MAKALAH TUGAS AKHIR DIMENSI METRIK PADA PENGEMBANGAN GRAPH KINCIR DENGAN POLA K 1 + mk n

MAKALAH TUGAS AKHIR DIMENSI METRIK PADA PENGEMBANGAN GRAPH KINCIR DENGAN POLA K 1 + mk n Oleh : JOHANES ARIF PURWONO 105 100 00 Pembimbing : Drs. Suhu Wahyui, MSi 131 651 47 ABSTRAK Graph aalah suatu sistem atau pasangan (V,E) imana V aalah himpun an vertex an E aalah himpunan ege yaitu pasangan vertex ari V. Jika G aalah graph terhubung, jarak antara ua vertex u an v i G, (u,v) aalah panjang lintasan terpenek iantara keuanya. Untuk himpunan terurut W={w 1, w,...,w k } ari vertex-vertex alam graph terhubung G an vertex v paa V(G), representasi ari v terhaap W aalah r(v W) engan r(v W) = ((v,w 1 ), (v,w ),..., (v,w k )) untuk setiap vertex v paa V(G) berbea, maka W isebut himpunan resolving ari V(G). Himpunan resolving engan karinalitas minimum isebut himpunan resolving minimum, an karinalitas tersebut inamakan imensi metrik ari G inotasikan engan im(g). Paa tugas akhir ini ianalisis imensi metrik paa pengembangan graph kincir engan pola K 1 + mk n engan m, n 3 bilangan bulat positif. Dari analisis yang telah ilakukan iperoleh hasil bahwa imensi metriknya, im(g) aalah m(n-1). Kata kunci : himpunan resolving, imensi metrik, graph kincir. I. PENDAHULUAN Graph merupakan salah satu struktur asar ari ilmu komputer. Graph aalah kumpulan vertex an ege, iefinisikan sebagai G ( V, E), imana V aalah kumpulan ari vertex an E aalah kumpulan ari ege. Setiap ege menghubungkan satu vertex ke vertex yang lain, an setiap vertex apat mempunyai banyak ege yang menghubungkannya ke vertex yang lain. Persoalan yang aa i alam berbagai isiplin ilmu apat ibuatkan sebagai suatu moel graph. Misalnya, graph igunakan untuk merepresentasikan persaingan antar berbagai spesies yang berbea paa suatu lingkungan ekologi, siapa yang mempengaruhi siapa alam suatu organisasi, graph igunakan untuk merepresentasikan hasil keluaran ari suatu turnamen, memoelkan jaringan lalu lintas kenaraan paa suatu kota. Pemoelan engan teori graph banyak igunakan untuk mengkaji berbagai kasus. Teori graph apat igunakan untuk menyelesaikan berbagai jenis permasalahan. Sebagai contoh, menghitung angka ari kombinasi berbea ari penerbangan iantara ua kota paa suatu jaringan maskapai penerbangan, memeriksa kemungkinan untuk melewati semua jalan yang aa i suatu kota tanpa melewati suatu jalan ua kali atau lebih, menemukan jumlah warna yang iperlukan untuk mewarnai sejumlah aerah paa suatu peta, membeakan ua senyawa kimia engan formula molekul yang sama namun memiliki struktur yang berbea. Demikianlah beberapa contoh ari sekian banyak aplikasi graph mencangkup isiplin ilmu yang luas. Untuk setiap vertex v ari graph terhubung an sebuah subset S ari V(G), jarak antara v an S aalah (v,s) =min {(v,x) x S }. Untuk vertexvertex u an v alam graph terhubung G, jarak u, v aalah panjang ari lintasan terpenek antara u an v paa G. Untuk himpunan terurut W w 1, w,..., w k ari vertex-vertex alam graph terhubung G an vertex v paa G r vw v w, v, w,..., v,, 1 menunjukkan representasi ari v terhaap W. Himpunan W inamakan himpunan resolving G jika semua vertex i G mempunyai representasi berbea. Himpunan resolving engan karinalitas minimum isebut himpunan resolving minimum, an karinalitas tersebut menyatakan imensi metrik ari G an inotasikan engan im (G). Sejauh ini imensi metrik graph kincir K 1 + mk n belum itentukan. Paa tugas akhir ini i bahas tentang imensi metrik paa graph kincir K 1 + mk n. II. TINJAUAN PUSTAKA.1 Graph Graph tak berarah, selanjutnya isebut sebagai graph G, iefinisikan sebagai pasangan terurut G V, E imana V aalah himpunan hingga tiak kosong 1, v,..., v n an E aalah himpunan bagian ari VxV imana berlaku u, v E w k Email : johanezi@yahoo.com 1

