Persamaan yang kompleks, solusinya susah dicari. Contoh :

Transkripsi

1 AKAR PERSAMAAN NON LINEAR Persamaan hingga derajat dua, masih mudah diselesaikan dengan cara analitik. Contoh : a + b + c = 0 Solusi : 1 = b ± b 4 ac a Persamaan yang kompleks, solusinya susah dicari. Contoh : f ( ) = e = 0

2 Maka timbulah solusi dengan metode numerik, dengan pembagian metode sebagai berikut : 1. GRAFIS. BISECTION 3. REGULA FALSI 4. SECANT 5. NEWTON RHAPSON 6. ITERASI FIXED POINT

3 1. GRAFIS Merupakan metode mencari akar dengan cara menggambar fungsi yang bersangkutan Contoh : Y = 3- Berapa akar dari persamaan tsb?

4 Jawab: Dengan memasukkan harga didapat nilai fungsi f() f() f() f X

5 . BISECTION Metode ini melakukan pengamatan terhadap nilai f() dengan berbagai nilai, yang mempunyai perbedaan tanda. Taksiran akar diperhalus dengan cara membagi pada interval yang mempunyai beda tanda tersebut.

6 F()

7 Algoritma : 1) Pilih 1 bawah dan puncak taksiran untuk akar, sehingga perubahan fungsi mencakup seluruh interval. Hal ini dapat diperiksa dengan memastikan : f ( 1 ). f ( ) < ) Taksiran akar, ditentukan oleh : r = + 1 0

8 3) Buat evaluasi dengan memastikan pada bagian interval mana akar berbeda : * jika f(1).f() < 0 akan berada pada bagian interval bawah, maka = r, dan kembali kelangkah * Jika f(1).f() > 0 akan berada pada bagian interval atas, maka 1 = r, dan kembali kelangkah * Jika f(1).f() = 0, akar setara r, perhitungan dihentikan, atau bisa juga : f ( 1). f ( ) < ε Dimana ε adalah harga toleransi yang dibuat.

9 Contoh : Carilah akar persamaan dari : 3 f ( ) = = 0, dengan ε = 0, 001 Penyelesaian: Hitung nilai f () pada interval antara titik 3 untuk =1, f ( = 1) = (1) + (1) 3(1) 3 = 4 3 untuk = f ( = ) = () + () 3() 3 = 3

10 Fungsi diatas adalah kontinyu, berarti perubahan tanda dari fungsi antara =1 dan = akan memotong sumbu paling tidak satu kali. titik perpotongan p antar sumbu dan fungsi merupakan akar-akar persamaan. hitung nilai, kemudian hitung fungsi f ) r ( r r = = = 1 1,5 f ( = 1,5) = (1,5) 3 + (1,5) 3(1,5) 3 = 1, 875 r Langkah selanjutnya adalah membuat setengah interval berikutnya untuk membuat interval yang semakin kecil, dimana akar persamaan berada. Hasil perhitungan ditunjukkan pada tabel berikut.

11 Tabel hasil perhitungan: No. f() E-05

12 HOME WORK Y = Sin X Y = X

13 3. Metode Regula Falsi (Interpolasi Linier) i Kekurangan metode bisection adalah membagi dua selang diantara 1 dengan menjadi dua bagian yang sama, besaran f( 1 ) dan f( ) diabaikan. Misalnya, jika f( 1 ) lebih dekat ke nol daripada f( ), kemungkinan besar akar akan lebih dekat ke 1 daripada ke.

14 y f( ) 1 f( 1 )

15 Algoritma : 1) Pilih 1 bawah dan (puncak) untuk taksiran akar, sehingga perubahan fungsi mencakup seluruh interval. Hal ini dapat diperiksa dengan: f( 1 ). f( ) < 0. Taksir akar r, ditentukan oleh: r = f ( ) f ( ) 1 f ( a) Buat evaluasi berikut untuk memastikan harga akar : b) Jika f ( 1 ). f ( r ) < 0, maka akar berada pada bagian interval bawah, maka, kembali ke langkah. = c) Jika f ( 1 ). f ( r ) > 0 maka akar berada pada bagian interval atas, maka = r, kembali ke langkah. 1 d) Jika f ( 1 ). f ( r ) = 0, akar setara r maka hentikan perhitungan. 1 ) r

16 Contoh: f ( ) 6 = = ditentukan t ; 1 =1 =1. subtitusikan pada persamaan ; 6 f ( 1) = = 1 6 f (1 1,) = (1,) 1, 1 = 0,78598 (1, 1) (0,78598 ( 1)) maka nilai = 1, 0,78598 = 1, r f (1,1198) = 1, , = 0,146

17 Tabel hasil perhitungan: No. f() E-05

18 4. Metode Secant Metode ini memerlukan dua taksiran awal akan tetapi karena f() tidak disyaratkan untuk berganti tanda diantara taksirantaksiran, maka metode ini tidak digolongkan sebagai metode pengurung. Persamaan yang dipakai metode secant adalah n+ 1 = n f f ( n ( n )( ) n f ( n 1 n 1 ) )

19 y f( 1 ) f( ) 3 1

20 Algoritma : Pilih 1 bawah dan (puncak) untuk taksiran akar. Taksir akar n+1, ditentukan oleh: n+ 1 = n f ( f ( )( ) f ( n n n 1 ( n n 1 Perhitungan dihentikan jika f( n+1 ) 0 atau Є = yang ditentukan ) )

21 Contoh: 6 f ( ) = 1 = 0 Ditentukan taksiran awalnya adalah : 6 X1 = 1 f (1) = 1 1 1= 1 X = f () = 6 1= 61 61( 1) = = , n ( 1)

22 Tabel hasil perhitungan: No. f() E-07

23 5. Metode Newton Rhapson Metode ini paling banyak digunakan dalam mencari akar-akar dari suatu persamaan. Jika perkiraan dari akar adalah i, suatu garis singgung dapat dibuat dari titik ( i, f( i ). Titik dimana garis singgung tersebut memotong sumbu biasanya memberikan perkiraan yang lebih dekat dari nilai akar.

24 y 1

25 Algoritma : Tentukan nilai 1 sebagai terkaan awal Buat taksiran untuk 1+n dengan persamaan : n+ 1 = n f ( ' f ( n n ) ) Perhitungan dihentikan jika f( n+1 ) 0 atau Є = yang ditentukan

26 ' Contoh : 6 f ( ) = 1 = 0 Ditentukan taksiran awal 1 = 6 f () = 1= 5 61 f ( ) = 6 1= 0 ' 5 f () = 6() 1 = = = 1,

27 Tabel hasil perhitungan: No. f() f'() E

28 6. Metode Iterasi Fied Point Teknik iterasi fied point dijalankan dengan cara membuat fungsi f() menjadi bentuk fungsi implisit f()=0 kemudian =g(), iterasi yang digunakan adalah dalam bentuk persamaan; n+1 = g( n )

29 Algoritma : Tentukan nilai taksiran awal n Lakukan perhitungan taksiran akar dengan mempergunakan persamaan; X n+1 =g( n ) Perhitungan dihentikan jika; n+ 1 n ε

30 Contoh: X = 0 Tabel Hasil Perhitungan 3 = + 1 No. Xn Іn - n+1і X = 1/3 ( +1) ε = 0,001 Ditentukan 0 = X= 1/3(+1) = 1, І 1 0 І= 1,667 = 0,