METODE SIMPLEKS KASUS MEMAKSIMUMKAN

Transkripsi

1 TUGAS KELOMPOK RISET OPERASI METODE SIMPLEKS KASUS MEMAKSIMUMKAN KELOMPOK RINI ANGGRAINI S (H ) NURUL MUTHIAH (H 5) RAINA DIAH GRAHANI (H 68) FATIMAH ASHARA (H 78) PRODI STATISTIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS HASANUDDIN MAKASSAR

2 METODE SIMPLEKS KASUS MEMAKSIMUMKAN Metode simpleks diperkenalkan oleh George Dantzig pada tahun 97. Metode ini menjadi terkenal ketika ditemukannya alat hitung elektronik dan menjadi popular ketika munculnya komputer. Proses perhitungan metode simpleks adalah dengan menggunakan iterasi berulang-ulang sampai tercapai hasil optimal. Proses perhitungan metode simpleks menjadi lebih mudah dengan menggunakan komputer, karena komputer dirancang untuk melakukan pekerjaan berulang-ulang yang mungkin akan membosankan jika dilakukan oleh manusia. Metode simpleks merupakan pengembangan metode aljabar yang hanya menguji sebagian dari jumlah solusi basis dalam bentuk tabel. Tabel simpleks hanya menggambarkan masalah program linier dalam bentuk koefisien saja, baik koefisien fungsi tujuan maupun koefisien fungsi kendala. Penentuan solusi optimal menggunakan metode simpleks didasarkan pada teknik eliminasi Gauss Jordan. Ada kasus yang dapat kita cari solusinya yaitu Kasus Memaksimumkan dan Kasus Meminimumkan, dalam pembahan ini kita akan membahas Kasus memamaksimumkan. Dalam kasus memaksimumkan kita harus memenuhi syarat yaitu model program linear harus diubah dulu ke dalam suatu bentuk umum yang dinamakan bentuk baku. Perlu diperhatikan bahwa Metode Simpleks hanya bisa dipakai (diaplikasikan) pada bentuk standar, sehingga jika tidak dalam bentuk standar harus ditransformasikan dahulu ke bentuk standar. Untuk memudahkan dalam melakukan transformasi ke bentuk standar, ada beberapa hal yang perlu diperhatikan : a. Fungsi pembatas, suatu fungsi pembatas yang mempunyai tanda diubah menjadi suatu bentuk persamaan (bentuk standar) dengan cara menambahkan suatu variabel baru yang dinamakan slack variabel (variable pengurang). b. Fungsi Tujuan, dengan adanya slack variable pada fungsi pembatas, maka fungsi tujuan juga harus disesuaikan dengan memasukkan unsur slack variable ini, karena slack variable tidak mempunyai kontribusi apa-apa terhadap fungsi tujuan, maka konstanta untuk slack variable tersebut dituliskan nol.

3 Contoh soal. Fungsi tujuan: Maksimumkan Z = 85x + 75x + 7x Fungsi pembatas: x + x + x 7 x + x + x x + x + x x, x, x Langkah Ubah system pertidaksamaan ke dalam system persamaan linear dengan menambahkan variable tiruan atau disebut slack. Fungsi tujuan: Maksimumkan Z = 85x + 75x + 7x Fungsi pembatas: x + x + x + s = 7 x + x + x + s = x + x + x + s = Langkah. Menyusun semua persamaan ke dalam table simpleks. Iterasi CB VDB NK x x x s s s s s s c j Keterangan. CB : koefisien variable basis yang masuk pada fungsi tujuan VDB : variabel basis yang masuk

4 NK : nilai kanan persamaan, yaitu nilai di belakang tanda = c j : nilai fungsi tujuan, yaitu jumlah dari hasil kali variable ke-j dan CB : koefisien variable pada fungsi tujuan (bilangan yang terletak di atas variabel) Hitung nilai dan c j sebagai berikut. VARIABEL c j NK = x + + = 85 = 85 x + + = 75 = 75 x + + = 7 = 7 s + + = = s + + = = s + + = = Selanjutnya kita input nilai-nilai tersebut ke dalam tabel simpleks. Iterasi CB VDB NK x x x s s s s 7 s s c j Langkah. Menentukan kolom kunci, baris kunci, bilangan kunci, dan rasio. Kolom kunci : suatu kolom yang nilai c j paling kecil Baris kunci : baris yang memiliki rasio positif paling kecil Bilangan kunci : bilangan yang terletak pada pertemuan antara kolom kunci dan baris kunci : bilangan yang ditentukan oleh perbandingan antara NK dan kolom kunci

5 untuk baris pada variabel: s = 7 = 7 s = = 7 s = = Iterasi CB VDB NK x x x s s s s 7 7 s s c j Kolom berwarna biru dipilih sebagai kolom kunci. Baris berwarna kuning dipilih sebagai baris kunci. Bilangan kunci adalah perpotongan antara kolom kunci dan baris kunci, yaitu (bilangan dengan text berwarna merah). Langkah. Mengubah nilai-nilai pada baris kunci dengan cara membaginya dengan bilangan kunci. Selanjuntya x menggantikan s, CB pada baris ketiga kita isi dengan 85. Iterasi CB VDB NK x x x s s s s s 85 x c j Baris berwarna kuning dapat disebut sebagai nilai baris baru kunci.

