STK511 Analisis Statistika Pertemuan 5 Statistika Inferensia (1)
Pendugaan Parameter mengacu pada suatu proses yang menggunakan data contoh untuk menduga nilai suatu parameter (populasi). 5. Statistika Inferensia (1) Penduga Parameter 2 2 x s p
Jenis Penduga Penduga Titik, seperti : y untuk menduga s 2 untuk menduga 2 Penduga Selang, seperti : Selang kepercayaan (1 - )100% bagi Jika 2 diketahui: y z y z 2 2 n n Jika 2 s tdk diketahui: y t 2 n y t 2 n n ( 1) ( 1) s n
Ilustrasi (1) Survei dilakukan terhadap 20 rumah tangga (RT) di suatu kota untuk menduga besarnya rata-rata biaya pendidikan (juta Rp/thn/RT). Datanya diperoleh sebagai berikut: RT 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Biaya Pendi (juta Rp) 2.3 4.5 4.0 5.0 3.8 7.2 6.25 5.75 6.7 7.8 RT 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Biaya Pendi (juta Rp) 6.8 5.3 8.0 15.1 13.2 4.5 2.0 4.7 5.75 10.1 a. Dugalah rata-rata biaya pendidikan per RT per tahun b. Buatlah selang kepercayaan 95%. Asumsikan biaya pendidikan mengikuti sebaran normal.
Ilustrasi (1) Jawab: Descriptive Statistics: y Variable Mean SE Mean StDev Minimum Q1 Median Q3 Maximum y 6.438 0.732 3.275 2.000 4.500 5.750 7.650 15.100 a. Penduga rata-rata biaya pendidikan ˆ y 6.438
Ilustrasi (1) Jawab: One-Sample T: y Variable N Mean StDev SE Mean 95% CI y 20 6.43750 3.27542 0.73241 (4.90456, 7.97044) b. Selang kepercayaan 95% s s / n 3.27542 / 20 0.73241 t y (0.05/2; db19) 2.093 6.438 2.093 0.732 6.438 2.093 0.732 4.905 7.970
Statistik? Nilai Tengah Perhatikan :, Kita memiliki. Pertanyaannya : Statistik yang mana yang akan digunakan untuk menduga? 1. Penduga Tak Bias Terbaik 2. memiliki ragam minimum
Statistik? Nilai Tengah Penduga Tak Bias Bias : Jika tak bias, maka dan Ilustrasi :
Statistik? Nilai Tengah Penduga Tak Bias Terbaik tak bias. memiliki ragam terkecil dari semua kemungkinan penduga tak bias lainnya. Mean Square Error (MSE)
Ilustrasi : Teorema Limit Pusat Sebaran rataan contoh, n = 30
Penduga Selang Perhatikan : maka dan, sehingga :
Penduga Selang Perhatikan : Peluang selang acak (BB,BA) memuat µ adalah 1 - α.
Penduga Selang Perhatikan : Peluang selang acak (BB,BA) memuat µ adalah 1 - α. Dari seratus kali pengambilan contoh acak (selang acak) maka ada sebanyak kurang lebih (1 α) x 100% yang memuat µ. Selang kepercayaan 95% : kita yakin kalau mengambil 100 contoh acak (selang acak) maka ada 95 selang yang terbentuk akan memuat µ (nilai tengah populasi).
Ilustrasi (2) Diperoleh data hasil pengukuran tinggi badan (Y ) dalam cm di suatu kelas STK511 dari 25 orang mahasiswa sebagai berikut : 161 159 152 169 156 167 149 158 141 156 154 156 157 152 154 162 174 151 173 185 161 155 170 163 150 Jika diketahui 10, buat selang kepercayaan 95% bagi Y. Y
Jawab : y 159.4 y Z /2 10 / 25 2 1.96 Ilustrasi (2) SK-nya adalah : 159.4 3.92 155.48;163.32
Jawab : y 159.4 y Z /2 10 / 25 2 1.96 Ilustrasi (2) SK-nya adalah : 159.4 3.92 155.48;163.32 Minitab : The assumed standard deviation = 10 Variable N Mean StDev SE Mean 95% CI TB 25 159.400 9.522 2.000 (155.480, 163.320)
Masalah Ukuran Contoh Minimum Perhatikan : Suatu selang kepercayaan (1 α) x 100% untuk µ berdasarkan. B = margin of error. Maka untuk suatu margin error dan tingkat kepercayaan tertentu serta ragam yang diketahui, ukuran contoh minimum adalah :
Ilustrasi (3) Rata-rata konsentrasi seng yang diperoleh dari suatu contoh yang berasal dari 36 lokasi yang berbeda di sebuah sungai adalah 2.6 gram/ml. Jika diketahui simpangan baku populasi sebesar 0.3 gram/ml, Berapa besar ukuran contoh minimum yang harus diambil jika kita ingin yakin 95% bahwa nilai dugaan kita berbeda dari tidak lebih dari 0.05 gram/ml? Jawab : n z e 2 2 1.96(0.3) n 0.05 2 138.3 139
Perhatikan : Selang Kepercayaan 2 Contoh Acak Saling Bebas dengan dan Sehingga untuk :
. Selang Kepercayaan 2 Contoh Acak Saling Bebas Rumus jadi : dengan
Ilustrasi (4) Dalam suatu percobaan, dicobakan 2 metode (A dan B) dan diperoleh data sbb. : Buat selang kepercayaan 90% bagi jika.
