BENTUK NORMAL SMITH DAN MATRIKS BAIK KIRI/KANAN Yuiati (yui@ail.ut.ac.id) Universitas Terbuka ABSTRACT The Sith noral for and left good atrix have been known in atrix theore. Any atrix over the principal ideal ring has a Sith noral for. The Sith noral for of a atrix has any applications on various fields such as a solution of Diophantin linear equation and differential equation syste. Furtherore, a atrix A with entries in a coutative ring R with unity is left good if for every vector x, the ideal xa is the sae as the ideal A. This paper discusses the relation between the Sith noral for and left good atrix. The relation is as the following: atrix A with entries in principal ideal ring of size by n, with n, has Sith noral for [I, O] if only if A is a left good atrix. Key words: left good atrix, principal ideal ring, Sith noral for. Teori atriks telah dikebangkan secara luas terasuk aplikasi-aplikasinya, baik dala perkebangan ateatika sendiri aupun dala aplikasinya untuk perkebangan ilu-ilu lainnya. Dala teori atriks ini telah dikenal suatu atriks yang disebut bentuk noral Sith. Setiap atriks atas ring ideal utaa pasti epunyai bentuk noral Sith. Keberadaan bentuk noral Sith banyak digali oleh para ateatikawan elalui berbagai pendekatan, di antaranya Mac Duffe (1972) yang enggalinya lewat atriks polinoial atas field; Adkins (1992) enggalinya lewat pendekatan teori odul; serta Newan (1972) dan Brown (1993) encoba enggalinya lewat ring koutatif yang diawali dengan eperkenalkan bentuk noral Herite. Pebahasan bentuk noral Sith ini sangat diinati karena bentuk noral Sith epunyai penggunaan yang sangat luas (Newan,1997). Penggunaan bentuk noral Sith tersebut adalah dala enyelesaikan siste persaaan linear Diophantin Ax = B; enentukan penyelesaian uu siste persaaan diferensial dengan koefisien tetap, aplikasi pada teori grup abelian yang didefinisikan dengan pebangun dan relasi, aplikasi dala ideal yang dibangun oleh koponen suatu vektor, aplikasi dala perluasan suatu atriks, serta aplikasi lainnya. Dala teori atriks dikenal juga istilah atriks baik kiri dan atriks baik kanan. Matriks baik kiri dan atriks baik kanan adalah atriks yang epertahankan ideal (Richter,1997). Melihat definisi yang dikeukakan Richter tentang atriks baik kiri dan kanan (yang epertahankan ideal) dan keberadaan bentuk noral Sith (ada pada setiap atiks atas ring ideal utaa), aka tibul suatu pertanyaan adakah hubungan antara keduanya? Tulisan ini ebahas hubungan antara atriks baik kiri/kanan dengan bentuk noral Sith. Naun pebahasan dibatasi hanya pada atriks baik kiri. Untuk atriks baik kanan, karena definisinya serupa, aka baik teorea aupun pebuktiannya dapat dilakukan dengan cara yang saa.
Jurnal Mateatika, Sains, dan Teknologi, Volue 8, Noor 2, Septeber 2007, 83-88 KONSEP DASAR Definisi bentuk noral Sith dikeukakan oleh Brown (1993) sebagai berikut. Definisi 1 Diberikan ring koutatif R dengan eleen satuan dan A Mn(R) dengan D 0 rank (A) = r in{, n}. Matriks S = Mn(R) dengan D = diag (s1, s2,, sr) disebut 0 0 bentuk noral Sith A jika A S dan sisi+1 untuk i = 1, 2,, r 1. Mn(R) adalah hipunan atriks berukuran n atas R. Matriks D = diag (s1, s2,, sr) diaksudkan dengan atriks diagonal dengan koponen diagonal utaanya adalah s1, s2,, sr, s1 0... 0 atau dala penulisannya: D = 0 s2... 0. Sedangkan A S berarti atriks A ekuivalen............ 