ELECRICIAN Jural Rekayasa da ekologi Elektro Aalisis da Visualisasi Represetasi Deret Fourier Gelombag Siyal Periodik Megguaka MALAB Ahmad Saudi Samosir Jurusa ekik Elektro Uiversitas Lampug, Badar Lampug Jl. Prof. Sumatri Brojoegoro No. Badar Lampug 545 ahmad.saudi@eg.uila.ac.id Itisari---ulisa ii membahas tetag pegguaa program MALAB utuk memvisualisasika represetasi deret fourier dari gelombag siyal periodik. Sebagai cotoh kasus diambil dua buah siyal yag sagat serig diguaka sebagai siyal masuka pada ragkaia listrik da elektroika yaitu siyal gelombag gigi gergaji da siyal gelombag persegi. Kata kuci---gelombag siyal periodik, gelombag gigi gergaji, gelombag persegi, deret fourier. Abstract---his paper discusses the use of MALAB program to visualize the Fourier series represetatio of a periodic sigal waveform. As a example case, the aalysis is doe for two periodic sigals that are ofte used as a iput sigal to the electrical ad electroic circuit is a sawtooth wave sigal ad a square wave sigal. Keywords---periodic sigal wave, sawtooth wave, square wave, Fourier series. I. PENDAHULUAN Siyal masuka yag merupaka fugsi periodik bayak diguaka pada duia ketekika (egieerig). Dari sekia bayak betuk siyal yag serig diguaka pada duia ketekika, khususya dalam aalisa ragkaia listrik da elektroika di ekik Elektro, terlihat bahwa terdapat siyal masuka yag berbetuk siusoidal, tetapi bayak juga siyal masuka yag berbetuk buka siusoidal. Utuk ragkaia listrik yag megguaka siyal masuka siusoidal, aalisaya dapat dilakuka dega mudah megguaka metoda phasor [-], tetapi utuk siyal masuka yag buka siusoidal, hal ii tidak dapat dilakuka. Padahal sagat bayak siyal siyal petig yag serig diguaka merupaka gelombag siyal periodik yag buka siusoidal, diataraya gelombag gigi gergaji (sawtooth wave), gelombag persegi (square wave) da gelombag sius terpotog seperti gelombag keluara dari ragkaia peyearah (rectifier), baik peyearah setegah gelombag maupu peyearah gelombag peuh. Gbr. Betuk gelombag siyal periodik Beberapa cotoh betuk gelombag periodik dapat dilihatka pada gambar, terdiri dari gelombag siusoidal (sie), gelombag persegi (square), gelombag segitiga (triagle) da gelombag gigi gergaji (sawtooth). Bila ditijau dari betukya, betuk gelombag yag disebutka diatas mempuyai satu kesamaa sifat, yaitu semuaya merupaka sebuah fugsi waktu Volume 9, No., September 5
ELECRICIAN Jural Rekayasa da ekologi Elektro 4 yag periodik dega perioda, atau dapat dituliska: 4 Gelombag Gigi Gergaji f ( t ) II. DERE FOURIER DARI FUNGSI PERIODIK Suatu fugsi dikataka mempuyai periode atau periodik dega periode jika utuk setiap t berlaku f(t+) =, dimaa kostata positif. Nilai terkecil diamaka periode terkecil atau disigkat periode. Dega megguaka tekik Deret Forier, setiap fugsi periodik dapat direpresetasika sebagai pejumlaha tak higga dari sedereta besara siusoidal. ekik ii diperkealka pertama kali oleh seorag ahli matematika da fisika fracis berama Jea Baptiste Joseph Forier (768-8) []. Deret Fourier adalah suatu deret yag megadug suku-suku sius da cosius yag diguaka utuk merepresetasika fugsi-fugsi periodik secara umum. Selai itu, deret ii serig dijadika sebagai alat batu dalam meyelesaika persamaa diferesial, baik persamaa diferesial biasa maupu persamaa diferesial parsial []. Fugsi periodik f ( t ) dapat dituliska dalam sebuah deret pejumlaha yag disebut Deret Forier dega uraia seperti berikut:[4] a a cos t b si t o o o dimaa koefisie Fourier a o, a da b ditetuka dega persamaa: a dt a cos o b si o - - - -4 - -8-6 -4-4 6 8 Gbr. Gelombag Gigi Gergaji (sawtooth wave) III. SUDI KASUS Pada pembahasa ii, sebagai