JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol 6 No 3, 167-178, Desemer 2003, ISSN : 1410-8518 METODE SIMPLEKS PRIMAL MENGGUNAKAN WORKING BASIS Sunarsih dan Ahmad Khairul Ramdani Jurusan Matematika FMIPA UNDIP ABSTRAK Program linier yang mensyaratkan nilai variaelnya teratas, maka fungsi tujuannya sanagat ergantung pada nilai variael terseut Fungsi tujuan optimal mensyaratkan nilai variael memenuhi atas-atasnya Untuk menyelesaikan program linier ini, metode simpleks dimodifikasi sedemikian hingga didapatkan solusi optimal yang kemudian dikenal seagai metode simpleks primal menggunakan working asis Pencarian solusi asis fisiel dilakukan jika tiga kriteria optimalitas terpenuhi yaitu koefisien fungsi tujuan ernilai negatif variaelnya akan ernilai sama dengan atas atasnya, ernilai positif variaelnya akan ernilai sama dengan nol dan untuk variael tanpa atas atas koefisien fungsi tujuannya non negatif Kata Kunci : Simpleks Primal, Working Basis, Variael Teratas 1 PENDAHULUAN Pada dasarnya, metode-metode yang dikemangkan untuk memecahkan model program linier ditujukan untuk mencari solusi dari eerapa alternatif solusi yang dientuk untuk persamaan-persamaan pematas sehingga diperoleh nilai fungsi tujuan yang optimal Ada dua cara yang isa digunakan untuk menyelesaikan persoalan program linier ini yaitu dengan cara grafis dan metode simpleks Metode simpleks merupakan teknik yang paling erhasil dikemangkan untuk memecahkan persoalan program linier yang mempunyai jumlah variael keputusan dan pematas yang esar [1] Dalam program linier yang mensyaratkan nilai variaelnya teratas, fungsi tujuannya sangat ergantung pada nilai variael terseut Untuk menyelesaikan persoalan program linier ini digunakan metode simpleks yang dimodifikasi sedemikian hingga diperoleh solusi yang optimal Metode simpleks yang dimodifikasi ini dikenal seagai Metode Simpleks Primal Menggunakan Working Basis [2] 167
Metode Simpleks Primal Menggunakan Working Basis ( Sunarsih dan Ahmad Khairul Ramdani ) 2 KONSEP DASAR 21 Metode Simpleks Metode simpleks merupakan prosedur aljaar yang ersifat iteratif, yang ergerak selangkah demi selangkah, dimulai dari suatu titik ekstrem pada daerah fisiel (ruang solusi) menuju ke titik ekstrem optimum [1] Misalkan model proram linier seagai erikut: Meminimalkan : Z = cx Kendala Ax = x 0 dengan A,, c dan x masing-masing adalah : a11 a21 A = am 1 a a a 12 22 m2 a a 1n a 2n mn, = 1 2 m, c = (c 1, c 2,, c n ) dan x = x1 x2 x n Untuk mendapatkan solusi asis dari Ax = maka seanyak (n-m) variael harus dinolkan Variael yang dinolkan ini diseut variael non asis [4] Selanjutnya dicari nilai dari n (n m) = m variael yang memenuhi Ax = yang diseut variael asis 22 Teori Dualitas Dalam keanyakan pemahasan program linier, masalah dual didefinisikan untuk eragai entuk masalah primal, ergantung pada jenis atasan tanda dari variael dan arti dari optimasi [7] Setiap permasalahan program linier mempunyai suatu program linier lain yang saling erkaitan diseut dual, sedemikian hingga permasalahan semula yang diseut primal solusinya dapat diperoleh dengan menyelesaikan permasalahan dualnya Bentuk umum masalah primal dual adalah [6] : 168
JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol 6 No 3, 167-178, Desemer 2003, ISSN : 1410-8518 Primal : Meminimalkan : Z = cx Kendala Ax x 0 Dual : Memaksimalkan W = w Kendala wa c w 0 Peruahan tanda ketidaksamaan tergantung pada fungsi tujuannya, yaitu untuk kasus maksimal semua pematas ertanda, sedangkan untuk kasus minimal semua pematas ertanda dan semua variael non negatif Permasalahan maksimal/minimal semacam ini diseut permasalahan maksimal/minimal normal [5] Sedangkan untuk permasalahan maksimal/ minimal yang tidak normal peruahannya adalah : - Untuk permasalahan maksimal jika kendala primal x i ertanda maka variael dual yang erkorespondensi dengan kendala itu akan memenuhi w i 0 Sealiknya, untuk permasalahan minimal jika kendala primal x i ertanda, maka variael dual yang erkorespondensi dengan variael terseut akan memenui w i 0 - Jika kendala primalnya x i ertanda =, maka variael dual w i yang erkorespondensi dengan kendala terseut tidak teratas dalam tanda - Jika variael primal x i tidak teratas dalam tanda, maka kendala dualnya y i akan ertanda = 3 PROGRAM LINIER DENGAN NILAI VARIABEL TERBATAS 31 Program Linier dengan Nilai Variael Teratas Program linier dimana satu atau eerapa atau semua variaelnya teratas pada atas awah dan atas atas tertentu dikenal dengan Program Linier dengan Variael Teratas Dalam aplikasinya dimana variaelnya teratas pada ilangan tertentu (erhingga), misalnya y j, teratas di atas oleh k j dan teratas di awah oleh l j, dimana l j k j dan l j 0, [2] 169
Metode Simpleks Primal Menggunakan Working Basis ( Sunarsih dan Ahmad Khairul Ramdani ) Bentuk awalnya adalah : Meminimalkan Z(y) = cy Kendala Ay = l j y j k j untuk j ε J = {1, 2,, n 1 } (1) y j 0 untuk j ε J = {n 1 +1, n 1 +2,,n} dimana A adalah matriks order m x n Batas l j dan k j erhingga dan l j k j untuk semua j ε J Dengan mensustitusikan y j = x j + l j untuk semua j ε J dan y j = x j untuk semua j ε J dengan kendala variael didapat : l j x j + l j k j untuk j ε J = {1, 2,, n 1 } y j = x j 0 untuk j ε J = {n 1 +1, n 1 +2,n} atau x j U j = k j - l j untuk j ε J = {1, 2,, n 1 } x j 0 untuk semua j Dengan menguah kendala Ay = dengan sustitusi y j = x j + l j untuk semua j ε J dan y j = x j untuk j ε J maka kendalanya erentuk Ay =, dan fungsi tujuannya erentuk Z(y) = cy = cx + cl karena fungsi tujuan diminimalkan, maka Min Z(y) = Min (cx + cl) dimana cl adalah konstanta, maka fungsi tujuan yang diminimalkan hanya cx Jadi fungsi tujuan arunya adalah Minimal Z(x) = cx, sedangkan Z(y) = Min Z(x) + cl Peruahan-peruahan di atas entuk (1) ekivalen dengan entuk erikut : Minimalkan Z(x) = cx Kendala Ax = x j U j = k j - l j untuk j ε J = {1, 2,, n 1 } (2) x j 0 untuk semua j Bentuk permasalahan ini merupakan entuk umum permasalahan program linier dengan nilai variael teratas 170
JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol 6 No 3, 167-178, Desemer 2003, ISSN : 1410-8518 32 Solusi Basis Fisiel Solusi fisiel x untuk (2) adalah solusi asis fisiel jika dan hanya jika himpunan vektor kolom yang erkorespondensi dengan variael asis yaitu {A j :j sedemikian hingga 0< x < U j } {A j : j sedemikian hingga j x j > 0} adalah asis linier, (2) didefinisikan seagai working asis adalah sumatriks ujur sangkar nonsingular dari A order m Jika dierikan working asis untuk (2), maka variael-variael yang erkorepodensi dengan vektor kolom-vektor kolom dari working asis ini diseut variael asis Variael-variael selain itu diseut variael non asis Dengan dierikannya working asis ini, maka solusi fisiel x adalah solusi asis fisel jika dan hanya jika ada working