PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNMUH PONOROGO SOAL UJIAN TENGAH SEMESTER GENAP TA 03/04 Mata Ujia : Aalisis Real Tipe Soal : REGULER Dose : Dr. Jula HERNADI Waktu : 90 meit Hari, Taggal : Selasa, April 04 Sifat Ujia : Boleh buka buku. Jawablah pertayaa teoritis berikut: a) Apa yag dimaksud dega sistem bilaga real? Sistem bilaga real adalah himpua bilaga real beserta sifat-sifatya. Jadi di dalamya membahas megeai apa itu bilaga real, bilaga apa saja yag termasuk dalam himpua bilaga real, sifat-sifat apa saja yag berlaku pada himpua bilaga real, diataraya sifat aljabar, uruta, kelegkapaya, dll. b) Jelaska apa yag dimaksud sifat kelegkapa bilaga real da apa maksud sifat ii? Sifat kelegkapa bilaga bilaga real meyataka bahwa setiap himpua bagia tak kosog dari R yag terbatas di atas mempuyai batas atas terkecil (supremum), da yag terbatas di bawah mempuyai batas bawah terbesar (ifimum). Dega sifat kelegkapa ii, himpua bilaga real R dapat diyataka sebagai sebuah garis, yag serig dikeal dega garis bilaga real. Sifat Kelegkapa mejami bahwa setiap titik pada garis tersebut meyataka sebuah bilaga real, da sebalikya setiap bilaga real meempati sebuah titik pada garis tersebut. c) Apa perbedaa da persamaa atara supremum da maksimum. Perbedaa: Supremum belum tetu dicapai tapi kalau maksimum pasti dicapai. DKL supremum dapat saja di luar himpuaya, sedagka maksimum harus di dalam himpuaya. Supremum lebih luas dari pada maksimum, kalau maksimum pasti supremum tapi kalau supremum ada maka maksimum belum tetu ada. Persamaa: Nilaiya selalu lebih dari atau sama dega ilai aggota himpua yag lai. Jadi, misal a sup S maka a x, utuk setiap x S b maks S maka b x, utuk setiap x S Keduaya haya terdefiisi pada himpua terbatas. Kalau maksimum ada maka keduaya bermilai sama. d) Barisa koverge pasti terbatas, tetapi sebalikya belum tetu berlaku. Buatlah sebuah cotoh barisa terbatas da sekaligus koverge! Barisa (x ) dega x barisa ii koverge ke 0., N. Jelas barisa ii terbatas pada dega batas M :, da. Tuliska supremum da ifimum himpua dibawah ii. Buktika kebeara jawaba yag Ada berika! E + : N sup E da if E 0 Bukti:
Diperhatika bahwa E + : N {0,,,, }. Jelas maksimum dari E 3 4 adalah. Karea ilai maksimumya tercapai maka ilai supremumya sama dega ilai maksimumya. Da ilai ifimumya juga tercapai maka ilai ifimumya sama dega ilai miimumya. 3. Tetuka himpua peyelesaia pertidaksamaa yag memuat ilai mutlak sebagai berikut! x x Jawab : x x Titik trasisiya adalah x da x. Daerah terpecah mejadi 3 bagia, yaitu x, < x da x >. Utuk x maka x x da x (x ) substitusika ke pertidaksamaa awal diperoleh x + x x x 0 Maka diperoleh x. Karea disyaratka x maka diperoleh x. Utuk < x maka x (x ) da x (x ) substitusika ke pertidaksamaa awal diperoleh x + x x + + x x + x 0 Maka diperoleh x atau x 0. Karea disyaratka < x maka ilai x yag memeuhi adalah 0 x Utuk x maka x x da x x substitusika ke pertidaksamaa awal diperoleh x x x + x 4 0. Diselesaika dega rumus abc diperoleh ilai ol: x, ± +6 ± 7. Jadi peyelesaiaya adalah Karea syarat x maka peyelesaia pada domai ii adalah x + 7.56. 7 x + 7 Kesimpula: Dega meggabugka semua kasus di atas maka diperoleh himpua peyelesaia utuk x x R: x atau 0 x.56. 4. Diberika barisa x dega x + 3. a. Buktika dega megguaka defiisi limit bahwa lim x b. Bila diberika ε, berapa bilaga asli terkecil K yag harus diambil agar berlaku x < ε utuk setiap K. a. x + 3 da x Diberika ε > 0 sebarag. Harus ditemuka bilaga asli K sehigga x x + 3 + + 3 ( 3) Diselesaika, maka diperoleh 5 ( 3) 5 4 6 < ε 5 4 6 < ε 4 6 ε > 5 4 ε 6ε > 5 4 ε > 6ε + 5 > 6ε + 5 4ε
