BAB VI. DUALITAS DAN ANALISIS POSTOPTIMAL

Transkripsi

1 BAB VI. DUALITAS DAN ANALISIS POSTOPTIMAL HUBUNGAN PRIMAL-DUAL Dual adalah permasalahan PL yang diturunkan secara matematik dari primal PL tertentu. Setiap permasalahan primal selalu mempunyai pasangan dual dan sebaliknya. Solusi optimal pada dual secara otomatis akan menghasilkan solusi optimal pada primal dan sebaliknya. Hal yang harus selalu diingat, penyelesaian baik menggunakan metode primal maupun dual dilakukan dari bentuk standar. Bentuk standar PL secara umum adalah: Maksimumkan atau minimumkan z = Σc j x j Σa ij x j = b i x j 0 variabel x j termasuk variabel keputusan, slack, surplus dan artificial. Konversi dual dari primal dilakukan dengan memperhatikan hubungan seperti yang ditunjukkan tabel berikut: Variabel primal x 1 x 2 x j x n Nilai kanan pembatas dual c 1 c 2 c j c n a 11 a 12 a 1j a 1m b 1 y 1 Koefisien dual pembatas a 21 a 22 a 2j a 2m b 2 y Variabel dual a m1 a m2 a mj a mn b m y m Dualitas dan Analisis Postoptimal 1

2 Koefisien pembatas dual ke-j Koefisien tujuan dual Tabel di atas menunjukkan bahwa dual didapatkan secara simetris dari primal sesuai dengan aturan berikut: 1. Untuk setiap pembatas primal ada variabel dual. 2. Untuk setiap variabel primal ada pembatas dual. 3. Koefisien pembatas variabel primal membentuk koefisien pembatas dual; koefisien fungsi tujuan variabel yang sama dari primal menjadi nilai kanan pembatas dual. Aturan di atas menunjukkan bahwa permasalahan dual akan mempunyai sejumlah m variabel (y 1, y 2,, y m ) dan sejumlah n pembatas (sesuai dengan x 1, x 2,, x n ). Elemen lain dari permasalahan dual ditentukan dengan cara seperti yang ditunjukkan tabel di bawah. Tujuan Dual standar primal Tujuan Pembatas Variabel Maksimisasi Minimisasi Tidak Minimisasi Maksimisasi terbatas Tidak terbatas Contoh: 1. Diberikan bentuk primal di bawah, tentukanlah bentuk dual yang sesuai!! Minimumkan z = 2 x x 2 Kendala: x 1 + x 2 = x x Dualitas dan Analisis Postoptimal 2

3 0.09x x x x x 1, x 2 0 Penyelesaian Pertama, bentuk umum di atas diubah menjadi bentuk baku/standar, yaitu: Minimumkan z = 2 x x 2 + 0x 3 + 0x 4 + 0x 5 : x 1 + x 2 + 0x 3 + 0x 4 + 0x 5 = 90 y x x 2 + x 3 + 0x 4 + 0x 5 = 0.9 y x x 2 + 0x 3 x 4 + 0x 5 = 27 y x x 2 + 0x 3 + 0x 4 + x 5 = 4.5 y 4 x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 0 Bentuk dualnya terdiri dari 4 variabel dan 2 pembatas, yaitu: Maksimumkan w = 90y y y y 4 y y y y 4 2 y y y y y 1 + y 2 + 0y 3 + 0y 4 0 0y y 2 - y 3 + 0y 4 0 0y 1 + 0y 2 + 0y 3 + y 4 0 y 1, y 2, y 3, y 4 tidak terbatas atau Maksimumkan w = 90y y y y 4 y y y y 4 2 y y y y y 2, -y 3, y 4 0 y 1 tidak terbatas Dualitas dan Analisis Postoptimal 3

4 2. Diberikan bentuk primal di bawah, tentukanlah bentuk dual yang sesuai!! Maksimumkan z = 2x 1 + 3x 2 : 10x 1 + 5x x x x x x 1, x 2 0 Penyelesaian Bentuk baku/standar primal adalah: Maksimumkan z = 2x 1 + 3x 2 + 0x 3 + 0x 4 + 0x 5 : 10x 1 + 5x 2 + x 3 = 600 6x x 2 + x 4 = 600 8x x 2 + x 5 = 600 x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 0 Bentuk dualnya adalah: Minimumkan w = 600y y y 3 10y 1 + 6y 2 + 8y 3 2 5y y y 3 3 y 1 0 y 2 0 y Ubahlah bentuk dual di bawah ini ke dalam bentuk primalnya!!! Maksimumkan w = 100y y y y 4 2y 1 + 2y 2 + y 3 + y 4 5 Dualitas dan Analisis Postoptimal 4

