V E K T O R Kompetensi Dasar :

MODUL PEMELJRN I V E K T O R Kompetens Dasar : 1. Mahasswa mampu memaham perbedaan besaran vetor dan salar serta memberan contohcontohna dalam ehdupan sehar-har, 2. Mahasswa mampu melauan operas penumlahan dan peralan vetor serta memaham aplasna dalam menelesaan berbaga persoalan fsa. 1. SKLR dan VEKTOR eberapa besaran fsa sepert massa, watu dan suhu sudah cuup a dnataan dengan suatu blangan dan sebuah satuan untu menataan besarna nla besaran tersebut. Tetap bana besaran lan ang harus menertaan persoalan arah untu mendesrpsan secara lengap mana besaran tersebut. Sebaga msal ecepatan sebuah ereta ap, untu mendesrpsan gera tersebut, ta belum cuup hana mengataan seberapa cepat ereta ap beralan, namun pada saat bersamaan ta harus mengataan e arah mana ereta bergera. Tanpa menebutan arah gera ereta, ta belum memperoleh nformas ang bermana tentang gera tersebut. erdasaran nformas d atas, besaran-besaran fsa a dtnau dar pengaruh arah terhadap besaran tersebut dapat delompoan menad : a. esaran Salar : besaran ang cuup dnataan besarna saa tda tergantung pada arah). Msalna : massa, watu, suhu dsb. b. esaran Vetor : besaran ang tergantung pada arah. Msalna : ecepatan, gaa, momentum dsb. Tugas 1 Sebutan setdana sepuluh besaran fsa, emudan elompoan besaranbesaran tersebut dalam ategor besaran salar atau besaran vetor! No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 esaran Salar Kategor Vetor MODUL KULIH FISIK DSR I 1

2. NOTSI VEKTOR Kta aan mula mendalam vetor dar sebuah besaran vetor ang palng sederhana, atu perpndahan dcplacment). Perpndahan ddefnsan sebaga perubahan poss dar suatu tt. Desrps berut n aan lebh memperelas pemahaman ta tentang vetor. Sebuah benda bergera dar tt e tt melewat sebuah lntasan lengung gambar 1.2a). Vetor perpndahan gera tersebut dtunuan oleh gars terpende lurus) dar e gambar 1.2b) ang berutna ta ber nama sebaga vetor perpndahan R gambar 1.2c). R Gambar 1.2a Gambar 1.2b Gambar 1.2c 2.1. Notas Geometrs Notas geometrs adalah sebuah metode untu menganalss vetor dengan cara menamplanna dalam bentu gambar. 2.1.1. Penamaan sebuah vetor Cara penulsan vetor dapat dlauan dengan beberapa cara sebaga berut : dengan huruf tebal R atau r r r dengan tanda R atau 2.1.2. Penggambaran vetor : Vetor dgambaran dengan suatu ana panah gambar 1.2d). R r Gamabar 1.2d R r Panang ana panah menunuan besar vetor, sedangan arah ana panah menunuan arah vetor. Kta bsa menggambaran negatf dar masngmasng vetor sebagamana dtunuan pada Gambar 1.2e. -r -R - R r Gambar 1.2e MODUL KULIH FISIK DSR I 2

2.2. Notas nalts Notas analts dgunaan untu menganalsa vetor dengan cara menguraan vetor tersebut dalam omponen-omponen penusunna. Sebuah vetor a dalam oordnat artesan dua sumbu : dan ) dapat dnataan dalam omponen-omponenna, atu omponan pada arah sumbu dan omponen pada arah sumbu. Secara lebh elas dapat dlhat pada gambar 1.2f. a a a Gambar 1.2f Gambar 1.2g a : besar omponen vetor a dalam arah sumbu a : besar omponen vetor a dalam arah sumbu Vetor arah /vetor satuan: adalah vetor ang besarna 1 dan arahna sesua dengan ang ddefnsan. Msalna dalam oordnat artesan :,, ang masng masng menataan vetor dengan arah seaar sumbu, sumbu dan sumbu gambar 1.2g). Sehngga secara analt vetor a dapat dtuls : r a = a a... 1.1 dan besar vetor a adalah : 2 2 a = a a... 1.2 Tugas 2 Sebuah benda bergera dar poss awal 0,0) berhent pada oordnat 4,5). a) Gambaran eadaan tersebut dalam oordnat artesan, b) tentuan vetor perpndahan gera tersebut, dan c) tentuan besar perpndahaan gera tersebut. MODUL KULIH FISIK DSR I 3