Jadi K cukup diambil sebagai bilaga asli terkecil yag lebih besar dari 6ε+5 4ε, yaitu K 6ε + 5 4ε b. Diberika ε maka 6ε+5 4ε K 5 6 +5 4 0,5+5 6,67 4,08. Jadi, cukup diambil 0,33
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNMUH PONOROGO SOAL UJIAN TENGAH SEMESTER GENAP TA 03/04 Mata Ujia : Aalisis Real Tipe Soal : KHUSUS Dose : Dr. Jula HERNADI Waktu : 90 meit Hari, Taggal : Selasa, April 04 Sifat Ujia : Boleh buka buku. Jawablah pertayaa teoritis berikut: a) Apa yag mejami adaya bilaga irrasioal, jelaska alasaya? Adaya bilaga irrasioal dijami oleh sifat kelegkapa bilaga real. Diperhatika bahwa himpua bilaga rasioal Q tidak memeuhi Sifat Kelegkapa, da apabila dipaksaka utuk meyatakaya sebagai sebuah garis, maka garis tersebut aka berlubag-lubag. Sebagai cotoh, bilaga x di atara da yag memeuhi x buka merupaka bilaga rasioal, da kareaya terdapat lubag di atara da. Maka lubag tersebut ditempati oleh bilaga irrasioal. b) Jelaska apa yag dimaksud sifat kepadata bilaga rasioal! Berdasarka aksioma kelegkapa dapat diketahui bahwa garis bilaga sebagai represetasi bilaga real dipeuhi secara padat atau rapat oleh bilaga real secara terurut. Da di atara dua bilaga real, tidak peduli sesempit apapu jarakya, maka selalu ada bilaga rasioal di atara keduaya. Ii meujukka bahwa bilaga rasioal padat pada R. Artiya bilaga rasioal tersebar di maa-maa pada garis bilaga. c) Peryataa maksimum sebuah himpua belum tetu ada, tetapi supremumya pasti ada. Bagaimaa kebeara peryataa ii. Berika alasa terhadap jawaba Ada! Peryataa ii bear utuk himpua yag terbatas. Khususya terbatas ke atas, suatu himpua yag terbatas ke atas belum tetu mempuyai ilai maksimum tapi pasti mempuyai ilai supremum. Cotohya E { ; N} jelas E terbatas ke atas, dega supremum. Aka tetapi E tidak mempuyai ilai maksimum. d) Apa saja cara yag dapat dilakuka utuk membuktika kekovergea barisa bilaga real! Dega megguaka defiisi limit, ekor barisa, Teorema Kekovergea Terdomiasi (TKD), Teorema Kekovergea Terjepit (TKJ), dll.. Lihat No Tipe Soal Reguler 3. Lihat No 3 Tipe Soal Reguler 4. Diberika barisa (x ) dega x. + a. Buktika dega megguaka defiisi limit bahwa lim x 0 b. Bila diberika ε, berapa bilaga asli terkecil K yag harus diambil agar berlaku x 0 < ε utuk setiap K. a. x da x 0 + Diberika ε > 0 sebarag. Harus ditemuka bilaga asli K sehigga x x + 0 + +
< ε Diselesaika, maka diperoleh < ε ε > ε ε > ε > ε + > ε + ε Jadi K cukup diambil sebagai bilaga asli terkecil yag lebih besar dari ε+ ε, yaitu K ε + ε b. Diberika ε 0,083 maka ε+ ε K 6 0,083 + 0,083 5,0000. Jadi, cukup diambil 5. Tetuka titik iterior, titik limit, titik terasig da titik batas himpua berikut ii. Berika alasa terhadap jawaba Ada tersebut. E 0 {,, 3, 4, } Diperhatika bahwa E diatas dapat diyataka sebagai berikut: E 0,, 3, 4, 0 ; N a. Titik iterior E : (E tidak mempuyai titik iterior) Utuk sebarag e E da r > 0 maka V r e (e r, e + r) pasti memuat bilaga yag buka aggota E, jadi V r e E. b. Titik limit E : 0 Diambil sebarag ε > 0. Meurut sifat Archimedes terdapat N N sehigga < ε. Utuk setiap N N berlaku < < ε. Diperoleh E V N ε 0 \ 0 N c. Titik terasig E : ; N Didefiisika F ; N. Diambil sebarag F. Didefiisika d da d + Dipilih d mi {d, d }. Maka diperoleh V d d, + d. Dega demikia dapat diketahui bahwa V d da V + d. Jadi, F V d yaitu merupaka titik terasig. Karea berlaku utuk sebarag F, maka F merupaka himpua titik-titik terasig. d. Titik Batas E : {0} Diambil sebarag ε > 0. Dperhatika bahwav ε 0 ( ε, ε) memuat bayak aggota E da juga bayak aggota E c.