mengakibatkan, u E. Anggota ari V isebut vertex an anggota ari E isebut ege. Secara grafis vertex igambarkan sebagai lingkaran atau titik an ege igambarkan sebagai ruas garis yang menghubungkan ua buah vertex. Banyaknya vertex ari G ilambangkan engan V p an banyaknya ege ari G ilambangkan engan E q. Secara umum suatu graph G yang mempunyai p-vertex an q-ege ituliskan engan p, q-graph G (Harary, 1969). Suatu graph G ikatakan terhubung jika apat ibuat lintasan yang menghubungkan setiap ua vertex paa graph tersebut. Contoh ari graph terhubung an graph tiak terhubung apat ilihat paa Gambar.1. e 1 v v 1 e v 3 e 4 e 5 e 3 v 4 e 1 v e v 5 v1 6 Gambar.1. Contoh Graph Terhubung an Graph Tiak Terhubung Graph seerhana aalah graph yang tiak memuat loop an sisi rangkap (multiple ege). Loop aalah sisi yang menghubungkan suatu titik engan irinya seniri. Jika terapat lebih ari satu sisi yang menghubungkan ua titik, maka sisi-sisi tersebut inamakan sisi rangkap (multiple ege). Graph takberarah (unirecte graph) aalah graph yang sisinya tiak mempunyai orientasi arah, an urutan pasangan titik-titik yang ihubungkan oleh sisi tiak iperhatikan (Harary, 1969).. Jenis-jenis Graph Berikut ini akan ijelaskan beberapa jenis graph khusus. Aanya penjelasan mengenai pengertian graph an contoh-contohnya apat mempermuah pengetahuan tentang jenis-jenis graph. 1. Graph Lengkap Graph lengkap aalah graph seerhana engan setiap pasangan titik berbea terhubung oleh satu sisi. Banyaknya titik an sisi graph lengkap secara berurutan aalah an. Akibatnya, tiap titik i e v 3 e 4 e 5 e 3 v 4 v 5 K 5: K 6: Gambar.. Graph K 5 an K 6. Graph Kincir m Graph kincir inotasikan engan W aalah graph yang ibangun engan menghubungkan semua vertex mk engan sebuah vertex yang isebut vertex pusat c. Secara matematis graph Kincir W m K1 mk. Vertex pusat alam graph kincir iberi nama c, seangkan betetangga engan titik lainnya i sehingga setiap titik i memiliki jumlah tetangga yang sama. memiliki iameter atau isebut juga engan unit istance. Paa Gambar Gambar.4. Graph Kincir.. berikut itunjukkan graph 5 6 engan pola K 1 + 3K 3. Email : johanezi@yahoo.com vi v 1 u 1 u 3 c v 3 v u u i an untuk ua vertex luar i bilah i imana 1 i m. Contoh ari graph kincir engan 3-bilah W 3 apat ilihat paa Gambar.3. Gambar.3. Graph Kincir 3 engan 3 bilah W 3. Pengembangan Graph Kincir K 1 + mk n Graph jenis ini aalah pengembangan ari graph kincir paa umumnya, sehingga mempunyai pola K 1 + mk n. Berikut ini aalah contoh ari pengembangan paa graph kincir engan pola K 1 + mk n. Paa graph ini yang igunakan sebagai aun kincir aalah complete graph (K n ).

.3 Eksentrisitas Jarak (istance) antara vertex u an v paa graph G, inotasikan engan u, v aalah panjang lintasan terpenek antara u an v paa graph G. Jika tiak aa lintasan antara u an v, maka u, v (Harary alam Irawan, 008). v1 v v 3 v4 v5 v6 v7 Gambar.5. Graph engan 7 vertex an 7 ege Contoh.1 Paa Gambar.5. v, v 1 3 1, v5,, v4 3, v4 3, v5 1 1, v4 1 3,v 7 v,v 5 6 Eksentrisitas vertex v paa graph G, inotasikan engan ecc aalah jarak terjauh (maksimal lintasan terpenek) ari v ke setiap vertex i G, engan kata lain ecc v max u, v u V G. Contoh. Paa Gambar.5. ecc 1 engan vertex eksentrik v 3 ecc 1 engan vertex eksentrik v 5 3 v ecc engan vertex eksentrik 4 Diameter paa graph G, inotasikan engan iamg iefinisikan sebagai eksentrisitas maksimum ari G, atau engan kata lain jarak maksimum antara ua vertex paa G iam G max ecc x max x, y (Harary xv G x, yv G alam Irawan, 008). Contoh.3 Paa Gambar.5. iamg Raius paa graph G, inotasikan engan rag iefinisikan sebagai eksentrisitas ra G min ecc x. minimum ari G. Contoh.4 xv G Paa Gambar.5. rag 1.4 Dimensi Metrik Dimensi Metrik aalah karinalitas minimum himpunan pembea ( resolving set) paa G. Untuk vertex-vertex u an v alam graph terhubung G, jarak u, v aalah panjang ari lintasan terpenek antara u an v paa G. Untuk himpunan terurut W W, 1 W,..., W k ari vertexvertex alam graph terhubung G an vertex r paa G, aalah vektor-k (pasangan k-tuple), 1,,,...,, k r u W v w v w v w menunjukkan representasi ari v paa W. Himpunan W inamakan himpunan pembea ( resolving set) G jika vertex-vertex G mempunyai representasi berbea. Himpunan