3. OPERSI VEKTOR esaran vetor, sebagamana besaran salar dapat doperasan secara matemats, ba operas penumlahan maupun peralan. Namun deman operas vetor meml beberapa perbedaan dengan operas salar arena dalam operas vetor ta tda hana memperhtungan besar namun uga sealgus arahna. Smalah uraan d bawah n untu melhat perbedaanperbedaanna! 3.1. Operas penumlahan Dsedaan dua buah vetor dan sebagamana dtunuan pada gambar 1.3 d bawah n : Gambar 1.3 Kta aan menumlahan edua vetor ) sehngga aan menghaslan sebuah vetor baru C) ang merupaan resultan vetor dan. Tanda postf ) dalam penumlahan vetor mempuna art dlanutan. Jad mempuna art vetor dlanutan oleh vetor. Secara geometrs dapat dgambaran sebaga berut : C Gambar 1.3a Opersa pengurangan dapat dabaran dar operas penumlahan dengan menataan negatf dar suatu vetor : - = -)... 1.3 - - - Gambar 1.3b MODUL KULIH FISIK DSR I 4

Tugas 3 Dsedaan 3 buah vetor, dan C berut: C Gambaran penumlahan dan pengurangan vetor : a), b) C, c), d) - C erut aan dsaan beberapa huum dalam operas penumlahan vetor : a. Huum omutatf Sebuah partel mengalm perpndahan, dlanutan dengan perpndahan. Hasl ahrna adalah perpndahan C. Seandana partel tersebut terlebh dahulu mengalam perpndahan, dlanutan dengan melauan perpndahan, maa hasl ahrnapun perpndahan C. mat enataan tersebut pada gambar d bawah n : C Gambar 1.3c Huum omutatf dalam operas penumlahan vetor menataan bahwa: =... 1.4 Kenataan n menunuan bahwa urutan suu dalam penumlahan vetor tdalah berpengaruh. MODUL KULIH FISIK DSR I 5

MODUL KULIH FISIK DSR I 6 b. Huum sosatf Huum sosatf dalam operas penumlahan dapat dnataan sebaga berut : ) C = C) = R... 1.5 C Gambar 1.3d Vetor dan sebagamana ang sudah dcontohan d atas, a dnataan secara analts dapat dtunuan dalam bentu: = =... 1.6 Maa opersas penumlahan/pengurangan vetor ang dnataan secara analt dapat dlauan dengan cara menumlah/mengurang omponenomponen ang searah sebaga berut : ) ) ) ) ) ) = =... 1.7 Tugas 4 Dua buah vetor : 4 3 4 = = r r Tentuan a) ; b) ; c) Vetor C agar C = 0 ) C) R

3.2. Opersa Peralan esaran vetor arena araterstna ang has atu meml arah dsampng uga meml besar membawa onseuens pada operas peralanna. Operas peralan basa tda dapat langsung dterapan pada vetor. Kta aan mendefnsan dua macam peralan vetor, atu peralan vetor dengan salar dan peralan vetor dengan vetor. 3.2.1. Peralan vetor dengan salar Ja sebuah vetor dalan dengan suatu salar maa aan dperoleh sebuah vetor baru. Ja dan adalah vetor dan adalah sebuah salar maa, = esar vetor adalah al besar vetor, sedangan arah vetor sama dengan arah vetor bla postp dan berlawanan bla negatf. Dalam fsa ta menumpa operas semacam n msalna: F = qe ; q adalah muatan lstr, dapat bermuatan postp atau negatf sehngga arah F tergantung tanda muatan tersebut, sedangan besar F adalah q al besar E. Contoh lan peralan besaran vetor dengan salar dalam fsa adalah : F = ma, p = mv, dsb dmana m : salar dan a,v : vetor. 3.2.2. Peralan vetor dengan vetor Peralan vetor dengan vetor dapat dlasfas menad dua macam, atu peralan vetor ang aan menghaslan salar dan peralan vetor ang aan menghaslan vetor lan. 3.2.2.1. Peralan tt dot product) Peralan dot atau tt dsebut uga peralan salar scalar product). Hal tu darenaan peralan tersebut aan menghaslan salar mespun edua pengalna merupaan vetor. Peralan salar dar dua vetor dan dnataan dengan, arena notas n maa peralan tersebut dnamaan uga sebaga peralan tt dot product). Kta aan mendefnsan dengan cara menggambaran edua vetor dengan eor-eorna terleta pada tt ang sama. Setelah tu ta car omponen vetor ang seaar d antara eduana. ddefnsan sebaga besar vetor ang dalan dengan omponen ang seaar dengan. θ Gambar 1.3e cosθ la C adalah hasl peralan salar antara dan maa : C = = cosθ... 1.8 MODUL KULIH FISIK DSR I 7

