MATEMATIKA TEKNIK 1 3 SKS TEKNIK ELEKTRO UDINUS

Transkripsi

1 MATEMATIKA TEKNIK 1 3 SKS TEKNIK ELEKTRO UDINUS 1

2 BAB III. TURUNAN 3.1 Definisi Turunan Diberikan fungsi f yang didefinisikan pada daerah D dan z D. Jika diketahui bahwa nilai lim zz f(z) z f(z z ) ada, maka nilai limit ini dinamakan turunan atau derivatif fungsi f di titik z. Dintasikan : f (z ) 2

3 Jika f (z ) ada, maka f dikatakan terdifferensial atau diferensiabel di z. Dengan kata lain : f'(z ) lim z0 f z lim z0 f(z Jika f terdifferensial di semua titik pada D, maka f terdifferensial pada D z) f(z z ) Cnth Buktikan f(z) = z 2 terdifferensiasi diseluruh C 3

4 Bukti : Ditinjau sebarang titik z C f'(z ) lim zz lim zz lim zz 2z f(z) f(z z z 2 z z z z 2 ) (z z)(z z z z Karena z sebarang maka f(z) = z 2 terdefferensial di seluruh C ) 4

5 Terema 3.1 Jika f fungsi kmpleks dan f (z ) ada, maka f kntinu di z Bukti : 5

6 Bukti : Diketahui f (z ) ada Akan dibuktikan f kntinu di z atau lim (f(z) zz f(z )) f(z) lim (z zz lim zz 0 f(z) (z f'(z) 0 f(z z ) f(z z ) ) (z ) lim (z zz lim zz z ) z f(z) ) f(z ) sehingga lim z z f(z) z z lim f(z dengan kata lain f kntinu di z. ) f(z ) 6

7 Cnth Buktikan f(z) = z 2 kntinu di seluruh bidang kmpleks tetapi hanya terdifferensial di z = 0 Bukti : f(z) = z 2 = x 2 + y 2 berarti u(x,y) = x 2 + y 2 dan v(x,y) = 0 u dan v kntinu di D, maka f(z) 2 f(z) f(0) z kntinu di D f'(0) lim lim z 0 z z0 lim z0 zz z 0 z0 Jadi f(z) terdifferensial di z = 0 7

8 3.2 Syarat Chauchy-Riemann Syarat yang diperlukan agar fungsi f terdiferensial di z = x + i y adalah syarat Chauchy-Riemann, yang menghubungkan derivatif-derivatif parsial tingkat pertama dari fungsi bagian real dan fungsi bagian imajiner dari f. 8

9 Terema (Syarat Chauchy-Riemann Jika f(z) = u(x,y) + i v(x,y) terdifferensial di z = x + i y, maka u(x,y) dan v(x,y) mempunyai derivatif parsial pertama di (x,y ) dan di titik ini dipenuhi persamaan Cauchy Riemann u v dan u v x y y x derivatif f di z dapat dinyatakan dengan f'(z ) u x (x,y ) iv Jika persamaan C-R tidak dipenuhi di (x,y ) maka f(z) = u(x,y) + i v(x,y) tidak terdifferensial di z = x + i y x (x,y ) 9

10 Cnth Buktikan f(z) = z 2 tidak terdifferensiasi di z 0 Bukti : f(z) = x 2 + y 2 sehingga u(x,y) = x 2 + y 2 v(x,y) = 0 Persamaan Cauchy Riemann u 2x dan u 2y x y v 0 dan v 0 x y u x v y 2x 0 (1) 10

11 dan u y v x 2y 0(2) (1) dan (2) tidak dipenuhi jika x 0 atau y 0, jadi pasti f tidak terdeferensial di z 0 11

12 Catatan : Syarat C-R hanya syarat perlu untuk keterdifferensialan. Cnth x (1 i) y (1 i) Buktikan fungsi f(z) = 2 2 x y dan f(0) = 0, tidak terdifferensial di 0, memenuhi C-R Bukti : 3 3 x y u = 2 2 x y 3 3 dengan u(0,0) = 0 x y v = dengan v(0,0) = x y u x (0,0) = lim u(x, 0) u(0,0) x x = 1 u(0,y) u(0,0) u y (0,0) = lim = -1 y y 12

13 v x (0,0) = v(x,0) v(0,0) lim = 1 x x lim v( 0,y) v(0,0) v y (0,0) = y y = 1 Jadi persamaan Cauchy Riemann terpenuhi Tetapi f(z) f(0) x (1 i) y (1 i) lim lim 0 z z0 2 2 (x y )(x iy) z Untuk z 0 Sepanjang garis real y = lim x (1 i) x 3 x = 1 + i 13

14 lim 2i x Sepanjang garis real y = x x 3 = 2(1 i) x 3 i 1 i Jadi lim f(z) f(0) tidak ada z z sehingga f tidak terdifferensial di 0 meskipun persamaan C-R dipenuhi di (0,0) 14

