UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Yogyakarta Bahan Ajar: BAB POKOK BAHASAN I MODUL ATAS RING Direncanakan Untuk Perkuliahan Minggu ke-1, 2, 3 dan 4 TEORI MODUL (Semester VI3 SKSMMM-327) Oleh: 1. Dr.rer.nat. Indah Emilia Wijayanti, M.Si. 2. Prof. Dr. Sri Wahyuni, M.S. Didanai dengan dana DIPA-UGM (BOPTN) Tahun Anggaran 213 November 213
BAB 1 MODUL ATAS RING 1.1. Latar Belakang dan Motivasi Dalam aljabar linear, sudah diketahui bahwa himpunan: { x } 1 R 3 = x 2 x 1, x 2, x 3 R x 3 merupakan grup Abelian terhadap operasi penjumlahan vektor. Selain itu, telah diketahui juga bahwa (R, +,.) merupakan lapangan. Selanjutnya, didefinisikan operasi pergandaan skalar : R R 3 R 3 dengan definisi: α v = α untuk setiap α R dan v = x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 = R 3. αx 1 αx 2 αx 3 R 3 Grup Abelian R 3 terhadap ring R dan operasi pergandaan skalar ternyata memenuhi aksioma-aksioma sebagai berikut: 1. (α 1 + α 2 ) v 1 = α 1 v 1 + α 2 v 1 2. α 1 (v 1 + v 2 ) = α 1 v 1 + α 1 v 2 3. (α 1 α 2 ) v 1 = α 1 (α 2 v 1 ) 4. 1 v 1 = v 1 1
2 untuk setiap v 1, v 2 R 3 dan α 1, α 2 R. Dengan demikian, R 3 membentuk ruang vektor atas lapangan R terhadap operasi pergandaan skalar yang didefinisikan di atas. Kemudian, dari lapangan R dapat dibentuk ring matriks berukuran 3 3 atas R, yaitu ( M 3 3 (R), +,. ), dengan: M 3 3 (R) = { x 11 x 12 x 13 x 21 x 22 x 23 x 31 x 32 x 33 } x ij R( i, j = 1, 2, 3). Jelas bahwa ( M 3 3 (R), +,. ) merupakan ring dengan elemen satuan dan bukan merupakan lapangan. Kemudian, didefinisikan operasi pergandaan skalar: : M 3 3 (R) R 3 R 3, dengan definisi A v R 3 untuk setiap A M 3 3 (R) dan v R 3. Lebih lanjut, diperoleh bahwa R 3 terhadap M 3 3 (R) dan R 3 memenuhi aksioma-aksioma sebagai berikut: 1. (A 1 + A 2 ) v 1 = A 1 v 1 + A 2 v 1 2. A 1 (v 1 + v 2 ) = A 1 v 1 + A 1 v 2 3. (A 1 A 2 ) v 1 = A 1 (A 2 v 1 ) 4. I v 1 = v 1 untuk setiap A 1, A 2 M 3 3 (R), v 1, v 2 R 3, dan untuk suatu matriks identitas I M 3 3 (R). Karena M 3 3 (R) bukan merupakan lapangan, maka R 3 tidak membentuk ruang vektor atas M 3 3 (R) terhadap operasi pergandaan skalar yang didefinisikan di atas. Hal inilah yang melatarbelakangi pendefinisian struktur aljabar baru yang disebut modul atas ring.
