak mungkin diselesaikan dengan metode matematis (analitik maka kita dapat menggunkan metode numerik sebagai alternativ penyelesaian persoalan tersebut. B. Rumusan Masalah Definisi Metode Numerik Hooke and Jeeves? Apa algoritma Metode Numerik Hooke and Jeeves? Bagaimana contoh soal dari Metode Numerik Hooke and Jeeves? 2

10 C. Tujuan Mengetahui definisi dari Metode Numerik Hooke and Jeeves Mengetahui algoritma Metode Numerik Hooke and Jeeves Mengetahui cara penyelesaian soal dari Metode Numerik Hooke and Jeeves D. Manfaat Adapun tujuan dari penulisan makalah ini adalah untuk memenuhi tugas Ujian Akhir Semester dari mata kuliah Metode Numerik di Semester 6. Manfaat yang dapat di ambil adalah kita dapat menambah wawasan sebagai bekal ilmu sebagai seorang pendidik, bagi pembaca khususnya Mahasiswa/i Universitas Muhammadiyah Tangerang dan juga agar dapat sebagai referensi bacaan tentang Metode Numerik Hooke and Jeeves. 3

11 BAB II PEMBAHASAN Secara umum, fungsi yang akan dimaksimumkan atau diminimumkan disebut fungsi objektif. Sedangkan, harga-harga yang berpengaruh dan bisa dipilih disebut variabel. Secara analitik, nilai maksimum dan minimum dari suatu persamaan: y = f(x dapat diperoleh harga x yang memenuhi : dy df dx = 0 atau dx = 0 Untuk fungsi yang sulit digunakan diturunkan atau mempunyai turunan yang sulit dicari akarnya, proses optimasi ini dapat dilakukan secara numerik. 1 Definisi Metode Numerik Hooke and Jeeves Metode Hooke and Jeeves atau sering ditulis metode Hooke and Jeeves merupakan metode lanjutan dari Metode Numerik Aksial. Metode Hooke and Jeeves digunakan untuk menemuan minimum atau maksimum dari suatu fungsi. metode ini dapat digunakan untuk menyelesaikan masalh optimisasi linear maupun non linear. Metode Numerik Hooke and Jeeves merupakan suatu metode numerik untuk mencari lokasi minimum dari fungsi Z, adalah metode pencarian langsung (direct search yang diajukan oleh Hooke dan Jeeves. Metode ini memanfaatkan dua langkah, yaitu langkah penjelajahan untuk menentukan arah pencarian yang tepat dan langkah pola untuk mempercepat pencarian. Pencarian langsung belum tentu menemukan minimum yang merupakan global minimum. Untuk memperbesar peluang itu, digunakan kombinasi berupa pencarian langsung dan secara acak yang memanfaatkan parameter-parameter tersebut. Berbeda dengan metode numerik Aksial yang hanya digunakan untuk menyelesaikan masalah optimisasi 1 variabel. Metode Numerik Hooke and Jeeves dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah optimisasi yang melibatkan n (misal dibatasi hanya untuk n = 2, artinya hanya untuk R 2 variabel bebas. 2 Algoritma Metode Numerik Hooke and Jeeves 1. Diberikan fungsi f(x 1, x 2 dan diminta untuk menentukan (x 1, x 2 yang memaksimalkan atau meminimalkan fungsi f(x 1, x Tentukan titik awal x = (x 1, x 2 ɛr 2 yang merupakan selang sembarang. 3. Tentukan ɛ > 0 yang dimana ɛ merupakan suatu kostanta toleransi kesalahan. 4

12 4. Tentukan d 1 = (1, 0; d 2 = (0, 1 dimana d 1 dan d 2 merupakan arah pencarian. 5. Iterasi berhenti ketika (x k x k 1 < ɛ. 3 Contoh Soal Tentukan nilai x = x 1, x 2 yang meminimalkan f(x 1, x 2 = 4x x2 2 2x 1 2x 2 dengan toleransi kesalahan ɛ = 0, 1. penyelesaian. Ambil sembarang titik x = 0, 1 d 1 = (1, 0 dan d 2 = (0, 1 Iterasi 1 λ 1 = minf(x 1 + λ 1 d 1 λ 1 = minf((0, 1 + λ 1 (1, 0 λ 1 = minf((0, 1 + λ 1, 0 λ 1 = minf(λ 1, 1 Selanjutnya, substitusikan kedalam fungsi f(x f(λ 1, 1 = 4λ (12 2λ 1 2(1 f(λ 1, 1 = 4λ λ 1 2 Akan dicari λ 1 dan disama dengankan nol f (λ 1, 1 = 0 8λ 1 2 = 0 8λ 1 = 2 λ 1 = 2 8 = 1 4 5

13 Selanjutnya, dicari nilai x 2 x 2 = x 1 + λ 1 d 1 x 2 = (0, (1, 0 x 2 = (0, 1 + ( 1 4, 0 x 2 = ( 1 4, 1 Akan dicek d = x 2 x 1 d = ( 1 4, 1 (0, 1 d = ( (1 1 2 d = ( d = 1 16 = 1 4 = 0, 25 > 0, 1 (iterasi dilanjutkan Iterasi 2 λ 2 = minf(x 2 + λ 2 d 2 λ 2 = minf(( 1 4, 1 + λ 2(0, 1 λ 2 = minf(( 1 4, 1 + (0, λ 2 λ 2 = minf( 1 4, 1 + λ 2 Selanjutnya, substitusikan kedalam fungsi f(x f( 1 4, 1 + λ 2 = 4( (1 + λ (1 + λ 2 f( 1 4, 1 + λ 2 = (1 + 2λ 2 + λ λ 2 f( 1 4, 1 + λ 2 = λ 2 + 3λ λ 2 6

14 Akan dicari λ 2 dan disama dengankan nol f ( 1 4, 1 + λ 2 = 0 6λ = 0 6λ 2 = 4 λ 2 = 4 6 = 2 3 Selanjutnya, dicari nilai x 3 x 3 = x 2 + λ 2 d 2 x 3 = ( 1 4 2, (0, 1 x 3 = ( 1 2 4, 1 + (0, 3 x 3 = ( 1 4, 1 3 Akan dicek d = x 3 x 2 d = ( 1 4, 1 3 ( 1 4, 1 d = ( ( d = 0 + ( d = 2 3 = 0, 67 > 0, 1 (iterasi dilanjutkan Iterasi 3 λ 3 = minf(x 3 + λ 3 d 3 λ 3 = minf(( 1 4, λ 3(1, 0 λ 3 = minf(( 1 4, (λ 3, 0 λ 3 = minf( λ 3, 1 3 7

15 Selanjutnya, substitusikan kedalam fungsi f(x f( λ 3, 1 3 = 4( λ ( 1 3 2( λ 3 2( 2 3 f ( λ 3, 3 4 = 4( λ 3 + λ λ f ( λ 3, 3 4 = λ 3 + 4λ λ Akan dicari λ 3 dan disama dengankan nol f ( λ 3, 1 3 = 0 8λ 3 = 0 λ 3 = 0 Selanjutnya, dicari nilai x 4 x 4 = x 3 + λ 3 d 3 x 4 = ( 1 4, (1, 0 x 4 = ( 1 4, (0, 0 x 4 = ( 1 4, 1 3 Akan dicek d = x 4 x 3 d = ( 1 4, 1 3 ( 1 4, 1 3 d = ( 1 4, ( 1 4, d = d = 0 = 0 < 0, 1 (iterasi dihentikan 8

16 Akan dibuktikan dengan Cara Analitik f x 1 = 8x 1 2 ; f x 2 = 6x 2 2 untuk mencari titik kritis maka f x 1 f x 1 = 0 8x 1 2 = 0 8x 1 = 2 = 0 dan f x 2 = 0 x 1 = 2 8 = 1 4 sedangkan f x 2 = 0 6x 2 2 = 0 6x 2 = 2 x 2 = 2 6 = 1 3 Jadi, titik kritisnya adalah ( 1 4, 1 3 Akan dicek ( 1 4, 1 3 memninimalkan fungsi f(x = (x 1, x 2 2 f x f x 2 2 = 8 = 6 2 f x 1 x 2 = 0 2 f x 2 1 ( 2 f - ( 2 f x 2 x 2 1 x 2 = = 48 > 0 Maka terukti bahwa titik kritis dari ( 1 4, 1 3 merupakan suatu fungsi yang meminimalkan fungsi f(x. 9

17 BAB III PENUTUP A. Kesimpulan Dengan mempelajari metode numerik diharapkan mahasiswa mampu menangani sistem persamaan besar ketaklinieran dan geometri yang rumit yang dalam masalah rekayasa tidak mungkin dipecahkan secara analitis. Selain itu, mahasiswa diharapkan mengetahui secara singkat dan jelas teori matematika yang mendasari paket program, mampu merancang program sendiri sesuai permasalahan dihadapi pada masalah rekayasa dan dapat menangani masalah rekayasa yang tidak dapat ditangani secara analitis. Di samping itu, metode numerik cocok untuk menggambarkan ketangguhan dan keterbatasan komputer menangani error. Suatu nilai hampiran (aproksimasi dari masalah serta menyediakan sarana memperkuat pengertian matematika mahasiswa. Karena salah satu kegunaannya adalah menyederhanakan matematika yang lebih tinggi menjadi operasi-operasi matematika yang mendasar. Pada metode numerik, kita hanya memperoleh solusi yang mendekati solusi sejati sehingga solusi numerik dinamakan juga solusi hampiran atau solusi pendekatan, namun solusi hampiran dapat dibuat seteliti yang kita inginkan. Solusi hampiran jelas tidak tepat sama dengan solusi sejati, sehingga ada selisih antara keduanya. Selisih inilah yang disebut dengan error. Semakin kecil galat yang diperoleh berarti semakin dekat solusi hampiran yang diperoleh dengan solusi sejatinya. 10

