BAB I BILANGAN KOMPLEKS

BAB I BILANGAN KOMPLEKS. Pengertian Bilangan Kompleks Pada awal perkuliahan bilangan real (R), kita telah mempelajari bilangan real beserta sifat-sifatnya. Sekarang kita akan melanjutkan perkuliahan pada Bilangan Kompleks (C). Seara umum bilangan real (R) merupakan subset dari bilangan kompleks. Apakah sifat-sifat pada R juga berlaku pada C? Adakah sifatsifat pada C yang tidak berlaku pada R? Mari kita menjawab pertanyaanpertanyaan tersebut dengan memulainya dari definisi berikut... Definisi Bilangan kompleks adalah suatu pasangan terurut dari dua bilangan real x dan y yang dinyatakan oleh (x,y). Bilangan x disebut bagian real, ditulis Re() dan y disebut bagian imajiner, ditulis Im(). Khususnya (x,) x, dan (,y) disebut bilangan imajiner sejati. Kita sepakati bahwa lambang I menyatakan pasangan terurut dari (,), dan i disebut satuan imajiner... Definisi Dua bilangan kompleks (x,y ) dan (x,y ) dikatakan sama, ditulis, jika dan hanya jika x y dan x y.. Sifat-sifat operasi aljabar bilangan kompleks.. Definisi Jika (x,y ) dan (x,y ) adalah dua bilangan kompleks, maka jumlah dan hasil kali dari dan masing-masing adalah :

+ (x + y ) + (x + y ) (x + x, y + y ).. (x + y ) (x + y ) (x x - y y, x y + x y )... Sifat-Sifat Lapangan Bilangan Kompleks Himpunan semua bilangan kompleks bersama operasi penjumlahan dan perkalian (C,+,-) membentuk sebuah lapangan (field). Coba anda ingat kembali materi pada mata kuliah Struktur Aljabar. Buktikan! Adapun sifat-sifat lapangan yang berlaku pada bilangan kompleks, dan adalah sebagai berikut :. + C dan. C. (sifat tertutup). + + dan.. C. (sifat komutatif). ( + ) + + ( + ) dan ( ) ( ) (sifat asosiatif) 4. ( + ) + (sifat distribuif) 5. Ada (,) C sehingga + ( elemen netral penjumlahan) 6. Ada (,) C sehingga. ( elemen netral perkalian) 7. Untuk setiap (x,y) C, ada (-x,-y) sehingga + (-) 8. Untuk setiap (x,y) C, ada - sehingga. -... Notasi lain dari (x,y) Diketahui bahwa x (x,) dan i (,). Perhatikan pula (,y) (,)(y,) iy, sehingga (x,y) (x,) + (,y) x + (,y). Jadi diperoleh (x,y) x + iy. Demikian juga i ((,)(,) (-,) -. Oleh karena itu (x,y) dapat juga ditulis sebagai x + iy, dengan x Re() dan y Im().

Dengan notasi x +iy, kita akan lebih mudah untuk melakukan operasi pada bilangan kompleks, karena operasinya dapat dipandang sebagai operasi aljabar biasa dengan mengingat bahwa i -. Contoh Soal :. Jika x + iy dan x + iy,buktikan bahwa (x - x ) + (y - y )i! Bukti : (x + iy ) (x + iy ) (x + iy ) +(-x - iy ) (x - x ) + (y - y )i Coba anda berikan sifat pembagian bilangan kompleks!. Diketahui + i dan 5 i. Tentukan +, -,, dan / Jawab : + ( + i) + (5 i) 7 + i, dan - ( + i) - (5 i) - + 4i Lanjutkan untuk, dan /!..4 Sekawan Kompleks Jika (x,y) x + iy bilangan kompleks, maka bilangan kompleks sekawan dari ditulis didefinisikan sebagai (x,-y) x iy. Contoh sekawan dari + i adalah i, dan sekawan dari 5i adalah 5i. Operasi aljabar bilangan kompleks sekawan di dalam himpunan bilangan kompleks memenuhi sifat-sifat berikut : Teorema : a. Jika bilangan kompleks, maka :.. + Re()

4. - i Im () 4. [Re()] + [Im()] b. Jika, bilangan kompleks, maka :. + +. -.. 4. ( ), dengan.. Interpretasi Geometris Bilangan Kompleks Karena x + iy (x,y) merupakan pasangan terurut bilangan real, maka dapat digambarkan seara geometri dalam koordinat Kartesius sebagai sebuah titik (x,y). Pemberian nama untuk sumbu x diubah menjadi sumbu Real dan sumbu y diubah menjadi sumbu Imajiner. Bidang kompleks tersebut di beri nama bidang Argand atau bidang. Jika kita hubungkan titik asal (,) dengan titik (x,y), maka terbentuk vektor; sehingga bilangan kompleks x+iy (x,y) dapat dipandang sebagai vektor. Arti geometris dari penjumlahan dan pengurangan bilangan kompleks dapat dilihat pada gambar berikut Im Im y +y + y y x x x +x Re Re Gambar - -

5 Tugas : Diketahui + i dan 5 i. Gambarkan pada bidang Argand,,, +, -,,, + dan -!.4 Modulus (Nilai Mutlak) dari Bilangan Kompleks Definisi 4 : Jika x+iy (x,y) bilangan kompleks, maka modulus dari, ditulis x+iy x + y. Arti geometri dari modulus adalah merupakan jarak dari titik (,) ke (x,y). Akibatnya, jarak antara dua bilangan kompleks x +iy dan x +iy adalah ( x y x) + ( y ). Selanjutnya apabila x +iy dan r real positif, maka r merupakan lingkaran yang berpusat di titik dengan jari-jari r. Bagaimanakah dengan < r dan > r. Gambarkanlah pada bidang dan berilah nama daerahnya. Teorema : A. Jika bilangan kompleks, maka berlaku :. (Re()) + (Im())... 4. Re() Re() 5. Im() Im()

6 B. Jika, bilangan kompleks, maka berlaku :... + + 4. - - 5. - - Tugas : Buktikanlah teorema A di atas dengan memisalkan x+iy, kemudian berdasarkan hasil A, buktikan juga teorema B!.5 Bentuk Kutub (Polar) dan Eksponen dari Bilangan Kompleks Selain dinyatakan dalam bentuk x+iy (x,y), maka bilangan kompleks dapat dinyatakan pula dalam bentuk koordinat kutub atau Polar, yaitu (r,θ). Adapun hubungan antara keduanya adalah : Gambar x r os θ, dan y r sin θ, sehingga θ ar tan ( x y ). θ adalah sudut antara sumbu x positif dengan o. Didapat juga r x + y. Untuk, sudut dihitung

