I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 / 6
Teori Umum Bentuk umum sistem persamaan diferensial linier orde satu adalah sebagai berikut: _x (t) = p (t)x (t) + p (t)x (t) + + p n (t)x n (t) + g (t) _x (t) = p (t)x (t) + p (t)x (t) + + p n (t)x n (t) + g (t). _x n (t) = p n (t)x (t) + p n (t)x (t) + + p nn (t)x n (t) + g n (t) () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 / 6
Teori Umum Bentuk umum sistem persamaan diferensial linier orde satu adalah sebagai berikut: _x (t) = p (t)x (t) + p (t)x (t) + + p n (t)x n (t) + g (t) _x (t) = p (t)x (t) + p (t)x (t) + + p n (t)x n (t) + g (t). _x n (t) = p n (t)x (t) + p n (t)x (t) + + p nn (t)x n (t) + g n (t) Dalam bentuk matriks dapat ditulis: _x(t) = P(t)x(t) + g(t); () 0 0 x (t) p (t) p n (t) B C B dengan x(t) = @. A ; P(t) = @.... C. A dan 0 x n (t) p n (t) g (t) p nn (t) B g(t) = @. g n (t) C A : () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 / 6
Misalkan x (t) = (t); : : : ; x n (t) = n (t): () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 3 / 6
Misalkan x (t) = (t); : : : ; x n (t) = n (t): Suatu vektor x = (t) dikatakan solusi (penyelesaian) dari sistem () jika komponen-komponennya memenuhi sistem persamaan (), dengan 0 B (t) = @ (t). n (t) C A : () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 3 / 6
Misalkan x (t) = (t); : : : ; x n (t) = n (t): Suatu vektor x = (t) dikatakan solusi (penyelesaian) dari sistem () jika komponen-komponennya memenuhi sistem persamaan (), dengan 0 B (t) = @ (t). n (t) C A : Sepanjang diskusi ini, kita berasumsi bahwa P dan g kontinu pada interval < t < : () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 3 / 6
Misalkan x (t) = (t); : : : ; x n (t) = n (t): Suatu vektor x = (t) dikatakan solusi (penyelesaian) dari sistem () jika komponen-komponennya memenuhi sistem persamaan (), dengan 0 B (t) = @ (t). n (t) C A : Sepanjang diskusi ini, kita berasumsi bahwa P dan g kontinu pada interval < t < : Perhatikan persamaan homogen _x(t) = P(t)x(t); () yang diperoleh dengan mengambil g(t) = 0: Kita akan menggunakan notasi sebagai berikut: 0 0 x (t) x k (t) x () B C (t) = @ A ; ; x (k) B C (t) = @ A :. x n (t). x nk (t) () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 3 / 6
Teorema Jika fungsi vektor x () (t) dan x () (t) adalah solusi (penyelesaian) bebas linier sistem (), maka kombinasi linier c x () (t) + c x () (t) juga solusi untuk sebarang konstanta c dan c : Sebagai contoh, perhatikan sistem berikut: _x(t) = x(t) (3) 4 () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 4 / 6
Teorema Jika fungsi vektor x () (t) dan x () (t) adalah solusi (penyelesaian) bebas linier sistem (), maka kombinasi linier c x () (t) + c x () (t) juga solusi untuk sebarang konstanta c dan c : Sebagai contoh, perhatikan sistem berikut: _x(t) = x(t) (3) 4 Dengan mudah dapat diperiksa bahwa vektor x () e 3t (t) = e 3t dan x () (t) = adalah solusi untuk (3). e t e t () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 4 / 6
Teorema Jika fungsi vektor x () (t) dan x () (t) adalah solusi (penyelesaian) bebas linier sistem (), maka kombinasi linier c x () (t) + c x () (t) juga solusi untuk sebarang konstanta c dan c : Sebagai contoh, perhatikan sistem berikut: _x(t) = x(t) (3) 4 Dengan mudah dapat diperiksa bahwa vektor x () e 3t (t) = e 3t dan x () (t) = e t e t adalah solusi untuk (3). Berdasarkan teorema, kombinasi linier e 3t e t x(t) = c e 3t + c e t = c x () (t) + c x () (t) juga solusi sistem (3). () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 4 / 6