5 y 1 + 2y 2 + 3y 3 + 2y y 1 + 2y 2 + 4y 3 + y 4 10 y 1, y 3 0 y 2 0 y 4 tidak terbatas Penyelesaian Minimumkan z = 5x x x 3 + 0x 4 + 0x 5 + 0x 6 2x 1 + x 2 + 2x 3 + x 4 + 0x 5 + 0x 6 + 0x 7 = 100 2x 1 + 2x 2 + 2x 3 + 0x 4 - x 5 + 0x 6 = 200 x 1 + 3x 2 + 4x 3 + 0x 4 + 0x 5 + x 6 = 150 2x 1 + x 2 + x 3 + 0x 4 + 0x 5 + 0x 6 = 150 x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 0 atau dalam bentuk umum PL-nya: Minimumkan z = 5x x x 3 2x 1 + x 2 + 2x x 1 + 2x 2 + 2x x 1 + 3x 2 + 4x x 1 + x 2 + x 3 = 150 Minimumkan z = 5x x x 3 + 0x 4 + 0x 5 + 0x 6 2x 1 + x 2 + 2x 3 + x 4 + 0x 5 + 0x 6 + 0x 7 = 100 2x 1 + 2x 2 + 2x 3 + 0x 4-0x 5 + 0x 6 = 200 x 1 + 3x 2 + 4x 3 + 0x 4 + 0x 5 + x 6 = 150 x 1, x 2, x Diberikan bentuk dual di bawah ini, rubahlah ke dalam bentuk primalnya!!! Dualitas dan Analisis Postoptimal 5

6 Minimumkan w = 10y y 2 y 1 + y 2 2 y 1 + 2y 2 3 y 1, -y 2 0 Penyelesaian Maksimumkan z = 2x 1 + 3x 2 +0x 3 + 0x 4 x 1 + x 2 + x 3 + 0x 4 = 10 x 1 + 2x 2 + 0x 3 - x 4 = 20 x 1, x 2, x 3, x 4 0 atau bentuk umum PL-nya adalah: Maksimumkan z = 2x 1 + 3x 2 x 1 + x 2 10 x 1 + 2x 2 20 x 1, x 2 0 SOLUSI DUAL OPTIMAL Solusi optimal dual dapat diperoleh secara langsung dari tabel primal optimal. Hal ini dapat diperhatikan dari bentuk matriks di bawah ini. Bentuk matriks primal adalah: Maksimumkan/minimumkan z = C I X I + C II X II AX I + IX II = b X I, X II 0 dan bentuk matriks dualnya adalah: Minimumkan/maksimumkan w = Yb Dualitas dan Analisis Postoptimal 6

7 YA / C I Y / C II Y adalah vektor tidak terbatas Misalkan B adalah basis primal optimal dan C B adalah koefisien fungsi tujuan variabel basis tersebut, maka Y = C B B -1 Adalah solusi dual optimal. Solusi optimal fungsi tujuan dual adalah w = Yb = C B B -1 b dan solusi optimal fungsi tujuan primal adalah z = C B X B = C B B -1 b. Permasalahan primal mencari solusi optimal, sedangkan permasalahan dual mencari solusi layak. Hal ini menjadi dasar pengembangan dual simpleks yang sudah anda pelajari pada bab 4. Perhatikan kasus 2.5 PL dari bab 2 dan solusi optimalnya pada bab 4. Maksimumkan z = 2x 1 + 3x 2 : 10x 1 + 5x x x x x x 1, x 2 0 Bentuk baku/standar: Maksimumkan z = 2x 1 + 3x 2 + 0s 1 + 0s 2 + 0s 3 10x 1 + 5x 2 + s 1 = 600 6x x 2 + s 2 = 600 8x x 2 + s 3 = 600 x 1, x 2, s 1, s 2, s 3 0 VB X 1 X 2 S 1 S 2 S 3 Solusi Dualitas dan Analisis Postoptimal 7