7 dari tan θ x y, dan jika, maka r dan θ dapat dipilih sebarang. Jadi, bentuk kutub bilangan kompleks adalah (r, θ) r (os θ + i sin θ) r Cis θ. Bentuk sekawan dari adalah (r, -θ) r(os θ - i sin θ). Definisi 5 : Pada bilangan kompleks (r, θ) r(os θ + i sin θ), sudut θ disebut argument dari, ditulis arg. Sudut θ dengan θ < π atau -π < θ π disebut argument utama dari, ditulis θ Arg. Pembatasan untuk sudut θ tersebut dipakai salah satu saja. Definisi 6 : Dua bilangan kompleks r (os θ + i sin θ ) dan r (os θ + i sin θ ) dikatakan sama, yaitu r r, dan θ θ. Selain penulisan bilangan kompleks (r, θ) r(os θ + i sin θ) r Cis θ, maka anda dapat menuliskan dalam rumus Euler (eksponen), yaitu re iθ, dan sekawannya adalah re -iθ. Tugas : Buktikan bahwa e iθ os θ + i sin θ, dengan menggunakan deret MaLaurin untuk Cos θ, Sin θ dan e t dengan mengganti t iθ. Contoh Soal : Nyatakan bilangan kompleks + i dalam bentuk polar dan eksponen! Jawab : Z + i, r, tan θ, sehingga θ 45 o π. Jadi (Cos π + 4 4 isin 4 π) Cis 4 π e iπ 4

8.6 Pangkat dan Akar dari Bilangan Kompleks.6. Perkalian dan Pemangkatan Telah kita ketahui bahwa bilangan kompleks dalam bentuk kutub adalah r(os θ + i sin θ). Jika r (os θ + i sin θ ) dan r (os θ + i sin θ ), maka kita peroleh hasil perkalian keduanya sebagai berikut : [r (os θ + i sin θ )][r (os θ + i sin θ )] [r r (os θ + i sin θ )][ (os θ + i sin θ )] [r r (os θ os θ + i sin θ os θ + i sin θ os θ - sinθ sin θ )] r r [os (θ + θ ) + i sin (θ + θ )] Dari hasil perkalian tersebut diperoleh arg( ) θ + θ arg + arg Pertanyaan : Bagaimanakah jika kita perkalikan.. n dan... n?.6. Dalil De Moivre Jika diketahui r (os θ + i sin θ ), r (os θ + i sin θ ), dan seterusnya sampai n r n (os θ n + i sin θ n ), untuk n asli; maka seara induksi matematika, diperoleh rumus perkalian.. n r r r n [os (θ + θ + +θ n ) + i sin (θ + θ + +θ n )]. Akibatnya jika, r(os θ + i sin θ) maka n r n (os nθ + i sin nθ). Khususnya untuk r, maka didapat rumus De-Moivre : (os θ + i sin θ) n os nθ + i sin nθ, n asli. Sedangkan pembagian dan adalah sebagai berikut :

9 r ( Cosθ + isinθ) r ( Cosθ + isinθ ) Setelah pembilang dan penyebut dikalikan dengan sekawan penyebut, yaitu (os θ - i sin θ ), maka diperoleh : r r [os (θ - θ ) + i sin (θ - θ )] Dari rumus di atas diperoleh arg θ - θ arg arg. Akibat lain jika r(os θ + i sin θ), maka (os(-θ) + i sin (-θ)).untuk r n n n. Setelah pembilang dan penyebut dikalikan r ( Cosnθ + isinnθ ) sekawan penyebut, maka didapat : n n (os(-nθ) + i sin (-nθ)) r n ( ). Jadi dalil De Moivre berlaku untuk semua n bilangan bulat. Contoh : Hitunglah ( i ) 6 Jawab : Misalkan - i, r // + Tan θ, karena di kuadran IV,maka dipilih θ - o. Diperoleh ( i) [Cos(- o )+isin(- o )], sehingga ( 6 i ) -6 [Cos 8 o + isin8 o ) -6.(-) - -6.

.6. Akar Bilangan Kompleks Bilangan kompleks adalah akar ke-n dari bilangan kompleks w, jika n w, dan ditulis n w. Jika ρ(cosφ +isinφ) akar ke-n dari bilangan kompleks w r(cosθ+isinθ), maka : n w atau ρ n (Cosφ +isinφ) n r(cosθ+isinθ), sehingga diperoleh : ρ n r dan nφ θ +kπ, k bilangan bulat. Akibatnya ρ r n dan φ θ + kπ. Jadi, akar ke n dari bilangan n kompleks w r(cosθ+isinθ) adalah : r n [Cos( θ + kπ n ) + isin θ + kπ ( )], k bilangan bulat dan n bilangan asli. n Dari persamaan n w, ada n buah akar berbeda yang memenuhi persamaan itu. Untuk mempermudah dipilih k,,,,,(n-); φ θ + kπ < π, sehingga n diperoleh,,,, n sebagai akar ke n dari w. Contoh : Hitunglah (-8) /4 Jawab : Misalkan (-8) /4, berarti harus diari penyelesaian persamaan 4-8. Tulis ρ(cosφ +isinφ) dan 8 8(Cos8 +isin8 o ), sehingga ρ 4 (Cos4φ +isin4φ) 8(Cos8 +isin8 o ). Dari persamaan ini diperoleh ρ 4 8, atau ρ dan φ Π + kπ 4. Jadi Z [Cos( Π + kπ 4 Π )+isin( + kπ )]. 4

Keempat akar yang diari dapat diperoleh dengan mensubstitusi k,,, ke persamaan terakhir. Tugas: Carilah keempat akar tersebut!.7 Soal-Soal Latihan Bab :. Buktikan Teorema dengan memisalkan (x,y) x + iy.. Diketahui 6 + 5i dan 8 i. Tentukan +, -,, dan /. Jika --i, buktikan + +. 4. Cari bilangan kompleks yang memenuhi sifat : a. - dan b.. - 5. Buktikan untuk setiap bilangan kompleks berlaku :. +. Re(. ) 6. Hitung jarak antara + i dan 5 i. 7. Gambarkan pada diagram argand dan sebutkan nama kurva yang terjadi : a. + i i b. < i <. + + 8. Nyatakan bilangan kompleks -i dalam bentuk polar dan eksponen! 9. Tentukan himpunan penyelesaian dari : -i-. Hitunglah : (a) (-7) /.. (b) (-+I) 5.. Buktikan dengan dalil De Moivre bahwa : a. Cosx Cos x Sin x b. Tgn a [Sina 4 Sin a] : [4Cos a Cosa ] *** SELAMAT MENGERJAKAN ***