cotoh kasus diambil dua buah siyal yag sagat serig diguaka sebagai siyal masuka pada ragkaia elektroika da ragkaia listrik yaitu siyal gelombag gigi gergaji da siyal gelombag persegi. Masig masig gelombag siyal aka di tetuka persamaa matematisya dega mecari uraia deret fourierya. A. Gelombag Gigi Gergaji (sawtooth wave) Sebagai cotoh kasus pertama kita tetuka deret fourier dari gelombag gigi gergaji yag diperlihatka pada gambar. Represetasi deret forier dari setiap gelombag periodik dapat dituliska sbb: a a cos t b si t o o o Koefisie a o ditetuka dega perhituga a t a ( ) Sehigga diperoleh a Volume 9, No., September 5
ELECRICIAN Jural Rekayasa da ekologi Elektro 5 Koefisie a dihitug utuk =,,, dega perhituga sbb: a t cos a (cos t t si t) disii juga diperoleh a Gbr. Program utuk meampilka harmoisa ke,, da 4 dari fugsi Berikutya koefisie b juga dihitug utuk =,,, Hasil perhituga sbb: b t si b (si t t cos t) cos b ( ) b Sehigga uraia deret fourier dari gelombag gigi gergaji dapat dituliska: si t si t f (t) si t si 4t 4 B. Visualisasi Gelombag Gigi Gergaji megguaka MALAB Utuk meampilka grafik masig masig harmoisa dari fugsi dapat dilakuka dega megguaka program Matlab [5-6]. Program ii dibuat berupa file teks berekstesi m (m file) [6]. Program utuk memperlihatka gelombag harmoisa pertama, kedua, ketiga da keempat dari fugsi diperlihatka pada gambar, da hasil keluara dari program pada gambar diperlihatka seperti pada gambar 4. Gbr. 4 harmoisa pertama, kedua, ketiga da keempat dari fugsi Betuk gelombag gigi gergaji aka diperoleh dega cara mejumlahka setiap suku dari yag merupaka uraia deret forier dari gelombag gigi gergaji. Program utuk mejumlahka suku pertama dari persamaa fugsi diperlihatka pada gambar 5. Hasil pejumlaha beberapa harmoisa pertama dari memberika hasil seperti pada gambar 6, 7 da 8. Volume 9, No., September 5
ELECRICIAN Jural Rekayasa da ekologi Elektro 6 Gbr. 5 Program utuk mejumlahka suku pertama dari fugsi Gbr. 8 Pejumlaha suku pertama dari fugsi C. Gelombag Persegi (square wave) Sebagai cotoh kasus kedua kita tetuka Deret Forier dari Gelombag Persegi seperti diperlihatka pada gambar 9. 5 Gelombag Persegi (squre wave) 4 Gbr. 6 Pejumlaha suku pertama dari fugsi - - - -4-5.5.5.5.5 4 Gbr. 9 Gelombag Gigi Persegi (square wave) Represetasi Deret Forier dari setiap gelombag periodik: Gbr. 7 Pejumlaha suku pertama dari fugsi a o a cos o t b si o t Koefisie a o ditetuka dega perhituga a 4 dt 4 dt a 4 4 Sehigga diperoleh a Volume 9, No., September 5
ELECRICIAN Jural Rekayasa da ekologi Elektro 7 Koefisie a dihitug utuk =,,, dega perhituga sbb: gambar, da hasil keluara dari program tsb diperlihatka seperti pada gambar. a 4 cos 4 cos a a 4 4 si t si t si si si si disii juga diperoleh a Gbr. Program utuk meampilka harmoisa ke,, da 4 dari fugsi Berikutya koefisie b juga dihitug utuk =,,, Hasil perhituga sbb: b 4 si 4 si b b b b 4 cos t cos t 4 cos cos cos cos 4 cos 8 (-) Sehigga uraia deret fourier dari gelombag persegi pada gambar 9 dapat dituliska: 6 si t si t si 5t si 7t 5 7 D. Visualisasi Gelombag Persegi megguaka MALAB Utuk meampilka grafik masig masig harmoisa dari fugsi dilakuka dega megguaka program Matlab. Program utuk memperlihatka gelombag harmoisa pertama, kedua, ketiga da keempat dari fugsi diperlihatka pada Gbr. harmoisa pertama, kedua, ketiga da keempat dari fugsi Betuk gelombag persegi aka diperoleh dega cara mejumlahka setiap suku dari yag merupaka uraia deret forier dari gelombag persegi. Program utuk mejumlahka 9 suku pertama dari persamaa fugsi diperlihatka pada gambar. Hasil pejumlaha beberapa harmoisa pertama dari memberika hasil seperti pada gambar, 4 da 5. Volume 9, No., September 5
