Pr { +h =1 = } lim. Suatu fungsi dikatakan h apabila lim =0. Dapat dilihat bahwa besarnya. probabilitas independen dari.

Transkripsi

1 6.. Proses Kelahiran Murni Dalam bab ini, akan dibahas beberapa contoh penting dari waktu kontinu, state diskrit, proses Markov. Khususnya, dengan kumpulan dari variabel acak {;0 } di mana nilai yang mungkin dari adalah bilangan bulat tak negatif. Batasan dari kasus ini, di mana {} adalah suatu proses Markov dengan probabilitas transisi stasioner. Dengan demikian, fungsi probabilitas transisi untuk >0, Pr{+ }, i, j 0,, 2,.. adalah independen dari 0. Fungsi diatas digunakan dalam menyelidiki model stokastik untuk probabilitas yang sangat kecil yang berkaitan dengan proses kelahiran. Dengan menggunakan sifat Markov, fungsi h untuk h yang kecil akan diperoleh suatu persamaan diferensial dengan batas yang sesuai yaitu untuk semua >0. Untuk selanjutnya akan dikenalkan proses kelahiran murni yang ditinjau dari proses Poisson Dalil Dalil untuk Proses Poisson Dari bab 5 telah dijelaskan bahwa proses Poisson didefinisikan oleh dalil-dalil sederhana. Untuk menentukan proses-proses yang lebih umum dari jenis yang sama, akan ditunjukkan berbagai sifat lebih lanjut yang menunjukkan berjalannya proses Poisson. Secara khusus, proses Markov pada bilangan bulat tak negatif memiliki sifat sebagai berikut. (i) Pr{+h }h+h h 0 0,,2,. Dari persamaan (i) diperoleh interpretasi sebagai berikut Pr {+h } lim h Suatu fungsi dikatakan h apabila lim 0. Dapat dilihat bahwa besarnya probabilitas independen dari. (ii) Pr{+h 0 } h+h h 0. (iii) 00 Sifat (i), (ii), dan (iii) lebih mudah digunakan dengan perhitungan langsung, karena rumus eksplisit untuk semua probabilitas yang relevan telah tersedia.

2 6..2 Proses Kelahiran Murni Akan didefinisikan proses kelahiran murni sebagai dalil proses Markov dengan laju { } : Pr{+h } h+, h h 0+ Pr {+h 0 } h+, h (6.) Pr{+h <0 }0 0 Untuk memudahkan dalam menjelaskan definisi proses kelahiran murni sering ditambahkan dalil proses Markov yaitu, (iv) X(0)0 Dimana bukan merupakan ukuran populasi tetapi jumlah kelahiran dalam interval waktu 0,]. Sisi kiri dari persamaan (i) dan (ii) adalah, h dan, h, sehingga, h dan, h tidak tergantung pada. Ditetapkan Pr {} dengan asumsi 00. Dengan cara yang sama untuk proses Poison, dapat diambil persamaan diferensial yang didukung oleh untuk t 0, sehingga didapat (i) + (6.2) (ii) dengan syarat 0 00 >0 jika h >0,, maka dalil proses Markov (iii) diperoleh +h Pr{+h } Pr{+h } Pr{+h }

3 Selanjutnya untuk 0,,2,, 2, maka atau sehingga Pr{+h } Pr{+h 2 }, h+, h Pr{+h },, h 0,, 2 +h h+, h+ h+, h+,, h atau +h h+, h+ h+, h+ h (6.3) terlihat jelas bahwa lim h h0 seragam untuk karena h merupakan batas dari jumlahan berhingga,, h yang tidak tergantung pada. Dari (6.3) diketahui bahwa merupakan fungsi kontinu pada. Mengganti dengan h dalam (6.3), membaginya dengan h dan menuju lim h 0 sehingga dapat ditentukan masing-masing yang memiliki turunan dari sisi kiri yang hasilnya sama pada persamaan (6.2). Dari (6.2)(i), diperoleh { } untuk >0 (6.4) Dimana adalah waktu antara kelahiran ke- dan ke-+ sehingga < Variabel random merupakan waktu singgah antara kelahiran dan waktu dimana kelahiran ke terjadi. Dapat dilihat dari persamaan (6.4) bahwa ], sehingga { } {0} { } Dengan kata lain, berdistribusi eksponensial dengan parameter. Sehingga dapat ditarik kesimpulan dari dalil (i) hingga (iv) bahwa, >0, juga berdistribusi eksponensial dengan parameter dan adalah independen. Uraian diatas mendiskripsikan karakteristik proses kelahiran murni merupakan bagian dari waktu singgah, berbeda dengan karakteristik persamaan(6.).