Misalkan x () (t); x () (t); ; x (n) (t) adalah n solusi dari sistem (), dan misalkan pula matriks X(t) adalah sebagai berikut: 0 X(t) = x () (t) x (n) (t) x (t) x n (t) B C = @.. A : x n (t) x nn (t) () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 5 / 6
Misalkan x () (t); x () (t); ; x (n) (t) adalah n solusi dari sistem (), dan misalkan pula matriks X(t) adalah sebagai berikut: 0 X(t) = x () (t) x (n) (t) x (t) x n (t) B C = @.. A : x n (t) x nn (t) Perhatikan bahwa kolom-kolom dari matriks X(t) adalah bebas linier untuk suatu t jika dan hanya jika det X 6= 0. () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 5 / 6
Misalkan x () (t); x () (t); ; x (n) (t) adalah n solusi dari sistem (), dan misalkan pula matriks X(t) adalah sebagai berikut: 0 X(t) = x () (t) x (n) (t) x (t) x n (t) B C = @.. A : x n (t) x nn (t) Perhatikan bahwa kolom-kolom dari matriks X(t) adalah bebas linier untuk suatu t jika dan hanya jika det X 6= 0. Determinan ini disebut Wronskian dari n solusi x () (t); x () (t); ; x (n) (t); dan dinyatakan dengan: W x () ; ; x (n) (t) = det X () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 5 / 6
Misalkan x () (t); x () (t); ; x (n) (t) adalah n solusi dari sistem (), dan misalkan pula matriks X(t) adalah sebagai berikut: 0 X(t) = x () (t) x (n) (t) x (t) x n (t) B C = @.. A : x n (t) x nn (t) Perhatikan bahwa kolom-kolom dari matriks X(t) adalah bebas linier untuk suatu t jika dan hanya jika det X 6= 0. Determinan ini disebut Wronskian dari n solusi x () (t); x () (t); ; x (n) (t); dan dinyatakan dengan: W x () ; ; x (n) (t) = det X Solusi x () (t); x () (t); ; x (n) (t) adalah bebas linier pada suatu titik jika dan hanya jika W x () (t); ; x (n) (t) 6= 0: () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 5 / 6
Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde Koe sien Konstan Dalam bagian ini kita akan menunjukkan bagaimana mengkonstruksi solusi umum dari sistem persamaan linier homogen dengan koe sien konstan, dengan bentuk umum sebagai berikut: _x(t) = Ax(t); (4) dengan A adalah matriks konstan n n; yakni A R nn : () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 6 / 6
Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde Koe sien Konstan Dalam bagian ini kita akan menunjukkan bagaimana mengkonstruksi solusi umum dari sistem persamaan linier homogen dengan koe sien konstan, dengan bentuk umum sebagai berikut: _x(t) = Ax(t); (4) dengan A adalah matriks konstan n n; yakni A R nn : Kita akan mencari solusi dengan bentuk dimana r dan vektor akan dicari. x(t) = e rt (5) () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 6 / 6
Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde Koe sien Konstan Dalam bagian ini kita akan menunjukkan bagaimana mengkonstruksi solusi umum dari sistem persamaan linier homogen dengan koe sien konstan, dengan bentuk umum sebagai berikut: _x(t) = Ax(t); (4) dengan A adalah matriks konstan n n; yakni A R nn : Kita akan mencari solusi dengan bentuk x(t) = e rt (5) dimana r dan vektor akan dicari. Dengan mensubtitusikan (5) ke dalam (4), diperoleh re rt = Ae rt, (A ri) e rt = 0 () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 6 / 6
Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde Koe sien Konstan Dalam bagian ini kita akan menunjukkan bagaimana mengkonstruksi solusi umum dari sistem persamaan linier homogen dengan koe sien konstan, dengan bentuk umum sebagai berikut: _x(t) = Ax(t); (4) dengan A adalah matriks konstan n n; yakni A R nn : Kita akan mencari solusi dengan bentuk x(t) = e rt (5) dimana r dan vektor akan dicari. Dengan mensubtitusikan (5) ke dalam (4), diperoleh Karena e rt 6= 0; maka re rt = Ae rt, (A ri) e rt = 0 (A ri) = 0; (6) () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 6 / 6
dengan I adalah matriks identitas n n; disimbolkan dengan I n : Sehingga untuk menyelesaikan sistem persamaan diferensial (4), kita mestilah menyelesaikan sistem persamaan aljabar (6). () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 7 / 6
dengan I adalah matriks identitas n n; disimbolkan dengan I n : Sehingga untuk menyelesaikan sistem persamaan diferensial (4), kita mestilah menyelesaikan sistem persamaan aljabar (6). Persamaan (6) merupakan persamaan untuk menentukan nilai eigen dan vektor eigen matriks A. () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 7 / 6
dengan I adalah matriks identitas n n; disimbolkan dengan I n : Sehingga untuk menyelesaikan sistem persamaan diferensial (4), kita mestilah menyelesaikan sistem persamaan aljabar (6). Persamaan (6) merupakan persamaan untuk menentukan nilai eigen dan vektor eigen matriks A. Oleh karena itu vektor x yang diberikan dalam persamaan (5) merupakan solusi persamaan (4), jika r adalah nilai eigen matriks A dan adalah vektor eigen yang berkaitan dengan nilai eigen r: () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 7 / 6
dengan I adalah matriks identitas n n; disimbolkan dengan I n : Sehingga untuk menyelesaikan sistem persamaan diferensial (4), kita mestilah menyelesaikan sistem persamaan aljabar (6). Persamaan (6) merupakan persamaan untuk menentukan nilai eigen dan vektor eigen matriks A. Oleh karena itu vektor x yang diberikan dalam persamaan (5) merupakan solusi persamaan (4), jika r adalah nilai eigen matriks A dan adalah vektor eigen yang berkaitan dengan nilai eigen r: Contoh. Tentukan solusi umum dari sistem _x(t) = 4 x(t): (7) () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 7 / 6
dengan I adalah matriks identitas n n; disimbolkan dengan I n : Sehingga untuk menyelesaikan sistem persamaan diferensial (4), kita mestilah menyelesaikan sistem persamaan aljabar (6). Persamaan (6) merupakan persamaan untuk menentukan nilai eigen dan vektor eigen matriks A. Oleh karena itu vektor x yang diberikan dalam persamaan (5) merupakan solusi persamaan (4), jika r adalah nilai eigen matriks A dan adalah vektor eigen yang berkaitan dengan nilai eigen r: Contoh. Tentukan solusi umum dari sistem _x(t) = 4 x(t): (7) Jawab: Misalkan x(t) = e rt : Subtitusikan x(t) = e rt ke dalam (7), diperoleh re rt = e rt, r e rt = e rt 4 4 () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 7 / 6
,,, 4 4 r 4 r ri e rt = 0 0 r 0 e rt = 0 e rt = 0 Karena e rt 6= 0; maka mestilah r 4 r = 0 (8) () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 8 / 6
,,, 4 4 r 4 r ri e rt = 0 0 r 0 e rt = 0 e rt = 0 Karena e rt 6= 0; maka mestilah r 4 r = 0 (8) Persamaan (8) mempunyai solusi nontrivial jika dan hanya jika r 4 r = 0; yakni ( r) 4 = r r 3 = (r 3)(r + ) = 0 r = 3 atau r = () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 8 / 6
3 r = 3 ) 4 3 ) = 0 4 = 0 Persamaan terakhir menghasilkan + = 0; sehingga vektor eigen yang berkaitan dengan nilai eigen r = 3 dapat diambil () = () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 9 / 6
