BAB II TINJAUAN PUSTAKA

Transkripsi

1 3 BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Gelanggang, Lapangan, dan Ruang Vektor Suatu himpunan tak kosong R disebut gelanggang jika di dalam R didefinisikan dua operasi, masing-masing dinotasikan dengan + dan., sedemikian sehingga dipenuhi : 1. (R, +) suatu grup komutatif 2. (R,.) suatu semigrup 3. a.(b + c) = a.b + a.c dan (b + c).a = b.a + c.a untuk semua a, b, c di R Jika perkalian di R memenuhi a.b = b.a untuk setiap a, b di R, maka R dinamakan gelanggang komutatif. Selanjutnya pada gelanggang komutatif R jika untuk semua 0 a R terdapat b 0 R sedemikian sehingga berlaku ab = ba = 1 maka R disebut lapangan yang dinotasikan dengan k. Struktur lain yang ada kaitannya dengan lapangan adalah ruang vektor. Suatu himpunan tak kosong V disebut ruang vektor atas suatu lapangan k jika (V, +) suatu grup komutatif dan untuk setiap α k, v V didefinisikan suatu unsur, ditulis αv, di V sehingga dipenuhi : 1. α(v + w) = αv + αw 2. (α + β)v = αv + βv

2 4 3. α(βv) = (αβ)v 4. 1v = v, untuk semua α,β k dan v, w V Generalisasi dari ruang vektor atas lapangan adalah modul atas gelanggang. Himpunan tak hampa M disebut modul kiri atas gelanggang R (atau ditulis R-modul gelanggang ) jika M dilengkapi dengan dua operasi yaitu operasi penjumlahan (+) dan operasi perkalian dengan skalar yang dinyatakan dengan pemetaan f : R x M M dengan f(r, a) = ra M, r R dan a M sedemikian sehingga dipenuhi : (1) (M, +) grup komutatif (2) r, s R dan a, b M berlaku : a. r(a + b) = ra + rb b. (r + s)a = ra + sa c. r(sa) = (rs)a d. 1a = a Jika pada definisi di atas, operasi perkalian skalar didefinisikan oleh f : M x R M dengan f(a,r) = ar M maka M disebut modul kanan atas gelanggang R ( atau ditulis R-modul kanan) Hasilkali Tensor Pendefinisian aljabar atas lapangan yang akan dibahas di sini memerlukan sifat-sifat hasilkali tensor. Dalam tulisan ini penulis akan membahas hasilkali

3 5 tensor dari dua buah modul atas gelanggang dan menggunakannya untuk hasilkali tensor aljabar. DEFINISI 2.1 Misalkan A R dan R B berturut-turut menyatakan R-modul kanan dan kiri. Jika U menyatakan grup Abel aditif, maka φ : A x B U dikatakan pemetaan balance jika dipenuhi : 1. φ(a 1 + a 2, b) = φ (a 1, b) + φ (a 2, b) 2. φ(a, b 1 + b 2 ) = φ (a, b1) + φ (a, b2) 3. φ(ar, b) = φ (a, rb), untuk semua a, a 1, a 2 A, b, b 1, b 2 B dan r R. Kondisi (1) dan (2) mengatakan bahwa φ suatu pemetaan bilinier. Dapat ditunjukkan bahwa jika η : U U` suatu homomorfisma grup maka pemetaan komposisi ηϕ : A x B U` suatu pemetaan balance. Jika A R dan R B sebarang R-modul, definisikan S =S(A, B) menjadi grup komutatif bebas atas A x B. ( Grup komutatif bebas artinya jumlah langsung dari pembangun suatu grup siklik tak hingga dan A x B memuat semua pembangun dari S. Dalam hal ini S = <(a i, b i )> dengan i I ). Dengan kata lain, setiap unsur di S dapat ditulis secara tunggal sebagai suatu jumlah hingga z a,b (a, b) dengan z bilangan bulat.