3 1.2. Modul Atas Ring Sebagai Generalisasi Ruang Vektor Atas Lapangan Modal untuk membentuk modul adalah: a). Grup Abelian (M, +). b). Ring dengan elemen satuan (R, +, ). c). Operasi : R M M dengan definisi (r, m) = r m, untuk setiap r R dan m M. Pengertian modul atas ring dibedakan menjadi dua, yaitu modul kiri dan modul kanan. Berikut diberikan definisi dari modul kiri dan modul kanan atas suatu ring. Definisi 1.2.1. Diberikan grup Abelian (M, +) dan ring R dengan elemen satuan. 1. M disebut modul kiri atas ring R jika memenuhi aksioma-aksioma sebagai berikut:
4 a). (r 1 + r 2 ) m 1 = r 1 m 1 + r 2 m 1 b). r 1 (m 1 + m 2 ) = r 1 m 1 + r 1 m 2 c). (r 1 r 2 ) m 1 = r 1 (r 2 m 1 ) d). 1 m 1 = m 1 untuk setiap r 1, r 2 R dan m 1, m 2 M. 2. M disebut modul kanan atas ring R jika memenuhi aksiomaaksioma sebagai berikut: (a) (r 1 + r 2 ) m 1 = r 1 m 1 + r 2 m 1 (b) r 1 (m 1 + m 2 ) = r 1 m 1 + r 1 m 2 (c) (r 1 r 2 ) m 1 = r 2 (r 1 m 1 ) (d) 1 m 1 = m 1 untuk setiap r 1, r 2 R dan m 1, m 2 M. 3. M disebut modul atas ring R jika M merupakan modul kiri sekaligus modul kanan. Untuk lebih memperjelas definisi modul atas ring, berikut diberikan beberapa contoh modul atas suatu ring. Contoh 1.2.2. Diberikan ring R sebarang. Grup Abelian R n merupakan modul kiri sekaligus modul kanan atas ring R terhadap operasi pergandaan skalar: a(b 1, b 2,..., b n ) = (ab 1, ab 2,..., ab n ) dan (b 1, b 2,..., b n )a = (b 1 a, b 2 a,..., b n a), untuk setiap a R dan (b 1, b 2,..., b n ) R n.
5 Contoh 1.2.3. Diberikan ring R sebarang dan ideal I di R. Ring faktor R I merupakan modul kiri sekaligus modul kanana atas ring R terhadap operasi pergandaan skalar: dan R R I R I (a, b + I) ab + I R I R R I (b + I, a) ba + I, untuk setiap a R dan b + I R I. Contoh 1.2.4. Apabila diberikan ring R sebarang, maka ideal kiri I di R merupakan modul kiri atas ring R dan ideal kanan J di R merupakan modul kanan atas ring R terhadap operasi perkalian ring R. Selanjutnya, jika diberikan suatu ring dengan elemen satuan maka ring tersebut dapat dipandang sebagai modul atas dirinya sendiri. Kemudian, jika kita mempunyai grup Abelian (G, +) apakah selalu tedapat suatu ring R sehingga G merupakan modul atas R? Untuk menjawab pertanyaan tersebut, misalkan diberikan suatu grup Abelian (G, +) dan elemen g G. Misalkan n adalah suatu bilangan bulat sebarang, maka diperoleh: Jika n >, maka n.g = g + g +... + g. }{{} n suku Jika n =, maka n.g =. Jika n <, maka n.g = ( g) + ( g) +... + ( g). }{{} n suku
6 Dengan demikian, setiap grup Abelian (G, +) merupakan modul atas bilangan bulat Z terhadap operasi pergandaan skalar: untuk setiap n Z dan g G.. : Z G G (n, g) n.g Contoh 1.2.5. Grup Abelian (Z[X], +) merupakan modul atas ring Z. Begitu halnya dengan grup Abelian (Z n, +) dengan n 2 juga merupakan modul atas ring Z. Setiap ruang vektor merupakan modul atas lapangan. Oleh karena itu perlu diselidiki sifat apa saja pada ruang vektor yang berlaku atau tidak berlaku pada modul. Misalkan diberikan ruang vektor V atas lapangan F. Diberikan α F dan v V dengan αv = tetapi α. Pada ruang vektor, karena F merupakan lapangan maka terdapat α 1 sehingga memenuhi α 1 αv = 1v = v =. Namun, dalam modul sifat ini tidaklah berlaku. Selanjutnya, misalkan diberikan V ruang vektor atas lapangan F. Dari lapangan F, kita dapat membentuk ring dengan elemen satuan F [X] = {p(x) = n } a i x i ai F, i = 1, 2,.., n. Kemudian muncul i= pertanyaan, apakah dapat didefinisikan suatu operasi pergandaan skalar antara elemen di F [X] dengan elemen di V sedemikian hingga V membentuk modul atas F [X]? Ternyata hal ini dapat dilakukan dengan menggunakan bantuan suatu transformasi linear T. Sebelumnya, diperhatikan bahwa jika T merupakan transformasi linear dari ruang vektor V ke V, maka akan dapat ditunjukkan bahwa T n = T} T {{ T... T} juga merupakan transformasi linear. Kemudian, n suku didefinisikan T = I dengan I merupakan suatu transformasi linear identitas dari ruang vektor V ke V. Misalnya diberikan T suatu transformasi linear dan p(x) F X dengan p(x) = a + a 1 x +... + a n x n, maka diperoleh: p(t ) = a I + a 1 T +... + a n T n.
