SUATU FORMULASI HAMILTON BAGI GERAK GELOMBANG INTERFACIAL YANG MERAMBAT DALAM DUA ARAH

SUATU FORMULASI HAMILTON BAGI GERAK GELOMBANG INTERFACIAL YANG MERAMBAT DALAM DUA ARAH JAHARUDDIN Departemen Matematika, Fakultas Matematika an Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor Jl. Raya Pajajaran, Kampus IPB Baranangsiang, Bogor, Inonesia ABSTRAK. Dalam artikel ini ibahas suatu formulasi Hamilton untuk menggambarkan gerak gelombang interfacial yang merambat alam ua arah. Persamaan Boussinesq yang iperoleh itunjukkan memiliki struktur sebagai suatu sistem Hamilton engan peubah kanoniknya aalah simpangan gelombang i interface yang bergerak ke arah kanan, an simpangan gelombang lainnya yang bergerak ke arah kiri. Dalam hal ini menggunakan asumsi batas atas rata. Hamilton ari sistem ini aalah penjumlahan energi kinetik an energi potensialnya, tetapi berasarkan paa asumsi gelombang panjang an amplituo kecil. Kata Kunci: sistem Hamilton, peubah kanonik, persamaan Boussinesq. 1. Penahuluan Fluia ua lapisan aalah fluia yang teriri atas ua lapisan, an masing-masing engan rapat massa konstan. Persamaan gerak yang iperoleh inyatakan alam peubah simpangan gelombang intefacial, yaitu gelombang internal i batas keua fluia interf ace. Formulasinya yang eksplisit an seerhana memungkinkan iperolehnya pemahaman masalah gelombang internal. Choi an Camassa 1996[1] menggunakan formulasi Euler untuk menurunkan persamaan Boussinesq paa fluia ua lapisan. Persamaan Boussinesq merupakan persamaan gerak bagi gelombang internal yang merambat alam ua arah. Mereka menggunakan persamaan asar fluia ieal engan batas atas berupa permukaan bebas an batas bawah berupa asar rata. Dengan formulasi yang sama, Grimshaw 1997[3] menurunkan Persamaan Boussinesq untuk batas bawah yang berupa asar tiak rata, tetapi berubah secara lambat. Grimshaw an Pujaprasetya 1999[2] menggunakan formulasi Hamilton untuk menjelaskan gelombang soliter interfacial. 35

36 JAHARUDDIN Dalam artikel ini akan ibahas suatu formulasi Hamilton bagi persamaan Boussinesq paa fluia ua lapisan. Domain fluia yang itinjau iberikan paa Gambar 1 engan batas antara keua fluia alam keaaan setimbang i z = 0. Fluia ibatasi oleh batas bawah yang rata z = h 2. Batas atas fluia ianggap batas rata z = h 1, karena simpangan gelombang i permukaan biasanya sangat kecil [4]. Fluia i lapisan atas mempunyai rapat massa ρ 1, seangkan i lapisan bawah mempunyai rapat massa ρ 2 engan ρ 1 < ρ 2. Fluia yang itinjau aalah fluia ieal yang tak berotasi. Pembahasan akan imulai engan memperlihatkan persamaan asar memiliki struktur sebagai suatu sistem Hamilton engan peubah kanoniknya aalah simpangan an kecepatan potensial i interface. Hal ini apat ilakukan apabila asumsi batas atas rata igunakan. Hamilton ari sistem ini aalah penjumlahan energi kinetik an energi potensialnya. Oleh karena fungsi Hamilton tiak inyatakan secara eksplisit sebagai fungsi ari peubah kanoniknya, maka ibuat suatu penekatan untuk menyatakan fungsi Hamilton alam peubah kanonik. Gambar 1. Domain fluia ua lapisan engan batas atas an batas bawah rata Berasarkan uraian i atas, maka tulisan ini akan memuat empat bagian. Setelah bagian penahuluan ini, lebih ahulu akan ibahas konsep sistem Hamilton, kemuian paa bagian selanjutnya ibahas formulasi Hamilton untuk persamaan Boussinesq, seangkan kesimpulan akan iberikan paa bagian terakhir. 2. Sistem Hamilton Salah satu contoh sistem persamaan iferensial parsial yang akan ibahas aalah persamaan Boussinesq. Tetapi tiak semua sistem persamaan iferensial parsial memenuhi sistem Hamilton, iperlukan syarat tertentu yang akan iturunkan paa bagian ini. Misalkan Co R aalah ruang fungsi vx,t an semua turunannya bernilai nol i luar