resolving engan karinalitas minimum isebut himpunan resolving minimum, an karinalitas tersebut menyatakan imensi metrik ari G. an inotasikan engan im(g) (Harary alam Pontoh, 009). Resolving set paa suatu graph tiaklah tunggal. Suatu graph apat memiliki beberapa resolving set yang ukuran an anggota himpunannya berbea. Setiap graph terhubung seerhana pasti memiliki suatu resolving set, seperti yang terjamin oleh teorema berikut ini. Teorema.1 Paa setiap graph terhubung seerhana, terapat suatu yang merupakan resolving set. Bukti: Misalkan terhubung seerhana. Ambil sebagai subset, maka untuk setiap, elemen ke- ari vektor koorinat bernilai 0. Karena perbeaan letak 0 paa setiap, maka berbea untuk setiap (G). Sesuai efinisi, aalah resolving set ari. Jai, setiap graph terhubung seerhana pasti memiliki paling tiak satu resolving set, yaitu itu seniri (Hernano alam Pontoh, 009). Misal himpunan terurut ari vertex paa graph berhingga, terhubung, an tak berarah G. Maka ((u,v 1 ), (u,v ), (u,v 3 ),, (u,v n )), inamakan M-koorinat ari vertex u paa graph G. Himpunan M inamakan basis metrik jika vertex G mempunyai M-koorinat yang berbea. Basis metrik himpunan M engan karinalitas minimum inamakan minimum imensi metrik. Syarat seerhana iperlukan untuk menghinari penghitungan, karena aanya loop, seangkan syarat G terhubung iperlukan untuk menghinari aanya penghitungan, karena tiak terhubung..5 Operasi Jumlahan ari Graph Definisi ari operasi jumlahan ari graph G 1 an G aalah graph G= G 1 + G, engan himpunan vertex an himpunan ege-nya Email : johanezi@yahoo.com 3

.6 Graph kincir K 1 + mk n Graph kincir G aalah hasil ari jumlahan (operasi +) complete graph (K 1 ), an m complete graph (K n ), imana m, n bilangan bulat positif an n 3, m, ituliskan sebagai G=K 1 +mk n. Contoh untuk n=3 an m=4 apat ilihat paa Gambar.6. Gambar.6. Graph Kincir engan pola K 1 + 4K 3..7 Dimensi Metrik Paa Graph kincir K 1 + mk n Dimensi Metrik paa Graph kincir G hasil ari jumlahan (operasi +) complete graph (K 1 ), an m complete graph (K n ), imana m, n bilangan bulat positif an n 3, m, ituliskan sebagai G=K 1 +mk n, apat iperoleh melalui karinalitas minimum ari resolving set ari graph G=K 1 +mk n. III. METODE PENELITIAN Metoe penelitian yang igunakan alam Tugas Akhir ini meliputi : 1. Stui literatur.. Analisis permasalahan. 3. Evaluasi. 4. Penyimpulan hasil penelitian. IV. ANALISIS DAN PEMBAHASAN Paa bab ini akan ijelaskan mengenai analisis permasalahan beserta pembahasannya alam menyelesaikan Tugas Akhir ini. Dalam bab ini ibahas mengenai imensi metrik ari pengembangan graph kincir engan pola K 1 + mk n secara umum engan n 3, m, bilangan bulat positif. Untuk menapatkan imensi metrik tersebut maka ilakukan engan menentukan karinalitas minimum ari himpunan resolving. Untuk menapatkan karinalitas minimum ari himpunan resolving maka igunakan beberapa lemma berikut : Lemma 4.1 Untuk graph kincir engan pola K 1 + mk n engan n 3, m maka berlaku, Bukti : Jika u an v paa satu aun kincir yang sama an graph yang igunakan paa aun kincir aalah complete graph untuk graph kincir engan pola K 1 + mk n, maka jarak ari setiap vertexnya aalah 1, hal ini isebabkan karena setiap vertex terhubung engan sebuah ege, seangkan jika u an v paa aun kincir yang berbea, maka jarak antara u an v aalah, seangkan jarak setiap vertex terhaap pusat kincir (x) aalah 1. Lemma 4. Minimum resolving set paa graph kincir engan pola K 1 + mk n engan n 3, m, iperoleh engan tiak memasukkan x atau vertex pusat kincir alam subhimpunan W karena titik x tiak akan memberikan representasi yang berbea paa vektor-vektor koorinat, sehingga pasti tiak akan menghasilkan minimum resolving set. Bukti : Karena Lemma 4.1, yang menuliskan bahwa jarak antara x terhaap setiap vertex paa graph kincir aalah 1,, maka tiak akan memberikan representasi yang berbea paa vektorvektor koorinat. Paa bagian awal akan icari karinalitas minimum ari himpunan resolving engan cara mencobacoba, setelah beberapa langkah, maka akan itemukan sebuah pola yang teratur, an paa akhirnya akan ibuktikan engan mengunakan batas atas batas bawahnya. 4.1 Dimensi Metrik Graph Kincir K 1 + mk n Dengan n=3, m secara umum Untuk m secara umum iperoleh graph kincir seperti paa Gambar 4.1 berikut ini. Gambar 4.1 Graph Kincir G engan n=3, m secara umum Untuk menentukan imensi metrik ari graph G engan pola K 1 + mk 3 paa Gambar 4.1, maka ilakukan langkah-langkah berikut : Untuk menemukan batas atas im(g), maka ambil W={y 11, y 1, y 1, y, y 31, y 3,..., y m1, y m }, untuk Email : johanezi@yahoo.com 4