asis dimana solusi variael non asis ini sama atas awahnya (nol) atau atas atasnya Nilai dari variael asis harus erada diantara atas awah (nol) dan atas atas untuk masing-masing variael [3] 33 Kriteria Optimalitas Kriteria optimalitas untuk program ini diperoleh dari huungan primal dan dualnya Dari permasalahan (2) dapat juga ditulis dalam entuk : Minimalkan Z(x) = cx Kendala 1 1 n Aj x j = j -x j -U j untuk j ε J = {1,, n 1 } (3) x j 0 untuk semua j Permasalahan di atas adalah permasalahan meminimalkan yang tidak normal, selanjutnya memisalkan variael dual agi kendala Ax = adalah η 1,, η m, dan η 1,, η n1 agi kendala variael -x j -U j maka dualnya adalah : Maksimalkan : η - µu Kendala : ηa j - µ j x j c j untuk j ε J 171
Metode Simpleks Primal Menggunakan Working Basis ( Sunarsih dan Ahmad Khairul Ramdani ) ηa j c j untuk j ε J (4) η tidak teratas tanda µ 0 Dari (3) dan (4) nilai variael slack untuk masing-masing kendalanya adalah c j - ηa j + µ j x j 0 untuk j ε J c j - ηa j 0 untuk j ε J U j x j 0 untuk j ε J Oleh karena itu solusi asis fisiel untuk (4) dipenuhi hanya jika variael primal dan dualnya memenuhi complementary slackness condition seagai erikut : x j (c j - ηa j + µ j )= 0 untuk j ε J (5a) x j (c j - ηa j ) = 0 untuk j ε J (5) x j (U j x j ) = 0 untuk j ε J (5c) Dengan memisalkan c j - ηa j = c j merupakan koefisien fungsi tujuan ke-j pada iterasi ke-k yang optimal maka nilai x j juga harus optimal Fisiilitas dual mensyaratakan ahwa c j + µ j 0 untuk semua untuk j ε J dan c j 0 untuk j ε J Dari fisiilitas dual terseut maka diperoleh eerapa kemungkinan seagai erikut : - Untuk j ε J, jika c j < 0 maka untuk memenuhi fisiilitas (4) diperlukan nilai µ j 0 (karena c j + µ j 0 untuk j ε J), karena µ j > 0 maka dari (5c) didapat x j = U j - Untuk j ε J, jika c j > 0 dan karena µ j 0 maka c j + µ j > 0 dan dari (5a) didapat x j = 0 - Untuk j ε J, jika x j nilainya erada diantara atas atas dan awah maka dari (5a) dan (5c) dipenuhi hanya jika c j = 0 dan µ j = 0 172
JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol 6 No 3, 167-178, Desemer 2003, ISSN : 1410-8518 - Untuk j ε J, jika c j > 0 maka dari (5) didapat x j = 0 Dari kemungkinan ini solusi fisiel untuk (2) yaitu x adalah optimal jika dan hanya jika terdapat η sedemikian hingga c = ηa, nilai x j dimana c j > 0 adalah nol dan nilai x j dimana c j < 0 adalah U j Misalkan x adalah solusi asis fisiel untuk (2) yang erkorespodensi dengan working asis B Jika x j adalah variael asis, maka nilai x j terdapat diantara 0 dan U j dengan c j = 0, oleh karena itu η yang ersesuaian dengan working asis B dapat diperoleh dengan menyelesaikan c j - ηa j = 0 untuk semua j, dengan A j adalah vektor kolom pada B Misalkan c B adalah vektor koefisien harga fungsi tujuan variael asis, maka η diperoleh dengan menyelesaikan c B = ηb, yaitu η= c B B -1 Setelah η didapat selajutnya, nilai c diperoleh dari c = c - ηa Dengan memandang teratas adalah : c kriteria optimalitas untuk program linier variael - Untuk j ε J dan c j < 0 dimana - Untuk j ε J dan c j > 0 dimana x j = U j x j = 0 - Untuk j ε J dimana c j 0 4 Metode Simpleks Primal Menggunakan Working Basis 41 Fase I Fase I metode simpleks mencari solusi asis fisiel awal untuk (2) dengan terleih dahulu menamahkan variael artifisial x n+1,, x n+m seperti pada tael erikut : 173