JMA, VOL. 3, NO.1, JULI, 2004,35-43 37 suatu selang tutup [ M v,m v ]. Ruang Co R terletak i alam ruang L 2 engan norm. Perkalian alam iefinisikan sebagai < v,s >= v s x, untuk setiap v, s M engan M i Co R. Selanjutnya fungsional paa M iefinisikan sebagai pemetaan H : M R sehingga setiap v M, Hv = hx,v,v x,v xx,,v x Nx, engan h fungsi sembarang ari v beserta turunan-turunannya. Turunan variasi ari fungsional H terhaap v iefinisikan berasarkan variasi pertama. Variasi pertama H i v alam arah s M aalah ǫ Hv + ǫs ǫ=0= δhv;s. Misalkan untuk setiap s M terapat γ s M sehingga δhv;s =< γ s,s > L 2= γ s sx, maka pengaitan s γ s menefinisikan pemetaan M M yang isebut sebagai turunan variasi H i v, inotasikan δ v H. Turunan variasi δ v H itentukan berasarkan persamaan berikut: δ v H = h v x h + 2 v x x 2 h v xx + N x N h v x N. 2.1 Selanjutnya operator Γ : M M isebut operator simetri miring, jika setiap v, s M, < v, Γs >= < Γv,s >. Suatu persamaan iferensial parsial ikatakan sebagai suatu sistem Hamilton, jika terapat fungsional H an operator simetri miring Γ sehingga persamaan iferensial parsial tersebut apat itulis alam bentuk t v = Γδ v H. 2.2 Hamilton H merupakan besaran yang tetap, artinya bahwa jika vx, t merupakan penyelesaian ari persamaan 2.2, maka nilai Hvx, t tiak berubah terhaap waktu. Bukti untuk pernyataan ini aalah sebagai berikut. Misalkan r = v + ǫ t v, maka H r Hvx,t = t r = H r ǫ r t ǫ=0 = H r r r ǫ ǫ=0 ǫ=0 = ǫ Hvx,t + ǫ tv ǫ=0

38 JAHARUDDIN sehingga iperoleh H t =< δ vh, t v >. 2.3 Jika persamaan 2.2 isubstitusi ke 2.3, maka iperoleh H t =< δ vh, Γδ v H >. Karena Γ operator simetri miring, maka < δ v H, Γδ v H >= 0 sehingga Hvx,t = 0. t Ini berati nilai Hvx, t tiak berubah terhaap waktu t. Selanjutnya akan ibahas sistem persamaan iferensial parsial yang merupakan sistem Hamilton. Definisikan fungsional H yaitu pemetaan H : M M R engan Hv 1,v 2 = hx,v 1,v 2,v 1x,v 2x,v 1xx,v 2xx,,v 1x N,v 2x Nx an h fungsi sembarang ari v 1 an v 2 beserta turunan-turunannya. Turunan variasi ari fungsional H terhaap v1, yaitu δ v1 H, memenuhi ǫ Hv 1 + ǫs 1,v 2 ǫ=0 =< δ v1 H,s1 >, s 1 M an turunan variasi ari fungsional H terhaap v 2, yaitu δ v2 H, memenuhi ǫ Hv 1,v 2 + ǫs 2 ǫ=0 =< δ v2 H,s2 >, s 2 M. Suatu sistem persamaan iferensial parsial ikatakan sistem Hamilton, jika terapat fungsional H an operator simetri miring Γ sehingga sistem persamaan iferensial parsial tersebut apat itulis alam bentuk t v1 v 2 = Γ δv1 H δ v2 H. 3. Persamaan Boussinesq sebagai sistem Hamilton Berikut ini akan ibahas suatu formulasi Hamilton bagi persamaan Boussinesq paa fluia ua lapisan. Untuk itu, tinjau persamaan asar fluia tersebut berikut ini. Φ 1 = 0, ηx,t < z < h 1 Φ 2 = 0, h 2 < z < ηx,t 3.1 engan Φ 1 an Φ 2 berturut-turut menyatakan kecepatan potensial paa lapisan atas an paa lapisan bawah. Fungsi z = ηx,t merupakan simpangan gelombang i interface yang alam keaaan setimbang i z = 0. Syarat batas atas an bawahnya berturut-turut aalah Φ 1z = 0 i z = h 1, Φ 2z = 0 i z = h 2. 3.2