BAB II FUNGSI, LIMIT DAN KEKONTINUAN Sebelum dibahas mengenai fungsi kompleks, maka perlu dipelajari konsepkonsep topologi yang akan digunakan pada fungsi kompleks.. Konsep-Konsep Topologi Pada Fungsi Kompleks Himpunan pada pembahasan ini adalah koleksi atau kumpulan titik-titik pada bidang. Ingatlah kembali materi mata kuliah Teori Himpunan, seperti operasi pada himpunan yaitu gabungan, irisan, penjumlahan dan pengurangan beserta sifatsifatnya. Selain itu anda juga perlu mengingat materi Lingkungan dan komplemennya, Titik Limit, Titik Batas, Himpunan Buka, Himpunan Tutup pada mata kuliah Analisa Variabel Real. Dengan mengingat materi tersebut, maka anda akan lebih mudah memahami materi berikut.. Lingkungan a) Lingkungan adalah himpunan semua titik yang terletak di dalam lingkaran yang berpusat di, berjari-jari di r, r >. Ditulis N(,r) atau < r. b) Lingkungan tanpa adalah himpunan semua titik yang terletak di dalam lingkaran yang berpusat di, berjari-jari di r, r >. Ditulis N*(,r) atau < < r.

Contoh : a) N(i,) adalah ekuivalen dengan i <, Gambarkan! b) N*(,a) adalah ekuivalen dengan < < a, Gambarkan!. Komplemen Andaikan S suatu himpunan. Komplemen dari S ditulis S,merupakan himpunan semua titik pada bidang yang tidak termasuk di S. Contoh : a) A {/Im < }, maka A {/Im }. Gambarkan! b) B {/<<4}, maka B {/ atau 4}. Gambarkan!. Titik Limit Titik disebut titik limit dari himpunan S jika untuk setiap N*(,δ) maka S N*(,δ) φ. 4. Titik batas Titik disebut titik batas dari himpunan S jika untuk setiap N*(,δ) memuat suatu titik di S dan memuat sati titik yang tidak di S. 5. Batas dari himpunan S adalah himpunan semua titik batas dari S. 6. Interior dan Eksterior Titik o disebut interior dari himpunan S jika ada N(,δ) sehingga N(,δ) S. Titik yang bukan titik interior atau titik batas disebut titik eksterior. 7. Himpunan Buka Himpunan S disebut himpunan buka jika S tidak memuat bagian dari batasnya. 8. Himpunan Tutup

4 Himpunan S disebut himpunan tutup jika S memuat semua batasnya. 9. Himpunan Terhubung Himpunan buka S disebut terhubung, jika setiap dua titik di S dapat dihubungkan oleh beberapa penggal garis lurus yang seluruhnya terletak di S.. Daerah Terbuka Himpunan buka S yang terhubung disebut daerah terbuka.. Daerah Tertutup Daerah tertutup S adalah daerah terbuka digabung dengan batasnya.. Penutup dari himpunan S adalah himpunan S digabung dengan limitnya. Contoh : A {/ // < }, B {/ //<} U {(,)}, dan C {/ // } Dari himpunan di atas, maka A adalah himpunan buka dan terhubung. Batas dari A adalah {/ //}. Penutup dari A adalah {/ // }. B adalah bukan himpunan buka dan juga bukan himpunan tutup. Titik limit dari B adalah {/ // }. Interior C adalah {/ // <}.. Fungsi Kompleks Definisi : Misalkan D himpunan titik pada bidang. Fungsi kompleks f adalah suatu aturan yang memasangkan titik anggota D dengan satu dan hanya satu titik w pada bidang w, yaitu (,w). Fungsi tersebut ditulis w f().

5 Himpunan D disebut daerah asal (domain) dari f, ditulis D f dan f() disebut nilai dari f atau peta dari oleh f. Range atau daerah hasil (jelajah) dari f ditulis R f, yaitu himpunan f() untuk setiap anggota D. Contoh : a) w + i b) w 4 + i ) w 5 d) f() + Contoh a,b, adalah fungsi kompleks dengan domain semua titik pada bidang. Contoh d) adalah fungsi kompleks dengan domain semua titik pada bidang,keuali -/. Jika x + iy, maka fungsi w f() dapat diuraikan menjadi w u(x,y) + iv(x,y) yang berarti Re(w) dan Im(w) masing-masing merupakan fungsi dengan dua variabel real x dan y. Apabila r(cosθ+isinθ), maka w u(r, θ) +v(r, θ). Contoh :. Tuliskan f() i dalam bentuk u dan v! Jawab : Misal x + iy, maka fungsi w f() i u(x,y) + iv(x,y) (x + iy ) i (x +xyi-y ) i (x -y ) +i(4xy-). Jadi u (x -y ) dan v 4xy-.. Jika r(cosθ+isinθ), maka f() + i [r (Cosθ+iSinθ)] + i (r Cos θ- r Sin θ) + (+rsinθ)i, berarti u r Cos θ-r Sin θ dan v +rsinθ).

6 Komposisi Fungsi Jika diberikan fungsi f() dengan domain D f dan fungsi g() dengan domain D g. Jika R f D g φ, maka ada fungsi komposisi (gof) () g (f ()), dengan domain suatu himpunan bagian dari D f. Jika R g D f φ, maka (fog) () f (g ()). Tidak berlaku hukum komutatif pada (gof) () dan (fog)(). Contoh : f() i dan g() + + i Jika R f D g φ, maka (gof) () g (f ()) g(-i) (-i) + (-i) +i 9-6i-+ i -+i 9 +--6i Jika R g D f φ, maka (fog) () f (g ()) f( + + i) + + i Jadi, (gof) () (fog)().. Interpretasi Geometris Untuk setiap variabel bebas x + iy anggota domain f ada satu dan hanya satu variabel tak bebas w u + iv yang terletak pada suatu bidang kompleks. Masing-masing variabel terletak pada suatu bidang kompleks, yaitu pada bidang Z dan w pada bidang W. Karena pasangan (,w) mengandung 4 dimensi, maka kita tidak dapat menggambarkannya pada satu sistem. Tetapi kita dapat melihat gambaran dari w f(). Caranya dengan memandang fungsi f tersebut sebagai pemetaan (transformasi) dari titik di bidang ke titik di bidang w dengan aturan f. Untuk suatu titik maka f() disebut peta dari.