Metode Simpleks Primal Menggunakan Working Basis ( Sunarsih dan Ahmad Khairul Ramdani ) Tael 1 Tael Awal Fase I BV x 1 x m x m+1 x n x n+1 x n+m x n+1 a 11 a 1m a 1, m+1 a 1n 1 0 1 x n+m a 1m a mm a m, m+1 a mn 0 1 m - Z c 1 c m c m+1 c n 0 0 0 - Y d 1 d m d m+1 d n 1 1 - Y x j U j untuk j ε J, x j 0 untuk semua j, x n+1,, x n+m variael artifisial Pada tael kanonik awal ini variael asisnya adalah x n+1,, x n+m, oleh karena itu working asisnya adalah matriks yang memuat vektor kolom-vektor kolom yang ersesuaian dengan variael x n+1,, x n+m atau dalam hal ini adalah matriks identitas Misalkan dari tael kanonik awal terseut pada iterasi ke-k diperoleh x i1,, x im adalah variael asis seperti tael erikut Tael 2 Tael Iterasi ke-k dari Tael Kanonik Awal BV x i1 x im variael lain non asis x n+1 x n+m x i1 x im 1 0 β i1 β im 0 1 β i1 β im m - Z 0 0 -η 1 -η m - Z - Y 0 0 -σ 1 -σ m - Y Pada tael di atas karena x i1,, x im adalah variael asis maka working asisnya adalah matriks yang memuat vektor-vektor kolom yang ersesuaian dengan variael terseut pada tael kanonik awal (Tael 1) Dengan kata lain working asis 1 B = ai a 11 i1 ai a m 1 i m m m Invers dari working asis adalah matriks dari variael x n+1, 174
JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol 6 No 3, 167-178, Desemer 2003, ISSN : 1410-8518 β11 β1 m, x n+m, maka B -1 = β m β mm 1 Koefisien fungsi tujuan fase I dan II yang ersesuaian dengan working asis B dinamakan c B dan d B Dari Tael 1 dengan x 11,, x im adalah variael asis maka c B dan d B yang ersesuaian dengan variael asis pada Tael 2 adalah c B = (c 1,, c m ) dan d B = (d 1,, d m ) Dari kriteria optimalitas variael non asis x j untuk j ε J sama dengan nol atau sama dengan atas atas U j Sedangkan variael non asis x j untuk j ε J selalu sama dengan nol Oleh karena itu kriteria penghentian fase I diperoleh dengan memakai kriteria optimalitas untuk permasalahan program linier variael teratas Karena pada fase I koefisien fungsi tujuannya adalah dimana d j maka c j pada kriteria optimalitas terseut digangi dengan d j dimana d = d j - σa j j Jadi kriteria optimalitas fase I adalah seagai erikut : - Untuk j ε J dan d j < 0 dimana - Untuk j ε J dan d j > 0 dimana x j = U j x j = 0 - Untuk j ε J dimana d j 0 42 Pemilihan Entering Variael pada Fase I Misalkan pada iterasi ke-k jika kriteria optimalitas fase I tidak dipenuhi, maka dipilih variael non asis x s yang akan dijadikan entering variael pada iterasi selanjutnya Dengan mengelompokkan semua variael non asis leih dulu dari pada variael asis maka tael pemilihan entering variael x s adalah seagai erikut : 175
Metode Simpleks Primal Menggunakan Working Basis ( Sunarsih dan Ahmad Khairul Ramdani ) Tael 3 Tael Iterasi ke-k dari Tael Kanonik Awal BV NBV x s x i1 X n+m selain x s x i1 x ir x im a is 1 0 a rs 0 0 a 0 1 ms 1 r m - Z - Y c s 0 0 d s 0 0 - - Y Variael non asis x s yang dipilih ini harus memiliki salah satu dari tipe erikut : (1) Untuk s ε J dan d s < 0 dimana (2) Untuk s ε J dan d s > 0 dimana x s = 0 atau, x s = U s atau, (3) Untuk s ε J dimana d s < 0 Variael x s yang memenuhi (1) atau (2) atau (3) adalah yang terpilih untuk masuk ke vektor asis Salah satu dari x j ini dipilih untuk menjadi entering variael dengan kriteria pemilihan variael asis seagai erikut : (a) d s = minimal { d j : j = 1,, n 1 } untuk d j < 0 dan x s = 0 atau, () d s = minimal { (c) d s = maksimal { d j : j = n 1 + 1,,n}untuk d j : j = 1,, n 1 } untuk d j < 0 dan d j > 0 dan x s = 0 atau, x s = U s Jika ketiga kriteria di atas terpenuhi maka dipilih d s yang akan memerikan penurunan maksimal pada fungsi tujuan fase I Jika d s telah 176
JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol 6 No 3, 167-178, Desemer 2003, ISSN : 1410-8518 ditentukan maka selanjutnya dicari nilai entering variael x s untuk variael non asis Algoritma simpleks terus dilanjutkan sampai kriteria penghentian fase I dipenuhi Jika harga fungsi tujuan fase I yaitu Y ernilai Y erhenti positif maka permasalahan awal dari program linier variael teratas terseut tidak memiliki solusi fisiel Oleh karena itu algoritma dihentikan Sealiknya, jika didapat nilai Y = 0 maka permaslahan awal memilki solusi fisiel dan dilanjutkan ke fase II 43 Fase II Fase II dikerjakan jika fase I didapat Y = 0 dan koefisien fungsi tujuan fase I adalah nol Oleh karena itu kriteria penghentian fase II adalah dengan c j, koefisien fungsi tujuan fase II Kriteria optimalitas fase II adalah : - Untuk j ε J dan c j < 0 dimana - Untuk j ε J dan c j > 0 dimana x j = U j x j = 0 dan, - Untuk j ε J, c j 0 44 Pemilihan Entering Variael pada Fase II Jika kriteria optimalitas fase II tidak dipenuhi, dipilih variael non asis x s, dan menjadikannya seagai entering variael x s yang terpilih ini memiliki salah satu erikut (1) Untuk s ε J dan c s < 0 dimana (2) Untuk s ε J dan c s > 0 dimana x s = 0 atau, x s = U s atau, (3) Untuk s ε J dimana c s < 0 Variael x s yang memenuhi (1), (2) dan (3) adalah yang yang terpilih untuk masuk ke vektor asis Salah satu dari x j ini dipilih untuk menjadi entering variael dengan kriteria pemilihan variael asis seagai erikut : (a) c s = minimal { c j : j = 1,, n 1 } untuk j c < 0 dan x s = 0 atau, 177
Metode Simpleks Primal Menggunakan Working Basis ( Sunarsih dan Ahmad Khairul Ramdani ) () c s = minimal { c j : j = n 1 + 1,,n}untuk c j < 0 dan x s = 0 atau, (c) c s = maksimal { c j : j = 1,, n 1 } untuk j c > 0 dan x s = U s Jika ketiga kriteria di atas terpenuhi maka dipilih c s yang akan memerikan penurunan maksimal pada fungsi tujuan fase II Jika c s telah ditentukan maka selanjutnya dicari nilai dari entering x s untuk variael non asis 5 KESIMPULAN Program linier khusus yang mensyaratkan ahwa nilai variael terdapat pada suatu interval ilangan (dari atas awah sampai dengan atas atas) merupakan nilai variael pada solusi asis fisiel yang harus dipenuhi Terdapat 3 (tiga) kriteria optimalitas yang harus dipenuhi yaitu koefisien fungsi tujuan ernilai negatif variaelnya akan erniali sama dengan atas atasnya, ernilai positif variaelnya akan ernilai sama dengan nol, serta untuk variael tanpa atas atas koefisien fungsi tujuannya nonnegatif DAFTAR PUSTAKA 1 Dimyati, dkk, 1992 Riset Operasi : Model-model Pengamilan Keputusan Sinar Baru Algensindo, Bandung 2 Gass, Saul I, 1984 Linear Programming : Methods and Applications, McGraw-Hill New York 3 Ignizio, James P, 1990 Linear Programming in Single & Multiple Oyective System, Prentice-Hall, New Jersey 4 Kim, Chaiho, 1971 Intoduction to Linear Programming, Hult Rinehart and Winston, New York 5 Luenerg, David D, 1994 Linear and Non Linear Programming 2 nd ed, Addison Wesley, Canada 6 Murty, Katta G, 1983 Linear Programming John Wiley and Sons, New York 7 Taha, Hamdy A, 1987 Operation Research : On Introduction 4 th ed, Mac Millan Pulishing, New York 178