Ilustrasi (4) Dalam suatu percobaan, dicobakan 2 metode (A dan B) dan diperoleh data sbb. : Buat selang kepercayaan 90% bagi jika. Jawab : Selang Kepercayaan :
Ilustrasi (4) Jawab : Minitab Two-Sample T-Test and CI: A, B Two-sample T for A vs B N Mean StDev SE Mean A 5 20.84 7.25 3.2 B 6 22.53 5.43 2.2 Difference = mu(a) - mu(b) Estimate for difference: -1.69333 90% CI for difference: (-8.68945, 5.30278) Both use Pooled StDev = 6.3028
Perhatikan : Selang Kepercayaan 2 Contoh Acak Saling Bebas Bagaimana kalau? dengan
Selang Kepercayaan untuk Proporsi Perhatikan : untuk n besar, berlaku : Diperoleh selang kepercayaan (1 - α) 100% bagi p adalah
Perhatikan : Selang Kepercayaan untuk Proporsi 2 Contoh Acak untuk n besar, berlaku : Diperoleh selang kepercayaan (1 - α) 100% bagi p adalah
Ilustrasi (5) Catatan medis di suatu rumah sakit menunjukkan bahwa dalam contoh yang terdiri dari 1000 laki-laki, 52 diantaranya menderita penyakit jantung, sedangkan dari 1000 perempuan, 23 diantaranya yang menderita penyakit tersebut. Buatlah selang kepercayaan 95% bagi beda proporsi laki-laki dan perempuan yang menderita penyakit jantung. Jawab : Selang Kepercayaan 95% bagi p 1 p 2 : 0.052(1 0.052) 0.023(1 0.023) 0.052 0.023 1.96 1000 1000
Ilustrasi (6) Perhatikan pada suatu pemilihan umum, misalkan peluang Si A dan Si B menang pada suatu TPS adalah sama, tentukan ukuran contoh TPS minimum jika diinginkan kesimpulan yang diperoleh memiliki tingkat kepercayaan 95% dengan margin error 5%. Jawab : n Z /2 x pq Z /2 B B 2 2 pq 1.96 x 0.25 n 0.05 385 2 384.16
Ilustrasi (7) Suatu klub kesegaran jasmani ingin mengevaluasi program diet, kemudian dipilih secara acak 10 orang anggotanya untuk mengikuti program diet tersebut selama 3 bulan. Data yang diambil adalah berat badan sebelum dan sesudah program diet dilaksanakan, yaitu: Berat Badan Peserta 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Sebelum (X1) 90 89 92 90 91 92 91 93 92 91 Sesudah (X2) 85 86 87 86 87 85 85 87 86 86 D = X1 - X2 5 3 5 4 4 7 6 6 6 5 Dugalah rata-rata beda berat badan sebelum dan sesudah mengikuti program diet, lengkapi dengan selang kepercayaan 95%!
Selang Kepercayaan Nilai Tengah Data Berpasangan Penduga Selang Beda nilai tengah bagi contoh berpasangan: d Selang kepercayaan (1-)100% bagi d s d t d t n d ( n1) d ( n1) 2 2 s d n Pasangan 1 2 3 n Sampel 1 (X1) x11 x12 x13 x1n Sampel 2 (X2) x21 x22 x23 x2n D = (X1-X2) d1 d2 d3 dn ( d d) s n 1 x x 2 i 2 i d dan di 1i 2i
Ilustrasi (7) Minitab Paired T-Test and CI: X1, X2 Paired T for X1 - X2 N Mean StDev SE Mean X1 10 91.1000 1.1972 0.3786 X2 10 86.0000 0.8165 0.2582 Difference 10 5.10000 1.19722 0.37859 95% CI for mean difference: (4.24356, 5.95644)
Ilustrasi (7) Minitab Descriptive Statistics: D Variable Mean SE Mean StDev D 5.100 0.379 1.197 One-Sample T: D Variable N Mean StDev SE Mean 95% CI D 10 5.10000 1.19722 0.37859 (4.24356, 5.95644)
Bersambung.
Tabel t-student