4 Dengan untuk 0., maka + + ] Kedua sisi diintegralkan dengan syarat 00 atau e menggunakan 6.2] e e,,2, 6.5 Terbukti bahwa 0, tetapi masih ada kemungkinan < Untuk menjamin kebenaran proses untuk semua, kita harus membatasi menurut 6.6 Dari hasil diatas menyatakan bahwa waktu antara kelahiran berurutan adalah berdistribusi eksponensial dengan parameter. Meskipun kuantitas Σ / sama dengan perkiraan waktu sebelum populasi menjadi tak terhingga. Dengan perbandingan adalah probabilitas dari. Jika Σ < maka perkiraan waktu untuk populasi menjadi tak hingga adalah berhingga. Akan masuk akal bahwa untuk semua >0 probabilitas adalah positif. Saat tidak ada dua dari parameter kelahiran,, yang sama, persamaan turunan (6.5) memberikan rumus eksplisit e, e + e, 6.7 dan

5 Pr{ X00} dimana,,..., e + +, e untuk > (6.8), untuk 0<<,,, Dimana dengan asumsi, 6.9 Akan diuji bahwa yang diberikan oleh (6.7) memenuhi (6.5). Persamaan (6.4) memberikan e. Kemudian persamaan (6.5) diganti -nya dengan maka diperoleh e e e e e ] e + e, (Pembuktian dari (6.7)) Proses Yule Proses Yule menggambarkan pertumbuhan populasi di mana setiap anggota memiliki probabilitas h+h melahirkan anggota baru selama selang waktu h>0. Dengan asumsi independen dan tidak ada interaksi antar anggota populasi, maka teorema binomial memberikan {+h } h+h] h+h] h+ h; Untuk proses Yule parameternya sangat kecil yaitu. Dengan laju kelahiran total populasi sebanding dengan ukuran populasi, proporsionalitas konstanta laju kelahiran individu. Dengan demikian, proses Yule membentuk analog stokastik dari model pertumbuhan populasi deterministik diwakili oleh persamaan diferensial. Dalam model deterministik, laju dari pertumbuhan populasi sebanding dengan ukuran populasi y. Dalam model stokastik, peningkatan deterministik yang

6 kecil oleh kemungkinan peningkatan unit selama interval waktu dt sangat kecil. Hubungan yang sama antara parameter laju deterministik dan kelahiran (kematian) sering muncul dalam pemodelan stokastik. Persamaan (6.2) dalam kasus bahwa X (0) menjadi,2,. di syarat awal ,3,. solusinya adalah (6.0) Solusi umum analog dengan (6,8), tetapi proses kelahiran murni dimulai dari X (0) adalah, + +,, > (6.) Ketika, maka persamaan (6.) tereduksi menjadi solusi yang diberikan dalam (6.0) untuk proses Yule dengan parameter. Maka.. 2! 2 2! dan,!!

7 Jadi, menurut (6.)!, + +,!!!!!! Contoh Soal :. Sebuah proses kelahiran murni dimulai dari X(0)0 yang mempunyai parameter, 3, 2, 5. Tentukan untuk 0,,2,3. untuk 0, digunakan rumus persamaan (6.7) untuk 2,3 digunakan rumus persamaan (6.8) Untuk 0, maka + + Untuk 2,3 maka Dimana, Sehingga, +, +,,,,

8 + 2, +, +, +, Dimana,,,,, Sehingga Sebuah tproses kelahiran murni dimulai dari 00 yang mempunyai parameter kelahiran, 3, 2, 5. Diberikan W 3 sebagai waktu random dengan state 3. a. Tuliskan W 3 sebagai jumlahan dari waktu singgah dan buktikan bahwa waktu rata-rata E[W 3 ] + + ] (Terbukti) b. Tentukan mean W + W 2 + W ]

9 c. Berapakah variansi W 3? Var [ W 3 ] Var [ S 0 + S + S 3 ] Sebuah proses Yule dengan imigrasi yang mempunyai parameter kelahiran + untuk k0,, 2, dimana merupakan kelajuan imigrasi dalam populasi dan β sebagai kelajuan kelahiran individu. Dianggap bahwa X(0)0, tentukan P n (t) untuk n0,, 2,.. λ 0 α, λ α + β, λ 2 α + 2β, +, +, Dimana, Sehingga,,,