DISTRIBUSI PELUANG TOTAL WAKTU BEKERJA SUATU SISTEM DALAM PENGOPTIMALAN PRODUKSI SKRIPSI MARLINA JUNITA SITORUS 060803010 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2011
DISTRIBUSI PELUANG TOTAL WAKTU BEKERJA SUATU SISTEM DALAM PENGOPTIMALAN PRODUKSI SKRIPSI Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains MARLINA JUNITA SITORUS 060803010 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2011
ii PERSETUJUAN Judul : DISTRIBUSI PELUANG TOTAL WAKTU BEKERJA SUATU SISTEM DALAM PENGOPTIMALAN PRODUKSI Kategori : SKRIPSI Nama : MARLINA JUNITA SITORUS Nomor Induk Mahasiswa : 060803010 Program Studi : SARJANA (S1) MATEMATIKA Departemen : MATEMATIKA Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA Komisi Pembimbing : Diluluskan di Medan, Januari 2011 Pembimbing 2 Pembimbing 1 Drs. Suwarno Ariswoyo, M.Si Dr. Sutarman, M.Sc NIP 19500321 198003 1 001 NIP 19631026 199103 1 001 Diketahui/ Disetujui oleh: Departemen Matematika FMIPA USU Ketua, Dr. Saib Suwilo, M.Sc NIP 19640109 198803 1 004
iii PERNYATAAN DISTRIBUSI TOTAL WAKTU BEKERJA SUATU SISTEM DALAM PENGOPTIMALAN PRODUKSI SKRIPSI Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya. Medan, Januari 2011 MARLINA JUNITA SITORUS 060803010
iv PENGHARGAAN Pujian dan ucapan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa atas kasih karunia dan pertolongannya, sehingga penulis dapat menyelesaikan penulisan skripsi ini. Ucapan terima kasih penulis ucapkan kepada Dr. Sutarman, M.Sc dan Drs. Suwarno Ariswoyo, M.Si selaku Dosen pembimbing penulis dalam penyelesaian skripsi ini, atas setiap bimbingan dan motivasi yang telah diberikan. Penulis juga mengucapkakan terima kasih kepada Drs. H. Haludin Panjaitan dan Drs. Pasukat Sembiring, M.Si selaku Dosen penguji, atas setiap saran dan masukannya selama pengerjaan skripsi ini. Ucapan terima kasih juga penulis tujukan kepada Ketua dan Sekretaris Departemen Matemetika Dr. Saib Suwilo, M.Sc dan Drs. Henry Rani Sitepu, M.Si, Dekan dan Pembantu Dekan Fakultas Matemetika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Bapak dan Ibu dosen pada Departemen Matematika FMIPA USU beserta semua Staf Administrasi di FMIPA USU. Tidak terlupakan kepada kedua orang tua penulis, G. Sitorus dan L. br. Sihotang. Penulis mengucapkan terima kasih atas doa, motivasi, kasih sayang, serta semua dukungan moril dan materil yang membantu penulis dalam menyelesaikan skripsi ini. Juga kepada kakak dan adik penulis (k Marda dan Edis) terima kasih atas dukungan dan doa kalian. Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada temanteman Math 06 atas kebersamaan kita selama ini, atas doa dan saling mendukung di antara kita. Semangat dan doa dari teman-teman sangat membantu penulis dalam menyelesaikan skripsi ini. Terima kasih juga penulis ucapkan kepada Kelompok Reminiscere dan adik-adik PA (Enjel, Yanti, Nella, Ribka, Raisa dan Yunita) untuk doa dan dukungannya yang membantu penyelesaian skripsi ini. Kiranya kasih karunia Tuhan Yang Maha Esa menyertai kita semua.