7 Contoh : Diketahui fungsi w + i. Untuk setiap variabel bebas x + iy didapat nilai w (x+iy) + i. Misalnya untuk + i, dan i, berturut-turut diperoleh : w + i, dan w 5i. Gambar dari,,w, dan w dapat dilihat di bawah ini. y v w (,) (,) x u (,-) w (,-5) Contoh : Diketahui fungsi w. Dengan menggunakan r (Cosθ+iSinθ), maka diperoleh w r (Cosθ+iSinθ). Jika sebuah lingkaran pusat O berjari-jari r pada bidang, maka dapat dipetakan ke bidang w menjadi sebuah lingkaran pusat O berjari-jari r. Daerah arg α dipetakan menjadi daerah arg w α. Coba anda Gambarkan keduanya pada bidang Argand!

8.4 Limit Diketahui daerah D pada bidang dan titik o terletak di dalam D atau pada batas D. Misalkan fungsi w f() terdefinisi pada D, keuali mungkin di o. Y v D. K K N.. o. δ f(). w o.w N*( o,δ)</- o /<δ Bidang Z /f() - w o / < ε Bidang W Apabila titik bergerak mendekati titik melalui setiap lengkungan sebarang K dan nilai f() bergerak mendekati suatu nilai tertentu, yaitu w o, maka dikatakan limit f() adalah w o untuk menuju, ditulis : Lim f ( ) o w o Seara formal, definisi limit dapat dilihat berikut ini : Definisi : Misalkan fungsi f(w) terdefinisi pada daerah D, keuali mungkin di (titik di dalam D atau pada batas D). Limit dari f() adalah w o untuk menuju, jika untuk setiap ε >, terdapat δ > sedemikian hingga / f() - w o / < ε, apabila < / - o / < δ, ditulis : Lim f ( ) o w o Perlu diperhatikan bahwa :

9. Titik o tidak perlu termasuk domain fungsi f.. Variabel menuju o melalui sebarang lengkungan K,artinya menuju o dari segala arah.. Apabila menuju o melalui dua lengkungan yang berbeda saja, mengakibatkan f() menuju dua nilai yang berbeda, maka limit fungsi f tersebut tidak ada untuk menuju o. Contoh : Buktikan bahwa : Lim 5 Pembuktian : Analisis Pendahuluan : (langkah ini boleh tidak ditulis di lembar jawaban) Misalkan diberikan bilangan ε >, kita akan menari δ > sedemikian hingga sehingga < < δ 5 < ε untuk, lihat bagian sebelah kanan 5 5 < ε < ε ( + ) 5 < ε ( ) < ε < ε ε δ < Hal ini menunjukkan bahwa δ ε / telah diperoleh.

Bukti Formal : Jila diberikan ε >, maka pilih δ ε/, sehingga untuk, berlaku < < δ 5 ( + )( ) 5 - < δ) ε. Contoh : Buktikan bahwa : Lim o o Bukti : Untuk setiap ε >, maka akan diari δ >, sehingga untuk o, / - o / < ε apabila / - o / < δ. Jika δ, maka < / - o / < δ mengakibatkan / - o / / o / /+ o / < δ /+ o / δ {/- o + o /} < δ ( +/ o /). Jadi didapat δ minimum antara dan ε ( + o. Tuliskan bukti formal pembuktian tersebut! ).5 Teorema Limit Teorema : Jika fungsi f mempunyai limit untuk menuju o, maka nilai limitnya tunggal. Teorema : Misalkan (x,y) x+iy dan f() u(x,y) + iv(x,y) dengan domain D. Titik o (x o,y o ) x o +iy o di dalam D atau batas D. Maka Limit f() x o +iv o jika dan hanya o jika Limit u(x,y) x o dan limit v(x,y) v o

(x,y) (x o,y o ) (x,y) (x o,y o ) Teorema : Misalkan fungsi f dan F limitnya ada di o. Lim f() w o dan lim F() W o, maka :. Lim (f() +F() ) wo + Wo (untuk o ). Lim (f(). F()) wo. Wo (untuk o ). Lim (f() / F()) wo / Wo (untuk o ) Tugas : Buktikan ketiga teorema limit tersebut! Contoh : + Hitunglah lim i i Jawab lim Contoh : ( + i)( i) i i Jika f() xy x + y + x i y + Buktikan Lim f() tidak ada! Bukti : Kita tunjukkan bahwa untuk menuju di sepanjang garis y, maka lim f() Lim f() Lim x i. (x,) (,) x x Sedangkan di sepanjang garis y x, lim f() Lim f() Lim ( + i) x + (x,x) (,) x

.6 Kekontinuan Fungsi Definisi : Misalkan fungsi f() terdefinisi di D pada bidang dan titik o terletak pada interior D, fungsi f() dikatakan kontinu di o jika untuk menuju o, maka Lim f() f( o ). Jadi, ada tiga syarat fungsi f() kontinu di o, yaitu :. f( o ) ada. Lim f() ada o. Lim f() f( o ) o Fungsi f() dikatakan kontinu pada suatu daerah R, jika f() kontinu pada setiap titik pada daerah R tersebut. Teorema 4 : Jika f() u(x,y) + iv(x,y), f() terdefinisi di setiap titik pada daerah R, dan o x o +y o i titik di dalam R, maka fungsi f() kontinu di o jika dan hanya jika u(x,y) dan v(x,y) masing-masing kontinu di (x o,y o ). Teorema 5 : Andaikan f() dan F() kontinu di o, maka masing-masing fungsi :. f() + F(). f(). F(). f() / F(), F(), 4. f(f(); f kontinu di F( o ), kontinu di o.

Contoh : Fungsi f() + 4, i i + 4i, i f(i) +4(i) + 8i, sedangkan untuk mendekati i, maka Lim f() +i i + i 4i. Jadi f() diskontinu di i. Contoh : Dimanakah fungsi g() + + kontinu? Jawab : Coba anda periksa bahwa g() diskontinu di dan. Jadi g() kontinu di daerah {/ dan }..7 Soal-Soal Latihan Bab II. Tentukan nilai fungsi : a. f() -+ di 5-I + b. g(), di i. Jika x + iy, tuliskan f() 5i + dalam bentuk u dan v!. Jika r(cosθ+isinθ), maka tuliskan f() + i dalam bentuk u dan v! 4. Jika f() 5 + - i dan g(), tentukan (gof) () dan (fog)(). 5. Fungsi w 5 + i. Gambarkan w dan w untuk + i, dan 5 i. 6. Diketahui fungsi w. Dengan menggunakan r (Cosθ+iSinθ), maka gambarkan w!