m, engan menggunakan Lemma 4.1 maka iperoleh vektor koorinat titik-titik graph relatif terhaap W aalah sebagai berikut r(y 11 W)=(0,1,,,,,...,,), r(y 1 W)=(1,0,,,,,...,,), r(y 13 W)=(1,1,,,,,...,,), r(y 1 W)=(,,0,1,,,...,,), r(y W)=(,,1,0,,,...,,), r(y 3 W)=(,,1,1,,,...,,), r(y 31 W)=(,,,,0,1,...,,), r(y 3 W)=(,,,,1,0,...,,), r(y 33 W)=(,,,,1,1,...,,),... r(y m1 W)=(,,,,,,...,0,1), r(y m W)=(,,,,,,...,1,0), r(y m3 W)=(,,,,,,...,1,1), r(x W)=(1,1,1,1,1,1,...,1,1), yang memberikan representasi yang berbea, jai W={y 11, y 1, y 1, y, y 31, y 3,..., y m1, y m } untuk m, merupakan resolving set G engan karinalitas W = m. Jai batas atas im(g) m. Seangkan untuk menemukan batas bawahnya, maka akan ibuktikan bahwa jika karinalitas W = (m) 1, maka pasti bukan resolving set, karena pasti akan itemukan seikitnya ua titik engan representasi yang sama. Misal iambil W={y 11, y 1, y 1, y, y 31, y 3,..., y m1 }, untuk m, engan menggunakan Lemma 4.1 maka iperoleh vektor koorinat titiktitik graph relatif terhaap W aalah sebagai berikut r(y 11 W)=(0,1,,,,,...,), r(y 1 W)=(1,0,,,,,...,), r(y 13 W)=(1,1,,,,,...,), r(y 1 W)=(,,0,1,,,...,), r(y W)=(,,1,0,,,...,), r(y 3 W)=(,,1,1,,,...,), r(y 31 W)=(,,,,0,1,...,), r(y 3 W)=(,,,,1,0,...,), r(y 33 W)=(,,,,1,1,...,),... r(y m1 W)=(,,,,,,...,0), r(y m W)=(,,,,,,...,1), r(y m3 W)=(,,,,,,...,1), r(x W)=(1,1,1,1,1,1,...,1), yang tiak memberikan representasi yang berbea, terapat koorinat y m yang sama engan koorinat y m3 jai W={y 11, y 1, y 1, y, y 31, y 3,..., y m1 } untuk m, bukan merupakan resolving set G. Paa contoh yang iberikan ini vertex yang tiak imasukkan alam W aalah x, y 13, y 3, y 33,..., y m, y m3, paa setiap aun kincir terapat satu vertex yang tiak imasukkan alam W, kecuali paa aun kincir ke m terapat ua vertex yang tiak imasukkan alam W, yaitu y m, y m3. Dalam hal ini x sesuai engan Lemma 4., maka x tiak imasukkan sebagai elemen W. Hal ini mengakibatkan representasi koorinat y m asumsi bahwa m aalah aun kincir terakhir paa G 6. Jai batas bawah m W atau m im(g). Karena batas atas an batas bawah im(g) aalah m im(g) m, maka im(g)=m. Jai terbukti bahwa im(g)=m. 4. Dimensi Metrik Graph Kincir K 1 + mk n Dengan n=4, m secara umum Untuk m secara umum iperoleh graph kincir seperti paa Gambar 4. berikut ini. Gambar 4. Graph Kincir G engan n=4, m secara umum Untuk menentukan imensi metrik ari graph G engan pola K 1 + mk 4 paa Gambar 4., maka ilakukan langkah-langkah berikut : Untuk menemukan batas atas im(g), maka ambil W={y 11, y 1, y 13, y 1, y, y 3, y 31, y 3, y 33,..., y m1, y m, y m3 }, untuk m, engan menggunakan Lemma 4.1 maka iperoleh vektor koorinat titik-titik graph relatif terhaap W aalah sebagai berikut r(y 11 W)=(0,1,1,,,,,,,...,,,), r(y 1 W)=(1,0,1,,,,,,,...,,,), r(y 13 W)=(1,1,0,,,,,,,...,,,), r(y 14 W)=(1,1,1,,,,,,,...,,,), r(y 1 W)=(,,,0,1,1,,,,...,,,), r(y W)=(,,,1,0,1,,,,...,,,), r(y 3 W)=(,,,1,1,0,,,,...,,,), r(y 4 W)=(,,,1,1,1,,,,...,,,), r(y 31 W)=(,,,,,,0,1,1,...,,,), r(y 3 W)=(,,,,,,1,0,1,...,,,), r(y 33 W)=(,,,,,,1,1,0,...,,,), r(y 34 W)=(,,,,,,1,1,1,...,,,),... r(y m1 W)=(,,,,,,,,,...,0,1,1), r(y m W)=(,,,,,,,,,...,1,0,1), r(y m3 W)=(,,,,,,,,,...,1,1,0), r(y m4 W)=(,,,,,,,,,...,1,1,1), r(x W)=(1,1,1,1,1,1,1,1,1,...,1,1,1), yang memberikan representasi yang berbea, jai W={y 11, y 1, y 13, y 1, y, y 3, y 31, y 3, y 33,..., y m1, y m, y m3 } untuk m, merupakan resolving set G engan karinalitas W = 3m. Jai batas atas im(g) 3m. Seangkan untuk menemukan batas bawahnya, maka akan ibuktikan bahwa jika sama engan koorinat y m3. Untuk memuahkan karinalitas W = (3m) 1, maka pasti bukan penulisan maka vertex yang ikeluarkan ari W resolving set, karena pasti akan itemukan aalah y m, sehingga terapat ua vertex paa aun seikitnya ua titik engan representasi yang sama. kincir ke m yang tiak termasuk alam W, engan Misal iambil W={y 11, y 1, y 13, y 1, y, y 3, y 31, y 3, Email : johanezi@yahoo.com 5