18 Metode Numerik Roosenberg Ika Komala Sari A2 June 9, Pengertian Metode Numerik Roosenberg Salah satu metode pencarian titik minimum dengan cara numerik adalah menggunakan Metode Numerik Roosenberg. Metode Numerik Roosenberg adalah salah satu metode numerik yang digunakan untuk menyelesaikan masalah optimisasi, yakni menentukan nilai x = (x 1, x 2 R 2 yang meminimumkan atau memaksimumkan Z = F(x. Optimasi ini diperkenalkan oleh Howard H. Rosenbrock pada tahun Algoritma Metode Numerik Roosenberg 1. Diberikan fungsi Z = F(x 1, x 2 dan akan ditentukan nilai x = (x 1, x 2 yang meminimumkan atau memaksimumkan nilai Z = F(x 1, x 2 tersebut 2. Ambil sebarang titik awal x 1 = (x 1, x 2 3. Tetapkan ɛ > 0 suatu konstanta positif yang menunjukkan kesalahan yang ditoleransi 4. Tentukan arah pencarian direction d 1 = (1,0 dan d 2 = (0,1 5. Cari λ k dengan cara λ k = x k + λ k d k 6. Nilai x k+1 ditentukan dengan cara x k+1 = x k + λ k d k 7. Iterasi berhenti ketika norm x k+1 x k < ɛ Catatan Untuk arah pencarian direction d k Untuk arah k ganjil d 1 = (1, 0 d 2k+1 = b k b k 1

19 Untuk arah k genap d 2 = (0, 1 d 2k = b k b k b k = λ k d k + λ k+1 d k+1 3 Contoh Soal dan Penyelesaiannya Tentukan nilai x = (x 1, x 2 yang meminimumkan Z(x 1, x 2 = 6x x2 2 4x 1 24x 2 dengan Metode Roosenberg dengan toleransi kesalahan ɛ = 0, 01! Solusi : Penyelesaian dengan Metode Roosenberg Ambil sembarang titik awal x = (0, 2 R 2 Arah pencarian d 1 = (1, 0 dan d 2 = (0, 1 serta ɛ = 0, 01 Iterasi 1 Nilai λ 1 dapat dicari sebagai berikut: λ 1 = min Z (x 1 + λ 1 d 1 λ 1 = min Z ((0, 2 + λ 1 (1, 0 λ 1 = min Z ((0, 2 + λ 1, 0 λ 1 = min Z (λ 1, 2 Derivatkan Z (λ 1, 2 dan sama dengankan 0. Z (λ 1, 2 = 6(λ (2 2 4(λ 1 24(2 Z (λ 1, 2 = 6λ λ 1 48 Z (λ 1, 2 = 6λ 2 1 4λ 1 12 Z (λ 1, 2 = 12λ λ 1 4 = 0, maka λ 1 = 4 12 = 1 3 Berdasarkan hal tersebut, cari nilai x 2. x 2 = x 1 + λ 1 d 1 x 2 = (0, (1, 0 x 2 = (0, 2 + ( 1 3, 0 x 2 = ( 1 3, 2 Akan di cek norm x 2 x 1 < ɛ ( (2 2 2 > 0, > 0, 01, maka (iterasi di lanjutkan. Iterasi 2 2

20 Nilai λ 2 dapat dicari sebagai berikut: λ 2 = min Z (x 2 + λ 2 d 2 λ 2 = min Z (( 1 3, 2 + λ 2(0, 1 λ 2 = min Z (( 1 3, 2 + 0, λ 2 λ 2 = min Z ( 1 3, 2 + λ 2 Derivatkan Z ( 1 3, 2 + λ 2 dan sama dengankan 0. Z ( 1 3, 2 + λ 2 = 6( (2 + λ 2 2 4( (2 + λ 2 Z ( 1 3, 2 + λ 2 = λ 2 + 9λ λ 2 Z ( 1 3, 2 + λ 2 = 9λ λ Z ( 1 3, 2 + λ 2 = 18λ λ = 0, maka λ 2 = = 2 3 Berdasarkan hal tersebut, cari nilai x 3. x 3 = x 2 + λ 2 d 2 x 3 = ( 1 3, 2 + ( 2 3 (0, 1 x 3 = ( 1 3, 2 + (0, 2 3 x 3 = ( 1 3, 4 3 Akan di cek norm x 3 x 2 < ɛ ( ( > 0, > 0, 01, maka (iterasi di lanjutkan. Iterasi 3 Tentukan d 3 untuk k=1 (arah ganjil dengan cara sebagai berikut: d 2k+1 = b k b k b 1 = λ 1 d 1 + λ 2 d 2 b 1 = 1 3 (1, 0 + ( 2 3 (0, 1 b 1 = ( 1 3, 0 + (0, 2 3 b 1 = ( 1 3, 2 3 b 1 = ( ( b 1 = b 1 = 5 3 d 3 = b 1 b 1 d 3 = ( 1 3,

21 d 3 = 5 5, Nilai λ 3 dapat dicari sebagai berikut: λ 3 = min Z (x 3 + λ 3 d 3 λ 3 = min Z ( 1 3, λ 3( 5 5, λ 3 = min Z (( 1 3, ( 5 5 λ 3, λ 3 λ 3 = min Z ( λ 3, λ 3 Derivatkan Z ( λ 3, λ 3 dan sama dengankan 0. Z ( λ 3, λ 3 = 6( λ ( λ 3 2 4( λ 3 24( λ 3 = 42 5 λ Z ( λ 3, λ 3 = 84 5 λ λ 3 = 0, maka λ 3 = 0 Berdasarkan hal tersebut, cari nilai x 4. x 4 = x 3 + λ 3 d 3 x 4 = ( 1 3, ( 5 5, x 4 = ( 1 3, (0, 0 x 4 = ( 1 3, 4 3 Akan di cek norm x 4 x 3 < ɛ ( ( > 0, 01 0 < 0, 01, maka iterasi berhenti Dengan demikian iterasi berhenti, sehingga nilai x yang meminimumkan fungsi Z dalam soal ini adalah x 4 = ( 1 3, 4 3. Penyelesaian dengan Analitik Z(x 1, x 2 = 6x x2 2 4x 1 24x 2 Z x 1 Z = 12x 1 4 ; x 2 = 18x 2 24 = 0 dan juga karena Z x 2 Karena Z x 1 12x 1 4 = 0, x 1 = 4 12 = x 2 24 = 0, x 2 = = 4 3 = 0, maka 2 f x 2 1 = 12 ; 2 f x 2 2 Karena 2 f x 2 1 = 18 ; 2 f x 1 x 2 = 0 = 12 > 0 dan 2 f x 2 1 ( 2 f - ( 2 f x 2 x 2 1 x 2 = = 216 > 0, maka terbukti bahwa titik ( 1 3, 4 3 merupakan titik yang meminimumkan fungsi Z = (x 1, x 2 dalam soal ini. 4

22 METODE STEEPEST DESCENT Dosen Pengampu: Rukmono Budi Utomo M.Sc. Disusun Oleh : Linna Tri Lestari (6A Diajukan sebagai tugas Ujian Akhir Semester (UAS Metode Numerik UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH TANGERANG FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN MATEMATIKA June 5,

23 KATA PENGANTAR Alhamdulillah, segala puji dan syukur kami panjatkan kepada Allah SWT. atas rahmat dan karunia yang telah diberikan-nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan makalah ini dengan baik. Dalam penulisan makalah ini dibuat dalam format latex document untuk memenuhi tugas ujian akhir semester mata kuliah metode numerik semester 6 di Universitas Muhammadiyah Tangerang. Selain itu saya juga berharap makalah ini mampu memberikan kontribusi, memberi gambaran ataupun menjadi referensi kita dalam mengenal dan mempelajari materi yang akan dibahas. Saya menyadari bahwa masih jauh dari kesempurnaan, oleh karena itu kritik dan saran yang membangun sangat saya harapkan demi kesempurnaan di masa yang akan datang. Tangerang, 05 Juni 2016 Linna Tri Lestari 2

24 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Metode numerik adalah teknik untuk menyelesaikan permasalahan-permasalahan yang diformulasikan secara metematik dengan cara operasi hitungan (arithmetic. Penggunaan metode numerik dilakukan karena tidak semua permasalahan matematis atau perhitungan matematis dapat diselesaikan dengan mudah. Bahkan dalam prinsip matematik suatu persoalan matematik yang paling pertama dilihat adalah apakah persoalan itu memiliki penyelesaian atau tidak. Jadi, jika suatu persoalan sudah sangat sulit atau tidak mungkin diselesaikan dengan metode matematis (analitik maka kita dapat menggunakan metode nmerik sebagai alternative penyelesaian persoalan tersebut. Dalam perkuliahan metode numerik di semester 6 lalu kita telah membahas berbagai macam metode numerik mulai dari metode golden ratio, metode bisection,metode fibonacci, metode newton, metode aksial, dichotomus, secant, hooke and jeeves, arah konjugasi, roosenberg. Dalam makalah ini yang akan dibahas adalah metode steepest descent, yang erat kaitannya dengan metode aksial, hooke and jeeves, arah konjugasi serta roosenberg. 1.2 Rumusan Masalah Menjelaskan pengertian dari metode numerik steepest descent Menjelaskan algoritma metode steepest descent Menjelaskan contoh penyelesaian metode steepest descent 1.3 Tujuan dan Manfaat Adapun tujuan dari penulisan makalah ini adalah untuk memenuhi tugas ujian akhir semester mata kuliah metode numerik di semester 6, serta berbagi pengetahuan kepada para pembaca mengenai materi yang akan dibahas yaitu metode steepest descent. Manfaat yang dapat petik dari tujuan tersebut yaitu diharapkan dapat menambah wawasan para pembaca dan khususnya untuk mahasiswa-mahasiswi Universitas Muhammadiyah Tangerang. 3