JMA, VOL. 3, NO.1, JULI, 2004,35-43 39 Seangkan syarat batas kinematik an inamik i z = ηx, t interface berturut-turut aalah η t + Φ ix η x = Φ iz i = 1, 2. 3.3 ρ 1 Φ 1t + 1 2 Φ 1 2 +gη = ρ 2 Φ 2t + 1 2 Φ 2 2 +gη. 3.4 Dalam [5], telah itunjukkan bahwa persamaan 3.3 an 3.4 apat inyatakan sebagai sistem Hamilton berikut Φ 0 1 δφ E t = 3.5 η 1 0 δ η E engan an Φ = ρ 2 Φ 2 ρ 1 Φ 1 i z = ηx,t 3.6 EΦ,η = K + Px, seangkan K an P berturut-turut berbentuk K = η h 2 1 2 ρ 2 Φ 2 2 z + P = 1 2 gρ 2 ρ 1 η 2. h1 η 1 2 ρ 1 Φ 1 2 z, 3.7 Selanjutnya, apabila imisalkan u = Φ x, maka persamaan 3.5 apat itulis alam u an η, yaitu u 0 x δu E t =. 3.8 η x 0 δ η E Energi kinetik paa persamaan 3.7 apat inyatakan secara eksplisit alam variabel u an η engan memisalkan η = αax, T, u = αux, T 3.9 engan X = ǫx an T = ǫt, serta ǫ an α parameter kecil. Selanjutnya akan itentukan Φ 1 an Φ 2 yaitu penyelesaian persamaan 3.1 engan syarat batas 3.2. Untuk itu, tuliskan Φ 1 an Φ 2 alam bentuk Φ i = ǫφ 0 i + αφ 1 i + Oα 2 i = 1, 2. 3.10 Substitusi persamaan 3.10 ke alam persamaan 3.1 an syarat batas 3.2 an menyeimbangkan parameter α an ǫ 2 α = ǫ 2, koefisien ǫ menghasilkan masalah nilai batas Φ 0 izz = 0 Φ 0 iz = 0 i z = 1 i+1 h i,