15 Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa : i. Syarat perlu f(z) = u(x,y) + iv(x,y), z = x + i y f (z) ada maka u u v v,,, ada di (x x y x y, y ) berlaku C-R yaitu : u v u v x = dan y y = x dan f (z 0 ) = u x (x 0,y 0 ) + i v x (x 0,y 0 ) 15

16 ii. Syarat cukup u(x,y), v(x,y), u x (x,y), v x (x,y), u y (x,y), v y (x,y) kntinu pada kitar z = x + i y dan di (x,y ) dipenuhi C-R maka f (z ) ada 16

17 Cnth Buktikan f(z) = e x (cs y + i sin y) terdiferensial untuk setiap z dalam C Bukti : u(x,y) = e x cs y v(x,y) = e x sin y u x (x,y) = e x cs y u y (x,y) = -e x sin y v x (x,y) = e x sin y v y (x,y) = e x cs y ada dan kntinu di setiap (x,y) C 17

18 Berdasarkan persamaan C-R : u x = v y dan u y = -v x dipenuhi di (x,y) C, dan ada kitar dimana keenam fungsi kntinu dan C-R dipenuhi di (x,y). Jadi f (z) ada z C. Dan f (z) = u x (x,y) + i v x (x,y) = e x cs y + i e x sin y 18

19 3.3 Syarat C-R Pada Krdinat Kutub Jika f(z) = u(x,y) + i v(x,y) dapat diilustrasikan dalam krdinat kartesius maka dengan menggunakan hubungan x = r cs dan y = r sin, diperleh z = r cs + i sin, sehingga f(z) = u(r, ) + i v(r, ) dalam sistem krdinat kutub 19

20 Tereama Jika f(z) = u(r, ) + i v(r, ) terdiferensial dan kntinu pada suatu kitar (r, ) dan jika dalam kitar tersebut u r, u, v r, v ada dan kntinu di (r, ) dan dipenuhi C-R yaitu: u r v v v = dan =, r 0 r 1 r maka f (z) = ada di z = z dan f (z) = (cs i sin ) [u r (r, ) + i v r (r, )] 1 r 20

21 Cnth Diketahui f(z) = z -3, tentukan f (z) dalam bentuk ktdinat kutub 21

22 Jawab : f(z) = z -3 = r -3 (cs 3 - i sin 3), maka : u = r -3 cs 3, sehingga u r = -3r -4 cs 3 dan u = -3r -3 sin 3 v = -r -3 sin 3, sehingga v r = 3r -4 sin 3 dan v = -3r -3 cs 3 keenam fungsi ini kntinu dan syarat C-R dipenuhi untuk semua z 0 Jadi f(z) = z -3 terdiferensial untuk z 0 Dengan demikian f (z) dalam krdinat kutub adalah : f (z) = (cs i sin ) (-3r -4 cs 3 + i 3r -4 sin 3) = cis(-) (-3r -4 ) cis(-3) = -3r -4 cis(-4) 22

23 3.4 Aturan Pendiferensialan Jika f(z), g(z) dan h(z) adalah fungsi- fungsi kmpleks serta f (z), g (z) dan h (z) ada, maka berlaku rumus-rumus : dc d(z) 0, 1 dz dz dcf(z) cf'(z) dz d f(z) g(z) f'(z) g'(z) dx d f(z)g(z) f'(z)g(z) f(z)g'(z) dx d f(z) f'(z)g(z) f(z)g'(z) dx g(z) g(z) 2 23

24 6. 7. n dz nz dz Jika h(z) biasa dw dz n1 disebut dw d. d dz g[f(z)] maka h'(z) dengan kmpsisi g'[f(z)]f'(z) (aturan rantai) 24

25 3.5 Fungsi Analitik Definisi Fungsi f analitik di z, jika ada r > 0 sedemikian, hingga f (z) ada untuk setiap z N(z,r) (persekitaran z ) r z f diferensiable Fungsi analitik untuk setiap zc dinamakan fungsi utuh 25

26 Cnth f(z) = 2. f(z) = x 3 + iy 3 diperleh : u = x 3 ; v = y 3 sehingga u x = 3x 2 ; v x = 0 ; u y = 0 ; v y = 3y 2 dengan menggunakan persamaan C-R : 3x 2 = 3y 2 y = x dan v x = u y = 0 persamaan C-R dipenuhi dan kntinu digaris y = x berarti f (z) ada hanya di y = x Jadi f(z) tidak analitik dimanapun karena tidak ada kitar. 1 z analitik kecuali di z = 0 26

27 Sifat sifat analitik Misalnya f dan g analitik pada D, maka : f g merupakan fungsi analitik fg merupakan fungsi analitik f/g merupakan fungsi analitik dengan g 0 h = g f merupakan fungsi analitik berlaku aturan L hspital yaitu : lim z z z f g z f' g' z z, dengan g(z) 0 g'(z) 0 27