25 2 PEMBAHASAN 2.1 Pengertian Metode Steepest Descent Metode steepest descent juga dikenal dengan nama metode gradient. Metode steepest descent merupakan prosedur paling mendasar yang diperkenalkan oleh Cauchy pada tahun Metode ini adalah metode gradien sederhana yang menggunakan vektor gradien untuk menentukan arah pencarian pada setiap iterasi. Kemudian, dari arah tersebut akan ditentukan besar ukuran langkahnya. Metode Steepest Descent digunakan untuk mencari minimum suatu fungsi, yakni dengan menggunakan nilai negatif dari gradient fungsi disuatu titik. Digunakan nilai negatif dari gradient karena gradien memberikan nilai kenaikan yang semakin besar. Dengan nilai negatif dari gradient maka akan diperoleh nilai penurunan yang semakin besar. Metode Steepest Descent digunakan untuk mencari minimum suatu fungsi, yakni dngan menggunakan nilai negatif dari gradient fungsi disuatu titik. Digunakan nilai negatif dari gradient karena gradien memberikan nilai kenaikan yang semakin besar. Dengan nilai negatif dari gradient maka akan diperoleh nilai penurunan yang semakin besar. Pada beberapa kasus, metode steepest descent ini memiliki kekonvergenan yang lambat menuju solusi optimum karena langkahnya berbentuk zig-zag. Metode ini dapat digunakan untuk optimasi tanpa kendala maupun dengan kendala. 2.2 Algoritma Metode Steepest Descent 1. Diberikan fungsi Z = f(x untuk mencari nilai (x 1, x 2, XɛR 2 yang meminimumkan fungsi tersebut 2. Tentukan titik awal x k = (x 1, x 2, ε atau error yang ditentukan dan ambil k = 0 3. Dihitung gradient dari f(x pada titik x k,yaitu f( x k. 4. Kemudian dihitung f( x k. Jika f( x k < ε, iterasi dihentikan dan pilih x k sebagai titik minimum. Jika sebaliknya, lanjutkan ke langkah selanjutnya. 5. Misalkan arah pencarian pada titik x k adalah d k = f(x k. 6. Dihitung λ k = minz( x k + λ k d k 7. Derivatifkan Z( x k + λ k d k dan sama dengankan nol untuk menentukan nilai λ k 8. Dihitung x k+1 dimana x k+1 = x k + λ k d k 9. Iterasi terhenti ketika f( x k < ɛ Kondisi f( x k = 0 kerapkali tidak dapat dengan tetap dipenuhi karena perhitungan secara numerik dari gradient akan jarang tetap sama dengan nol. Dalam kasus demikian maka sebagai kriteria penghentian adalah dengan mengecek norma gradient, yakni jika norma f( x k dari gradient adalah tidak lebih besar dari suatu toleransi yang diberikan maka iterasi dihentikan sebagai alternatif dapat juga dilakukan dengan menghitung perbedaan nilai mutlak f( x k+1 ( x k diantara nilai objektif untuk setiap dua iterasi brturut-turut. Jika perbedaannya tidak lebih besar dari suatu toleransi yang diberikan maka perhitungan diberikan. Agar lebih mudah dalam memahami algoritma metode Stepeest Descent,dibawah ini diberikan diagram alir metode Stepeest Descent. 4

26 Figure 1: Diagram alir algoritma Steepest Descent 2.3 Contoh Soal 1. Diberikan suatu fungsi f(x = 6x x x 1x 2 12x 1 2x 2 + 6, dengan menggunakan metode steepest descent, tentukan pembuat minimum jika diberikan titik awal (0, 1 dan ε = 0.2 Penyelesaian: ITERASI I Dari soal diketahui fungsi awal f(x = 6x x x 1x 2 12x 1 2x dengan titik awal x 0 = (0, 1 dan ε = 0.2 Untuk mencari f( x 0, terlebih dahulu turunan dari x 1 terhadap fungsi f(x dan turunan x 2 terhadap fungsi f(x yaitu sebagai berikut: F x 1 = 12x 1 + 2x 2 12 F x 2 = 4x 2 + 2x 1 2 maka : f( x 0 = f(x 1, x 2 = f(0, 1 f( x 0 = ( 12(0 + 2(1 12 4(1 + 2(0 2 = ( 10 2 Kemudian cek apakah f( x ( 0 < ε atau > ε yaitu dengan cara : 10 f(x 0 = f(0, 1 = 2 = ( (2 2 = 104 = 10.2 Karena f( x 0 = 10.2 > ε maka memenuhi syarat bahwa iterasi dilanjutkan. 5

27 Mencari arah pencarian ( d 0 10 d 0 = f( x 0 = = 2 ( 10 2 Mencari nilai λ 0 yaitu dengan cara sebagai berikut : λ 0 = min Z( x 0 + λ 0 d 0 λ 0 = min Z((0, 1 + λ 0 (10, 2 λ 0 = min Z((0, 1 + (10λ 0, 2λ 0 λ 0 = min Z(10λ 0, 2λ Subtitusikan Z(10λ 0, 2λ ke persamaan awal: Z(10λ 0, 2λ 0 +1 = 6(10λ ( 2λ ((10λ 0 ( 2λ (10λ 0 2( 2λ Z(10λ 0, 2λ = 600λ λ2 0 8λ λ λ 0 120λ 0 + 4λ Z(10λ 0, 2λ = 568λ λ Kemudian turunkan fungsi Z diatas dan sama dengankan nol untuk memperoleh λ 0 : dz dλ 0 = λ = λ 0 = 104 λ 0 = = λ Mencari nilai x 1 x 1 = x 0 + λ 0 d 0 x 1 = (0, (10, 2 x 1 = (0, 1 + (0.92, x 1 = (0.92, ITERASI II Dari iterasi 1 diperoleh x 1 = (0.92, Mencari f( x 1 : f( x 1 = f(0.92, ( ( ( f( x 1 = 4( ( = ( = ( Kemudian cek apakah ( f( x 1 < ε atau > ε yaitu dengan cara : f(0.92, = = ( ( = = = Karena f( x 1 = > ε maka memenuhi syarat bahwa iterasi dilanjutkan. Mencari arah pencarian ( d d 1 = f( x 1 = = ( Mencari nilai λ 1 yaitu dengan cara sebagai berikut : λ 1 = min Z( x 1 + λ 1 d 1 λ 1 = min Z((0.92, λ 1 ( 0.672,

28 λ 1 = min Z((0.92, ( 0.672λ 1, 3.104λ 1 λ 1 = min Z( 0.672λ , 3.104λ Subtitusikan Z( 0.672λ , 3.104λ ke persamaan awal: Z( 0.672λ , 3.104λ = 6( 0.672λ ( 3.104λ ( 0.672λ ( 3.104λ ( 0.672λ ( 3.104λ = λ λ Kemudian turunkan fungsi Z diatas dan sama dengankan nol untuk memperoleh λ 1 : dz dλ 1 = λ = λ 1 = λ 1 = = λ Mencari nilai x 2 x 2 = x 1 + λ 1 d 1 x 2 = (0.92, ( 0.672, x 2 = (0.92, ( , x 2 = ( , x 2 (0.79, ITERASI III Dari iterasi 2 diperoleh x 2 = (0.79, Mencari f( x 2 : f( x 2 = f(0.79, ( ( ( f( x 2 = 4( ( = ( = ( Kemudian cek apakah ( f( x 2 < ε atau > ε yaitu dengan cara : f(0.92, = = ( ( = = = Karena f( x 2 = > ε maka memenuhi syarat bahwa iterasi dilanjutkan. Mencari arah pencarian ( d d 2 = f( x 2 = = ( Mencari nilai λ 2 yaitu dengan cara sebagai berikut : λ 2 = min Z( x 2 + λ 2 d 2 λ 2 = min Z((0.79, λ 2 (2.086, λ 2 = min Z((0.79, (2.086λ 2, 0.448λ 2 λ 2 = min Z(2.086λ , 0.448λ Subtitusikan Z(2.086λ , 0.448λ ke persamaan awal : Z(2.086λ , 0.448λ