0 0... s r dengan atriks S, yaitu terdapat atriks U anggota hipunan atiks unit berukuran (ditulis U GL(, R)) dan V anggota hipunan atriks unit berukuran n n (ditulis V GL(n, R)) sehingga UAV = S. Tidak seua atriks atas ring koutatif dengan eleen satuan epunyai bentuk noral Sith. Berikut erupakan teorea yang diberikan oleh Newan (1997), eberikan syarat agar suatu atriks epunyai bentuk noral Sith. Teorea 1 Jika R adalah ring ideal utaa, aka untuk setiap A Mn(R) epunyai bentuk noral Sith. Selanjutnya bentuk noral Sith tersebut tunggal dala relasi sekutu. Seentara definisi atriks baik kiri/ kanan didefinisikan oleh Richter (1997) sebagai berikut. Definisi 2 Diberikan ring koutatif R dengan eleen satuan dan A Mn(R) dengan n. Matriks A disebut atriks baik kiri jika untuk setiap vektor baris x = [x1, x2,, x] atas R berakibat x = xa diana x adalah ideal yang dibangun oleh koponen dari vektor x dan xa adalah ideal yang dibangun oleh koponen dari vektor xa. Secara saa didefinisikan atriks baik kanan, yaitu atriks B Mn(R) disebut atriks baik kanan jika untuk setiap vektor kolo y = [y1, y2,, yn] t atas R berakibat y = ya. Secara uu tidak akan terjadi xa = Ax. Naun dapat terjadi xa = Ax t jika A adalah atriks sietris. Selanjutnya pebicaraan dala tulisan ini dibatasi hanya pada atriks baik kiri. PEMBAHASAN Contoh-contoh berikut ini eberi gabaran yang lebih jelas tentang atriks baik kiri, sebelu pebahasan kepada teorea yang enunjukkan hubungan antara bentuk noral Sith dan atriks baik kiri. 84
Yuiati, Bentuk Noral Sith dan Matriks Baik Kiri/Kanan Contoh 1 Diberikan R = hipunan seua bilangan real. 1 1 A = M22(R) 0 1 x = [x1 x2] adalah vektor baris atas ring R. 1 1 xa = [x1 x2] = [x1 x1+x2] 0 1 x = { r1x1 + r2x2 r1, r2 R } = { r1x1 r2x1 + r2x1 + r2x2 r1, r2 R } = { (r1 r2)x1 + r2(x1 + x2)r1, r2 R } = xa Jadi A adalah atriks baik kiri. Contoh 2 Diberikan Z = hipunan seua bilangan bulat. 1 1 B = M22(Z) 1 1 x = [1 1] adalah vektor baris atas ring Z. 1 1 xb = [1 1] = [0 2] 1 1 x = { r1.1 + r2.1 r1, r2 Z } = { r1 + r2 r1, r2 Z } = hipunan bilangan bulat = Z xb = { r1.0 + r2.2 r1, r2 Z } = { 2r2r2 Z } = hipunan bilangan genap x xb Jadi B bukan atriks baik kiri. Sapailah pada teorea yang enyatakan hubungan antara bentuk noral Sith dengan atriks baik kiri sebagai berikut. Teorea 2 Diberikan ring koutatif R dengan eleen satuan dan A Mn(R) dengan n. Jika A epunyai bentuk noral Sith [I, 0], aka A adalah atriks baik kiri. Bukti Diketahui bahwa A epunyai bentuk noral Sith S = [I, 0], aka terdapat (, R) dan V GL (n, R) sehingga UAV = S atau A = U -1 SV -1. Akan dibuktikan : U GL 85
Jurnal Mateatika, Sains, dan Teknologi, Volue 8, Noor 2, Septeber 2007, 83-88 (1) S adalah atriks baik kiri (2) U -1 dan V -1 adalah atriks baik kiri (3) A adalah atriks baik kiri Ad (1) Abil sebarang x = [x1, x2,, x] dengan xi R, untuk setiap i = 1, 2,,. xs = [x1, x2,, x, 0, 0,, 0] xs = { a1x1 + a2x2 + + ax ai R, untuk setiap i = 1, 2,, } = x Jadi S adalah atriks baik kiri Ad (2) I adalah atriks baik kiri, karena untuk setiap x = [x1, x2,, x] dengan xi R, untuk setiap i = 1, 2,, berlaku x = xi. U -1 U = I, aka U -1 U adalah atriks baik kiri, yaitu x = xi = xu -1 U untuk setiap x = [x1, x2,, x] dengan xi R dan i = 1, 2,,. Akibatnya x = xu -1 U xu -1, atau x xu -1...(i) Seentara itu: xu -1 x...