7 Lebih lanjut, dapat ditunjukkan bahwa p(t ) juga merupakan suatu transformasi linear dari ruang vektor V ke V. Dengan demikian, dapat didefinisikan operasi pergandaan skalar sebagai berikut: : F [X] V V (p(x), v) p(x) v = p(t )v untuk setiap p(x) F [X] dan v V. Lebih lanjut, dapat ditunjukkan bahwa ruang vektor V dapat membentuk suatu modul atas ring F [X] melalui suatu transformasi linear T : V V terhadap operasi pergandaan skalar yang didefinisikan di atas.
8 Contoh 1.2.6. Misalkan diberikan ruang vektor V = R 3 atas lapangan F = R. Didefinisikan transformasi linear T : R 3 R 3 dengan ( x ) y x definisi T y =, untuk setiap y R 3. Dapat ditunjukkan bahwa R 3 merupakan modul atas ring R[X] melalui transformasi linear T terhadap operasi pergandaan skalar sebagai berikut: p(x)v = p(t )v = (a I + a 1 T +... + a n T n )(v) x y = a y + a 1 + a 2 = = a x + a 1 y + a 2 a y + a 1 a a a 1 a 2 a a 1 a x y untuk setiap p(x) R[X] dan v R 3.. +... + a n Contoh 1.2.7. Misalkan diberikan ruang vektor V = R 3 atas lapangan F = R. Didefinisikan transformasi linear T : R 3 R 3 dengan ( x ) x definisi T y =, untuk setiap y R 3. Dapat ditunjukkan bahwa R 3 merupakan modul atas ring R[X] melalui trans-
9 formasi linear T terhadap operasi pergandaan skalar sebagai berikut: p(x)v = p(t )v = (a I + a 1 T +... + a n T n )(v) x = a y + a 1 + a 2 = = a x + a 1 a y a a a 1 a a x y untuk setiap p(x) R[X] dan v R 3.. +... + a n 1.3. Submodul Diberikan R merupakan ring dengan elemen satuan dan M merupakan suatu modul atas R. Suatu himpunan tak kosong S M disebut submodul dari M jika S merupakan subgrup dari M terhadap operasi penjumlahan serta S juga merupakan modul atas R terhadap operasi pergandaan skalar yang sama dengan yang berlaku pada M. Dengan kata lain, S merupakan submodul dalam M jika: 1). (S, +) merupakan grup Abelian terhadap operasi +, yaitu S merupakan subgrup di (M, +). 2). ( r R)( s S) r s S. Untuk memudahkan menentukan suatu himpunan merupakan submodul, muncul teorema sebagai berikut ini.
1 Teorema 1.3.1. Diberikan modul M atas ring R dan himpunan tak kosong S M. S merupakan submodul di M jika dan hanya jika memenuhi sifat: 1. ( s 1, s 2 S) s 1 s 2 S. 2. ( r R)( s S) r s S). Contoh 1.3.2. Pada Z sebagai Z-modul, himpunan nz dengan n N merupakan submodul dari Z. Contoh 1.3.3. Diberikan modul R 3 atas ring R. Himpunan S R 3 dengan S = {(a, b, ) a, b R} merupakan submodul di R 3, karena apabila diambil sebarang (a, b, ), (x, y, ) S dan r R, maka diperoleh: (a, b, ) (x, y, ) = (a x, b y, ) S dan r(a, b, ) = (ra, rb, ) S. Misalkan M merupakan modul atas R dan S 1, S 2 merupakan submodul dari M. Didefinisikan jumlahan dari submodul S 1 dan S 2 adalah
11 himpunan S 1 +S 2 = {x+y x S 1 dan y S 2 }. Seperti halnya pada grup, pada modul dapat ditunjukkan bahwa irisan dan jumlahan dari dua submodul juga membentuk submodul. Lemma 1.3.4. Diberikan modul M atas ring R. Jika S 1 dan S 2 merupakan submodul di M, maka: 1. S 1 S 2 merupakan submodul di M. 2. S 1 + S 2 merupakan submodul di M. Bukti. 