29 = 6(2.086λ ( 0.448λ (2.086λ ( 0.448λ (2.086λ ( 0.448λ = λ λ Kemudian turunkan fungsi Z diatas dan sama dengankan nol untuk memperoleh λ 2 dz dλ 2 = λ = λ 2 = λ 2 = = λ Mencari nilai x 3 x 3 = x 2 + λ 2 d 2 x 3 = (0.79, (2.086, x 3 = (0.79, ( , x 3 = ( , x 3 (0.96, 0.18 ITERASI IV Dari iterasi 3 diperoleh x 3 = (0.96, 0.18 Mencari f( x 3 : f( x 3 = f(0.96, ( ( ( f( x 3 = 4( ( = ( = ( Kemudian cek apakah ( f( x 3 < ε atau > ε yaitu dengan cara : 0.12 f(0.96, 0.18 = 0.64 = ( ( = = = Karena f( x 3 = > ε maka memenuhi syarat bahwa iterasi dilanjutkan. Mencari arah pencarian ( d d 3 = f( x 2 = 0.64 = ( Mencari nilai λ 3 yaitu dengan cara sebagai berikut : λ 3 = min Z( x 3 + λ 3 d 3 λ 3 = min Z((0.96, λ 3 (0.12, 0.64 λ 3 = min Z((0.96, (0.12λ 3, 0.64λ 3 λ 3 = min Z(0.12λ , 0.64λ Subtitusikan Z(0.12λ , 0.64λ ke persamaan awal : Z(0.12λ , 0.64λ = 6(0.12λ ( 0.64λ (0.12λ ( 0.64λ (0.12λ ( 0.64λ = 0.752λ λ Kemudian turunkan fungsi Z diatas dan sama dengankan nol untuk memperoleh λ 3 dz dλ 3 = 0 8

30 1.504λ = λ 3 = λ 3 = = λ Mencari nilai x 4 x 4 = x 3 + λ 3 d 3 x 4 = (0.96, (0.12, 0.64 x 4 = (0.96, (0.033, x 4 = ( , x 4 (0.994, ITERASI V Dari iterasi 4 diperoleh x 4 = (0.994, Mencari f( x 4 : f( x 4 = f(0.79, ( ( ( f( x 4 = 4( ( = ( = ( Kemudian cek apakah f( x ( 4 < ε atau > ε yaitu dengan cara : f(0.994, = 0.01 = ( ( = = = Karena f( x 4 = < ε maka telah memenuhi syarat bahwa iterasi terhenti. TABEL ITERASI Dengan konsep Metode Numerik Steepest Descent maka perhitungan yang diperoleh disajikan dalam tabel dibawah ini: Iterasi x k f(x k f(x k d k λ k x k I (0,1 (-10, > ε (10, (0.92, II (0.92, (0.672, > ε (-0.672, (0.79, III (0.79, (-2.086, > ε (2.086, (0.96, 0.18 IV (0.96, 0.18 (-0.12, > ε (0.12, (0.994, V (0.994, (-0.071, < ε

31 Pembuktian dengan Cara Analitik Dalam soal diberikan fungsi f(x = 6x x x 1x 2 12x 1 2x 2 + 6, kemudian dicari turunan-turunan sebagai berikut: f x 1 = 12x 1 + 2x (1 f x 2 = 4x 2 + 2x (2 = 12 2 f x f x 2 2 = 4 2 f x 1 x 2 = 2 Dicari nilai δ yaitu : δ = ( 2 f x ( 2 f 2 1 x 2 2 ( 2 f x 1 x 2 2 = 12(4 2 2 = 48 4 = 44 > 0 Kemudian untuk mencari nilai (x 1, x 2 menggunakan cara sebagai berikut : Eliminasi Persamaan (1 dan (2 12x 1 + 2x 2 12 = x 1 + 4x 2 24 = 0 4x 2 + 2x 1 2 = 0 1 4x 2 + 2x 1 2 = 0 diperoleh nilai : 22x 1 22 = 0 x 1 = 1 Subtitusi nilai x 1 = 1 ke persamaan (2: 4x 2 + 2x 1 2 = 0 4x 2 + 2(1 2 = 0 4x 2 = 0 x 2 = 0 Karena δ > 0 maka terbukti bahwa (x 1, x 2 = (1, 0 meminimumkan fungsi Z = f(x tersebut. 10

32 3 PENUTUP 3.1 Kesimpulan Metode steepest descent merupakan metode numerik untuk menyelesaikan persoalan optimasi dalam mencari nilai nilai (x 1, x 2 yang meminimumkan fungsi Z=f(X dengan xɛr 2 (dalam perkuliahan ini dibatasi sampai R 2. Penyelesaian optimasinya berkaitan dengan metode aksial, hook and jeeves, arah konjugasi serta roosenberg. Hanya saja metode steepest descent ini dalam mencari arah pencariannya berbeda dari pada yang lainnya. 3.2 Saran Setelah membahas materi mengenai metode steepest descent, penulis mengharapkan agar selanjutnya materi ini dapat dikembangkan lebih jauh terutama mengenai penyelesaian optimasinya. Karena belajar mengenai metode ini tidaklah mudah, dibutuhkan pemahaman yang mendalam untuk dapat menyelesaikannnya. Penulis berharap agar makalah ini dapat memberikan manfaat kepada setiap orang yang membacanya. Kritik dan saran yang membangun sangat penulis perlukan demi kesempurnaan di masa yang akan datang. 11

33 Metode Numerik Stepest Descent LUPINIA FITIA A2 Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang June 8, 2016 BAB I PENDAHULUAN Metode Numerik adalah teknik-teknik yang digunakan untuk memformulasikan masalah matematis agar dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan. Metode Numerik cocok untuk menggambarkan ketangguhan dan keterbatasan komputer menangani galat (error suatu nilai hampiran (aproksimasi dari masalah. Beberapa definisi Metode Numerik yang dikemukakan oleh para ahli matematika, diantaranya : Metode Numerik adalah teknik-teknik yang digunakan untuk merumuskan masalah matematika agar dapat diselesaikan hanya dengan operasi hitungan, yang terdiri dari operasi tambah, kurang, kali, dan bagi (Ibraheem dan Hisyam Metode Numerik adalah suatu teknik untuk memformulasikan masalah matematika sehingga dapat diselesaikan dengan operasi tambah, kurang, kali, dan bagi (Rochmad Metode Numerik adalah teknik dimana masalah matematika diformulasikan sedemikian rupa sehingga dapat diselesaikan oleh pengoperasian matematika (Chapra dan Chanale Dalam Metode Numerik terdapat beberapa metode untuk menyelesaikan persamaan karakteristik seperti Polinomial Tinggi, Sinusioda, Eksponensial, Logaritmik, atau Kombinasi dari persamaan-persamaan tersebut. Ada beberapa macam Metode Numerik seperti Metode Biseksi, Metode Newton-Raphson, Metode Secant, Metode Aksial, Arah Konjugant, dan lainnya lagi masih banyak metode-metode dalam mengerjakan suatu permasalahan. Yang akan dibahas pada artikel ini adalah Metode Steepest Ascent/Descent. Pada artikel ini, kita akan mengetahui definisi dari Metode Steepest Ascent/Descent, 1

34 Perbedaan dari Metode tersebut, Algoritma. Penulis juga akan memberikan suatu contoh serta cara penyelesaian soal menggunakan Metode Steepest Ascent/Descent Rumusan Masalah Definisi Metode Numerik Steepest Ascent/Descent Algoritma pada Metode Numerik Steepest Ascent/Descent Soal dan Pembahasannya Tujuan Penulisan Mengetahui Definisi Metode Numerik Steepest Ascent/Descent Mengetahui Algoritma Metode Numerik Metode Numerik Steepest Ascent/Descent Memahami Soal dan Pembahasannya BAB II PEMBAHASAN 1 Definisi Metode Numerik Steepest Ascent/Descent Metode Numerik Steepest Ascent/Descent merupakan jenis metode gradien yang paling sederhana. Terminologi : Steepest Ascent (untuk pencarian maksimum fungsi Steepest Descent (untuk pencarian minimum fungsi. Prinsip pencarian optimum yaitu dilakukan serangkaian proses transformasi untuk mengubah sebuah fungsi dengan banyak variabel (multidimensional function menjadi sebuah fungsi dengan variabel tunggal (one-dimensional function, berdasarkan gradien arah pencarian. Langkah pencarian optimum ini selanjutnya dilakukan secara berulang-ulang (iteratif. 2 Algoritma Metode Numerik Steepest Ascent/Descent Tentukan sebarang titik awal X = {x 1, x 2 } Tentukan konstanta ɛ > 0 Bentuk Z(x 1, x 2 =( z x 1, z x 2 t dan tentukan Z(X 1 dan lakukan untuk Z(X k Jika norm Z(X k kurang dari ɛ, maka iterasi berhenti Tentukan d k =- Z(X k,λ k =min Z (X k + λ k d k dan X ( k + 1 = X k + λ k d k 2

35 3 Bentuk Soal dan Pembahasannya Pertanyaan Tentukan nilai X = {x 1, x 2 } yang meminimalkan Z = (x 1, x 2 = 2x x2 2 6x 1 4x 2 dengan menggunakan Metode Numerik Steepest Descent jika diketahui nilai ɛ > 0, 01 solusi iterasi 1 Berdasarkan ( soal tersebut dapat ditentukan : 4x1 6 Z(x 1, x 2 = 6x 2 4 Ambil sebarang titik misalnya X k = 1, ( Z(X 1 = 0 dengan demikian : CEK! : Z(X 1 = = 10 > epsilon Selanjutnya ditentukan ( : 10 d 1 = - Z (X 1 = dan 0 λ 1 = min Z (X 1 + λ 1 d 1 λ 1 = min Z ( 1, λ 1 0 λ 1 = min Z (10λ 1 1, 2 3 Derivatifkan Z (10λ 1 1, 2 3 = 2x x2 2 6x 1 4x 2 dapat dicari dengan : (X 2 = (X k + λ k d k (X 2 = ( 1, ( 1 4 (-10,0 (X 2 = ( 1, ( 10 4, 0 (X 2 = ( 6 4, 2 3 ( CEK! : Dengan memasukkan nilai (X 2 = ( 6 4, 2 3 kedalam 4x1 6 diperoleh 6x 2 4 ( 0 nilai (X 2 = 0 Selanjutnya nilai Z( 6 4, 2 3 = = 0 < ɛ maka ITERASI BERHENTI 3