40 JAHARUDDIN engan penyelesaian berbentuk Φ 0 i = F i X, T,i = 1, 2. Fungsi F 1 an F 2 merupakan fungsi sembarang yang akan itentukan. Selanjutnya, koefisien ǫ 3 menghasilkan masalah nilai batas untuk Φ 1 i i=1,2 berikut Φ 1 izz = F ixx Φ 1 iz = 0 i z = 1 i+1 h i. engan penyelesaian Φ 1 i = 1 2 F ixxz + 1 i h i 2, i = 1, 2. Jai, fungsi Φ 1 an Φ 2 yang memenuhi persamaan 3.1 an syarat batas 3.2 aalah Φ 1 = ǫf 1 X, T 1 2 ǫ3 F 1XX z h 1 2 + Oǫ 5 3.11 Φ 2 = ǫf 2 X, T 1 2 ǫ3 F 2XX z + h 2 2 + Oǫ 5. Karena u = Φ x engan Φ iberikan paa persamaan 3.6, maka iperoleh UX, T, yaitu U = ρ 2 F 2X ρ 1 F 1X + ǫ 2 1 2 ρ 2h 2 2F 2XXX + 1 2 ρ 1h 2 1F 1XXX + Oǫ 4. Dari syarat batas kinematik 3.3 iperoleh persamaan 3.12 Φ 1z Φ 1x η x = Φ 2z Φ 2x η x. 3.13 Substitusi Φ 1, Φ 2 an η alam persamaan 3.9 ke alam persamaan 3.13, iperoleh h 1 F 1X + h 2 F 2X = ǫ 2 AF 1X F 2X + 1 6 h3 1F 1XXX + 1 6 h3 2F 2XXX + Oǫ 4. 3.14 Dari persamaan 3.12 an 3.14, iperoleh persamaan berikut F 1X = h 2 U + ǫ 2 ρ 2h 1 + h 2 AU 1 3 ρ 2h 1 h 3 2 + 1ρ 6 2h 3 1h 2 + 1ρ 2 1h 2 1h 2 2 U XX + Oǫ 4, F 2X = h 1 U + ǫ 2 ρ 1h 1 + h 2 AU 3.15 1 3 + ρ 1h 3 1h 2 + 1ρ 6 1h 3 2h 1 + 1ρ 2 2h 2 1h 2 2 U XX + Oǫ 4, yang merupakan persamaan untuk menentukan F 1 an F 2. Dengan menggunakan Φ 1 an Φ 2 paa persamaan 3.11, iperoleh K an P

JMA, VOL. 3, NO.1, JULI, 2004,35-43 41 paa persamaan 3.7 sebagai berikut 1 K = ǫ 4 2 ρ 1h 1 F1X 2 + 1 2 ρ 2h 2 F2X 2 + ǫ2 6 ρ 1h 3 1F1XX 2 + ǫ2 6 ρ 2h 3 2F2XX 2 + ǫ2 2 ρ 2F2X 2 ρ 1 F1XA 2 + Oǫ 3, P = ǫ 41 2 gρ 2 ρ 1 A 2. Sehingga energi total E apat ituliskan engan E = ǫ 5 E = ǫ 5 JX 3.16 J = 1 2 gρ 2 ρ 1 A 2 + 1 2 ρ 1h 1 F 2 1X + 1 2 ρ 2h 2 F 2 2X 3.17 + ǫ2 6 ρ1 h 3 1F1XX 2 + ρ 2 h 3 2F2XX 2 ǫ 2 + 2 ρ2 F2X 2 ρ 1 F1X 2 A + Oǫ 3. Jika F 1X an F 2X paa persamaan 3.15 igunakan, maka persamaan 3.17 menjai J = 1 2 gρ 2 ρ 1 A 2 + 1 h 1 h 2 2 U2 + ǫ 2 UX 2 + νau 2 + Oǫ 3 3.18 engan = h2 1h 2 2 6 ρ 1 h 1 + ρ 2 h 2 2, ν = 1 ρ 2 h 2 1 ρ 1 h 2 2 2 2. Sistem Hamilton paa persamaan 3.8 menjai U 0 X δu E T = A X 0 δ A E engan E berbentuk 3.19 E = JX an J iberikan paa persamaan 3.18. Sistem Hamilton alam persamaan 3.19 paa ore Oǫ 3 secara eksplisit berbentuk U T + gρ 2 ρ 1 A + ǫ 2 νu 2 X = 0, h 1 h 2 A T + U + 2ǫ 2 νau + 2ǫ 2 U XX = 0. 3.20 X