4 6 Misalkan H subgrup dari S yang dibangun oleh unsur-unsur dengan bentuk sebagai berikut. 1. (a 1 +a 2, b) - (a 1, b) - (a 2, b) 2. (a, b 1 +b 2 ) - (a, b 1 ) - (a, b 2 ) 3. (ar, b) - (a, rb), untuk semua a, a 1, a 2 A, b, b 1, b 2 B dan r R. Sekarang definisikan A B menjadi suatu grup komutatif aditif S/H. Untuk (a, b) S, definisikan a b = (a, b) + H = 1(a, b) + H A B. Restriksi pada S S/H oleh A x B menghasilkan pemetaan φ :AxB A B. Berdasarkan pendefinisian H di atas dapat dilihat bahwa φ suatu pemetaan balance. Dari konstruksi di atas dapat diperoleh definisi hasilkali tensor sebagai berikut : DEFINISI 2.2 Untuk modul A R dan R B atas suatu ring R, suatu hasilkali tensor dari A dan B adalah pasangan (T, φ ) dimana T adalah grup komutatif dan φ : A x B T suatu pemetaan balance. Untuk sebarang pemetaan balance f : A x B C ke sebarang grup komutatif C, terdapat homomorfisma grup komutatif yang tunggal f` : T C sedemikian sehingga f = f`ϕ. Diagramnya dapat dilihat sebagai berikut : A x B ϕ T f! f ` C

5 7 PROPOSISI 2.1 Misalkan A R dan R B adalah R-modul. Maka (A R B, θ) suatu hasilkali tensor dari A dan B atas R. Lebih jauh, jika (X, θ`) sebarang hasilkali tensor lain, maka terdapat isomorfisma grup komutatif σ : A B X sedemikian sehingga θ` = σθ. Bukti : Sebelumnya telah dibuktikan bahwa A R B suatu grup komutatif dan θ : AxB A B suatu pemetaan balance. Sekarang, misalkan ϕ: AxB U sebarang pemetaan balance. Karena S modul bebas atas AxB, penugasan (a, b) a ϕ(a, b)menentukan suatu homomorfisma η`: S U. Karena ϕ pemetaan balance maka η` memetakan setiap generator dari H ke nol atau η`(h) = 0. Jadi, H ker(η`). Dari teorema isomorfisma grup terdapat η : S/H U sedemikian sehingga η[(a,b) + H ]= η`[(a, b)]= ϕ(a, b). Tetapi dari pendefinisian awal S/H = A B dan (a, b) + H =a b. Oleh karenanya, η : S/H = A B U suatu homomorfisma dengan η(a b) = ϕ(a, b). Berikut akan ditunjukkan bahwa η unik. Misalkan f : A B U suatu homomorfisma grup komutatif lain sehingga ϕ = fθ. Ambil ξ unsur di A B dan tuliskan ξ = a b, yaitu jumlah hingga. Sekarang perhatikan, f(ξ)= fθ(a, b) = ϕ(a, b) = η(ξ). Hal ini menunjukkan bahwa η = f.

6 8 Perhatikan diagram berikut : A x B θ θ` σ A B τ X Karena (X, θ`) suatu hasilkali tensor maka θ` : AxB X suatu pemetaan balance dan terdapat σ : A B X dengan θ` = σθ. Demikian juga karena (A B, θ) suatu hasilkali tensor maka θ : AxB A B suatu pemetaan balance dan terdapat τ : X A B dengan θ = τθ`. Jadi diperoleh θ` = στθ` dan juga θ = τσθ. Hal ini menunjukkan bahwa στ dan τσ suatu pemetaan identitas. Jadi, σ: A B X mendefinisikan suatu isomorfisma. Q.E.D Untuk mempermudah pemahaman hasilkali tensor berikut akan diberikan beberapa contoh dan perhitungan sederhana dari hasilkali tensor CONTOH I. Untuk 1 n, m Z dengan gcd(m, n) = d 1 pembangun dari ideal (n) + (m) = nz + mz = (d). Bentuk Z n = Z/(n), dan demikian juga untuk Z m dan Z d. Misalkan η : Z n x Z m Z d oleh pengaitan η(i + (n), j + (m) ) = ij + (d) untuk i, j Z, maka (Z d, η) mendefinisikan suatu hasilkali tensor dari Z n dan Z m.