8 z /70 1/ S /7-17/ X /70-3/ X /14 2/ Bentuk dual dari primal di atas adalah: Minimumkan w = 600y y y 3 10y 1 + 6y 2 + 8y 3 2 5y y y 3 3 y 1 0 y 2 0 y 3 0 Solusi dual adalah w = Yb, dimana Y = C B B -1. y 1 = 0; y 2 = 9/70 dan y 3 = 1/35 Solusi optimal primal juga dapat diperoleh dari solusi optimal dual. Perhatikan kasus primal berikut: Min z = 21x x x 3 90x x x x x x x x x x 1, x 2, x 3 0 Bentuk dualnya adalah: Maksimumkan w = 200y y y 3 90y y y y y y 3 18 Dualitas dan Analisis Postoptimal 8

9 40y y y 3 15 y 1, y 2, y 3 0 Solusi awal VB y 1 y 2 y3 S 1 S 2 S 3 Solusi w S S S Iterasi-1 VB y 1 y 2 y3 S 1 S 2 S 3 Solusi w / S 1 165/2 0 5/2 1-3/8 0 57/4 y 2 1/4 1 1/4 0 1/80 0 9/40 S /4 1 3/2 Iterasi-2 VB y 1 y 2 y3 S 1 S 2 S 3 Solusi w S y / y / Tabel sudah optimal. Solusi optimal dualnya adalah: W = 70.8; y 1 = 0.06; y 2 = 0.21; dan y 3 = 0. Solusi optimal primalnya adalah: Z = w = 70.8; x 1 = 0; x 2 = -0.4; x 3 = 5.2 Solusi optimal primal berdasarkan solusi optimal dual di atas adalah: x 1 = 0; x 2 = -0.4 ; x 3 = 5.2; dan z = 70.8 Dualitas dan Analisis Postoptimal 9

10 INTERPRETASI EKONOMIS PERMASALAHAN DUAL Harga dual menunjukkan kegunaan per unit sumber daya produksi. Biaya terkurangi menunjukkan peningkatan pengembalian marjinal atau pengurangan biaya per unit sumber daya yang dibutuhkan untuk membuat satu aktifitas PL lebih menguntungkan. Hubungan primal-dual untuk menunjukkan arti ekonomis sebenarnya dari harga dual dan biaya terkurangi. Interpretasi harga dual dan biaya terkurangi akan dibuktikan sangat berguna pada dua aspek, yaitu: 1. menyediakan pemahaman fundamental model PL sebagai sistem output-input ekonomis. 2. memungkinkan implementasi efisien analisis sensitivitas atau postoptimal. Ingat kembali bentuk baku/standar primal dan dual dalam model matematik PL (bukan dalam bentuk matriks), seperti yang ditunjukkan di bawah ini untuk maksimisasi. Primal Maksimumkan z = Σ c j x j Σ a ij x j = b i, i = 1, 2,..., m x j 0, j = 1, 2,..., n Dual Minimumkan w = Σ b i y i Σ a ij y i c j, j = 1, 2,..., n y i tidak terbatas, i = 1, 2,..., m Dualitas dan Analisis Postoptimal 10

11 Koefisien c j pada primal menunjukkan keuntungan marjinal aktivitas j dengan level sama dengan x j unit. Fungsi objektif oleh karenanya menunjukkan keuntungan total yang dapat diperoleh dari semua aktivitas. Model tersebut mempunyai sejumlah m sumber daya, dimana sumber daya ke-i mempunya level b i yang dialokasikan pada laju a ij per unit untuk aktivitas j. Σ a ij x j menunjukkan penggunaan sumber daya ke-i oleh semua aktivitas. Variabel dual dari persamaan di atas adalah y i. Sebelumnya telah ditunjukkan bahwa z = w atau Σ c j x j = Σ b i y i. Sisi kiri persamaan menunjukkan uang (pengembalian) dan b i menunjukkan unit (jumlah) sumber daya ke-i, maka y i dengan demikian pasti menunjukkan jumlah uang per unit sumber daya ke-i, sehingga satuan di kiri persamaan menjadi sama dengan satuan di kanan persamaan. Variabel dual y i oleh karenanya menunjukkan kegunaan per unit sumber daya ke-i. Untuk menjelaskan biaya terkurangi, ingat kembali koefisien persamaan fungsi tujuan variabel x j pada setiap iterasi, yaitu : z j c j = C B B -1 P j - c j atau alternatifnya menggunakan Y= C B B -1 sebagai variabel dual yang bersesuaian, kita dapatkan: z j c j = YP j - c j = Σ a ij y i c j. Hubungan ini menunjukkan bahwa koefisien persamaan tujuan z j c j variabel x j pada tabel primal sama dengan perbedaan antara sisi kiri dan kanan pembatas dual ke-j. persamaan ini menghasilkan interpretasi ekonomis yang menarik model PL, yang akan ditunjukkan menggunakan analisis dimensional. Karena c j primal menunjukkan pengembalian per unit aktivitas j, unitnya mungkin ditunjukkan sebagai jumlah uang per unit aktivitas j. Dengan konsisten, kuantitas Σ a ij y i pasti sama dengan dimensi jumlah uang per unit aktivitas j. Karena c j dan Σ a ij y i mempunyai tanda Dualitas dan Analisis Postoptimal 11