36 4 SOLUSI ANALITIK Tentukan nilai X = {x 1, x 2 } yang meminimalkan Z = (x 1, x 2 = 2x x2 2 6x 1 4x 2 dengan menggunakan Metode Numerik Steepest Descent jika diketahui nilai ɛ > 0, 01 PENYELESAIAN ( z x 1 = 4x 1 6, ( z x 2 = 6x 2 4 Karena ( z x 1 = 0 dan ( z x 2 = 0 maka nilai x 1 = ( 6 4 dan x 2 = ( 2 3 Lebih Lanjut ( 2 z x 2 1 = 4 dan ( 2 z x 2 x sehingga ( 2 z x 2 1 = 6 dan nilai ( 2 x 1 x 2 = 0 z ( 2 z - ( 2 z x 2 x 2 1 x 2 2 = 4 (6-0 = 24 Karena ( 2 z = 4 > 0 dan ( 2 z ( 2 z - ( 2 z x 2 1 x 2 1 x 2 x 2 1 x 2 2 = 24 > 0, maka terbukti bahwa titik ( 6 4, 2 3 merupakan titik yang meminimumkan fungsi Z = (x 1, x 2 4

37 METODE NUMERIK ARAH KONJUGASI 14 Mei 2016 Diajukan untuk Memenuh Tugas Ujian Akhir Semester Mata kuliah Metode Numerik Dosen Pengampu Bapak Rukmono Budi Utomo,M.Sc Nur Aliyah A1 Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Muhammadiyah Tangerang

38 KATA PENGANTAR Puji syukur kita panjatkan kehadirat Allah SWT karena atas limpahan rahmat serta petunjuk-nya, maka pembuatan Makalah Metode Numerik tentang Arah Konjugasi ini bisa terselesaikan dengan ketentuan waktu yang diberikan. Disamping itu juga, saya selaku penulis mengucapkan terima kasih kepada Bapak Rukmono Budi Utomo,M.Sc selaku pembimbing kami serta teman-teman yang berpartisipasi dan memberikan dorongan sehingga makalah ini bisa selesai. Saya selaku penulis menyadari bahwa makalah ini masih banyak kekurangannya atau belum sesuai dengan apa yang kita inginkan bersama, namun saya sudah berusaha semaksimal mungkin agar makalah ini bisa terselaikan. Untuk itu, dengan masih banyaknya kekurangan terhadap isi makalah ini, saya dari penulis atau penyusun makalah ini sangat mengharapakan saran dan kritikan yang besifat membangun untuk penyempurnaan makalah ini agar bisa sesuai keinginan kita bersama dan dapat bermanfaat untuk kita semua serta bisa dijadikan sebagai pedoman untuk kedepannya. Tangerang, 14 Mei 2016 Penulis 2

39 DAFTAR ISI Kata Pengantar... 2 Daftar Isi... 3 BAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Rumusan Masalah Tujuan... 5 BAB II PEMBAHASAN Pengertian Metode Arah Konjugasi Algoritma Arah Konjugasi Contoh Soal Menggunakan Metode Analitik BAB III PENUTUP Kesimpulan Saran DAFTAR PUSTAKA

40 BAB I PENDAHULUAN 1 Latar Belakang Dalam sejarah perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi, matematika memegang peranan yang sangat penting untuk memecahkan berbagai permasalahan secara kuantitatif. Optimasi sebagai salah satu cabang dalam matematika sering digunakan sebagai acuan untuk menyelesaikan permasalahan-permasalahan di bidang ekonomi, teknik, dan lainnya. Dengan optimasi maka permasalahanpermasalahan yang ada dapat di prediksi dan dicari permasalahannya yang optimal. Secara umum optimasi dikategorikan menjadi 2 bagian, yaitu optimasi dengan kendala dan optimasi tanpa kendala. Optimasi dengan kendala adalah penyelesaian permasalahan untuk mendapatkan penyelesaian yang optimal dengan memperhatikan faktor-faktor pembatas yang harus dipenuhi, melalui tahapantahapan perhitungan tertentu. Sedangkan optimasi tanpa kendala adalah penyelesaian masalah tanpa adanya faktor pembatas yang mempengaruhi proses perhitungan sampai penyelesaian optimal tercapai. Penyelesaian optimal dapat diartikan sebagai penyelesaian yang minimal maupun penyelesaian yang maksimal. Pada prinsipnya mencari nilai maksimal suatu fungsi f(x sama artinya dengan mencari nilai maksimal dari negatif fungsi f(x. Pada makalah ini akan dibahas permasalahan optimasi tanpa kendala (untuk kasus dengan kendala diubah menjadi permasalahan tanpa kendala, dan untuk kasus meminimalkan serta fungsinya merupakan fungsi konveks. Dalam meminimalkan fungsi nonlinier multivariable f(x tanpa kendala yaitu dengan mencari vektor x = (x 1, x 2,..., x n sehingga fungsi f(x minimal. Apabila penyelesaiannya dapat di usahakan secara analitik tentu akan mempermudah memperoleh penyelesaiannya yang optimal, karena penyelesaian eksaknya didapatkan. Tetapi untuk berbagai persoalan hal ini tidak selalu mudah dilakukan sehingga perlu diupayakan penyelesaian secara numerik yang mendekati penyelesaian eksak. Ada beberapa pendekatan secara numerik untuk mencari nilai minimum suatu fungsi nonlinier multivariable f(x. Pada makalah ini akan dibahas pendekatan secara numerik menggunakan metode arah konjugasi. Metode arah konjugasi merupakan metode untuk meminimumkan atau memaksimumkan suatu fungsi. Untuk mendapatkan kekonvergenan yang lebih cepat, maka selain menggunakan arah penurunan tercuram juga menggunakan arah yang saling konjugat. Metode arah konjugasi menggunakan arah pencarian yang saling ortogonal serta selalu diperbaharui pada setiap langkah iterasi, sehingga pada setiap iterasi akan bergerak maju menuju penyelesaian yang optimal. 4

41 Sebagian besar pembahasan melibatkan operasi vektor dalam bentuk matriks sehingga diasumsikan operasi matriks yang meliputi jumlah dua matriks, hasil kali matriks dengan suatu skalar dan perkalian dua matriks terdefinisi. 2 Rumusan Masalah Apa yang dimaksud dengan metode numerik arah konjugasi? Bagaimana algoritma dalam arah konjugasi? Bagaimana cara menyelesaikan persoalan numerik dengan menggunakan arah konjugasi? Bagaimana cara menyelesaikan persoalan numerik dengan analitik dalam menggunakan arah konjugasi? 3 Tujuan Untuk menambah pengetahuan mengenai berbagai metode yang dapat digunakan dalam persoalan numerik Dapat melatih mahasiswa dalam menganalisis permasalahan-permasalahan numerik Untuk menyelesaikan tugas pengganti UAS pada mata kuliah metode numerik 5

42 BAB I PEMBAHASAN 4 Pengertian Metode Arah Konjugasi Metode Numerik Arah Konjugasi Merupakan salah satu metode numerik yang digunakan untuk menyelesaikan masalah optimisasi. Dan langkah-langkah dalam menyelesaikan masalah optmisasi tersebut berbeda dengan metode numerik lainnya, yaitu Diberikan Z=F (x 1,x 2,kemudian menentukan nilai X = (x 1,x 2 R 2 yang meminimalkan atau memaksimalkan Z=F {X} atau Z=F (x 1,x 2 Kemudian Metode Arah Konjugasi lebih baik dari pada metode Steepest Descent, tetapi tidak juga dengan metode Newton. Seperti yang dilihat dari metode Steepest Descent dan metode Newton, faktor penting dalam efisiensi suatu metode pencarian berulang adalah arah pencarian pada setiap iterasi.untuk fungsi kuadrat n variabel f(x = 1 2 xt Qx x T b, x R n, Q = Q T > 0, Arah pencarian terbaik disebut dengan arah Q-Konjugat. Pada dasarnya dua arah d (1 dan d (2 di R n dikatakan Q- Konjugat jika d (1T Qd (2 =0 Metode arah konjugasi dapat dilihat sebagai penengah antara metode Steepest Descent dan metode Newton. Metode Arah konjugasi memiliki sifat sebagai berikut. Memecahkan persamaan kuadrat dari n variabel dalam n langkah Dalam algoritma arah konjugasi, memerlukan matriks Hessian Tidak ada matriks invers dan tidak ada penyimpanan n x n matriks diperlukan 5 Algoritma Arah konjugasi Diberikan fungsi Z=F (x 1,x 2, kemudianakan ditentukan nilai X = (x 1,x 2 yang akan meminimalkan atau memaksimumkan nilai Z=F (x 1,x 2 Kemudian ambil Sembarang titik awal X 1 = (x 1,x 2 R 2 Kemudaian Bentuk Matriks Hessian yakni [ H = z x 2 1 z x 2 x 1 z x 1 x 2 z x 2 2 ] 6