Ja ta mengoperasan peralan tersebut dalam notas vetor, maa ta aan mendefnsan beberapa eadaan sebaga berut : = = = 1)1)cos 0 = 1... 1.9 = = = 1)1) cos 90 0 = 0 Sehngga a vetor dan dnataan dalam omponen-omponenna, maa peralan salar antara eduana dapat dnataan sebaga berut : =... 1.10 Penerapan operas peralan tt dalam Fsa msalna adalah W = F. s, Φ =. Hasl dar peralan n, ba W maupun Ф berupa salar. 3.2.2.2. Peralan slang cross product) Peralan slang cross product) dsebut uga sebaga peralan vetor vetor product), arena peralan n aan menghaslan vetor lan. Peralan vetor antara dan dnataan dengan. Kta aan mendefnsan dengan cara menggambaran edua vetor dengan eor-eorna terleta pada tt ang sama. Setelah tu ta car omponen vetor ang tega lurus d antara eduana. ddefnsan sebaga besar vetor ang dalan dengan omponen ang tega lurus dengan. snθ θ θ Gambar 1.3f esarna vetor baru C sebaga hasl peralan slang antara dan adalah : C = = snθ... 1.11 Ja ta mengoperasan peralan tersebut dalam notas vetor, maa dengan menggunaan aturan tangan anan ta aan mendefnsan beberapa eadaan sebaga berut : = = = 1)1)sn 0 = 0 = = = MODUL KULIH FISIK DSR I 8

Sehngga a vetor dan dnataan dalam omponen-omponenna, maa peralan vetor antara eduana dapat dnataan dalam bentu determnan sebaga berut : = dapun hasl dar operas tersebut adalah : = )- = ) -) )... 1.12 -) Penerapan operas peralan slang dalam Fsa msalna adalah τ = r F, F = q v Hasl dar peralan n, ba τ maupun F merupaan besaran vetor. Karena hasl ang dperoleh berupa vetor maa arah dar vetor tersebut dapat dcar dengan aturan tangan anan, atu dengan cara memutar vetor pertama e vetor edua. Sebaga contoh : a ecepatan partel v) bergera pada arah sumbu ) dan medan magnet ) meml arah e sumbu ), maa gaa F) aan bergera e arah sumbu ). Selengapna dtulsan sebaga berut : F = qv ; hal n darenaan bahwa = Gambar 1.3g Tugas 5 Dsedaan 3 buah vetor sepert pada gambar d bawah n : Tentuan peralan salar berut : 37 0 a).; b).c; c).c 60 0 40 0 MODUL KULIH FISIK DSR I 9

4. Soal-soal Lathan 4.1. Serangga berturut-turut bergera 8,0 cm e arah tmur, 5,0 cm e arah selatan, 3,0 cm e arah barat dan 4,0 cm e arah utara. a) erapa auhah dalam arah utara dan tmur serangga tu telah bergera dhtung dar tt awal gerana. ) Tentuan vetor perpndahan serangga secara geometrs maupun analts. 4.2. Seorang ana menahan sebuah ereta ang beratna 150 N d atas permuaan mrng 20 0. gar ereta tda menggelndng turun) berapa gaa tar ana tu? Ia menar dalam arah ang seaar permuaan mrng). 4.3. Ulang soal no 4.2 datas, hana saa searang ana tu menar ereta dalam arah 30 0 dengan permuaan mrng! 4.4. Dua buah gaa 80 N dan 100 N beera dengan sudut 60 0 antara eduana untu menar sebuah benda. a) Carlah satu gaa ang dapat menggantan edua buah gaa tersebut besar dan arahna), b) Tentuan sebuah gaa ang dapat menghaslan esetmbangan antara edua gaa! r r 4.5. Dberan vetor = 4 3 dan = 5 2, tentuan a) esar masngmasng vetor, b) besar dan arah -, c) besarna. d) besar dan arah, dan d) sudut antara edua vetor! Selamat belaar, semoga suses.. MODUL KULIH FISIK DSR I 10