Sistem Bilangan Riil
Sistem bilangan N : bilangan asli Z : bilangan bulat Q : bilangan rasional R : bilangan real N : 1,,,. Z :,-,-1,0,1,,.. Q : a q =, a, b Z, b 0 b R = Q Irasional Contoh Bil Irasional,,π MA 1114 Kalkulus 1
Garis bilangan Setiap bilangan real mempunyai posisi pada suatu garis yang disebut dengan garis bilangan(real) - 0 1 π Selang Himpunan bagian dari garis bilangan disebut selang MA 1114 Kalkulus 1
Selang Jenis-jenis selang Himpunan selang < a (-, a ) { } { } a (-, a ] { } < ( ) a < b { } a b a, b [ ] { } a, b > b ( b, ) { } b [ b, ) { R } (, ) Grafik a a a a b b b b MA 1114 Kalkulus 1 4
Sifat sifat bilangan real Sifat-sifat urutan : q Trikotomi Jika dan y adalah suatu bilangan, maka pasti berlaku salah satu dari < y atau > y atau = y q Ketransitifan Jika < y dan y < z maka < z q Perkalian Misalkan z bilangan positif dan < y maka z < yz, sedangkan bila z bilangan negatif, maka z > yz MA 1114 Kalkulus 1 5
Pertidaksamaan l Bentuk umum pertidaksamaan : A B ( ) ( ) < D( ) E( ) l dengan A(), B(), D(), E() adalah suku banyak (polinom) dan B() 0, E() 0 MA 1114 Kalkulus 1 6
Pertidaksamaan l Menyelesaikan suatu pertidaksamaan adalah mencari semua himpunan bilangan real yang membuat pertidaksamaan berlaku. Himpunan bilangan real ini disebut juga Himpunan Penyelesaian (HP) l Cara menentukan HP : 1. Bentuk pertidaksamaan diubah menjadi : P( ) Q( ) < 0 MA 1114 Kalkulus 1 7
Pertidaksamaan. Faktorkan P() dan Q() menjadi faktor-faktor linier dan/ atau kuadrat. Tentukan titik pemecah (pembuat nol faktor linear). Gambarkan titik-titik pemecah tersebut pada garis bilangan, kemudian tentukan tanda (+, -) pertidaksamaan di setiap selang bagian yang muncul MA 1114 Kalkulus 1 8
Contoh : Tentukan Himpunan Penyelesaian 1 1 5 1 + 5 + 16 8 4 8 4 8 Hp = [ 4,8] 4 8 MA 1114 Kalkulus 1 9
Contoh : Tentukan Himpunan Penyelesaian < 6 4 8 < 4 8 > 4 4 < 8 1 < 8 Hp 1 =, 1 MA 1114 Kalkulus 1 10
Contoh : Tentukan Himpunan Penyelesaian 5 < 0 ( + 1)( ) < 0 Titik Pemecah (TP) : 1 = dan = ++ -- ++ Hp = 1, 1 MA 1114 Kalkulus 1 11
Contoh : Tentukan Himpunan Penyelesaian 4 4 6 7 + 6 4 6 7 dan 6 7 + 6 + 7 6 + 4 dan 7 6 + 6 9 10 dan 10 0 10 dan 10 0 9 10 dan 0 9 MA 1114 Kalkulus 1 1
10 9 Hp =, [ 0, ) 0 10 9 Dari gambar tersebut dapat disimpulkan : Hp = 10 0, 9 MA 1114 Kalkulus 1 1
Contoh : Tentukan Himpunan Penyelesaian 5. 1 < + 1 1 1 < 0 + 1 1 ( 1) ( + ) ( + 1)( 1) ( + 1)( 1) TP : -1, 1, < 0 < 0 -- -1 ++ -- ++ 1 Hp = ( ) MA 1114 Kalkulus 1 14 1, 1,
MA 1114 Kalkulus 1 15 Contoh : Tentukan Himpunan Penyelesaian + + 1 0 1 + + ( )( ) ( ) ( )( ) 0 1 + + + ( )( ) 0 + + + 6.