3 r = 3 ) 4 3 ) = 0 4 = 0 Persamaan terakhir menghasilkan + = 0; sehingga vektor eigen yang berkaitan dengan nilai eigen r = 3 dapat diambil () = Selanjutnya r = ) ) ( ) 4 ( ) = 0 4 = 0 () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 9 / 6
3 r = 3 ) 4 3 ) = 0 4 = 0 Persamaan terakhir menghasilkan + = 0; sehingga vektor eigen yang berkaitan dengan nilai eigen r = 3 dapat diambil () = Selanjutnya r = ) ) ( ) = 0 4 ( ) = 0 4 Persamaan terakhir menghasilkan + = 0; sehingga vektor eigen yang berkaitan dengan nilai eigen r = dapat diambil () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 9 / 6
() = : Sehingga, solusi umum persamaan diferensial x () (t) = e 3t dan x () (t) = e t () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 0 / 6
() = : Sehingga, solusi umum persamaan diferensial x () (t) = e 3t dan x () (t) = e t Wronskiannya adalah W x () ; x () (t) = e 3t e 3t e t e t = 4et 6= 0; 8t () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 0 / 6
() = : Sehingga, solusi umum persamaan diferensial x () (t) = e 3t dan x () (t) = e t Wronskiannya adalah W x () ; x () (t) = e 3t e 3t e t e t = 4et 6= 0; 8t Sehingga solusi x () (t) dan x () (t) membentuk himpunan fundamental, dan solusi umumnya adalah x(t) = c x () (t) + c x () (t) (9) = c e 3t + c e t dengan c ; c adalah konstanta sebarang. () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 0 / 6
Untuk sistem persamaan diferensial _x(t) = Ax(t) (0) dengan A R nn ; ada 3 kemungkinan yang terjadi terhadap nilai eigen. () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 / 6
Untuk sistem persamaan diferensial _x(t) = Ax(t) (0) dengan A R nn ; ada 3 kemungkinan yang terjadi terhadap nilai eigen. Semua nilai eigen bernilai riil dan berbeda () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 / 6
Untuk sistem persamaan diferensial _x(t) = Ax(t) (0) dengan A R nn ; ada 3 kemungkinan yang terjadi terhadap nilai eigen. Semua nilai eigen bernilai riil dan berbeda Nilai eigen dalam bentuk pasangan konjugat komplex () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 / 6
Untuk sistem persamaan diferensial _x(t) = Ax(t) (0) dengan A R nn ; ada 3 kemungkinan yang terjadi terhadap nilai eigen. Semua nilai eigen bernilai riil dan berbeda Nilai eigen dalam bentuk pasangan konjugat komplex 3 Nilai eigen berulang () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 / 6
Untuk sistem persamaan diferensial _x(t) = Ax(t) (0) dengan A R nn ; ada 3 kemungkinan yang terjadi terhadap nilai eigen. Semua nilai eigen bernilai riil dan berbeda Nilai eigen dalam bentuk pasangan konjugat komplex 3 Nilai eigen berulang Nilai eigen Komplex () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 / 6
Untuk sistem persamaan diferensial _x(t) = Ax(t) (0) dengan A R nn ; ada 3 kemungkinan yang terjadi terhadap nilai eigen. Semua nilai eigen bernilai riil dan berbeda Nilai eigen dalam bentuk pasangan konjugat komplex 3 Nilai eigen berulang Nilai eigen Komplex Untuk sistem (0), jika kita mencari solusi dalam bentuk x(t) = e rt maka r mestilah nilai eigen dari matriks A dan adalah vektor eigen yang berkaitan dengan nilai eigen r: () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 / 6
Untuk sistem persamaan diferensial _x(t) = Ax(t) (0) dengan A R nn ; ada 3 kemungkinan yang terjadi terhadap nilai eigen. Semua nilai eigen bernilai riil dan berbeda Nilai eigen dalam bentuk pasangan konjugat komplex 3 Nilai eigen berulang Nilai eigen Komplex Untuk sistem (0), jika kita mencari solusi dalam bentuk x(t) = e rt maka r mestilah nilai eigen dari matriks A dan adalah vektor eigen yang berkaitan dengan nilai eigen r: Nilai eigen r ; : : : ; r n dari matriks A adalah akar dari persamaan dan vektor eigen memenuhi det(a ri n ) = 0; (A ri n ) =0 () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 / 6