(ii) Dari (i) dan (ii) dapat disipulkan bahwa x = xu -1. Jadi U -1 adalah atriks baik kiri. Dengan cara yang saa akan diperoleh juga bahwa V -1 adalah atriks baik kiri. Ad (3) Abil sebarang x = [x1, x2,, x] dengan xi R, untuk setiap i = 1, 2,,. x = xu -1 karena U -1 adalah atriks baik kiri = xu -1 S karena S adalah atriks baik kiri = xu -1 SV -1 karena V -1 adalah atriks baik kiri = xa Jadi A adalah atriks baik kiri. Teorea di atas bekerja atas ring koutatif R dengan eleen satuan. Sekarang tibul pertanyaan, apakah konversnya tetap benar? Tentu saja, pebuktiannya hanya tergantung pada keberadaan bentuk noral Sith dari A, sedangkan keberadaan bentuk noral Sith A ditentukan oleh ring ideal utaa, aka tibulah teorea berikut. Teorea 3 Diberikan ring ideal utaa R dan A Mn(R) dengan n. Matriks A epunyai bentuk noral Sith [I, 0], jika dan hanya jika A adalah atriks baik kiri. Bukti () Sudah dibuktikan pada Teorea 2 () Misalkan D adalah ideal yang dibangun oleh sub deterinan berukuran dari atriks A. Akan dibuktikan D = R. Andaikan D ideal sejati R. 86
Yuiati, Bentuk Noral Sith dan Matriks Baik Kiri/Kanan Misal R adalah ring quotient R/D dan A Mn( R ). Abil sebarang sub deterinan berukuran x dari A, katakan A, aka A = A + D dengan A adalah sub deterinan berukuran dari A. Jadi A D, dengan kata lain A D. Jadi A = o R. Karena sebarang sub deterinan berukuran x dari A adalah o R, x, x,..., o dengan aka rank ( A ). Oleh karena itu terdapat vektor x 1 2 x x R untuk setiap i = 1, 2,..., sehingga x. A = i o. Misal x = [x1, x2,, x] dengan xi R untuk setiap i = 1, 2,,. Menurut yang diketahui A adalah atriks baik kiri, aka x = xa D. Akibatnya xi D dan o untuk setiap i = 1, 2,...,. Kontradiksi dengan x x = o. Jadi pengandaian salah, yang benar D = R. Berdasarkan D 0 hipotesis, A epunyai bentuk noral Sith, katakan S = Mn(R) dengan 0 0 D = diag (s1, s2,, s), aka D = s1.s2 s = R. 1 R, aka 1 = r.s1.s2 s untuk suatu r R. Hal ini berakibat untuk setiap i = 1, 2,...,, si adalah unit di dala R. D 0 Dengan enggunakan operasi eleenter baris dan kolo atriks S = dapat 0 0 s1 0... 0 0 1 0... 0 0 0 s2... 0 0 0 1... 0 0 dibawa ke bentuk [I, 0], yaitu............................................................. 0 0... s 0 0 0... 1 0 Jadi bentuk noral Sith dari A adalah [I, 0]. Teorea di atas jika diberlakukan pada atriks baik kanan akan berbunyi: Diberikan ring I koutatif R dan A Mn(R) dengan > n. Matriks A epunyai bentuk noral Sith jika 0 dan hanya jika A adalah atriks baik kanan. PENUTUP Setiap atriks berukuran x n atas ring ideal utaa diana < n epunyai bentuk noral Sith [I, 0] jika dan hanya jika atriks tersebut adalah atriks baik kiri. Masalah yang belu diketahui jawabannya sapai saat ini adalah: apakah setiap atriks baik kiri berukuran x n atas ring koutatif R ekuivalen dengan atriks [I, 0]? Masalah ini erupakan tantangan untuk elakukan penelitian selanjutnya untuk engetahui jawabannya. REFERENSI Adkins, W.A. & Weintraub, S.H. (1992). Algebra an approach via odule theory. Newyork: Spronger Verlag. Brown, W.C. (1993). Matrices over coutative rings. New york: Marcel Dekker, Inc. i 87
Jurnal Mateatika, Sains, dan Teknologi, Volue 8, Noor 2, Septeber 2007, 83-88 Mac Duffe, C.C. (1972). Vector and atrices. USA: The Matheatical Association of Aerica. Newan, M. (1997). The Sith Noral For. Linear Algebra and Its Applications, 254, 367-381. Newan, M. (1972). Integral atrices. Newyork: Acadeic Press. Richter, R.B. & Wardlaw, W.P. (1997). Good atrices: Matrices that preserve ideals. Aerican Matheatical Monthly. 88