Untuk pembilang + + mempunyai nilai Diskriminan (D) < 0, sehingga nilainya selalu positif, Jadi TP :,- Pembilang tidak menghasilkan titik pemecah. -- ++ -- - Hp = (, ) (, ) MA 1114 Kalkulus 1 16
Pertidaksamaan dgn nilai mutlak l Definisi : =,, < 0 0 Arti Geometris : Jarak dari ke titik 0(asal) MA 1114 Kalkulus 1 17
MA 1114 Kalkulus 1 18 Pertidaksamaan nilai mutlak l Sifat-sifat nilai mutlak: y y = = a a a a 0, a a a 0, atau a y y 6. Ketaksamaan segitiga y y + + 1 4 5 y y
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian Contoh : 1. 5 < Kita bisa menggunakan sifat ke-. < 5 < 5 < < + 5 < < 8 1 < < 4 1,4 Hp = ( ) 1 4 MA 1114 Kalkulus 1 19
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian. 5 < Kita bisa juga menggunakan sifat ke-4, karena ruas kiri maupun kanan keduanya positif. ( 5) < 9 4 0 + 16 < 0 4 0 + 5 < 9 10 + 8 < ( )( 4) < 0 TP : 1, 4 0 ++ Hp = ( 1,4) -- 1 4 ++ MA 1114 Kalkulus 1 0
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian pake definisi. + 4 + 5 Kita bisa menggunakan sifat 4 ( + ) ( 4 + 5) 4 + 1 + 9 16 1 8 16 + 7 + 4 0 4 TP :, -1 + 0 40 + 5 MA 1114 Kalkulus 1 1
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian Jika digambar pada garis bilangan : ++ -- ++ 4-1 4 Hp =, (, 1] MA 1114 Kalkulus 1
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian 4. + 7 + 7 atau + 7 5 atau 9 10 atau 18 Hp = [ 10, ) (, 18] -18-10 MA 1114 Kalkulus 1
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian 5. + 1 Kita definisikan dahulu : = < + 1 + 1 = 1 1 < 1 Jadi kita mempunyai interval : I II III, 1 ( ) [ 1,) [, ) -1 MA 1114 Kalkulus 1 4
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian < 1 (, 1) I. Untuk interval atau + 1 ( ) ( 1) 6 + + 1 7 9 9 9 atau, 9 MA 1114 Kalkulus 1 5
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian Jadi Hp1 = 9, (, 1) -1 9 Dari gambar garis bilangan tersebut dapat disimpulkan bahwa hasil irisan kedua interval tersebut adalah (, 1) sehingga Hp1 = (, 1) MA 1114 Kalkulus 1 6
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian II. Untuk interval 1 < atau [ 1,) + 1 ( ) ( + 1) 6 1 5 4 4 7 4 7 7 atau, 4 7 4 MA 1114 Kalkulus 1 7
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian 7 4 Jadi Hp =, [ 1,) -1 7 4 Dari gambar garis bilangan tersebut dapat disimpulkan bahwa hasil irisan dua interval tersebut adalah 7 1, 7 4 sehingga Hp = 1, 4 MA 1114 Kalkulus 1 8
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian III. Untuk interval + 1 ( ) ( + 1) 6 1 7 5 5 atau atau [, ) 5, MA 1114 Kalkulus 1 9
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian 5 Jadi Hp =, [, ) 5 Dari gambar garis bilangan tersebut dapat disimpulkan bahwa hasil irisan dua interval tersebut adalah 5 sehingga, Hp = 5, MA 1114 Kalkulus 1 0
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian Hp = Hp1 Hp Hp ( ) 7 5 Hp =, 1 1,, 4 Untuk lebih mempermudah, masing-masing interval digambarkan dalam sebuah garis bilangan MA 1114 Kalkulus 1 1
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian -1 7 4 5-1 7 5 4-1 7 4 5 Jadi Hp = 7 5,, 4 MA 1114 Kalkulus 1
Soal Latihan Cari himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 1 4 1 + 1 + 7. + 1 + + 4 5 + 1 + + + 4 + 5 6 + MA 1114 Kalkulus 1