BAB VII DITRIBUI AMPLING DAN DEKRIPI DATA 7. Distribusi amplig (samplig distributio) amplig distributio adalah distribusi probabilitas dari suatu statistik. amplig distributio tergatug dari ukura populasi, ukura sampel, metode memililih sampel. Distribusi samplig dari dega dega ukura sampel adalah suatu distribusi yag bila percobaa dilakuka secara berulag (selalu dega jumlah sampel ) aka meghasilka bayak ilai sampel dega rata-rata. Distribusi samplig ii meggambarka variabilitas (perubaha) rata-rata sampel terhadap rata-rata populasi μ. 7. Rata-rata distribusi samplig Bila suatu sampel acak dari suatu pegamata diambil dari suatu populasi ormal dega rata-rata μ da varias. Maka, setiap pegamata i, i,,3,..., dari sampel acak tersebut aka mempuyai distribusi ormal yag sama seperti popolasi yag bersagkuta. ehigga dapat disimpulka bahwa: + +... + ; memiliki distribusi ormal dega rata-rata: da varias: μ + μ +... + μ μ μ + +... + Bila sampel yag diambil dari suatu populasi yag tidak diketahui distribuisya, distribusi samplig dari aka tetap medekati omal dega rata-rata μ da varias asalka sampel yag diambil dalam jumlah yag besar. Hasil ii merupaka kosekeuesi dari suatu teorema batas tegah (cetral limit theorem) berikut: VI -
Teorema: Cetral Limit Theorem. Bila adalah rata-rata suatu sampel acak yag diambil dari suatu populasi dega ukura, rata-rata μ da varias, maka betuk batas distribusi μ Z ; / bila, distribusiya adalah distribusi ormal stadar (z;0,). Cotoh: ebuah perusahaa lampu pijar meyataka bahwa lampu pijar yag diproduksi mempuyai usia pemakai tersdiribusi ormal dega rata-rata 800 jam da deviasi stadar 40 jam. Tetuka probabilitas bahwa suau sampel acak dari 6 buah lampu pijar tersebut memiliki rata-rata usia kurag dari 775 jam. 775 μ800 olusi: Distribusi samplig aka medekati ormal dega μ 800 da 40 / 6 0 ; probabilitas yag diigika seperti gambar diatas. Maka: μ 775 800 Z.5 / 0 P ( < 775 ) P( Z <.5) 0. 006 Iferesi Rata-rata populasi alah satu aplikasi petig dari teorema batas tegah adalah peetua ilai rata-rata populasi yag patas. Cotoh: ebuah idustri memproduksi suatu kompoe alat suku cadag mobil. Hal yag petig dalam proses produksi kompoe tersebut adalah rata-rata VI -
diameter ukura kompoe 5 mm. Para tekisi yag terlibat dalam pembuata kompee tersebut memperkiraka rata-rata diameter populasi adalah 5.0 mm. ebuah percobaa dilukaka pada 00 kompoe yag dipilih secara acak da masig-masig kompoe diukur. Diketahui bahwa deviasi stadar 0.. Hasil percobaa meujukka rata-rata diameter sampel 5.07 mm. Apakah iformasi sampel ii medukug perkiraa tekisi tersebut? olusi: P [( 5) 0.07] 4.973 μ5.0 5.07 Bila rata-rata μ 5, berapa peluag bahwa aka meyimpag sebesar 0.07 mm? P [( 5) 0.07] P [( 5) 0.07] + P[ ( 5) 0.07] 5 P. 7 0./ 00 5.0 Bila perkiraa μ 5.0 adalah bear maka adalah N( 0,). 0./ 00 5 P.7 0./ 00 P Z [.7] ( 0.0035) 0. 007 Hal ii meujukka bahwa peyimpaga 0.07 haya terjadi pada 7 kompoe dalam 000 percobaa. ehigga percobaa diatas dega 5.07 mm tidak medukug perkiraa tekisi bahwa μ 5.0. VI - 3
Distribusi samplig dari dua rata-rata Teorema: Bila dua sampel yag salig bebas, da, diambil dari dua populasi, diskrit atau meerus, dega rata-rata μ da μ da varias da, maka distribusi samplig dari perbedaa rata-rata, - medekati distribusi ormal dega rata-rata da varias sebagai berikut: ehigga: μ da μ μ ( ) ( μ μ ) ( / ) + ( / ) + Z medekati variabel ormal stadar Cotoh: Tabug televisi dari perusahaa A da B mempuyai rata-rata lifetime, deviasi stadar da jumlah sampel yag diambil sebagai berikut: Perusahaa A μ A 6.5 A 0.9 A 36 Perusahaa B μ B 6.0 B 0.8 B 49 Berapa probabilitas bahwa suatu sampel acak dari 36 tabug perusahaa A aka mempuyai rata-rata umur hidup palig tidak tahu lebih lama dari rata-rata umur hidup 49 tabug perusahaa B. olusi: μ A B μ μ 6.5 6.0 0.5 A B A B A A + A B 0.8 + 36 0.64 49 0.89 A- B.0 0.5 Z.65 0.89 VI - 4