4 7. Jika g() i 4 +, Hitunglah limit g() untuk i 8. Jika f() i y x y x xy + + +. Buktikan Lim f() untuk menuju tidak ada! 9. Apakah fungsi h() i i i i,, 5 9 + +, kontinu di i?jelaskan!. Dimanakah fungsi g() 4 + + i kontinu? *** SELAMAT MENGERJAKAN ***

5 BAB III TURUNAN FUNGSI KOMPLEKS. Definisi Turunan Diberikan fungsi f yang didefinisikan pada daerah D dan D. Jika diketahui bahwa nilai limit f() f( ) ada, maka nilai limit ini dinamakan turunan atau derivatif fungsi f di titik. Dinotasikan : f ( ) Jika f ( ) ada, maka f dikatakan terdifferensial atau diferensiabel di. Dengan kata lain : f ( ) lim Δ f f ( + Δ) f ( ) Δ Δ Jika terdifferensial di semua titik pada D maka f terdifferensial pada D Contoh.. Buktikan f() terdifferensiasi diseluruh C Bukti : Ditinjau sebarang titik C f () lim lim f() f( ) lim ( + )( )

6 Teorema. Karena sebarang maka f() terdifferensial di seluruh C Jika f fungsi kompleks dan f ( ) ada maka f kontinue di Bukti : Diketahui f ( ) ada Akan dibuktikan f kontinue di atau lim f() f( ) lim f() f( ) lim f() f( ) lim f() f( ). lim f() f( ) f ().. lim sehingga lim f() f() lim f() lim f() lim f() lim f() lim f() f() dengan kata lain f kontinue di Contoh.. Buktikan bahwa f() kontinu di seluruh bidang kompleks tetapi hanya terdifferensial di Bukti :

7 f() x + y berarti u(x,y) x + y v(x,y) u dan v kontinue di C maka f() konstanta di C f () lim f() f( ) lim lim Jadi f() terdifferensial di. Syarat Chauhy Riemann Syarat yang diperlukan agar fungsi f terdiferensial di x + i y adalah syarat Chauhy-Riemann, yang menghubungkan derivatif-derivatif parsial tingkat pertama dari fungsi bagian real dan fungsi bagian imajiner dari f. Teorema.. (Syarat Chauhy Riemann) Jika f() u(x,y) + i v(x,y) terdifferensial di x + i y, maka u(x,y) dan v(x,y) mempunyai derivatif parsial pertama di (x,y ) dan di titik ini dipenuhi persamaan Cauhy Riemann u x v dan y u y v x derivatif f di dapat dinyatakan dengan f ( ) u x (x,y ) + i v x (x,y )

Jika persamaan C-R tidak terpenuhi di (x,y ) maka f() u(x,y) + i v(x,y) 8 pasti tidak terdefferensial di x + i y Contoh.. Buktikan f() tidak terdifferensiasi di Bukti : f() x + y sehingga u(x,y) x + y v(x,y) Persamaan Cauhy Riemann u x x ; u y y v x v ; y u x v x... () y dan u y v - y... () x () dan () tidak dipenuhi jika x atau y, jadi pasti f tidak terdifferensial di Catatan : Syarat C-R hanya syarat perlu untuk keterdifferensialan. Contoh..

9 x ( + i) y ( i) Buktikan fungsi f() x + y f() tidak terdifferensial di Bukti : x y u x + y x + y v x + y dengan u(,) dengan v(,) u x (,) lim x u(x, ) u(, ) x u y (,) lim u(,y) u(, ) y - y v x (,) lim v(x, ) v(, ) x x v y (,) lim y v(,y) v(, ) y Jadi persamaan Cauhy Riemann terpenuhi Tetapi f() f( ) x ( + i) y ( i) (x + y )(x + iy) untuk Sepanjang garis real y lim x ( + i) y ( i) x x + i Sepanjang garis real y x lim i x ( + i) x x + i

Jadi lim f() f( ) tidak ada sehingga f tidak terdifferensial di meskipun persamaan C-R dipenuhi di (,) Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa : i. Syarat perlu f() u(x,y) + iv(x,y), x + i y f () ada maka u x, u y v v,, ada di (x, y ) berlaku C-R yaitu x y u x v y dan u y v - dan f ( ) u x (x,y ) + i v x (x,y ) x ii. Syarat ukup u(x,y), v(x,y), u x (x,y), v x (x,y), u y (x,y), v y (x,y) kontinue pada kitar x + i y dan di (x,y ) dipenuhi C-R maka f ( ) ada Contoh.. Buktikan f() e x (os y + i sin y) terdiferensial untuk setiap dalam C Bukti : u(x,y) e x os y u x (x,y) e x os y u y (x,y) -e x sin y ada dan kontinue di setiap v(x,y) e x sin y v x (x,y) e x sin y (x,y) C v y (x,y) e x os y Berdasarkan persamaan C-R : u x v y dan u y -v x dipenuhi di (x,y) C dan (x,y) C ada kitaran dimana keenam fungsi kontinue dan C-R dipenuhi di (x,y). Jadi f () ada C

Dan f () u x (x,y) + i v x (x,y) e x os y + i e x sin y. Syarat C-R Pada Koordinat Kutub Jika f() u(x,y) + iv(x,y) dapat diilustrasikan dalam koordinat kartesius maka dengan menggunakan hubungan x r os ϕ dan y r sin ϕ dapat diperoleh r os ϕ + i sin ϕ sehingga f() u(r, ϕ) + i v(r, ϕ) dalam sistem koordinat kutub Teoreama.. Jika f() u(r, ϕ) + iv(r, ϕ) terdiferensial dan kontinue pada suatu kitar (r, ϕ ) dan jika dalam kitar tersebut u r, uϕ, v r, vϕ ada dan kontinue di (r, ϕ ) dipenuhi C-R yaitu: u r r v dan ϕ r v - ϕ u r, r maka f () ada di dan f () (os ϕ i sin ϕ ) [u r (r, ϕ ) + iv r (r, ϕ )] Contoh.. Jika diketahui f() -,tentukan f () dalam bentuk kootdinat kutub Jawab : f() - r - (os ϕ - i sin ϕ) diperoleh : u r - os ϕ sehingga u r -r -4 os ϕ dan u ϕ -r - sin ϕ v -r - sin ϕ sehingga v r r -4 sin ϕ dan v ϕ -r - os ϕ keenam fungsi ini kontinue dan syarat C-R dipenuhi untuk semua

Jadi f() - terdiferensial untuk Dengan demikian f () dalam koordinat kutub adalah : f () (os ϕ i sin ϕ ) (-r -4 os ϕ + i r -4 sin ϕ) is (-ϕ) (- -4 ) is -ϕ -r -4 is(-4ϕ).4 Aturan Pendiferensialan Jika f(), g() dan h() adalah fungsi kompleks serta f (), g () dan h () ada, maka berlaku rumus-rumus berikut : d d()., d d. d [ f () ] d f () d. [f() ± g()] f () ± g () d d 4. [f()g()] f ()g() + f ()g () d f 5. d g d () () ( ) f ( ) f ( ) g ( ) [ g( ) ] g d n 6. n n- d 7. Jika h() g[f()] maka h () g [f()]f () biasa disebut dengan komposisi (aturan rantai) dw dw dϕ. d dϕ d.5 Fungsi Analitik