ELECRICIAN Jural Rekayasa da ekologi Elektro 8 Gbr. Program utuk mejumlahka suku pertama dari fugsi Gbr. 5 Pejumlaha 99 suku pertama dari fugsi IV. HASIL DAN PEMBAHASAN Gbr. Pejumlaha 9 suku pertama dari fugsi Gbr. 4 Pejumlaha 9 suku pertama dari fugsi Pada cotoh kasus gelombag gigi gergaji, hasil simulasi program meujukka bahwa represetasi deret forier dari sebuah gelombag gigi gergaji (sawtooth wave) yag diberika dega persamaa: si t si t f (t) si t si 4t 4 telah terbukti kebearaya melalui visulisasi betuk gelombag hasil keluara program yag diperlihatka pada gambar 5, 7 da 9. pada gambar 5 terlihat bahwa betuk gelombag hasil pejumlaha dari suku pertama dari persamaa telah megarah ke betuk gelombag gigi gergaji. Dari gambar 7 terlihat bahwa dega mejumlahka suku pertama dari persamaa aka dihasilka betuk gelombag gigi gergaji yag lebih jelas. Bila suku yag dijumlahka semaki bayak maka betuk gelombag hasil pejumlaha suku sukuya aka meujukka betuk gelombag gigi gergaji yag lebih baik, seperti diperlihatka pada gambar 9 yag merupaka betuk gelombag hasil pejumlaha dari suku pertama dari persamaa. Dari ketiga gambar tersebut dapat dimegerti bahwa bila pejumlaha suku suku dari persamaa diteruska sampai = tak higga, maka aka dihasilka betuk Volume 9, No., September 5
ELECRICIAN Jural Rekayasa da ekologi Elektro 9 gelombag gigi gergaji yag bear bear mulus seperti betuk asliya (gambar ). Pada cotoh kasus gelombag persegi, represetasi deret forier dari gelombag persegi (square wave) yag diperlihatka pada gambar diberika dega persamaa: 6 si t si t si 5t si 7t 5 7 Hasil simulasi program telah membuktika kebearaya melalui visulisasi betuk gelombag hasil keluara program yag diperlihatka pada gambar 4, 6 da 8. Pada gambar 4 terlihat bahwa betuk gelombag hasil pejumlaha dari 9 suku pertama dari persamaa telah megarah ke betuk gelombag persegi. Pada gambar 6 terlihat bahwa dega mejumlahka 9 suku pertama dari persamaa aka dihasilka betuk gelombag persegi yag lebih jelas. Dega meambahka suku semaki bayak maka betuk gelombag hasil pejumlaha suku sukuya aka meujukka betuk gelombag persegi yag lebih baik, seperti diperlihatka pada gambar 8 yag merupaka betuk gelombag hasil pejumlaha dari 99 suku pertama dari persamaa. Dari ketiga gambar tersebut dapat dimegerti bahwa bila pejumlaha suku suku dari persamaa diteruska sampai = tak higga, maka aka dihasilka betuk gelombag persegi yag bear bear mulus seperti betuk asliya (gambar ). V. KESIMPULAN Makalah ii membahas visualisasi Deret Fourier dari Gelombag siyal periodik meguaka pemrograma matlab. Dari hasil simulasi terlihat bahwa siyal gelombag segitiga da siyal gelombag persegi dapat direpresetasika sebagai pejumlaha tak berhigga dari fugsi fugsi siusoidal megguaka Deret Fourier, da bila setiap suku suku dari uraia Deret Forier dari sebuah gelombag periodik dijumlahka sampai = tak higga, maka aka dihasilka betuk gelombag yag sama persis seperti betuk gelombag asliya. REFERENSI [] David E. Johso, Johy R. Johso da Joh L. Hilbur, 99, Electric Circuit Aalysis, Secod Editio, Pretice-Hall, Ic. [] Joseph A. Edmiister, Mahmood Nahvi, Ragkaia Listrik, Schaum s Outlies, Edisi Empat, 4. [] Irpa Susato, Deret Fourier, Kosep da erapaya Pada Persamaa Gelombag Satu Dimesi, Skripsi, Uiversitas Negeri Smarag,. [4] Edwards, C.H da Peey, D.E., Elemetary Differetial Equatios With Boudary Value Problems, Uiversity of Georgia, 989. [5] Noame, 99, he Studet Editio of MALAB, Pretice-Hall, Ic. [6] M. Etter, 99, Egieerig Problem Solvig with MALAB, Pretice-Hall, Ic. Volume 9, No., September 5