28 3.6 Titik Singular Definisi Titik z 1 disebut titik singular dari f jika f tidak analitik di z 1 tetapi untuk setiap kitar dari z 1 memuat paling sedikit satu titik dimana f analitik. Jenis kesingularan f(z) atau titik singular antara lain : 1. Titik singular terislasi Titik z dinamakan titik singular terislasi dari f(z) jika terdapat 0 demikian sehingga lingkaran z z = hanya melingkari titik singular lainnya. Jika seperti itu tidak ada, maka z = z disebut titik singular tidak terislasi. 28

29 2. Titik Ple (titik kutub) Titik z = z disebut titik ple tingkat n, jika berlaku lim (z z zz ) n f(z) A 0. Jika n = 1, z disebut sebagai titik ple sederhana. 3. Titik Cabang Dari fungsi bernilai banyak dapat menjadi titik singular. 4. Titik Singular dapat dihapuskan Titik singular z disebut titik singular dapat dihapuskan dari f(z) jika z lim f(z) ada. 29

30 5. Titik Singular Essensial Titik singular z = z yang tidak memenuhi syarat titik singular ple titik cabang atau titik singular yang dapat dihapuskan disebut titik singular essensial. 6. Titik Singular tak hingga Jika f(z) mempunyai titik singular di z =, maka sama dengan menyatakan f(1/w) mempunyai titik singular di w = 0. 30

31 Cnth g(z) = 2 (z 1) berarti titik z = i adalah titik ple tingkat 2 dari g(z) h(z) = z 2 tidak merupakan titik singular k(z) = ln (z 2 + z 2) maka titik cabang adalah z 1 = 1 dan z 2 = 2 karena (z 2 + z 2) = (z 1) (z + 2) = 0 31

32 3.7 Fungsi Harmnik f(z) = u(x,y) + iv(x,y) analitik pada D maka u dan v mempunyai derivatif parsial di semua rde yang kntinue pada D. Jadi dalam D berlaku C-R, u x = v y dan u y = v x Karena derifatif-derivatif parsial dari u dan v kntinu dalam D, maka berlaku v xy = v yx. Jika dalam u x = v y dan u y = v x diderivatifkan parsial terhadap x dan y maka (x,y) D berlaku u xx + u yy = 0 v xx = v yy = 0 32

33 Jika f analitik pada D maka u dan v pada D memenuhi persamaan differensial Laplace dalam 2 dimensi x y u dan v dimana f(z) = u(x,y) + iv(x,y) analitik pada suatu dmain maka f(z) harmnik pada dmain tersebut. Dua fungsi u dan v sedemikian sehingga f(z) = u(x,y) + iv(x,y) analitik dalam suatu dmain dinamakan dua fungsi yang harmnik knjugat dalam dmain itu. 33

34 Cnth Diberikan u(x,y) harmnik pada D dan tentukan fungsi v yang harmnik knjugat dengan u = 4xy 3 4x 3 y, (x,y) C Jawab : Misal diklaim knjugatnya adalah v(x,y) jadi f(z) = u(x,y) + iv(x,y) analitik pada C sedemikian sehingga berlaku C-R u x = v y dan u y = -v x u x = 4y 3 12x 2 y v y = 4y 3 12x 2 y u y = 12xy 2 4x 3 v= y 4 6x 2 y 2 + g(x) karena v x = u y maka 12xy 2 + g (x) = 12xy 2 + 4x 3 sehingga g (x) = 4x 3 diperleh g(x) = x 4 + C Jadi v = y 4 6x 2 y 2 + x 4 + C 34

35 Cara Milne Thmsn Cara yang lebih praktis menentukan fungsi harmnik knjugat atau dari fungsi harmnik u diberikan u(x,y) harmnik pada D andaikan v(x,y) sehingga f(z) = u(x,y)+ iv(x,y) analitik pada D f (z) = u x (x,y) + iv x (x,y) sesuai persamaan C-R : f (z) = u x (x,y) iu y (x,y) z = x + iy dan z = x iy sehingga diperleh x z z dan y z z 2 2i z f(z) = u x z, z z z z z z 2 2i iu, y 2 2i 35

36 Suatu identitas dalam z dan, jika diambil = z maka f (z) = u x (z,0) iu y (z,0) Jadi f(z) adalah fungsi yang derivatifnya u x (z,0) iu y (z,0) kemudian didapat v(x,y) z z 36

37 Cnth Dari Cnth dengan u= 4xy 3 4x 3 y, (x,y) C, jika diselesaikan dengan menggunakan cara Milne Thmsn. Jawab : u x = 4y 3 12x 2 y u y = 12xy 2 4x 3 f (z) = u x (z,0) iu y (z,0) = i( 4z 3 ) = 4iz 3 sehingga f(z) = iz 4 + A f(z) = i(x + iy) 4 + A = 4xy 3 4x 3 y + i(x 4 6x 2 y 2 + y 4 ) + A 37