6 Langkah 5. Membuat baris baru dengan mengubah nilai-nilai baris selain baris kunci melalui operasi baris elementer (OBE),sehingga nilai-nilai kolom kunci=. Dapat juga melalui perhitungan sebagai berikut. nilai baris baru = nilai baris lama (KAKK x NBKK) Dimana, KAKK : Koefisien Angka Kolom Kunci (nilai setiap baris kolom kunci) NBBK : Nilai Baris Baru Kunci Dari langkah sebelumnya kita dapat mengetahui KAKK dan NBBK, seperti yang tertera pada tabel berikut. Iterasi CB VDB NK x x x s s s s 7 s 85 x c j Kuning untuk NBBK dan biru untuk KAKK. Baris baru s Baris lama 7 KAKK x NBBK [ ] Baris baru 7 5

7 Baris baru s Baris lama KAKK x NBBK [ ] Baris baru Input nilai baris baru s dan s ke dalam tabel simpleks, sehingga tabel menjadi seperti berikut. Iterasi CB VDB NK x x x s s s s 7 s 85 s c j Selanjutnya kita hitung nilai dan c j sebagai berikut. VARIABEL c j NK = 85 x = = x x = = = 55 7 = s = = s = = s = 85 = 85 6

8 Lalu kita input nilai-nilai tersebut ke dalam tabel simpleks. Iterasi CB VDB NK x x x s s s s 7 s 85 x c j Mengulangi langkah sampai langkah 5 Langkah Menentukan kolom kunci, baris kunci, bilangan kunci, dan rasio. untuk baris pada variabel: s = 7 s = s = = = = 5 7

9 Iterasi CB VDB NK x x x s s s s 7 s 85 x c j Kolom berwarna biru dipilih sebagai kolom kunci. Baris berwarna kuning dipilih sebagai baris kunci. Bilangan kunci adalah perpotongan antara kolom kunci dan baris kunci, yaitu (bilangan dengan text berwarna merah). Langkah. Mengubah nilai-nilai pada baris kunci dengan cara membaginya dengan bilangan kunci. Selanjutya x menggantikan s, CB pada baris kedua kita isi dengan 75. Iterasi CB VDB NK x x x s s s s 75 x 85 x c j Baris berwarna kuning dapat disebut sebagai nilai baris baru kunci. 8

10 Langkah 5. Membuat baris baru. Dari langkah sebelumnya kita dapat mengetahui KAKK dan NBBK, seperti yang tertera pada tabel berikut. Iterasi CB VDB NK x x x s s s s 7 75 x 85 x c j Kuning untuk NBBK dan biru untuk KAKK. Baris baru s Baris lama 7 KAKK x NBBK [ Baris baru 6 ] Baris barus Baris lama KAKK x NBBK [ Baris baru 8 ] 9

11 Input nilai baris baru s dan s ke dalam tabel simpleks, sehingga tabel menjadi seperti berikut. Iterasi CB VDB NK x x x s s s s 6 75 x 85 x 8 c j Selanjutnya kita hitung nilai dan c j sebagai berikut. VARIABEL c j NK = 95 x = = x = = x + ( ) = = 5 s = = s ( ) 85 = = 75 s + ( ) = = Lalu kita input nilai-nilai tersebut ke dalam table simpleks. Iterasi CB VDB NK x x x s s s s 6 75 x 85 x c j 5 75

12 Ulangi kembali langkah sampai langkah 5 Langkah Menentukan kolom kunci, baris kunci, bilangan kunci, dan rasio. untuk baris pada variabel: s = 6 = s = = 6 s = 8 = 8 Iterasi CB VDB NK x x x s s s s 6 75 x 85 x c j Kolom berwarna biru dipilih sebagai kolom kunci. Baris berwarna kuning dipilih sebagai baris kunci. Bilangan kunci adalah perpotongan antara kolom kunci dan baris kunci, yaitu (bilangan dengan text berwarna merah).

13 Langkah. Mengubah nilai-nilai pada baris kunci dengan cara membaginya dengan bilangan kunci. Selanjutnya x menggantikan s, CB pada baris kedua kita isi dengan 7. Iterasi CB VDB NK x x x s s s 7 x 75 x 85 x c j Baris berwarna kuning dapat disebut sebagai nilai baris baru kunci. Langkah 5. Membuat baris baru. Dari langkah sebelumnya kita dapat mengetahui KAKK dan NBBK, seperti yang tertera pada tabel berikut. Iterasi CB VDB NK x x x s s s 7 x 75 x 85 x 8 c j Kuning untuk NBBK dan biru untuk KAKK.

14 Baris baru s Baris lama KAKK x NBBK [ ] Barisbaru Baris baru s Baris lama 8 KAKK x NBBK [ ] Barisbaru Input nilai baris baru s dan s ke dalam tabel simpleks, sehingga tabel menjadi seperti berikut. Iterasi CB VDB NK x x x s s s 7 x 75 x x c j

15 Selanjutnya kita hitung nilai dan c j sebagai berikut. VARIABEL c j NK = 995 x = = x = = x = = s ( ) 85 = 5 5 = 5 s ( ) 85 = = 65 s 7 + ( ) = = Kemudian kita input nilai-nilai tersebut ke dalam table simpleks. Iterasi CB VDB NK x x x s s s 7 x 75 x x c j 5 65 Dari tabel di atas terlihat bahwa baris evaluasi c j sudah tidak ada yang negatif, maka program telah optimal. Dengan demikian, dari tabel di atas dapat disimpulkan bahwa x =, x = 5, dan x = dengan nilai maksimum z = 995.