42 JAHARUDDIN Persamaan 3.20 ikenal sebagai persamaan Boussinesq. Dengan membuat ǫ = 0, persamaan 3.20 memberikan AX, T = rx c T + sx + c T UX, T = gρ 2 ρ 1 rx c c T sx + c T. engan r an s berturut-turut merupakan fungsi yang merepresentasikan gelombang yang bergerak ke kanan an yang bergerak ke kiri engan kecepatan c yang memenuhi persamaan berikut. c 2 = gρ 2 ρ 1 h 1 h 2. 3.21 Berasarkan hasil i atas, iperkenalkan peubah baru R an S berikut: A = R S 3.22 U = gρ 2 ρ 1 R + S. 3.23 c imana c iberikan paa persamaan 3.21, seangkan R an S berturutturut merepresentasikan gelombang yang bergerak ke kanan an yang bergerak ke kiri. Jika persamaan 3.22 isubstitusikan ke persamaan 3.20, maka iperoleh E = 2gρ 2 ρ 1 Ê, imana engan Ê = ĴX, Ĵ = 1 2 R2 + S 2 + ǫ 2gρ 2 ρ 1 2c 2 { βrx + S X 2 + νr + S 2 R S + Oǫ 3 }. 3.24 Substitusikan bentuk A an U paa persamaan 3.22 ke alam sistem Hamilton 3.19, iperoleh R c X 0 δr Ê T =. 3.25 S 0 c X δ S Ê Perhatikan bahwa operator paa ruas kanan persamaan 3.25 berupa operator simetri miring. Dengan emikian persamaan 3.25 yang merupakan persamaan Boussinesq, memiliki struktur sebagai suatu sistem Hamilton engan peubah kanoniknya aalah simpangan gelombang i interface yang bergerak ke arah kanan, an yang bergerak ke arah kiri. Hamiltonian ari sistem Hamilton 3.25, yaitu Ê, merupakan besaran yang tetap, artinya bahwa nilai Ê tiak berubah terhaap waktu. Jai energi Hamilton ari persamaan Boussinesq paa fluia ua lapisan engan batas atas berupa batas atas rata merupakan besaran yang konstan terhaap waktu.

JMA, VOL. 3, NO.1, JULI, 2004,35-43 43 4. Kesimpulan Formulasi Hamilton untuk gerak gelombang internal paa fluia ua lapisan ilakukan berasarkan cara yang serupa paa kasus gelombang permukaan air. Dalam hal ini fluia yang itinjau iasumsikan mempunyai batas atas yang rata, seangkan batas atas yang tiak rata iperlukan kajian terseniri. Dalam formulasi Hamilton ini iperoleh persamaan Boussinesq yang menggambarkan gerak gelombang yang merambat ke alam ua arah. Persamaan Boussinesq yang iperoleh alam formulasi ini memiliki struktur sebagai suatu sistem Hamilton engan peubah kanoniknya aalah simpangan gelombang i interface yang bergerak ke arah kanan, an yang bergerak ke arah kiri. Hamiltonian energi ari sistem Hamilton ini merupakan besaran yang tetap atau tiak mengalami perubahan terhaap waktu. Daftar Pustaka [1] Choi, W., R. Camassa 1996, Weakly nonlinear internal waves in a two-flui system, J. Flui Mech., 313, 83-103 [2] Grimshaw, R., S.R. Pujaprasetya 1999, Hamiltonian formulation for solitary wave propagating on a variable backgroun, Journal of Engineering Mathematics, 36, 89-98 [3] Grimshaw, R. 1997, Internal solitary waves, alam Avances in Coastal an Ocean Engineering, Bab 1, Liu, P.L.F., Eitor, Worl Scientific Pub. Company, Singapore, 3, 1-30 [4] Gerkema, T. 1994, Nonlinear Dispersive Internal Ties: Generation Moels For A Rotating Ocean, PhD-Thesis, Univ. of Utrecht, The Netherlans [5] Groesen, E. van an E.M. e Jager 1994, Mathematical Structures in Continuous Dynamical System, in Series: Stuies in Mathematical Physics, North- Hollan, Elsevier, Amsteram.