7 9 BUKTI : Buat pengaitan η : Z n x Z m Z d oleh η(i + (n), j + (m) ) = ij + (d) untuk i, j Z. Pertama akan ditunjukkan bahwa η suatu pemetaan. Ambil (I + (n), j + (m)), dan (a + (n), b + (m)) Z n x Z m sebarang dengan I + (n ) = a+(n) dan j + (m) = b + (m). Kita peroleh bahwa I - a = n 1 dan j b = m 1 untuk suatu n 1 (n) dan m 1 (m). Tetapi ij = (a + n 1 )(b + m 1 ) = ab + am 1 + bn 1 +n 1 m 1, akibatnya ij ab (d) yang menunjukkan bahwa ij + (d) = ab + (d). Jadi, η terdefinisi dengan baik. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa η suatu pemetaan balance. Ambil i + (n), j + (i) Z n dan a + (m), b + (m) Z m dan r Z. Tetapi karena : η(i + j + (n), a + (m)) = (I + j)a +( d) = ia + (d) + ja + (d) = η(i + (n), a + (m)) + η(j+(n), a+(m)); η(i + (n), a + b + (m)) = i(a + b) + (d) = ia + (d) + ib + (d) = η(i + (n), a + (m)) + η(i+(n), b+(m)); η(ri + (n), a + (m)) = (ri)a + (d) = i(ra) + (d) = η(i + (n), ra + (m)) ; maka η suatu pemetaan balance Selanjutnya Misalkan ϕ: Z n x Z m C sebarang pemetaan balance ke suatu grup komutatif C, akan ditunjukkan bahwa terdapat homomorfisma grup komutatif ϕ` : Z d C sedemikian sehingga ϕ = ϕ`η. Oleh karena itu definisikan ϕ`(k + (d)) = ϕ(k+(n), 1+(m)) dengan k Z. Ambil k + (d), l + (d) Z d dengan k + (d) = l + (d), maka k l = in + jm atau k = in + jm + l.kita peroleh:

8 10 ϕ`(k + (d)) = ϕ(k + (n), 1 + (m)) = ϕ(in + jm + l + (d), 1+ (d)) = ϕ(l + (d), 1 + (d)) = ϕ`(l + (d)) yang menunjukkan bahwa ϕ` terdefinisi dengan baik. Sekarang akan ditunjukkan bahwa ϕ` suatu homomorfisma grup. Ambil k + (d), l + (d) Z d, karena ϕ balance maka Kita peroleh bahwa ϕ`(k + l + (d))= ϕ(k + l + (n), 1+ (m))= ϕ(k + (n), 1+ (m))+ ϕ(l + (n), 1 + (m)) = ϕ`(k + (d)) + ϕ`(l + (d)). Jadi, ϕ` Suatu homomorfisma. Sekarang perhatikan bahwa ϕ`η(i + (n), j + (m))= ϕ`(ij + (d))= ϕ(ij + (n), 1+ (m) = ϕ(i + (n), j + (m)). Kita peroleh bahwa ϕ = ϕ`η. Misalkan h : Z d C pemetaan lain yang memenuhi ϕ = hη. Maka h(k + (d)) = hη(k + (n), 1 + (m)) = ϕ(k + (n), 1 + (m))= ϕ`(k + (d)). Jadi, h=ϕ`. Dari pembuktiaan di atas terbukti bahwa (Z d, η) mendefinisikan suatu hasilkali tensor dari Z n dan Z m. Q.E.D CONTOH II Jika p q Z dengan gcd(p, q) = 1, maka Z/(p) Z Z/(q) = 0. Bukti : Karena gcd(p, q) = 1 maka ada s, t Z sehingga sp+tq=1. Perhatikan bahwa (1+(p)) (1+(q))=(sp+tq+(p)) (1+(q))=(tq+(p)) (1+(q)) = ((t+(p)q) (1+(q)) = 0. Jadi, Z/(p) Z Z/(q) = 0. Q.E.D