y 33,..., y m1, y m }, untuk m, engan Untuk menentukan imensi metrik ari menggunakan Lemma 4.1 maka iperoleh vektor koorinat titik-titik graph relatif terhaap W aalah sebagai berikut r(y 11 W)=(0,1,1,,,,,,,...,,), r(y 1 W)=(1,0,1,,,,,,,...,,), r(y 13 W)=(1,1,0,,,,,,,...,,), r(y 14 W)=(1,1,1,,,,,,,...,,), r(y 1 W)=(,,,0,1,1,,,,...,,), r(y W)=(,,,1,0,1,,,,...,,), r(y 3 W)=(,,,1,1,0,,,,...,,), r(y 4 W)=(,,,1,1,1,,,,...,,), r(y 31 W)=(,,,,,,0,1,1,...,,), r(y 3 W)=(,,,,,,1,0,1,...,,), r(y 33 W)=(,,,,,,1,1,0,...,,), r(y 34 W)=(,,,,,,1,1,1,...,,),... r(y m1 W)=(,,,,,,,,,...,0,1), r(y m W)=(,,,,,,,,,...,1,0), r(y m3 W)=(,,,,,,,,,...,1,1), r(y m4 W)=(,,,,,,,,,...,1,1), r(x W)=(1,1,1,1,1,1,1,1,1,...,1,1), yang tiak memberikan representasi yang berbea, terapat koorinat y m3 yang sama engan koorinat y m4 jai W={y 11, y 1, y 13, y 1, y, y 3, y 31, y 3, y 33,..., y m1, y m }, untuk m, bukan merupakan resolving set G. Paa contoh yang iberikan ini vertex yang tiak imasukkan alam W aalah x, y 14, y 4, y 34,..., y m3, y m4, paa setiap aun kincir terapat satu vertex yang tiak imasukkan alam W, kecuali paa aun kincir ke m terapat ua vertex yang tiak imasukkan alam W, yaitu y m3, y m4. Dalam hal ini x sesuai engan Lemma 4., maka x tiak imasukkan graph G engan pola K 1 + mk 5 paa Gambar 4.3, maka ilakukan langkah-langkah berikut : Untuk menemukan batas atas im(g), maka ambil W={y 11, y 1, y 13, y 14, y 1, y, y 3, y 4, y 31, y 3, y 33, y 34,..., y m1, y m, y m3, y m4 }, untuk m, engan menggunakan Lemma 4.1 maka iperoleh vektor koorinat titik-titik graph relatif terhaap W aalah sebagai berikut r(y 11 W)=(0,1,1,1,,,,,,,,,...,,,,), r(y 1 W)=(1,0,1,1,,,,,,,,,...,,,,), r(y 13 W)=(1,1,0,1,,,,,,,,,...,,,,), r(y 14 W)=(1,1,1,0,,,,,,,,,...,,,,), r(y 15 W)=(1,1,1,1,,,,,,,,,...,,,,), r(y 1 W)=(,,,,0,1,1,1,,,,,...,,,,), r(y W)=(,,,,1,0,1,1,,,,,...,,,,), r(y 3 W)=(,,,,1,1,0,1,,,,,...,,,,), r(y 4 W)=(,,,,1,1,1,0,,,,,...,,,,), r(y 5 W)=(,,,,1,1,1,1,,,,,...,,,,), r(y 31 W)=(,,,,,,,,0,1,1,1,...,,,,), r(y 3 W)=(,,,,,,,,1,0,1,1,...,,,,), r(y 33 W)=(,,,,,,,,1,1,0,1,...,,,,), r(y 34 W)=(,,,,,,,,1,1,1,0,...,,,,), r(y 35 W)=(,,,,,,,,1,1,1,1,...,,,,),... r(y m1 W)=(,,,,,,,,,,,,...,0,1,1,1), r(y m W)=(,,,,,,,,,,,,...,1,0,1,1), r(y m3 W)=(,,,,,,,,,,,,...,1,1,0,1), r(y m4 W)=(,,,,,,,,,,,,...,1,1,1,0), r(y m5 W)=(,,,,,,,,,,,,...,1,1,1,1), r(x W)=(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,...,1,1,1,1), yang memberikan representasi yang berbea, jai W={y 11, y 1, y 13, y 14, y 1, y, y 3, y 4, y 31, y 3, y 33, sebagai elemen W. Hal ini mengakibatkan y 34,..., y m1, y m, y m3, y m4 } untuk m, merupakan representasi koorinat y m3 sama engan koorinat resolving set G engan karinalitas W = 4m. Jai y m4. Untuk memuahkan penulisan maka vertex yang batas atas im(g) 4m. Seangkan untuk ikeluarkan ari W aalah y m3, sehingga terapat ua vertex paa aun kincir ke m yang tiak termasuk alam W, engan asumsi bahwa m aalah aun kincir terakhir paa G. Jai batas bawah 3m W atau 3m im(g). Karena batas atas an batas bawah im(g) aalah 3m im(g) 3m, maka im(g)=3m. Jai terbukti bahwa im(g)=3m. menemukan batas bawahnya, maka akan ibuktikan bahwa jika karinalitas W = (4m) 1, maka pasti bukan resolving set, karena pasti akan itemukan seikitnya ua titik engan representasi yang sama. Misal iambil W={y 11, y 1, y 13, y 14, y 1, y, y 3, y 4, y 31, y 3, y 33, y 34,..., y m1, y m, y m3 }, untuk m, engan menggunakan Lemma 4.1 maka iperoleh 4.3 Dimensi Metrik Graph