Definisi.5. Fungsi f analitik di, jika ada r > sedemikian hingga f () ada untuk setiap N (,r) (persekitaran ) r Z f differensiable Fungsi analitik untuk setiap C dinamakan fungsi utuh Contoh.5.. f() analitik keuali di. f() x + iy diperoleh : u x ; v y sehingga u x x ; v x ; u y ; v y y dengan menggunakan persamaan C-R : x y y ± x dan v x u y persamaan C-R dipenuhi dan kontinue digaris y ± x berarti f () ada hanya di y ± x f() tidak analitik dimanapun karena tidak ada kitar. Sifat sifat analitik Misalnya f dan g analitik pada D, maka : o o f ± g merupakan fungsi analitik fg merupakan fungsi analitik o f/g merupakan fungsi analitik dengan g

4 o h g o f merupakan fungsi analitik o berlaku aturan L hospital yaitu : lim () () () () f f, g() g () g g.6 Titik Singular Definisi.6. Titik disebut titik singular dari f jika f tidak analitik dari tetapi untuk setiap kitar dari memuat paling sedikit satu titik dimana f analitik. Jenis kesingularan f() atau titik singular antara lain :. Titik singular terisolasi Titik dinamakan titik singular terisolasi dari f() jika terdapat δ > demikian sehingga lingkaran δ hanya melingkari titik singular lainnya. Jika δ seperti itu tidak ada, maka disebut titik singular tidak terisolasi.. Titik Pole (titik kutub) Titik disebut titik pole tingkat n, jika berlaku lim n ( ) f ( ) A. Jika n, disebut sebagai titik pole sederhana.. Titik Cabang Dari fungsi bernilai banyak dapat menjadi titik singular. 4. Titik Singular dapat dihapuskan Titik singular disebut titik singular dapat dihapuskan dari f() jika lim f() ada.

5 5. Titik Singular Essensial Titik singular yang tidak memenuhi syarat titik singular pole titik abang atau titik singular yang dapat dihapuskan disebut titik singular essensial. 6. Titik Singular tak hingga Jika f() mempunyai titik singular di, maka sama dengan menyatakan f(/w) mempunyai titik singular di w. Contoh.6. g() ( i) berarti titik i adalah titik pole tingkat dari g() h() tidak merupakan titik singular k() ln ( + ) maka titik abang adalah dan - karena ( + ) ( ) ( + ).7 Fungsi Harmonik f() u(x,y) + iv(x,y) analitik pada D maka u dan v mempunyai derivatif parsial di semua orde yang kontinue pada D. Jadi dalam D berlaku C-R, u x v y dan u y -v x. Karena derifatif-derivatif parsial dari u dan v kontinue dalam D, maka berlaku v xy v yx. Jika dalam u x v y dan u y -v x diderivatifkan parsial terhadap x dan y maka (x,y) D berlaku u xx + u yy v xx + v yy Jika f analitik pada D maka u dan v pada D memenuhi persamaan differensial Laplae dalam dimensi.

6 ϕ + x ϕ y u dan v dimana f() u(x,y) + iv(x,y) analitik pada suatu domain maka f() harmonik pada domain tersebut. Dua fungsi u dan v sedemikian sehingga f() u(x,y) + iv(x,y) analitik dalam suatu domain dinamakan dua fungsi yang harmonik konjugat dalam domain itu. Contoh.7. Diberikan u(x,y) harmonik pada D dan tentukan fungsi v yang harmonik konjugat dengan u 4xy x y, (x,y) C Jawab : Misal diklaim konjugatnya adalah v(x,y) jadi f() u(x,y) + iv(x,y) analitik pada C sedemikian sehingga berlaku C-R u x v y dan u y -v x u x 4y x y u y xy 4x v y 4y x y v y 4 6x y + g(x) karena v x -u y maka -xy + g (x) -xy + 4x sehingga g (x) 4x diperoleh g(x) x 4 + C Jadi v y 4 6x y + x 4 + C f u + iv 4xy 4x y + i(y 4 6x y + x 4 + C) i(y 4 6x y + x 4 4ixy + 4x y) + ic i(x +iy) 4 + ic i 4 + A dengan A ic

7 Cara Milne Thomson Cara yang lebih praktis menentukan fungsi harmonik konjugat atau dari fungsi harmonik u diberikan u(x,y) harmonik pada D andaikan v(x,y) sehingga f() u(x,y)+ iv(x,y) analitik pada D f () u x (x,y) + iv x (x,y) sesuai persamaan C-R : f () u x (x,y) iu y (x,y) x + iy dan x iy sehingga diperoleh x + dan y i f() u x +, + i - iu y, i Suatu identitas dalam dan jika diambil maka f () ux(,) iu y (,) Jadi f() adalah fungsi yang derivatifnya u x (,) iu y (,) kemudian didapat v(x,y) Contoh.7. Dari Contoh.7. dengan u 4xy 4x y, (x,y) C, jika diselesaikan dengan menggunakan ara Milne Thomson. Jawab : u x 4y x y u y xy 4x f () u x (,) iu y (,) -i(-4 ) 4i sehingga f() i 4 + A f() i(x + iy) 4 + A

8 4xy 4x y + i(x 4 6x y + y 4 ) + A.8 SOAL-SOAL LATIHAN BAB III. Dengan menggunakan definisi derivatif, tentukan f () dan f (i) untuk : a. f() + 5 b. f(). f() + i. Dengan menggunakan aturan pendiferensialan tentukan f () untuk : a. f() + i ( i) + 4 8 ( + 5) b. f() ( + ). Tunjukkan bahwa fungsi-fungsi berikut adalah analitik : a. f() e -x (os y i sin y) b. f() sin x osh y + i os x sinh y. f() + 4. Buktikan bahwa f terdiferensial dimana-mana jika : a. f() e -x (os y i sin y) b. f() os x osh y + i sin x sinh y 5. Tentukan titik di bidang kompleks sehingga fungsi f() x 5 + 5iy terdiferensial kemudian tentukan f ( 4i) dan f (- + i) a. f() e -x (os y i sin y) b. f() sin x osh y + i os x sinh y. f() +

9 6. Tunjukkan bahwa fungsi-fungsi berikut adalah harmonik dan dapatkan fungsi analitik f() u(x,y) + i v(x,y) yang bersesuaian : a. u x xy + x y + b. u xe -x os y y e x sin y *** Selamat Mengerjakan ***