43 dengan 2 f x 2 1 = 2 f x 1 x 2 = 2 f x 1 x 2 = 2 f x 2 x 1 = [ ] f x 1 x 1 [ ] f x 1 x 2 [ ] f x 2 x 1 Kemudian tetapkan arah pencarian [ ] [ 1 a d 1 =, d 0 2 = b ] kemudian dengan d 2 =d 1 T Hd 2 dan d 2 =0 lalu lakukan untuk d k T 1 Hd k atau d k+1 =d k T Hd k+1 Dengan d k T = Transpos d k Contoh : d k = a 1 a 2. a n [ ] ; dt k = a 1 a 2. a n kemudian tentukan λ k = min Z (X k + λ k d k dan X k+1 = X k + λ k d k Iterasi berhenti ketika norm Xk X k 1 < ε, ε > 0 sembarang konstanta. Contoh : 6 Contoh Soal ( a 1, b 1 (a 2, b 2 = (a 1, a 2 2 (b 1 b 2 2 Diberikan suatu fungsi f(x = 3x x x 1 x 2-6x 1-8x dengan titik awal X 1 = (1,1 dan ε = 0, 01. Dengan menggunakan metode Arah Konjugasi, tentukan pembuat minimum fungsi tersebut. Penyelesaian Iterasi 1 Diketahui f(x = 3x x x 1 x 2-6x 1-8x Ambil sembarang titik awal X 1 = (x 1,x 2 R 2 yaitu X 1 = (1,1 dengan toleransi kesalahan ε = 0, 01 7

44 Kemudian dibentuk matriks Hessian [ H = z x 2 1 z x 2 x 1 H = [ z x 1 x 2 z x 2 2 ] ] Kemudian Tentukan arah pencarian pada d 1 dan d 2, sebagai berikut [ ] a 1 d 1 =, d 0 2 = b d 2 = d T 1.H.d 2 = [ 1 0 ] = [ 6 4 ] [ a b = 6a + 4b = 0 = 6a = 4b 3a = 2b ] = 0 [ a b Ambil a=2 dan b=-3 dengan demikian diperoleh [ ] 2 d 2 = 3 ] Kemudian hitung λ 1 = min Z (X 1 + λ 1 d 1 sebagai berikut: λ 1 = min Z(x 1 + λ 1 d 1 λ 1 = min Z((1, 1 + λ 1 (1, 0 λ 1 = min Z((1, 1 + (λ 1, 0 λ 1 = min Z(λ 1 + 1, 1 8

45 Subtitusikan Z(λ 1 + 1,1 pada persamaan awal, sehingga menjadi : Z(λ 1 + 1, 1 = 3x x x 1 x 2 6x 1 8x = 3(λ ( (λ 1 + 1(1 6(λ (1 + 6 = 3(λ λ (λ λ = 3λ λ λ λ = 3λ λ Carilah turunan dari persamaan yang diperoleh dan samadenganka nol, agar diperoleh λ 1 dz dλ 1 = 6λ = 0 6λ 1 = 4 λ 1 = 2 3 Telah diperoleh λ 1 = maka akan dicari nilai X 2 Diperoleh X 2 = X 1 + λ 1 d 1 = ( 1, 1 + ( 2 3 ( 1, 0 = ( 1, 1 + ( 2 3, 0 = ( 1 3, 1 X 2 = ( 1 3, 1 Kemudian di subtitusikan, sebagai beriku : X 2 X 1 = ( 1 3, 1 (1, 1 = ( (1 1 2 ( 2 2 = = = = 0, 67 9

46 Iterasi Dilanjutkan karena Iterasi 2 0, 67 > ε 0, 67 > 0, 01 Diketahui : X 2 = ( 1 3, 1 Kemudian hitung λ 2 = min Z (X 2 + λ 2 d 2 sebagai berikut: λ 2 = min Z(X 2 + λ 2 d 2 λ 2 = min Z((1/3, 1 + λ 2 (2, 3 λ 2 = min Z((1/3, 1 + (2λ 2, 3λ 2 λ 2 = min Z(2λ 2 + 1/3, 1 3λ 2 Subtitusikan Z(2λ 2 +1/3,1 3λ 2 pada persamaan awal, sehingga menjadi: Z = ( 2λ 2 + 1/3, 1 3λ 2 = 3x x x 1 x 2 6x 1 8x = 3(2λ 2 + 1/ (1 3λ (2λ 2 + 1/3(1 3λ 2 6(2λ 2 + 1/3 8(1 3λ = 3(4λ /3λ 2 + 1/9 + 2(1 6λ 2 + 9λ (2λ 2 6λ /3 λ 2 6(2λ 2 + 1/3 8(1 3λ = (12λ λ 2 + 1/3 + (2 12λ λ (8λ 2 24λ /3 4λ 2 (12λ (8 24λ = 12λ λ 2 + 1/ λ λ λ 2 24λ /3 4λ 2 12λ λ = 6λ λ 2 1/3 Carilah turunan dari persamaan yang diperoleh dan samadengankan nol, agar diperoleh nilai λ 2 dz dλ 2 = 12λ = 0 12λ 2 = 8 λ 2 = 2/3 10

47 Telah diperoleh λ 2 = maka akan dicari nilai X 3 Diperoleh X 3 = X 2 + λ 2 d 2 = ( 1 3, 1 + ( 2 3 (2, 3 = ( 1 3, 1 + ( 4 3, 2 = ( 1, 3 X 3 = ( 1, 3 Kemudian Di subtitusikan, sebagai berikut : X2 X 1 = ( 1, 3 ( 1 3, 1 ( 1 = (3 1 ( 4 2 = = = = 2, 4 Iterasi Dilanjutkan karena 2, 4 > ε 2, 4 > 0, 01 Iterasi 3 Diketahui : X 3 = ( 1, 3 Kemudian hitung λ 3 = min Z (X 3 + λ 3 d 3 sebagai berikut: λ 3 = min Z(X 3 + λ 3 d 3 λ 3 = min Z(( 1, 3 + λ 3 (1, 0 λ 3 = min Z(( 1, 3 + (λ 3, 0 λ 3 = min Z(λ 3 1, 3 11

48 Subtitusikan Z(λ 3 1, 3 pada persamaan awal, sehingga menjadi: Z ( λ 3 1, 3 = 3x x x 1 x 2 6x 1 8x = 3(λ ( (λ 3 1 (3 6(λ 3 1 8(3 + 6 = 3(λ 3 2 2λ (3λ 3 3 (6λ = 3λ 3 2 6λ λ λ = 3λ Carilah turunan dari persamaan yang diperoleh dan samadengankan nol, agar diperoleh nilai λ 3. dz dλ 3 = 6λ 3 = 0 λ 3 = 0 Telah diperoleh λ 3 = 0. maka akan dicari nilai X 4 Diperoleh X 4 = X 3 + λ 3 d 3 = (( 1, 3 + 0(4, 0 = (( 1, 3 + (0, 0 = ( 1, 3 X 4 = ( 1, 3 Kemudian di subtitusikan sehingga menjadi X 4 X 3 = ( 1, 3 ( 1, 3 = ( (3 3 2 = = 0 = 0 Terlihat bahwa 0 < ε 0 < 0, 01. Sehingga iterasi berhenti. 12

49 7 Menggunakan Metode Analitik Dengan konsep Arah Konjugasi yang telah dijelaskan di atas, maka perhitungan dapat diselesaikan dengan Metode Analitik Diketahui suatu fungsi f(x = 3x x x 1 x 2-6x 1-8x Carilah turunan pertama terhadap x 1 f dx 1 = 6x 1 + 4x 2 6 = 0 6x 1 = 6 4x 2 x 1 = 6 4x2 6 x 1 = x 2 Sehingga 2 f dx 1 = 6 Carilah turunan pertama terhadap x 2 f dx 2 = 4x 2 + 4x 1 8 = 0 4x ( x 2 8 = 0 4x x 2 4 = x 2 = 4 x 2 = 3 Sehingga 2 f dx 2 = 4 Kemudian kita cari x 1 Karena x 2 telah diketahui x 2 =3, maka kita sibtitusikan terhadap sehingga x 1 = x 2 x 1 = x 2 x 1 = (3 x 1 = 1 2 x 1 = 1 Dengan demikian didapat x 1 = 1 dan x 2 =3 13

50 Kemudian Cek apakah terbukti nila x 1 = 1 dan x 2 =3 meminimumkan fungsi f(x = 3x x x 1 x 2-6x 1-8x atau tidak. ( 2 f dx 1 2 f dx 2 2 f dx 1dx 2 > f dx 1 f dx 2 = 6 4 (4 2 = = 8 = 8 > 0 Terlihat bahwa terbukti nila x 1 = 1 dan x 2 =3 meminumumkan fungsi f(x = 3x x x 1 x 2-6x 1-8x

51 BAB III PENUTUP 8 Kesimpulan Metode Numerik Arah Konjugasi Merupakan salah satu metode numerik yang digunakan untuk menyelesaikan masalah optimisasi. Dan langkah-langkah dalam menyelesaikan masalah optmisasi tersebut berbeda dengan metode numerik lainnya, yaitu Diberikan Z=F (x 1,x 2,kemudian menentukan nilai X = (x 1,x 2 R 2 yang meminimalkan atau memaksimalkan Z=F {X} atau Z=F (x 1,x 2 Kemudian Metode Arah Konjugasi lebih baik dari pada metode Steepest Descent, tetapi tidak juga dengan metode Newton. Seperti yang dilihat dari metode Steepest Descent dan metode Newton, faktor penting dalam efisiensi suatu metode pencarian berulang adalah arah pencarian pada setiap iterasi.untuk fungsi kuadrat n variabel f(x = 1 2 xt Qx x T b, x R n, Q = Q T > 0, Arah pencarian terbaik disebut dengan arah Q-Konjugat. Pada dasarnya dua arah d (1 dan d (2 di R n dikatakan Q- Konjugat jika d (1T Qd (2 =0 9 Saran sebaiknya sebelum menyelesaikan permasalahan numerik menggunakan metode arah konjugat kita harus lebih dulu memahami metode numerik Steepest Descent karena algoritma arah konjugasi turunan dari metode Steepest Descent. 15