Kincir K 1 + mk n vektor koorinat titik-titik graph relatif terhaap W Dengan n=5, m secara umum Untuk m secara umum iperoleh graph kincir seperti paa Gambar 4.3 berikut ini. aalah sebagai berikut r(y 11 W)=(0,1,1,1,,,,,,,,,...,,,), r(y 1 W)=(1,0,1,1,,,,,,,,,...,,,), r(y 13 W)=(1,1,0,1,,,,,,,,,...,,,), r(y 14 W)=(1,1,1,0,,,,,,,,,...,,,), r(y 15 W)=(1,1,1,1,,,,,,,,,...,,,), r(y 1 W)=(,,,,0,1,1,1,,,,,...,,,), r(y W)=(,,,,1,0,1,1,,,,,...,,,), r(y 3 W)=(,,,,1,1,0,1,,,,,...,,,), r(y 4 W)=(,,,,1,1,1,0,,,,,...,,,), r(y 5 W)=(,,,,1,1,1,1,,,,,...,,,), r(y 31 W)=(,,,,,,,,0,1,1,1,...,,,), r(y 3 W)=(,,,,,,,,1,0,1,1,...,,,), Gambar 4.3 Graph Kincir G engan n=5, m secara umum r(y 33 W)=(,,,,,,,,1,1,0,1,...,,,), r(y 34 W)=(,,,,,,,,1,1,1,0,...,,,), Email : johanezi@yahoo.com 6

r(y 35 W)=(,,,,,,,,1,1,1,1,...,,,),... r(y m1 W)=(,,,,,,,,,,,,...,0,1,1), r(y m W)=(,,,,,,,,,,,,...,1,0,1), r(y m3 W)=(,,,,,,,,,,,,...,1,1,0), r(y m4 W)=(,,,,,,,,,,,,...,1,1,1), r(y m5 W)=(,,,,,,,,,,,,...,1,1,1), r(x W)=(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,...,1,1,1), yang tiak memberikan representasi yang berbea, terapat koorinat y m4 yang sama engan koorinat y m5 jai W={y 11, y 1, y 13, y 14, y 1, y, y 3, y 4, y 31, y 3, y 33, y 34,..., y m1, y m, y m3 }, untuk m, bukan merupakan resolving set G. Paa contoh yang iberikan ini vertex yang tiak imasukkan alam W aalah x, y 15, y 5, y 35,..., y m4, y m5, paa setiap aun kincir terapat satu vertex yang tiak imasukkan alam W, kecuali paa aun kincir ke m terapat ua vertex yang tiak imasukkan alam W, yaitu y m4, y m5. Dalam hal ini x sesuai engan Lemma 4., maka x tiak imasukkan sebagai elemen W. Hal ini mengakibatkan representasi koorinat y m4 sama engan koorinat y m5. Untuk memuahkan penulisan maka vertex yang ikeluarkan ari W aalah y m4, sehingga terapat ua vertex paa aun kincir ke m yang tiak termasuk alam W, engan asumsi bahwa m aalah aun kincir terakhir paa G. Jai batas bawah 4m W atau 4m im(g). Karena batas atas an batas bawah im(g) aalah 4m im(g) 4m, maka im(g)=4m. Jai terbukti bahwa im(g)=4m. 4.4 Dimensi Metrik Graph Kincir K 1 + mk n Dengan n=6, m secara umum Untuk m secara umum iperoleh graph kincir seperti paa Gambar 4.4 berikut ini. r(y 13 W)=(1,1,0,1,1,,,,,,,,,,,...,,,,,), r(y 14 W)=(1,1,1,0,1,,,,,,,,,,,...,,,,,), r(y 15 W)=(1,1,1,1,0,,,,,,,,,,,...,,,,,), r(y 16 W)=(1,1,1,1,1,,,,,,,,,,,...,,,,,), r(y 1 W)=(,,,,,0,1,1,1,1,,,,,,...,,,,,), r(y W)=(,,,,,1,0,1,1,1,,,,,,...,,,,,), r(y 3 W)=(,,,,,1,1,0,1,1,,,,,,...,,,,,), r(y 4 W)=(,,,,,1,1,1,0,1,,,,,,...,,,,,), r(y 5 W)=(,,,,,1,1,1,1,0,,,,,,...,,,,,), r(y 6 W)=(,,,,,1,1,1,1,1,,,,,,...,,,,,), r(y 31 W)=(,,,,,,,,,,0,1,1,1,1,...,,,,,), r(y 3 W)=(,,,,,,,,,,1,0,1,1,1,...,,,,,), r(y 33 W)=(,,,,,,,,,,1,1,0,1,1,...,,,,,), r(y 34 W)=(,,,,,,,,,,1,1,1,0,1,...,,,,,), r(y 35 W)=(,,,,,,,,,,1,1,1,1,0,...,,,,,), r(y 36 W)=(,,,,,,,,,,1,1,1,1,1,...,,,,,),... r(y m1 W)=(,,,,,,,,,,,,,,,...,0,1,1,1,1), r(y m W)=(,,,,,,,,,,,,,,,...,1,0,1,1,1), r(y m3 W)=(,,,,,,,,,,,,,,,...,1,1,0,1,1), r(y m4 W)=(,,,,,,,,,,,,,,,...,1,1,1,0,1), r(y m5 W)=(,,,,,,,,,,,,,,,...,1,1,1,1,0), r(y m6 W)=(,,,,,,,,,,,,,,,...,1,1,1,1,1), r(x W)=(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,...,1,1,1,1,1), yang memberikan representasi yang berbea, jai W={y 11, y 1, y 13, y 14, y 15, y 1, y, y 3, y 4, y 5, y 31, y 3, y 33, y 34, y 35,..., y m1, y m, y m3, y m4, y m5 } untuk m, merupakan resolving set G engan karinalitas W = 5m. Jai batas atas im(g) 5m. Seangkan untuk menemukan batas bawahnya, maka akan ibuktikan bahwa jika karinalitas W = (5m) 1, maka pasti bukan resolving set, karena pasti akan itemukan seikitnya ua titik engan representasi yang sama. Misal iambil W={y 11, y 1, y 13, y 14, y 15, y 1, y, y 3, y 4, y 5, y 31, y 3, y 33, y 34, y 35,..., y m1, y m, y m3, y m4 }, untuk m, engan menggunakan Lemma 4.1 maka iperoleh vektor koorinat titiktitik graph relatif terhaap W aalah sebagai berikut r(y 11 W)=(0,1,1,1,1,,,,,,,,,,,...,,,,), r(y 1 W)=(1,0,1,1,1,,,,,,,,,,,...,,,,), r(y 