CATATAN KULIAH ertemua VII: Kosep Total erivati a Aplikasia paa Komparati tatik A. ieresial Masalah ag ihaapi: Bagaimaa aalisis komparati-statik jika tiak aa solusi betuk-rigkas reuce-orm ikareaka oleh betuk umum ari moel? Cotoh: Bagaimaa meghitug Y T jika: Y CY, T I G Moel ii megaug ugsi umum, sehigga tiak bias iperoleh solusi betuk rigkas ag eksplisit. i sii T apat mempegaruhi C secara lagsug atau secara tiak lagsug melalui Y artia variabel epee aitu Y a T ari ugsi C tiak bebas satu ega ag lai. Hal ii melaggar asumsi erivati parsial. olusi: Jawabaa aalah kembali ke kosep ieresiasi total. Berasarka proses ieresiasi total apat membawa ke kosep erivati total. Oleh karea itu harus ipahami ahulu KONE IFERENIAL imbol aitu simbol utuk erivati ari ugsi, serigkali iaggap sebagai etitas tuggal. ekarag aka iiterpretasika kembali sebagai suatu perbaiga ari kuatitas a. imbol a masig-masig isebut ieresial ari a. ebuah ieresial meggambarka perubaha alam sebagai hasil ari perubaha alam ari sembarag ilai awal alam omai ugsi. Berasar eiisi erivati: kemiriga garis ' Lim elajuta ' apat ipaag sebagai aproksimasi ari : '
Iterpretasi Geometrik ari ieresial a Kemiriga - - Istilah ieresiasi selajuta apat berarti: roses mecari ieresial ipaag sebagai operator ag megubah mejai ketika roses mecari turuaerivati atau ipaag sebagai ieresiasi terhaap ieresial a Elastisitas Titik Misal Q ugsi permitaa Elastisitas ermitaa terhaap Harga, ieiisika sbg: % Q ε % elastik jika ε Q Q Q Fugsi Magjial Q Fugsi Rata rata >, ielastik jika ε < Cotoh:. Carilah elastisitas titik permitaa jika ugsi permitaa aalah Q-. Fugsi Marjial a ugsi rata-rataa ari ugsi permitaa ii aalah : Q- a Q-, sehigga Q perbaigaa aalah: ε Q 5
B. ieresial Total Kosep ieresial selajuta iperluas utuk ugsi ua atau lebih variabel bebas. Misal,, maka ieresial total aalah: ega otasi ag lai: Kasus ag lebih umum misala ugsi utilitas U U,,, ieresial total ari U aalah: U U U U U i aalah utilitas marjial ari barag i i aalah perubaha alam kosumsi ari barag i U sama ega jumlah ari perubaha marjial ari setiap barag alam ugsi kosumsi. Cotoh:. Carilah ieresial total ari ugsi U, 3 U U U U 3 a 3 U C. Atura-atura ieresial Utuk mecari ieresial total, ari ugsi, caraa :. Cari erivati parsial a terhaap a. ubstitusi a alam persamaa.. Cara ag lai ega megguaka Atura-atura ieresial. Misal k aalah ugsi kosta; u u ; v v. k Atura Fugsi Kosta. c.u c.u -.u Atura Fugsi agkat 3. u ± v u ± v Atura eambaha a eguraga. uv v.u u.v Atura erkalia
5. Atura embagia Cotoh:. Cari ieresial total ari a. Maka: 3 b. ega Atura ieresial: v uv vu v u 3 [ ] [ ] [ ] [ ] 3
. erivati Total Tiak seperti erivative parsial, erivative total tiak mesaratka ugsi eksplisit. Cara mecari erivati total ari ieresial total aalah : iberika ugsi,,, elajuta ieresial Total aalah:... Maka erivati Total ari terhaap iapat ega membagi keua sisi ega INGAT : Aa ua simbol ag mirip ag harus ibeaka, aitu : erivati total a ieresial total. imbol ag terakhir haa merupaka salah satu kompoe ari simbol pertama. Cotoh:., 5u 3v u v Carilah u a v! a. u u. u u. b. v v v.3. v 3
., w 3 w g w w w Carilah w! w w w w w 3.w w w 3 E. erivati ari Fugsi-ugsi Implisit Kosep ieresial total memugkika utuk mecari erivati ari ugsi implisit. Fugsi eksplisit: muah iubah mejai ugsi implicit F, tetapi arah sebalika belum pasti. Cotoh ugsi implisit F, -9 ersamaa ligkara Fugsi Implisit F,, m apat iubah mejai Fugsi eksplisit: bila memeuhi TEOREMA FUNGI IMLIIT berikut ii, aitu : a Jika F mempuai erivative parsial kotiu F, F,, F m a F b Jika paa titik,,, m, apat ikostruksi ligkuga eighborhoo N ari, m, cotoha ega membatasi jagkaua rage, m, sehigga setiap vektor, m ipetaka tepat satu ilai. Maka: i Terapat ugsi alam betuk, m a ii Masih memeuhi F,, m utuk setiap titik i N seemikia sehigga F Cotoh aplikasi Teorema Fugsi Implisit:. Utuk F, -9 ersamaa ligkara, ± 9 9 i sii apat ibatasi jagkaua rage mejai ua bagia agar ugsi iatas mejai ugsi eksplisit, aitu, a -, ehigga iapat :
, -, 9 9 a erivati ari Fugsi Implisit Utuk mecari erivati ugsi implisit apat iguaka cara :. iubah ahulu mejai ugsi eksplisit kalau bisa atau guaka. Kosep ieresial total alam bab sebeluma Cotoh :. Carilah erivati ari ugsi F, -9 a. iketahui ugsi eksplisita :, 9 9 9 a -, 9 9 9 b. ega ieresial total F F F F F F F F F F
. Jika F,, 3, maka F F 3 F. tatika Komparati ari Moel-moel Fugsi Umum. Moel asar Market Moel Misalka ugsi permitaa a peawara ari sebuah komoiti aalah: Q, Y < ; > Q s Y, T > ; < i maa Y eapata, T pajak a harga emua turua bersiat kotiu. Variabel Eoge : Q, Variabel Eksoge : Y, T F, Q; Y, T, Y Q F, Q; Y, T, T Q T Carilah Q * Y, Q Total erivati a : * T, * Y, * T Y T Y T Q Q Atur sehigga : Q Y Q Y T T Ubah alam betuk matriks : Q Y T Y T
Hitug taa ari etermia Jacobiaa : Hituglah ersamaa erivati total parsial terhaap Y a T ari matriks i atas: T Y T Q T Y Q Y apatka solusia ega metoe Matriks Ivers : a. ; Y Q Y Y ehigga i apat : ;; ; > > Y Y Y Q a Y b. T Q T T ehigga iapat : ; < > T T T Q a T > J