52 DAFTAR PUSTAKA Chong, Edwin. kchong, Edwin. K.P Chong, Edwin. K.P An Introduction To Optimization. A Wiley Interscience Publication, John Wiley end Sons INC: Newyork 16

53 METODE ARAH KONJUGAT 1 Latar Belakang Nur Ukhti Salamah Juni 2016 PENDAHULUAN Matematika merupakan ilmu yang banyak dibutuhkan dalam kehidupan seharihari. Matematika juga menjadi sumber untuk pengembangan ilmu pengetahuan yang lain. Matematika memiliki daya abstraksi yang mampu mengabstraksikan permasalahan-permasalahan yang sering muncul baik dalam matematika itu sendiri maupun dalam kehidupan nyata sehingga mampu menyelesaikan permasalahan dengan tepat dan cepat. Dalam sejarah perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi, matematika memegang peranan yang sangat penting untuk memecahkan berbagai permasalahan secara kuantitatif. Para ahli menciptakan berbagai metode atau cara untuk menyelesaikan permasalahan manusia yang menyangkut persamaan multivariabel. Dengan berbagai metode tersebut, maka hasil perhitungan akan mendekati atau konvergen dengan nilai (solusi aslinya. Optimasi sebagai salah satu cabang dalam matematika sering digunakan sebagai acuan untuk menyelesaikan permasalahan-permasalahan di bidang ekonomi, teknik, dan lainnya. Dengan optimasi maka permasalahan-permasalahan yang ada dapat di prediksi dan dicari permasalahannya yang optimal. Secara umum optimasi dikategorikan menjadi 2 bagian, yaitu optimasi dengan kendala dan optimasi tanpa kendala. Optimasi dengan kendala adalah penyelesaian permasalahan untuk mendapatkan penyelesaian yang optimal dengan memperhatikan faktor-faktor pembatas yang harus dipenuhi, melalui tahapan-tahapan perhitungan tertentu. Sedangkan optimasi tanpa kendala adalah penyelesaian masalah tanpa adanya faktor pembatas yang mempengaruhi proses perhitungan sampai penyelesaian optimal tercapai. Penyelesaian optimal dapat diartikan sebagai 1

54 penyelesaian yang minimal maupun penyelesaian yang maksimal. Pada prinsipnya mencari nilai maksimal suatu fungsi f(x sama artinya dengan mencari nilai maksimal dari negatif fungsi f(x. Pada makalah ini akan dibahas permasalahan optimasi tanpa kendala (untuk kasus dengan kendala diubah menjadi permasalahan tanpa kendala, dan untuk kasus meminimalkan serta fungsinya merupakan fungsi konveks. Dalam meminimalkan fungsi nonlinier multivariable f(x tanpa kendala yaitu dengan mencari vektor X =(x 1, x 2,..., x n sehingga fungsi f(x minimal. Apabila penyelesaiannya dapat di usahakan secara analitik tentu akan mempermudah memperoleh penyelesaiannya yang optimal, karena penyelesaian eksaknya didapatkan. Tetapi untuk berbagai persoalan hal ini tidak selalu mudah dilakukan sehingga perlu diupayakan penyelesaian secara numerik yang mendekati penyelesaian eksak. Ada beberapa pendekatan secara numerik untuk mencari nilai minimum suatu fungsi nonlinier multivariable f(x. Pada makalah ini akan dibahas pendekatan secara numerik menggunakan metode gradien sekawan (conjugate gradient. Metode gradien sekawan merupakan metode untuk meminimalkan suatu fungsi dimana arah pencarian pertamanya diambil arah penurunan tercuram (steepest descent. Untuk mendapatkan kekonvergenan yang lebih cepat, maka selain menggunakan arah penurunan tercuram juga menggunakan arah yang saling konjugat. Metode gradien sekawan menggunakan arah pencarian yang saling ortogonal serta gradien yang selalu diperbaharui pada setiap langkah iterasi, sehingga pada setiap iterasi akan bergerak maju menuju penyelesaian yang optimal. Sebagian besar pembahasan melibatkan operasi vektor dalam bentuk matriks sehingga diasumsikan operasi matriks yang meliputi jumlah dua matriks, hasil kali matriks dengan suatu skalar dan perkalian dua matriks terdefinisi. 1.1 Rumusan Masalah 1. Apa yang dimaksud dengan metode numerik arah konjugasi? 2. Bagaimana algoritma dalam arah konjugasi? 3. Bagaimana cara menyelesaikan persoalan numerik dengan menggunakan arah konjugasi? 1.2 Tujuan 1. Untuk menambah pengetahuan mengenai berbagai metode yang dapat digunakan dalam persoalan numerik 2

55 2. Dapat melatih mahasiswa dalam menganalisis permasalahan-permasalahan numerik 3. Untuk menyelesaikan tugas mata kuliah metode numerik 3

56 PEMBAHASAN 2 Pengertian Arah Konjugat Metode arah konjugasi (Conjugate Direction telah diakui secara luas karena kegunaanya yang begitu besar. Manfaat paling utama dari metode yakni dalam memecahkan permasalahan skala besar di bidang ekonomi dalam proses hitungmenghitung dan meminimalkan simpanan kebutuhan. Selain itu, mengakumulasi batas toleransi keslahan mencapai Metode Arah Konjugasi telah diusulkan selama kurang lebih tahun. Selama 10 tahun terakhir metode ini terus diperbaiki dan berbagai macam program telah ditambahkan (diperluas. Arah konjugasi adalah metode iteratif yang sangat popular untuk memecahkan permasalahan sistem linier berskala besar. Pada umumnya arah konjugasi dapat dinyatakan sebagai metode langsung (direct method atau metode iteratif (Iteratif Method. Akan tetapi biasany aarah konjugasi digunakan sebagai metode iteratif supaya dapat diaplikasikan pada sistem jarang (Sparse System yang terlalu besar jika dipecahkan dengan metode langsung. Sistem seperti ini biasanya muncul saat memecahkan persamaan diferensial parsial. Metode gradien konjugat termasuk pada metode Subruang Krylov yang merujuk pada pemecahan iterasi dari persamaan linear dengan bentuk Ax = y. Topiknya adalah untuk membuat persamaan dari solusi perkiraan vektor kombinasi linear dengan tipe u, Au, A2u, Anu dalam metode ini matriks A adalah matriks simetris dan matriks positif definit. Conjugate Directiont (CD digunakan untuk menentukan approximasi atau pendekatan persamaan dari solusi persamaan Ax = y dengan minimisasi fungsi. Algoritma arah konjugat dapat ditentukan dengan cara : 1. Diberikan Z = F (x 1, x 2 dan akan ditentukan x = (x 1, x 2 yang meminimalkan atau memaksimalkan Z = F (x 1, x 2 2. Ambil sembarang titik awal x 1 = (x 1, x 2 ɛr 2 3. Dibentuk suatu matriks H (Hessian H = [ z x 2 1 z x 2 x 1 z x 1 x 2 z x 2 2 ] 4. Tetapkan arah pencarian d 1 = [ 1 0 ], d 2 = [ a b ] 4

57 5. dengan d 2 = d T 1 Hd 1 dan d 2 =0 lakukan untuk d k = d T k 1Hd k atau d k+1 = d T k Hd k+1 dengan d T k = Transpos d k Contoh: a 1 a d k = 2 : ; d T k = [ a 1 a 2 : a n ] a n 6. Tentukan λ k = Min z(x k + λ k d k dan x k+1 = x k + λ k d k 7. Berhenti ketika x k x k 1 < ε, ε >0 sembarang konstanta Contoh : (a 1, b 1 (a 2, b 2 = (a 1 a (b 1 b 2 2 Contoh Soal 1: Max Z = x x 2 2 3x 1 x 2 + 2x 1 (0,0 dengan toleransi kesalahan 0,01!, dengan arah konjugasi dimulai dari titik Jawab : Ambil x = (0, 0, dengan toleransi kesalahan ε = 0,01 Dibentuk suatu matriks H (Hessian [ 2 3 H = 3 2 ] Dimana arah pencariannya : d 1 = [ 1 0 ] ; d 2 = [ a b ] dengan d 2 = d T 1.H.d 2 [ ] [ ] [ ] 2 3 a b [ ] [ ] a 2 3. = 0 b 2a 3b = 0 2a = 3b a = 3 2 b 5