12 berlawanan, maka kuantitas Σ a ij y i pasti menunjukkan biaya. Dengan demikian, a ij adalah jumlah sumber daya i yang dikonsumsi 1 unit aktivitas j. sebagai hasilnya, y i, pasti menunjukkan biaya yang dikenakan per unit sumber daya i dan kita dapat pikirkan Σ a ij y i sebagai total biaya yang dikenakan untuk semua sumber daya yang digunakan untuk menghasilkan 1 unit aktivitas j. Sekarang, tergantung pada apakah biaya z j = Σ a ij y i melebihi pengembalian c j, penjelasan di atas mengarahkan analisis dimensional persamaan z j - c j berikut: Jumlah uang per unit keuntungan/kerugian = jumlah uang per unit biaya jumlah uang per unit pengembalian. Kondisi optimal maksimisasi metode simpleks (simpleks yang direvisi) menunjukkan bahwa level aktivitas j saat ini yang tidak digunakan (variabel non basis x j = 0) akan dinaikkan di atas level 0 hanya jika koefisien tujuannya z j c j bernilai negatif. Kondisi ini dipenuhi secara ekonomis dengan cara berikut: dari interpretasi z j c j, kondisi optimal memaksa bahwa (biaya yang dikenakan untuk penggunaan sumber daya per unit j pengembalian per unit j) < 0 atau biaya yang dikenakan untuk penggunaan sumber daya per unit j < pengembalian per unit j. oleh karena itu, selama pengembalian per unit melebihi biaya yang dikenakan sumber daya yang digunakan, lebih banyak sumber daya harus dialokasikan ke aktivitas untuk mengambil keuntungan potensial. Hal ini berarti bahwa level aktivitas j, x j, harus dinaikkan di atas level 0. Ketika kita memasukkan aktivitas j ke solusi (membuat variabelnya menjadi variabel basis), kita meningkatkan levelnya ke titik dimana z j c j nya berkurang menuju 0. Ini sama dengan mengekploitasi aktivitas ke pemberdayaan paling penuh, karena peningkatan selanjutnya akan menghasilkan peningkatan biaya yang dikenakan di luar pengembalian potensial aktivitas. Dualitas dan Analisis Postoptimal 12

13 Sekarang anda dapat melihat mengapa pada model maksimisasi suatu aktivitas dengan z j c j > 0 akan berada pada level 0. Fakta bahwa biaya yang dikenakan penggunaan sumber daya lebih tinggi dari pengembaliannya membuatnya secara ekonomis tidak menarik. Aktivitas yang mempunyai level 0 pada solusi optimal (variabel non basis), kuantitas z j c j menunjukkan biaya terkurangi per unit aktivitas j. Berdasarkan penjelasan di atas, kuantitas ini menunjukkan jumlah dimana secara ekonomis aktivitas harus diperbaiki untuk membuat aktivitas lebih atraktif secara ekonomis (menaikkan levelnya dari 0 ke nilai positif). Hasil seperti itu dapat terjadi dalam dua cara, yaitu: 1. Meningkatkan pengembalian marjinal aktivitas, c j. 2. Menurunkan konsumsi aktivitas akan sumber daya terbatas, Σ a ij y i. Pilihan pertama mungkin tidak akan selalu layak, karena marjin keuntungan secara normal ditentukan oleh kondisi pasar dan persaingan. Pilihan kedua hanya merefleksikan komitmen entitas ekonomis untuk peningkatan operasinya terutama melalui pengurangan penggunaan sumber daya terbatas. Artinya, pilihan kedua berhubungan dengan penghilangan kemungkinan ketidakefisienan operasi sistem yang dipertimbangkan. Nilai dual y i dapat digunakan sebagai indikator untuk menentukan dimana pilihan kedua harus diimplementasikan. Pengaruhnya, karena y i menunjukkan biaya terkurangi dari penggunaan 1 unit sumber daya i per unit aktivitas j, sumber daya yang mempunyai nilai tinggi secara relatif y i, harus mendapatkan prioritas dalam perbaikan. Dualitas dan Analisis Postoptimal 13