P ( A B.0) P( Z >.65) P( Z <.65) 0.9960 0. 0040 7.3 Distribusi samplig Bila adalah varias dari suatu sampel acak yag diambil populasi ormal dega ilai varias, maka statitsik: χ ( ) ( i ) i Memiliki distribusi chi-squared dega derajat kebebasa v -. Cotoh: Pabrik baterei mejami bahwa rata-rata umur batereiya 3 tahu da deviasi stadar tahu. Bila 5 dari sampel baterei yag diambil umur bateriya adalah,9;,4; 3,0; 3,5 da 4, tahu. Apakah produse baterei tersebut masih tetap yaki bahwa stadar deviasiya tahu. Asumsika umur baterei memiliki distribusi chi-squared. olusi: Varias dari sampel acak adalah: χ i i i ( ) i ( ) ( 4)( 0.85) ()( 5 48.6) ( 5) ()() 5 4 3.6 0.85 Karea 95% dari ilai χ dega derajat kebebasa 4 terletak atara 0.7 da 9.488; maka ilai yag dihitug dega masih layak (produse tetap yaki bahwa stadar deviasiya tahu). VI - 5
7.4 t-distributio Teorema: Misalka Z adalah variabel acak ormal stadar da V adalah variabel acak distribusi chi-squared dega derajat kebebasa v. Bila Z da V adalah idepedet, maka distribusi variabel acak T, Z T V / v dega fugsi kepadata; [( v + ) / ] ( v / ) πv ( v+ ) Γ t h() t + ; - < t < Γ v Disebut sebagai t-distributio dega derajat kebebasa v. / Corollary: Misalka,,..., adalah variabel acak bebas yag semuaya ormal dega rata-rata μ da stadar deviasi. Bila: i i Maka variabel acak T v -. ( i ) da i μ memiliki distribusi-t dega derajat kebebasa s / t-distributio serig disebut juga dega tudet t-distributio. Distribusi t mirip dega distribusi ormal yaki keduaya simteris da rata-rata 0. Karea distribusi-t simetris maka: t -α -t α t -α -t α μ0 t α α VI - 6
Cotoh: Tetuka ilai-t dega derajat kebebasa 4 da luas area α0.05 disebelah kiri, atau 0.975 disisi kaa. olusi: lihat tabel distribusi t: T 0.975 -t 0.05 -.45 Cotoh: Tetuka P ( t < T < ) 0.05 t0.05 olusi: Karea luas area disisi kaa 0.05 da sebelah kiri 0.05; maka; Luas area T - 0.05 0.05 0.95, sehigga ( t < T ) P < 0.95 0.05 t0.05 Cotoh: eorag isiyur kimia meyataka bahwa rata-rata populasi yag dihasilka dari suatu proses produksi adalah 500 grams/mm. Utuk membuktika peryataa tersebut diambil 5 sampel. Bila ilai t berada atara -t 0.05 da t 0.05 maka peryataa tersebut bear. Dari hasil percobaa terhadap 5 sampel tersebut meujukka bahwa rata-rata x 58 gram/mm da deviasi stadar s 40 gram. olusi: dari tabel meujukka bahwa utuk derajat kebebasa 4 t 0.05.7. Oleh karea itu, peryataa tsb bear bila ilai t atara -.7 da.7. bila μ 500, maka: μ 58 500 t.5 s / 40/ 5 Probabilitas ilai t sama atau lebih besar dari.5 dega v 4 adalah medekati 0.0. Bila μ > 500, meghasilka ilai t yag lebih patas. Oleh karea itu, hasil produksiya lebih baik dari yag mereka yataka. VI - 7
7.5. F-distributio Teorema: Misalka U da V adalah variabel acak bebas dega distribusi chisquared da v & v adalah deajat kebebasa. Maka distribusi variabel acak U / v V / v F dega fugsi kepadata sbb: h ( f ) Γ 0 v / v / [( v + v )/ ]( v / v ) f. Γ( ) Γ( ) ( ) ( v + v v / v / ) adalah F-distributio. + v f / v / 0 < f < selaiya f α α Teorema: f ( v, v ) α f α ( v, v ) ehigga ilai f dega 6 da 0 derajat kebebasa berada pada daerah sisi kaa 0.95 adalah: (lihat tabel distribusi F) f ( 6,0) 4.06 0.95 f 0.05( 0,6) 0.46 Teorema: Bila da adalah varias dari da sampel acak bebas yag diambil dari populasi ormal dega varias da, maka: VI - 8
VI - 9 / / F adalah Distribusi F dega derajat kebebasa v - da v -