58 Misal ambil a = 1, 5 maka nilai b = 1 Dicari λ 1 dengan = Max z(x 1 + λ 1 d 1 = Max z (0,0 + λ 1 (1,0 = Max z (0,0 + (λ 1, 0 = Max z (λ 1, 0 Dengan z (λ 1, 0 maka = (λ (0 2-3(λ (λ 1 = (λ (λ 1 λ 1 dicari dengan dz dλ 1 ITERASI 2 x 2 = (x 1 + λ 1 d 1 x 2 = (0, (1,0 x 2 = (0,0 +(-1,0 x 2 =(-1,0 = 2λ = 0 λ 1 = 1 kita cek x 2 = ( 1, 0 x k x k 1 < ε dengan = ( 1, 0 (0, 0 = ( (0 2 = 1 = 1 > ε Dicari λ 2 dengan = Max z(x 2 + λ 2 d 2 = Max z (-1,0 + λ 2 (1,5;1 = Max z (-1,0 + (1, 5λ 2, λ 2 = Max z (1, 5λ 2 1, λ 2 Dengan z (1, 5λ 2 1, λ 2 = (1, 5λ (λ 2 2-3(1, 5λ 2 1.(λ 2 + 2(1, 5λ 2 1 = (2, 25λ 2 2 3λ (λ ( 4, 5λ 2 + 3(λ 2 + (3λ 2 2 = (2, 25λ 2 2 3λ (λ 2 2 (4, 5λ λ 2 + 3λ 2 2 = ( 1, 25λ λ 2 1 = 0 λ 2 dicari dengan dz dλ 2 = 2, 5λ = 0 λ 2 = 1, 2 ITERASI 3 x 3 = (x 2 + λ 2 d 2 x 3 = (-1,0 + 1,2 (1,5;1 x 3 = (-1,0 +(1,8;1,2 x 3 = (0,8 ; 1,2 6

59 kita cek x 3 = (0, 8; 1, 2 x k x k 1 < ε dengan = (0, 8; 1, 2 ( 1, 0 = (1, (1, 2 2 = 4, 68 = 2, 16 > ε(iterasi belum berhenti sebab masih lebih dari ε Dicari λ 3 dengan = Max z(x 3 + λ 3 d 3 = Max z (0,8 ; 1,2 + λ 3 (1,0 = Max z (0,8 ; 1,2 + (λ 3, 0 = Max z (0, 8 + λ 3 ; 1, 2 Dengan z (0, 8+λ 3 ; 1, 2 = (0, 8+λ (1, 2 2-3(0, 8+λ 3.(1, 2 + 2(0, 8+λ 3 = 0, , 6λ 3 + (λ , 44 + ( 2, 4 3λ 3 (1, 2 + 1, 6 + 2λ 3 = (0, , 6λ 3 + (λ , 44 2, 88 3, 6λ 3 + 1, 6 + 2λ 3 = (λ , 8 λ 3 dicari dengan dz dλ 3 = 2λ 3 = 0 λ 3 = 0 ITERASI 4 x 4 = (x 3 + λ 3 d 3 x 4 = (0,8 ; 1,2 + 0 (1,0 x 4 = (0,8 ; 1,2 +(0,0 x 4 = (0,8 ; 1,2 kita cek x 4 = (0, 8; 1, 2 x k x k 1 < ε dengan = (0, 8; 1, 2 (0, 8; 1, 2 = (0 2 + (0 2 = 0 = 0 < ε(iterasi berhenti sebab kurang dari ε NOTE: Karena Z = 0, 8; 1, 2 = 0 maka hal ini bisa dikatakan bahwa kesalahan perhitungan atau error adalah 0, sehingga mengakibatkan jawaban yang didapat dengan menggunakan metode numerik (arah konjugasi adalah sama dengan solusi analitiknya. 7

60 SOLUSI ANALITIK Contoh Soal : Max z = x x 2 2 3x 1 x 2 + 2x 1, dengan arah konjugasi dimulai dari titik (0,0 dengan toleransi kesalahan 0,01! Jawab dz dx 1 d2 z dx 1 = 2 = 2x 1 3x x 1 = 3x 2 2 = x 1 = 3x dz dx 2 = 2x 2 3x 1 2x 2 = 3( 3x x 2 = 9x x 2 = 9x 2 6 x 2 = 1, 2 x 1 = 3x x 1 = 3(1,2 2 2 x 1 = 3,6 2 2 x 1 = 0, 8 d2 z dλ 2 = 2 Sekarang kita buktikan nilai x 1 = 0, 8 dan x 2 = 1, 2 benar memaksimalkan fungsi Z = x x 2 2 3x 1 x 2 + 2x 1 8

61 CEK!! 2 z x 1. 2 z x 2 ( 2 z x 1 x 2 = 2.2 ( 3 2 = 5 < 0 (terbukti memaksimalkan Contoh Soal 2: Min Z = 2x 1 x 2 + x x 2 2 4x 1 (0,0 dengan toleransi kesalahan 0,01!, dengan arah konjugasi dimulai dari titik Jawab : Ambil x = (0, 0, dengan toleransi kesalahan ε = 0,01 Dibentuk suatu matriks H (Hessian Dimana arah pencariannya : d 1 = H = [ 1 0 [ ] ; d 2 = ] [ a b ] dengan d 2 = d T 1.H.d 2 ] [ 1 0 ]. [ a + 2b = 0 2a = 2b a = b. [ a b ] Misal ambil a = 1 maka nilai b = 1 Dicari λ 1 dengan = Min Z(x 1 + λ 1 d 1 = Min Z (0,0 + λ 1 (1,0 = Min Z (0,0 + (λ 1, 0 = Min Z (λ 1, 0 9

62 Dengan Z (λ 1, 0 maka = 2(λ 1.(0 + (λ (λ 1 = (λ 1 2 4(λ 1 λ 1 dicari dengan dz dλ 1 = 2λ 1 4 = 0 λ 1 = 2 ITERASI 2 x 2 = (x 1 + λ 1 d 1 x 2 = (0,0 + 2 (1,0 x 2 = (0,0 +(2,0 x 2 = (2,0 kita cek x 2 = (2, 0 x k x k 1 < ε dengan = (2, 0 (0, 0 = (2 2 + (0 2 = 4 = 2 > ε Dicari λ 2 dengan = Min Z(x 2 + λ 2 d 2 = Min Z (2,0 + λ 2 (-1;1 = Min Z (2,0 + ( λ 2, λ 2 = Min Z (2 λ 2 ; λ 2 Dengan Z (2 λ 2 ; λ 2 = 2(2 λ 2 (λ 2 + (2 λ (λ 2 2-4(2 λ 2 = (4 2λ 2 (λ λ 2 + (λ (2λ λ 2 = 4λ 2 2(λ λ 2 + (λ (λ λ 2 = (λ λ 2 4 = 0 λ 2 dicari dengan dz dλ 2 ITERASI 3 x 3 = (x 2 + λ 2 d 2 x 3 = (2, (-1;1 x 3 = (2,0 +(2;-2 x 3 = (4 ; -2 = 2λ = 0 λ 2 = 2 kita cek x 3 = (4; 2 x k x k 1 < ε dengan = (4; 2 (2, 0 = (2 2 + ( 2 2 = 8 = 2, 82 > ε(iterasi belum berhenti sebab masih lebih dari ε Dicari λ 3 dengan = Min Z(x 3 + λ 3 d 3 10

63 = Min Z (4, -2 + λ 3 (1,0 = Min Z (4, -2 + (λ 3, 0 = Min Z (4 + λ 3 ; 2 Dengan Z (4 + λ 3 ; 2 = 2(4 + λ 3 ( 2 + (4 + λ ( 2 2-4(4 + λ 3 = (8 + 2λ 3 ( 2 + (16 + 8λ 3 + (λ λ 3 = 16 4λ λ 3 + (λ λ 3 = (λ λ 3 dicari dengan dz dλ 3 = 2λ 3 = 0 λ 3 = 0 ITERASI 4 x 4 = (x 3 + λ 3 d 3 x 4 = (4, (1,0 x 4 = (4, -2 +(0,0 x 4 = (4, -2 kita cek x 4 = (4, 2 x k x k 1 < ε dengan = (4, 2 (4, 2 = (0 2 + (0 2 = 0 = 0 < ε (iterasi berhenti sebab kurang dari ε NOTE: Karena Z = 4, 2 = 0 maka hal ini bisa dikatakan bahwa kesalahan perhitungan atau error adalah 0, sehingga mengakibatkan jawaban yang didapat dengan menggunakan metode numerik (arah konjugasi adalah sama dengan solusi analitiknya 11

64 SOLUSI ANALITIK Contoh Soal 2 : Min Z = 2x 1 x 2 + x x 2 2 4x 1 (0,0 dengan toleransi kesalahan 0,01!, dengan arah konjugasi dimulai dari titik Jawab dz dx 1 = 2x 2 + 2x 1 4 2x 1 = 2x 2 4 = x 1 = 2x = x d2 z dx 1 = 2 dz dx 2 = 2x 1 + 4x 2 4x 2 = 2( x x 2 = 2x 2 4 2x 2 = 4 x 2 = 2 d2 z dλ 2 = 4 Sekarang kita buktikan nilai x 1 = 0, 8 dan x 2 = 1, 2 benar meminimalkan fungsi Z = 2x 1 x 2 + x x 2 2 4x 1 CEK!! 2 z x 1. 2 z x 2 ( 2 z x 1 x 2 = 2.4 (2 2 = 4 > 0 (terbukti meminimalkan 12

65 13

66 METODE NUMERIK ROSENBERG Mata Kuliah : Metode Numerik Dosen Pengampu : Rukmono Budi Utomo, M.Sc Disusun Oleh : Rizka Apriyanti 6 A PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH TANGERANG Jl. Perintis kemerdekaan I/33 Cikokol, Tangerang Tahun Ajaran 2015/2016 1