13 W)=(1,1,0,1,1,,,,,,,,,,,...,,,,), r(y 14 W)=(1,1,1,0,1,,,,,,,,,,,...,,,,), r(y 15 W)=(1,1,1,1,0,,,,,,,,,,,...,,,,), r(y 16 W)=(1,1,1,1,1,,,,,,,,,,,...,,,,), r(y 1 W)=(,,,,,0,1,1,1,1,,,,,,...,,,,), r(y W)=(,,,,,1,0,1,1,1,,,,,,...,,,,), r(y 3 W)=(,,,,,1,1,0,1,1,,,,,,...,,,,), r(y 4 W)=(,,,,,1,1,1,0,1,,,,,,...,,,,), r(y 5 W)=(,,,,,1,1,1,1,0,,,,,,...,,,,), r(y 6 W)=(,,,,,1,1,1,1,1,,,,,,...,,,,), r(y 31 W)=(,,,,,,,,,,0,1,1,1,1,...,,,,), r(y 3 W)=(,,,,,,,,,,1,0,1,1,1,...,,,,), r(y 33 W)=(,,,,,,,,,,1,1,0,1,1,...,,,,), r(y 34 W)=(,,,,,,,,,,1,1,1,0,1,...,,,,), r(y 35 W)=(,,,,,,,,,,1,1,1,1,0,...,,,,), r(y 36 W)=(,,,,,,,,,,1,1,1,1,1,...,,,,),... r(y m1 W)=(,,,,,,,,,,,,,,,...,0,1,1,1), Gambar 4.4 Graph Kincir G engan n=6, m secara umum Untuk menentukan imensi metrik ari graph G engan pola K 1 + mk 6 paa Gambar 4.4, maka ilakukan langkah-langkah berikut : Untuk menemukan batas atas im(g), maka ambil W={y 11, y 1, y 13, y 14, y 15, y 1, y, y 3, y 4, y 5, y 31, y 3, y 33, y 34, y 35,..., y m1, y m, y m3, y m4, y m5 }, untuk m, engan menggunakan Lemma 4.1 maka iperoleh vektor koorinat titik-titik graph relatif terhaap W aalah sebagai berikut r(y 11 W)=(0,1,1,1,1,,,,,,,,,,,...,,,,,), r(y 1 W)=(1,0,1,1,1,,,,,,,,,,,...,,,,,), r(y m W)=(,,,,,,,,,,,,,,,...,1,0,1,1), Email : johanezi@yahoo.com 7

r(y m3 W)=(,,,,,,,,,,,,,,,...,1,1,0,1), r(y m4 W)=(,,,,,,,,,,,,,,,...,1,1,1,0), r(y m5 W)=(,,,,,,,,,,,,,,,...,1,1,1,1), r(y m6 W)=(,,,,,,,,,,,,,,,...,1,1,1,1), r(x W)=(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,...,1,1,1,1), yang tiak memberikan representasi yang berbea, terapat koorinat y m5 yang sama engan koorinat y m6 jai W={y 11, y 1, y 13, y 14, y 15, y 1, y, y 3, y 4, y 5, y 31, y 3, y 33, y 34, y 35,..., y m1, y m, y m3, y m4 }, untuk m, bukan merupakan resolving set G. Paa contoh yang iberikan ini vertex yang tiak imasukkan alam W aalah x, y 16, y 6, y 36,..., y m5, y m6, paa setiap aun kincir terapat satu vertex yang tiak imasukkan alam W, kecuali paa aun kincir ke m terapat ua vertex yang tiak imasukkan alam W, yaitu y m5, y m6. Dalam hal ini x sesuai engan Lemma 4., maka x tiak imasukkan sebagai elemen W. Hal ini mengakibatkan representasi koorinat y m5 r(y 1 W)=(,,...,,0,1,...,1,,,...,,...,,,...,), r(y W)=(,,...,,1,0,...,1,,,...,,...,,,...,),... r(y (n-1) W)=(,,...,,1,1,...,0,,,...,,...,,,...,), r(y n W)=(,,...,,1,1,...,1,,,...,,...,,,...,), r(y 31 W)=(,,...,,,,...,,0,1,...,1,...,,,...,), r(y 3 W)=(,,...,,,,...,,1,0,...,1,...,,,...,), r(y 3(n-1) W)=(,,...,,,,...,,1,1,...,0,...,,,...,), r(y 3n W)=(,,...,,,,...,,1,1,...,1,...,,,...,), r(y m1 W)=(,,...,,,,...,,,,...,,...,0,1,...,1), r(y m W)=(,,...,,,,...,,,,...,,...,1,0,...,1),.. r(y m(n-1) W)=(,,...,,,,...,,,,...,,...,1,1,...,0), r(y mn W)=(,,...,,,,...,,,,...,,...,1,1,...,1), r(x W)=(1,1,...,1,1,1,...,1,1,1,...,1,...,1,1,...,1), yang memberikan representasi yang berbea, jai W={y 11, y 1,..., y 1(n-1), y 1, y,..., y (n-1), y 31, y 3,..., y 3(n-1),..., y m1, y m,..., y m(n-1) } merupakan resolving set G engan karinalitas W = m(n-1). Jai batas atas im(g) m(n-1). Seangkan untuk menemukan batas bawahnya, maka akan ibuktikan bahwa jika karinalitas W = m(n-1) 1, maka pasti bukan resolving set, karena pasti akan itemukan seikitnya ua titik engan representasi yang sama. Misal iambil W={y 11, y 1,..., y 1(n-1), y 1, y,..., y (n- 1), y 31, y 3,..., y 3(n-1),..., y m1, y m,..., y m(n- )} engan menggunakan Lemma 4.1 maka iperoleh vektor koorinat titik-titik graph relatif terhaap W aalah sebagai berikut, r(y 11 W)=(0,1,...,1,,,...,,,,...,,...,,,...,), r(y 1 W)=(1,0,...,1,,,...,,,,...,,...,,,...,),... r(y 1(n-1) W)=(1,1,...,0,,,...,,,,...,,...,,,...,), r(y 1n W)=(1,1,...,1,,,...,,,,...,,...,,,...,), r(y 1 W)=(,,...,,0,1,...,1,,,...,,...,,,...,), r(y W)=(,,...,,1,0,...,1,,,...,,...,,,...,),... r(y (n-1) W)=(,,...,,1,1,...,0,,,...,,...,,,...,), r(y n W)=(,,...,,1,1,...,1,,,...,,...,,,...,), r(y 31 W)=(,,...,,,,...,,0,1,...,1,...,,,...,), r(y 3 