v ABSTRAK Penentuan perlakuan terhadap sistem merupakan salah satu bagian penting dalam menghasilkan produksi yang optimal. Karena dihadapkan pada situasi yang kompleks dan tidak pasti, sehingga pengambil keputusan kesulitan dalam mengambil keputusan. Penentuan distribusi peluang total waktu bekerja sistem merupakan salah satu cara yang efektif untuk menjawab persoalan ini. Dengan mengetahui distribusi peluang sistem, pengambil keputusan mengetahui lama bekerja sistem dalam interval waktu [0,t] sehingga pengambil keputusan dapat menentukan perlakuan yang terbaik terhadap sistem tersebut. Jika total waktu perbaikan lebih besar daripada total waktu bekerja, maka sebaiknya sistem diganti.
vi ABSTRACT Determination of the treatment for the system is one important part in generating the optimal production. Because faced with complex situations and uncertain, so the difficulty decision makers in making decisions. Determination of the probability distributions of total working time system is one effective way to answer this problem. By knowing the probability distribution system, decision makers know the old working system in time interval [0, t] so that decision makers can determine the best treatment against the system. If the total repair time is greater than the total time worked, then the system should be replaced.
vii DAFTAR ISI Halaman Persetujuan Pernyataan Penghargaan Abstrak Abstract Daftar Isi ii iii iv v vi vii Bab 1 Pendahuluan 1.1 Latar Belakang 1 1.2 Identifikasi Masalah 3 1.3 Batasan Masalah 3 1.4 Tinjauan Pustaka 3 1.5 Tujuan Penelitian 5 1.6 Manfaat Penelitian 5 1.7 Metode Penelitian 5 Bab 2 Landasan Teori 2.1 Peluang 6 2.1.1 Definisi Peluang 6 2.1.2 Peluang Beberapa Kejadian 8 2.2 Peubah Acak 9 2.2.1 Peubah Acak Diskrit 9 2.2.1.1 Definisi Peubah Acak Diskrit 9 2.2.1.2 Distribusi Peluang Peubah Acak Diskrit 10 2.2.1.3 Distribusi Kumulatif Peubah Acak Diskrit 10 2.2.1.4 Distribusi Gabungan Peubah Acak Diskrit 10 2.2.2 Peubah Acak Kontinu 11 2.2.2.1 Definisi Peubah Acak Kontinu 11 2.2.2.2 Distribusi Peluang Peubah Acak Kontinu 11 2.2.2.3 Distribusi Kumulatif Peubah Acak Kontinu 12 2.2.2.4 Distribusi Gabungan Peubah Acak Kontinu 12 2.3 Matriks 12 2.3.1 Definisi Matriks 12 2.3.2 Teorema Matriks 13 2.4 Rantai Markov 14 2.4.1 Definisi Rantai Markov 15 2.4.2 Sifat Markov 15 2.4.3 Keadaan Awal Rantai Markov 15 2.4.4 Keadaan Transisi dan Probabilitas Rantai Markov 16 2.5 Rantai Markov Kontinu 17 2.6 Persamaan Chapman-Kolmogorov 19
viii Halaman Bab 3 Pembahasan 3.1 Total Waktu Bekerja Sistem yang Dipandang sebagai Sebuah Komponen 20 3.1.1 Waktu Bekerja dan Perbaikan Sistem Berdistribusi Eksponensial 22 3.1.2 Availabilitas Sistem 23 3.1.3 Distribusi Peluang Total Waktu Bekerja Sistem Sebuah Komponen 24 3.2 Total Waktu Bekerja Sistem n Komponen 29 3.2.1 Distribusi Peluang Total Waktu Bekerja Sistem Terdiri dari n Komponen yang Independent 29 3.2.2 Sistem yang Terdiri dari n Komponen dengan Waktu Bekerja dan Waktu Perbaikan Berdistribusi Eksponensial 29 3.3 Sistem dengan Dua Komponen 31 3.3.1 Peluang Transisi 32 3.3.2 Distribusi Peluang Total Waktu Bekerja Sistem dengan dua Komponen 33 3.4 Pembahasan Numerik 34 Bab 4 Kesimpulan dan Saran 4.1 Kesimpulan 36 4.2 Saran 37 Daftar Pustaka 38