1. Jelas bahwa S 1 S 2 bukan merupakan himpunan kosong, karena S 1 dan S 2 masing-masing merupakan submodul di M. Diambil sebarang r R dan a, b S 1 S 2, maka a, b S 1 dan a, b S 2. Karena S 1 dan S 2 merupakan submodul di M maka memenuhi a b S 1 dan a b S 2. Akibatnya, diperoleh a b S 1 S 2. Karena S 1 dan S 2 merupakan submodul di M maka memenuhi ra S 1 dan ra S 2. Dari sini berakibar ra S 1 S 2. Jadi terbukti bahwa S 1 S 2 merupakan submodul di M. 2. Jelas bahwa S 1 + S 2 bukan merupakan himpunan kosong, karena S 1 dan S 2 masing-masing merupakan submodul di M. Diambil sebarang r R dan a + b, x + y S 1 + S 2. Karena S 1 dan S 2 merupakan submodul di M maka memenuhi a x S 1 dan b y S 2. Akibatnya, diperoleh (a+b) (x+y) = (a x)+(b y) S 1 + S 2. Selanjutnya, karena S 1 dan S 2 merupakan submodul di M maka memenuhi ra S 1 dan rb S 2. Akibatnya, diperoleh r(a + b) = ra + rb S 1 + S 2. Jadi, terbukti bahwa S 1 + S 2 merupakan submodul di M. Berdasarkan lemma tersebut, dapat digeneralisasi bahwa irisan serta jumlahan tak hingga banyak submodul juga membentuk submodul.
12 Lemma 1.3.5. Diberikan modul M atas ring R. Jika S α merupakan submodul di M untuk setiap α Λ, maka: 1. 2. α Λ α Λ S α merupakan submodul di M. S α merupakan submodul di M. 1.4. Submodul Yang Dibangun Oleh Suatu Himpunan Jika diberikan M modul atas R dan himpunan X M, maka X bisa merupakan submodul di M atau X bukan merupakan submodul di M. Jika X bukan merupakan submodul di M, ternyata bisa dibentuk submodul yang memuat X yakni minimal adalah modul M itu sendiri. Namun, modul M merupakan submodul terbesar dan submodul yang trivial. Oleh karena itu, muncul pertanyaan bagaimana mencari submodul terkecil yang memuat X. Berikut diberikan langkah-langkah mencari submodul terkecil yang memuat X. a). Dikumpulkan semua submodul yang memuat X. Kemudian dibentuk himpunan: S X = {S i S i submodul dan X S i } = {M, S 1, S 2,...} b). Dibentuk irisan dari semua submodul di dalam S X, yaitu: S i = M S 1 S 2... S i S X Berdasarkan Lemma 1.3.5 diperoleh bahwa S i merupakan S i S X submodul di M. Karena X S i S i untuk setiap S i S i S X S X, maka diperoleh bahwa S i merupakan submodul terkecil S i S X yang memuat X.
13 Selanjutnya, muncul pertanyaan bagaimanakah bentuk elemenelemen di dalam S i? Dimisalkan X = {x 1, x 2,..., x l }. S i S X Jelas elemen-elemen dari X berada di S i, karena X S i S X S i. Dengan demikian, diperoleh x 1, x 2,..., x l S i. S i S X S i S X Mengingat S i submodul atas R, maka untuk setiap r i R S i S X diperoleh r i x i juga berada di S i. Oleh karena itu, untuk S i S X setiap r i R dan x i X diperoleh r i x i S i. S i S X Mengingat S i submodul dan r i x i S i, maka diperoleh l r i x i juga termuat di dalam S i. S i S X S i S X i=1 S i S X Dengan demikian, diperoleh untuk setiap r i R dan x i X memenuhi l r i x i S i. i=1 S i S X Jika semua bentuk l r i x i dengan r i R dan x i X dikumpulkan i=1 menjadi satu, yakni dalam himpunan X = { l r i x i r i R dan x i i=1 X}, maka akan diperoleh suatu teorema sebagai berikut. Teorema 1.4.1. Diberikan modul M atas ring R serta himpunan X M. Jika S X = {S i S i submodul dan X S i }, maka diperoleh S i S X S i = X. Dari sini, diperoleh bahwa submodul terkecil yang memuat X tidak lain merupakan himpunan semua kombinasi linear dari elemenelemen di dalam X, dinotasikan dengan X. Jelas bahwa X M. Jika X = M, maka munculah definisi modul yang dibangun oleh suatu himpunan sebagai berikut.