W)=(,,...,,,,...,,1,0,...,1,...,,,...,),... r(y 3(n-1) W)=(,,...,,,,...,,1,1,...,0,...,,,...,), r(y 3n W)=(,,...,,,,...,,1,1,...,1,...,,,...,),...... r(y m1 W)=(,,...,,,,...,,,,...,,...,0,1,...,1), r(y m W)=(,,...,,,,...,,,,...,,...,1,0,...,1),... r(y m(n-) W)=(,,...,,,,...,,,,...,,...,1,1,...,0), r(y m(n-1) W)=(,,...,,,,...,,,,...,,...,1,1,...,1), r(y mn W)=(,,...,,,,...,,,,...,,...,1,1,...,1), r(x W)=(1,1,...,1,1,1,...,1,1,1,...,1,...,1,1,...,1), sama engan koorinat y m6. Untuk memuahkan penulisan maka vertex yang ikeluarkan ari W aalah y m5, sehingga terapat ua vertex paa aun kincir ke m yang tiak termasuk alam W, engan asumsi bahwa m aalah aun kincir terakhir paa G. Jai batas bawah 5m W atau 5m im(g). Karena batas atas an batas bawah im(g) aalah 5m im(g) 5m, maka im(g)=5m. Jai terbukti bahwa im(g)=5m. 4.5 Dimensi Metrik Graph Kincir K 1 + mk n Dengan n secara umum, an m secara umum Untuk m secara umum iperoleh graph kincir G engan pola K 1 + mk n. Teorema 4.1 Untuk G graph kincir engan pola K 1 + mk n secara umum engan n 3, m, bilangan bulat positif, maka berlaku im(g) = m(n-1). Bukti : Berasarkan paa analisis sebelumnya untuk memperoleh minimum resolving set paa graph kincir engan pola K 1 + mk n, maka akan iambil (n- 1) vertex paa setiap aun kincirnya sebagai anggota ari resolving set. Hal tersebut ilakukan karena jika aa ua vertex alam satu aun kincir yang tiak masuk alam resolving set, maka akan menghasilkan representasi yang sama, seangkan pengambilan x alam resolving set tiak akan mempengarui karena jarak setiap vertex terhaap x aalah 1 (Lemma 4.). Diameter ari graph kincir engan pola K 1 + mk n aalah. Dalam menentukan imensi metrik ari graph G, maka ilakukan langkah-langkah berikut : Untuk menemukan batas atas im(g), maka ambil W={y 11, y 1,..., y 1(n-1), y 1, y,..., y (n-1), y 31, y 3,..., y 3(n-1),..., y m1, y m,..., y m(n-1) } untuk m, engan menggunakan Lemma 4.1 maka iperoleh vektor koorinat titik-titik graph relatif terhaap W aalah sebagai berikut, r(y 11 W)=(0,1,...,1,,,...,,,,...,,...,,,...,), r(y 1 W)=(1,0,...,1,,,...,,,,...,,...,,,...,),... r(y 1(n-1) W)=(1,1,...,0,,,...,,,,...,,...,,,...,), r(y 1n W)=(1,1,...,1,,,...,,,,...,,...,,,...,), Email : johanezi@yahoo.com 8

yang tiak memberikan representasi yang berbea, terapat koorinat y m(n-1) yang sama engan koorinat y mn jai W={y 11, y 1,..., y 1(n-1), y 1, y,..., y (n-1), y 31, y 3,..., y 3(n-1),..., y m1, y m,..., y m(n-) } bukan merupakan resolving set G. Paa contoh yang iberikan ini vertex yang tiak imasukkan alam W aalah x, y 1n, y n,..., y m(n-1), y mn paa setiap aun kincir terapat satu vertex yang tiak imasukkan alam W, kecuali paa aun kincir ke m terapat ua vertex yang tiak imasukkan alam W, yaitu y m(n-1), y mn. Dalam hal ini x sesuai engan Lemma 4., maka x tiak imasukkan sebagai elemen W. Hal ini mengakibatkan representasi koorinat y m(n-1) sama engan koorinat y mn. Untuk memuahkan penulisan maka vertex yang ikeluarkan ari W aalah y m(n-1), sehingga terapat ua vertex paa aun kincir ke m yang tiak termasuk alam W, engan asumsi bahwa m aalah aun kincir terakhir paa G. Jai batas bawah m(n-1) W atau m(n-1) im(g). Karena batas atas an batas bawah im(g) aalah m(n-1) im(g) m(n- 1), maka im(g)=m(n-1). Jai terbukti bahwa im(g)=m(n-1). VI. KESIMPULAN Sesuai engan Teorema 4.1, apat isimpulkan bahwa imensi metrik paa pengembangan graph kincir engan pola K 1 + mk n, n 3, m, iperoleh im(g) aalah m(n-1) DAFTAR PUSTAKA [1] Harary, F. 1969. Graph Teory, Wesley Publishing Company,Inc. [] Irawan, C. 008 Dimensi Partisi Paa graph Kincir. Tugas Akhir, Jurusan Matematika FMIPA ITS. [3] Mujiati, T. 008 Dimensi Metrik Graph Kincir. Tesis, Jurusan Matematika FMIPA ITS. [4] Pontoh, Mirza. 009 Dimensi Metrik Graf Komposisi C m [P n ]. Tugas Akhir, Jurusan Matematika FMIPA ITB. [5] Hernano, Carmen. 000. On The Metric Dimension Of Some Families Of Graph, U niversitat Politecnica e C antalu ya B arcelona, S p ain. Email : johanezi@yahoo.com 9