4 BAB IV INTEGRAL KOMPLEKS 4. Lintasan Jika g dan h fungsi bernilai real dan konstanta dari variabel real t (a,b) maka himpunan titik-titik (g(t).h(t)) di bidang x.y akan membentuk suatu kurva. Jadi himpunan titik Z x + i.y di bidang komples adalah kurva jika x g (t) dan y h (t). Jika tidak ada pada kurva yang berkawanan dalam ( a,b ), kurva disebut kurva tunggal. Kurva yang titik awal dan titik akhirnya berhimpitan dinamakan kurva tertutup. Kurva tertutup yang tidak memotong dirinya sendiri disebut kurva tertutup tunggal. Misal kurva C { Z g(t) + ih(t), a t b } dengan g (t) dan h (t) ada dan kontinue pada [ a,b ], untuk t [ a,b ] nilai g (t) dan h (t) tidak pernah bersama nol, maka C disebut kurva mulus. Jika kurva C merupakan rangkaian beberapa kurva mulus C,, C n titik akhir C j berimpit dengan titik awal C j+ untuk j,,.., n maka kurva C disebut suatu lintasan atau kontur. Lintasan C ini ditulis C + C + + Cn. Perjanjian arah lintasan Arah positif jika berlawanan dengan arah jarum jam. Arah negatif jika searah dengan arah jarum jam.

4 4. Integral Garis Integral garis fungsi p(x,y) sepanjang lintasan C terhadap x dinyatakan dengan C P ( x, y) dx Jika P( x,y ) dx sepanjang kurva C ke lintasan tertentu terhadap t pada [a,b] dan x g(t), y h(t) maka b P ( x, y) dx P( g( t), h( t) h' ( t) dt C a Jika sepanjang C pada arah yang berlawanan ditulis P ( x, y) C Sedangkan untuk integral sepanjang lintasan tertutup dinotasikan dengan dx C P( x,y ) dx. Sifat-Sifat :. C k P( x,y ) dx k C P( x,y ) dx, k konstan. -C P( x,y ) dx - C P( x,y) dx. Jika CC +C +... + C n maka C k P( x,y ) P( x,y ) dx + + n P( x,y ) dx. 4. Jika C lintasan tertutup tunggal, maka berlaku : Catatan : Contoh 4.. ( P( x, y) dx - P( x, y) dx Keempat sifat berlaku juga untuk pengintegralan terhadap y. xy + 5)dy dengan x sin t ;y os t Penyelesaian :

4 y t π dengan y os dy t diperoleh dt os t sin t y t sehingga : π π (sin t os t + 5) (- os t sin t) dt os t sin t + os t sin t dt π sin t ( sin t) os t + os t sin t dt π π sin t os t dt - π sin 4 t os t dt + sin t os t dt misal u sin t du os t du os t dt dt t u dan t π u du - 4 u u du + u du 5 - [ u [ ] ] + [ u ] u 5... ( silakan selesaikan) Contoh 4.. Hitung I x y dx + xy dy dengan C adalah

4 a. Garis patah berawal dari titik i melalui + i dan berakhir titik b. Penggal garis dengan titik awal i dan titik akhir Penyelesaian : a. i i + b C : y dan x t t dy dx dt C : x dan y t t dx dy dt I x y dx + xy dy + x y dx + xy dy t dt + t dt t dt + t dt / + (-/) b. Gambar pada a Misal : x t dx dt t π y t dy -dt

44 I t ( t) dt + t ( t) (-dt) t t t ( t + t ) dt t t t + st t dt -t + t st dt -/ t + t /4t 4 I Contoh 4.. Hitung y dx + x dy dengan C : x a os t; y a sin t arah C diambil arah positif t π Penyelesaian : π y dx + x dy a sin t (-a sin t) dt + (-a os t) a ost dt π -a 4 sin 4 t + os 4 t digunakan reduksi π -a 4 (sin t + os t) sin t os t dt π -a 4 ½ sin t dt... (silakan lanjutkan sebagai latihan)

45 Contoh 4..4. Hitunglah (,4) (,) ( y + x ) dx + (x y) dy sepanjang: a. Parabola x t, y t + b. Garis lurus dari (,) ke (,) dan kemudian ke (,4). Garis lurus dari (,) ke (,4) Jawab: a. Parabola x t dx dt y t + dy t dt (,4) (,) ( y + x ) dx + (x y) dy (( t t t t (t (t + ) + (t) + 6 + 4t + + t t )dt + ((t) t )dt + (6t t 6t) dt )dt )dt ( 6 t + 4 t t ) dt t 7 t t + 8 + 8 t 4 t 4 b. Sepanjang garis lurus dari (,) ke (,) maka y dan dy

46 (,) (,) ( y + x ) dx + (x y) dy (. + x x ) dx + (. x )() (6 + x x 6x + 44 8 x ) dy Sepanjang garis lurus dari (,) ke (,4) maka x dan dx (,4) (,) ( y + x ) dx + (x y) dy 4 y ( y + )() + (. y) dy 4 (6 y) dy y 6 y 6 5 7 y 4 Jadi nilai yang diinginkan 44 + 5 88 + 5 6 6. Sepanjang garis lurus dari (,) ke (,4) Persamaan garis yang menghubungkan (,) ke (,4) adalah:

47 y y y y x x x x y 4 x y x y 6 x atau y ( x 6) dy dx Maka (,4) (,) ( y + x ) dx + (x y) dy 4 y ( y + ( y 6) )(dy) + (( y 6) y) dy 4 y 4 y 4 y 8 (y + 4y (8y 9 (8y 44y + 7 + 5y 8) dy y 9y + 54) dy y 4y + 6)(dy) + (6y 8 y) dy + 54y 8 9 (4 ) (4 ) + 54(4 ) 8 9 97 (64 7) (6 9) + 54() 6 4 4. Integral Lintasan Kompleks Integral lintasan fungsi sepanjang C ditulis ( ) f d Atau integral tertentu dari f() dari a ke b sepanjang kurva C Untuk pada C maka dapat ditulis (t) x(t) + i y(t) dengan a t b sehingga

48 d (t) dx + idy dt Sifat : - () b a f d f ( () t ) (t) dt f () (). d - f d k () (). f d k f d f () f () ( ). d ± g() d d + f () f () ( ) 4. d d + g d f d dengan C C + C Jika f() u(x,y) + iv(x,y) u + iv maka dengan integral garis kompleks dapat dinyatakan dalam suku-suku integral garis real sebagai Contoh 4.. f () d ( u + iv)( dx + idy) d u dx - v dy + I vdx + vdy Hitung f () d jika f() y x + 6ix dan terdiri atas penggal garis dari sampai I dan dari I sampai + I i C + i C dari gambar

49 f () () C d + f d C x dx x y t dy C x t dx x y dy Pada lintasan C () f d u dx vdy + i v dy + u dy dt + i t dt ½ i pada lintasan C () f d u dx vdy + i v dx + u dy Jadi : () - t dt + i 6t dt ½ + i f d + i Teorema 4.. d Jika f kontinue pada lintasan C M > f() M, C maka < M L dengan L panjang lintasan Contoh 4..