9 11 CONTOH III Untuk sebarang 2 n Z, untuk (n) = nz < Z dan Q himpunan semua bilangan rasional, maka Q Z Z/(n) = 0. Bukti : Ambil x Q sebarang. Tulis x = ny untuk suatu y Q. Jadi, x (1+(n))=ny (1+(n)) = y n(1+(n)) = y 0 = 0. Kita peroleh bahwa Q Z Z/(n) = 0. Q.E.D CONTOH IV : PERHITUNGAN HASILKALI TENSOR Diberikan Z 2 himpunan semua bilangan bulat modulo dua dan Z 4 himpunan semua bilangan bulat modulo 4. Di sini akan dihitung hasilkali tensor antara Z 2 dan Z 4 yaitu Z 2 Z 4 Untuk itu perhatikan tabel berikut : Z 4 Z Dari tabel tersebut kita peroleh: 0 0 = 0 1 = 0 2 = 0 3 = 1 0 = = 1 31 = 31 1 = 3 1 = 1 1

10 12 Yang terakhir diperoleh dengan menggunakan sifat hasilkali tensor yaitu na b = a nb = n(a b). Jadi, 0 1, 0 2, 0 3, 1 0, 1 2 dapat diwakili oleh 0 0 dan 1 3 dapat diwakili oleh 1 1. Sehingga kita peroleh Z 2 Z 4 = { 0 0, 1 1} yang isomorf dengan Z 2. Hal ini sesuai dengan apa yang telah dibahas pada contoh 1 sebelumnya. LEMA 2.1. Misalkan k suatu lapangan dan V suatu ruang vektor atas k.lapangan k sendiri dapat dipandang sebagai ruang vektor berdimensi satu atas k. Terdapat isomorfisma k V V V k. Bukti : Akan dibuktikan k V V. Pandang V suatu hasilkali tensor dari k dan V. Sementara k V sendiri adalah hasilkali tensor. Pandang diagram berikut : kxv θ ϕ f V g k V (i) Karena V mendefinisikan hasilkali tensor k dan V maka untuk setiap pemetaan balance ϕ : k x V k V terdapat secara tunggal homomorfisma f : V k V sehingga ϕ=fθ.

11 13 (ii). Dengan cara yang sama pandang bahwa k V suatu hasilkali tensor. Diperoleh bahwa untuk setiap pemetaan balance θ: k x V V terdapat dengan tunggal g : k V V sedemikian sehingga θ=gϕ (iii).dari (i) dan (ii) diperoleh ϕ = fθ=fgϕ dan di sisi lain 1 k V ϕ =ϕ. Jadi, fg=1 k V. Juga θ=gϕ=gfθ dan 1 V θ=θ yang berakibat gf =1 V. Oleh karenanya, g suatu isomorfisma. Jadi telah dibuktikan bahwa k V V V k. Q.E.D LEMA 2.2. Misalkan A, A` suatu R-modul kanan dan misalkan B, B`, suatu R-modul kiri. Jika α: A A` dan β: B B` adalah suatu R-homomorfisma, maka terdapat homomorfisma α β: A B A` B` dengan α β :a b αa βb untuk setiap a di A dan b di B. Bukti : Sebelumnya telah ditunjukkan bahwa A x B A` B` yang didefinisikan oleh (a, b) a αa βb suatu pemetaan balance dan berdasarkan definisi hasilkali tensor A B terdapat homomorfisma α β: A B A` B` dengan α β : a b αa βb. Q.E.D