14 Definisi 1.4.2. Diberikan modul M atas ring R dan himpunan X M. Jika X = M, maka M disebut modul yang dibangun oleh X. Untuk memperjelas berikut diberikan contoh submodul yang dibangun oleh suatu himpunan. Contoh 1.4.3. Diberikan Z sebagai Z-modul dan himpunan bagian X = {2, 4, 6} di Z. Karena submodul di Z berbentuk nz untuk suatu n N, maka submodul-submodul dari Z yang memuat himpunan X adalah submodul 2Z dan Z sendiri. Akibatnya, diperoleh submodul yang dibangun oleh X adalah submodul 2Z Z = 2Z. Lebih lanjut, jika diberikan modul M atas ring R serta submodul S 1 dan S 2 di M maka S 1 S 2 belum tentu membentuk submodul di M. Dapat ditunjukkan bahwa S 1 S 2 = S 1 + S 2, sehingga S 1 + S 2 merupakan submodul terkecil yang memuat S 1 S 2. Dari pendefinisian modul yang dibangun oleh suatu himpunan, berikut diberikan definisi modul siklik. Definisi 1.4.4. Diberikan modul M atas ring R dan elemen a M. Jika a = M, maka M disebut modul siklik. Contoh 1.4.5. Modul Z sebagai Z-modul merupakan modul siklik karena Z = 1. 1.5. Jumlah Langsung Jika diberikan modul M atas ring R serta submodul S 1 dan S 2 di M, maka jelas bahwa S 1 +S 2 M tetapi belum tentu berlaku S 1 +S 2 = M. Selain itu, diketahui juga bahwa {} S 1 S 2 tetapi belum tentu S 1 S 2 = {}. Hal inilah yang mengantarkan kita untuk mendefinisikan jumlah langsung suatu modul. Jika S 1 dan S 2 merupakan submodul-submodul di M dengan sifat S 1 +S 2 = M dan S 1 S 2 = {}, maka modul M disebut sebagai jumlah
15 langsung (direct sum) dari S 1 dan S 2 dan biasa dinotasikan dengan M = S 1 S 2. Adapun kelebihan M = S 1 S 2 adalah untuk setiap m M terdapat dengan tunggal s 1 S 1 dan s 2 S 2 sedemikian hingga memenuhi m = s 1 + s 2. Secara umum, jika S 1, S 2,..., S k masing-masing merupakan submodul di M, maka M disebut jumlah langsung dari S 1, S 2,..., S k (dinotasikan dengan M = S 1 S 2... S k ) jika: a). M = S 1 + S 2 +... + S k b). S i ( j i S j ) = {}, untuk setiap i = 1, 2,..., k. Selanjutnya, kelebihan M = S 1 S 2... S k adalah untuk setiap m M terdapat dengan tunggal s i S i sedemikian hingga memenuhi m = k s i. i=1 Dari pendefinisian jumlah langsung suatu modul, berikut diberikan definisi dari submodul komplemen beserta contohnya. Definisi 1.5.1. Diberikan modul M atas ring R dan submodul K di M. Submodul K disebut komplemen pada M jika dan hanya jika terdapat submodul H di M sehingga memenuhi K H = M. Contoh 1.5.2. Pada Z 6Z sebagai modul faktor atas dirinya sendiri, submodul K = { + 6Z, 2 + Z, 4 + Z} merupakan komplemen pada Z 6Z, karena terdapat submodul H = { + 6Z, 3 + 6Z} sehingga: K + H = Z 6Z Akibatnya, diperoleh K H = Z 6Z. dan K H = { + 6Z}. 1.6. Modul Faktor
16 Modal dalam pembentukan modul faktor adalah modul M atas ring R dan submodul S di M. Mengingat S merupakan submodul di M maka (S, +) merupakan subgrup di dalam grup Abelian (M, +). Berarti S merupakan subgrup normal di M. Oleh karena itu, terbentuk grup faktor ( M S, +) yang juga merupakan grup Abelian. Selanjutnya, muncul pertanyaan apakah dapat dibentuk operasi : R M S M S sedemikian hingga M S juga merupakan modul atas ring R. Diambil sebarang r R dan m = m + S M S, maka diperoleh: r m = r (m + S) = rm + S = rm M S