5 Jika C lintasan tertutup segitiga dengan sudut, dan 4i Buktikan ( e + ) d 6 Penyelesaian : B A O f() e + f() e + e + - e x + x + y pada lintasan AO - x f() e x + - + e x + diambil x agar maksimal f() e + 4 Pada lintasan OB iy 4 f() e + + 4 + 4 5 pada limit AB

5 x + iy y + 4x, - x f() e + + 4 5 (x maksimal) karena terdapat tiga lintasan, maka diambil M terbesar yaitu 5 dan L keliling segitiga yaitu + 4 + 5 sehingga e + M.L 5. 6 terbukti Teorema 4.. (Teorema Cauhy) Fungsi analitik dan fungsi kontinue dalam integral tertutup tutup C maka f ()d Bukti : f analitik f kontinue D { dalam dan pada C} f() u(x,y) + iv (x,y) analitik u, v kontinue dan v x, v y, u x, u y kontinue sehingga berlaku f () u x + iv x v y iuy, kontinue Sebelumnya terdapat Teorema Green : P(x,y), Q(x,y), P x, P y, Q x, Q y konstanta pada D maka P dx + Q dy Q - P x y dxdy

5 sehingga f ()d ( u + iv)d ( u + iv)( dx + idy ) u d x + iud y + ivd x vd y u d x v d y + i u d y + v d y (-vx u y ) dxdy + i (u x v y ) dxdy (-vx + v x ) dxdy + i (u x u x ) dxdy Jadi f ()d Contoh 4.. Hitung 4 d, C kurva tertutup sederhana Jawab : f () 4 f () kontinue dan analitik di dalam C sesuai Teorema Cauhy Contoh 4..4 4 d d Jika C lingkaran. Tunjukkan 4 4 Penyelesaian : f() 4 f () ( 4)

5 Kontinu di dalam dan pada C. Jadi menurut Teorema Cauhy f ()d Teorema 4.. (Teorema Cauhy Gousar) Fungsi analitik di dalam dan pada lintasan tertutup C f ( )d Contoh 4..5 Buktikan jika C lintasan tertutup sepanjang sisi-sisi bujur sangkar dan titik-titik sudut + i, - + i, - + -i, i dengan arah positif. d π i Penyelesaian : - + i + i Z - - i - i Dibuktikan lingkaran j dengan pusat (,) dan r ½ Ambil, sehingga f() adalah analitik pada lingkaran tersebut keuali, j d π i (menurut Cauhy). Karena f() juga analitik di dalam j, maka : d d j πi

54 4.4 Anti Derivatif Fungsi Analitik Fungsi analitik pada domain terhubung tunggal D, dan D Jika C dan C lintasan tunggal penghubung ke dan keduanya membentuk lintasan tertutup tunggal C C + C maka : Sehingga f ()d f ()d + f ( )d f ( )d f ()d - D Integral dari ke tidak tergantung lintasannya asal lintasan dalam D, ditulis : ( ) f ϕ dϕ tidak tergantung lintasan D f() Contoh 4.4. f() fungsi analitik di seluruh bidang kompleks. ( ) f ϕ D G() ¼ 4 merupakan fungsi anti derivatifnya maka untuk sebarang lintasan dari sampai + i adalah + i d G( + i) G() - Contoh 4.4. i Jika D C, maka Cosh analitik di seluruh C. Maka os d sin sinh i sinh

55 Contoh 4.4. f() i θ r r e (r >, -π < θ < π) Cabang utama dari / analitik keuali pada OX mempunyai suatu anti derivatif F ¾ 4/ Untuk sebarang lintasan di r sampai i yang tidak memotong OX maka : i -i d F(i) F(-i) ¾ (e iπ/ e - iπ/ ) ¾ i sin (π/) ¾ i 4.5 Rumus Integral Cauhy Jika fungsi analitik di dalam dan pada lintasan tertutup tunggal C, dalam maka :. f( ). f ( ). f n ( ) f () d πi - πi f () ( - ) d n! f () πi - n + ( ) d Contoh 4.5. d Tentukan ( )( ), jika lintasan C : a. lingkaran C berarah positif dengan persaman b. lingkaran C berarah positif dengan persaman 4

56 Penyelesaian : a. Fungsi f ( ) analitik di dalam dan pada C dan di dalam C, ( ) sehingga menurut rumus integral Cauhy f() f ( ) ( -) d πi dan jawaban (a) adalah π i f() πi / b. Fungsi g ( ) analitik di dalam dan pada C ( dan di dalam C, sehingga ) menurut rumus integral Cauhy g () g( ) ( - ) d πi dan jawaban (b) adalah π i g () πi / 4.6 SOAL-SOAL LATIHAN BAB IV. Hitung + d dengan C lintasan positif keliling persegi dengan titik-titik sudut + i, - + i, - i, i. + 4i. Selesaikan I d sepanjang x t; y t ; t + i. Hitung integral garis (xy + y ) dx dan (x xy) dy sepanjang parabola y x dari titik A(-,) ke titik (,4) 4. Hitung integral garis : a. (x y dx + xy dy) sekeliling lintasan tertutup C bagian dari garis x dan bagian parabola y x ke arah positif xy b. dy sekeliling lingkaran x + y a ke arah positif x + y

57 + 5. Hitung d, dengan C : a. setengah lingkaran e iϕ dengan ϕ dari sampai π b. setengah lingkaran e iϕ dengan ϕ dari sampai -π. lingkaran penuh e iϕ dengan ϕ dari π sampai π 5 6. Selesaikan I d ( ) dimana C adalah lingkaran *** SELAMAT MENGERJAKAN SEMOGA SUKSES ***

58 DAFTAR PUSTAKA Churhill, R.V, Brown, J.W. 99. Complex Variables and Appliations. New York : MGraw-Hill Publishing Company. Sardi, Hidayat. 989. Fungsi Kompleks. Modul Perkuliahan -9 UT. Jakarta : Karunika. Soemantri, R. 996. Fungsi Variabel Kompleks. Jakarta : Ditjen Dikti Depdikbud. Spiegel, Murray R. 964. Theory and Problems of Complex Variables. New York : MGraw-Hill, In