BAB IV NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN Bab ini membahas suau vekor idak nol dan skalar l yang mempunyai hubungan erenu dengan suau mariks A. Hubungan ersebu dinyaakan dalam benuk A λ. Bagaimana kia memperoleh dan λ dimaksud akan dibahas lebih lanju dalam bagian ini. TIK : Seelah mengikui sub bab ini diharapkan mahasiswa dapa meneukan nilai eigen vekor eigen dari suau mariks. Definisi : Jika A adalah mariks nn, maka sebuah vekor ak nol di dalam R n, dinamakan vekor karakerisik / vekor eigen (eigen vecor) dari A jika A adalah kelipaan skalar dari, yakni A λ unuk suau skalar λ yang dinamakan nilai karakerisik / nilai eigen (eigen value) dari A. Dalam hal ini dikaakan adalah vekor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen λ. Isialah eigen di dalam bahasa Jerman mempunyai ari asli ( proper ). Beberapa penulis menamakan nilai eigen dengan nilai asli (proper value), nilai karakerisik (characerisie value), aau akar laen (laen roo).
Conoh : Vekor adalah vekor eigen dari mariks A 8 yang bersesuaian dengan nilai eigen λ, karena A 8. 6 Unuk menenukan nilai eigen λ dari mariks A yang berukuran n n, kia injau kembali A λ sebagai A λi yang dapa diulis dengan (λi A) Benuk erakhir ini dapa dipandang sebagai sysem persamaan linear yang homogen. Karena adalah vekor eigen, maka bernilai idak nol. Ini berari sisem persamaan linear homogen di aas harus mempunyai penyelesaian idak nol. Hal ini dapa diperoleh jika dan hanya jika de(λi A) Persamaan ini dinamakan persamaan karakerisik dari A. Jika ruas kiri diekspansikan, maka de(λi A) adalah sebuah polinomial di dalam λ yang kia namakan polinomial karakerisik dari A.
Teorema : Jika A adalah sebuah mariks n n, maka pernyaaan-pernyaaan yang beriku ekivalen sau sama lain. (a) λ adalah nilai eigen dari A (b) Sisem persamaan (λi A) mempunyai penyelesaian yang ak rivial. (c) Ada sebuah vekor ak nol di dalam R n sehingga A λ. (d) λ adalah penyelesaian real dari persamaan karakerisik de (λi A) Conoh :. Jika mariks A, enukan polynomial karakerisik, persamaan karakerisik, nilai karakerisik, dan vecor karakerisik dari A. Jawab : Karena λi A λ - λ λ maka polinomial karakerisik dari A adalah de(λi A) de λ λ λ - λ + dan persamaan karakerisik dari A adalah λ - λ + Pemecahan-pemecahan persamaan ini adalah λ dan λ. Inilah nilai eigen - nilai eigen dari A.
4 Menuru definisi, adalah vekor eigen yang bersesuaian dengan λ jika dan hanya jika adalah penyelesaian ak nol dari (λi A), yakni λ λ Unuk λ, persamaan menjadi Ini berari - +, yang menghasilkan. Jika, maka. Jadi vekor eigen yang bersesuaian dengan λ adalah Unuk λ, persamaan menjadi Ini berari +, yang menghasilkan -. Jika, maka -. Jadi vekor eigen yang bersesuaian dengan λ adalah É. Carilah nilai eigen dan vekor eigen dari mariks A 5
5 Jawab : Karena de (λi A) 5 λ λ λ maka persamaan de (λi A), menghasilkan λ - 6λ + 5 sehingga diperoleh (λ -) (λ -5). Ini berari nilai eigen dari A adalah λ dan λ 5. Misalkan adalah vekor eigen yang bersesuaian dengan λ maka (λi A), menghasilkan λ λ λ 5 Unuk λ 5, persamaan menjadi sehingga diperoleh persamaan linear homogen: + + + + + + Penyelesaiannya adalah - dan. Jika s, maka -s dan Jadi vekor eigen yang bersesuaian dengan λ 5 adalah s s s + Unuk λ, persamaan karakerisik menjadi
6 4 Dengan menyelesaikan sisem persamaan linear ini dihasilkan, dan. Jika s, maka s dan Jadi vekor eigen yang bersesuaian dengan λ adalah s s s É Laihan Soal :. Carilah persamaan karakerisik dari mariks : a. b. c. 4 d. 4 e. f. 5. Carilah nilai eigen dari mairks pada soal nomor.. Carilah vekor eigen dari mariks pada soal nomor. 4. Teras (race) dari sebuah mariks A nn, dinoasikan r(a), adalah jumlah elemenelemen pada diagonal uama. Perlihakan bahwa persamaan karak-erisik sebuah mariks A yang berukuran adalah λ r(a) λ + de(a) 5. Carilah nilai eigen dari A, jika A 4 8
@@@ 7
8 Jawaban laihan bab IV.a. λ λ + d. λ 6 λ + λ - 6.a., d., /, 5., (-), (-), ()