17 Dapat ditunjukkan bahwa operasi di atas well-defined dan M S merupakan R-modul yang selanjutnya disebut dengan modul faktor dari submodul S di M. Berikut diberikan beberapa contoh modul faktor. Contoh 1.6.1. Diberikan Z sebagai Z-modul dan submodul 6Z di Z. Dapat dibentuk grup faktor Z 6Z = {+6Z, 1+6Z, 2+6Z, 3+6Z, 4+ 6Z, 5 + 6Z}. Jelas bahwa grup faktor Z 6Z merupakan grup Abelian. Dapat ditunjukkan bahwa grup Abelian Z 6Z merupakan modul atas Z terhadap operasi pergandaan skalar r(a + 6Z) = (ra) + 6Z, untuk setiap r Z dan a + 6Z Z 6Z. Lebih lanjut, grup Abelian Z 6Z disebut modul faktor dari submodul 6Z di Z. Contoh 1.6.2. Diberikan ring R dan R-modul R[X]. Jika P merupakan himpunan polinomial di R[X] dengan bentuk konstan nol, maka P jelas merupakan submodul di R[X]. Setiap elemen di dalam modul faktor R[X] P dapat dinyatakan dengan (a + a 1 X + a 2 X 2 +... + a n X n ) + P. Namun, karena a 1 X + a 2 X 2 +... + a n X n P maka setiap elemen di dalam modul faktor R[X] P dinyatakan dengan a + P dengan a R. Selanjutnya, operasi penjumlahan dan pergandaan skalar di dalam R[X] P dinyatakan sebagai berikut: (a + P ) + (b + P ) = (a + b) + P dan r(a + P ) = ra + P untuk setiap r R dan a + P, b + P R[X] P. 1.7. Latihan Soal
18 (1). Tunjukkan bahwa grup Abelian (R 3, +) merupakan modul kiri atas ring matriks ( M 3 3 (R), +,. ) terhadap operasi pergandaan skalar: : M 3 3 (R) R 3 R 3 (A, v) A v untuk setiap A M 3 3 (R) dan v R 3! (2). Tunjukkan bahwa grup Abelian (R 3, +) dengan { ( R 3 ) } = x1 x 2 x 3 x 1, x 2, x 3 R merupakan modul kanan atas ring matriks ( M 3 3 (R), +,. ) terhadap operasi pergandaan skalar: : M 3 3 (R) R 3 R 3 (A, v) v A untuk setiap A M 3 3 (R) dan v R 3! (3). Tunjukkan bahwa grup Abelian (M m n, +) merupakan modul kiri atas ring M m m serta merupakan modul kanan atas ring M n n! (4). Diberikan R-modul M, m M, dan r R. Buktikan bahwa r =, m =, dan (rm) = ( r)m = r( m)! (5). Diberikan M merupakan modul atas ring R serta submodul S 1 dan S 2 di M. Tunjukkan bahwa: a). S 1 S 2 belum tentu merupakan submodul di M! b). S 1 + S 2 = S 1 S 2! (6). Buktikan Lemma 1.3.5! (7). Diberikan R-modul M serta submodul A, B, C di M. a). Buktikan bahwa A + B = {a + b a A, b B} merupakan submodul di M!
19 b). Jika A C, buktikan bahwa A + (B C) = (A + B) C! (8). Diberikan R-modul M dan a M. Buktikan bahwa himpunan T = {ra + na r R, n Z} merupakan submodul di M! (9). Diberikan modul M atas ring R dan ideal I di R. Buktikan bahwa himpunan: { n } IM = a i m i n N, a i I, m i M i=1 merupakan submodul di M! (1). Diberikan modul M atas ring R. Jika N merupakan ( submodul ) di M dan I merupakan ideal di R, buktikan bahwa I M N = (IM + N) N! (11). Buktikan bahwa jika M merupakan R-modul yang dibangun secara hingga dan N submodul di M, maka modul faktor M N juga dibangun secara hingga! (12). Diberikan Z sebagai Z-modul. a). Tunjukkan 6Z merupakan submodul di Z! b). Deskripsikan elemen-elemen di dalam modul faktor Z 6Z atas ring Z! c). Berikan salah satu submodul S di dalam Z 6Z atas Z yang tidak trivial! d). Deskripsikan modul faktor (Z6Z) S sebagai modul atas Z untuk S pada soal c) di atas!