Untuk sistem persamaan diferensial _x(t) = Ax(t) (0) dengan A R nn ; ada 3 kemungkinan yang terjadi terhadap nilai eigen. Semua nilai eigen bernilai riil dan berbeda Nilai eigen dalam bentuk pasangan konjugat komplex 3 Nilai eigen berulang Nilai eigen Komplex Untuk sistem (0), jika kita mencari solusi dalam bentuk x(t) = e rt maka r mestilah nilai eigen dari matriks A dan adalah vektor eigen yang berkaitan dengan nilai eigen r: Nilai eigen r ; : : : ; r n dari matriks A adalah akar dari persamaan dan vektor eigen memenuhi det(a ri n ) = 0; (A ri n ) =0 Misalkan A R dan akar dari det(a kompleks. ri ) = 0 adalah bilangan () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 / 6
Jika r = + i; dengan ; R; adalah nilai eigen dari A maka r = i juga nilai eigen dari A: () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 / 6
Jika r = + i; dengan ; R; adalah nilai eigen dari A maka r = i juga nilai eigen dari A: Selanjutnya, jika () adalah vektor eigen yang berkaitan dengan nilai eigen r = + i; maka vektor eigen () yang berkaitan dengan nilai eigen r = i juga saling konjugat dengan () : Misalkan () = a+ib dan () = a ib () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 / 6
Jika r = + i; dengan ; R; adalah nilai eigen dari A maka r = i juga nilai eigen dari A: Selanjutnya, jika () adalah vektor eigen yang berkaitan dengan nilai eigen r = + i; maka vektor eigen () yang berkaitan dengan nilai eigen r = i juga saling konjugat dengan () : Misalkan () = a+ib dan () = a ib Maka solusi umum dari (0) adalah dan x () (t) = () e rt = (a+ib) e (+i)t ; x () (t) = () e rt ( i)t = (a ib) e x(t) = Cx () (t) + Dx () (t) = C (a+ib) e (+i)t ( i)t + D (a ib) e = Ce t (a+ib) e it + De t (a ib) e it = Ce t (a+ib) (cos t + i sin t) + De t (a ib) (cos t i sin = c e t (a cos t b sin t) + ic e t (a sin t + b cos t) dengan c = C + D dan c = C D: () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 / 6
Untuk kesederhanaan, tulis x(t) = e t (a cos t b sin t) + ie t (a sin t + b cos t) () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 3 / 6
Untuk kesederhanaan, tulis x(t) = e t (a cos t b sin t) + ie t (a sin t + b cos t) Jika x(t) ditulis dalam bentuk x(t) = u(t) + iv(t); maka kita peroleh bahwa u(t) = e t (a cos t b sin t) ; v(t) = e t (a sin t + b cos t) adalah solusi bebas linier bernilai riil dari sistem persamaan (0). () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 3 / 6
Untuk kesederhanaan, tulis x(t) = e t (a cos t b sin t) + ie t (a sin t + b cos t) Jika x(t) ditulis dalam bentuk x(t) = u(t) + iv(t); maka kita peroleh bahwa u(t) = e t (a cos t b sin t) ; v(t) = e t (a sin t + b cos t) adalah solusi bebas linier bernilai riil dari sistem persamaan (0). Contoh: Dapatkan solusi dari masalah nilai awal berikut 5 _x(t) = x(t); x(0) = 3 () () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 3 / 6
Untuk kesederhanaan, tulis x(t) = e t (a cos t b sin t) + ie t (a sin t + b cos t) Jika x(t) ditulis dalam bentuk x(t) = u(t) + iv(t); maka kita peroleh bahwa u(t) = e t (a cos t b sin t) ; v(t) = e t (a sin t + b cos t) adalah solusi bebas linier bernilai riil dari sistem persamaan (0). Contoh: Dapatkan solusi dari masalah nilai awal berikut 5 _x(t) = x(t); x(0) = 3 () Jawab: () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 3 / 6
Untuk kesederhanaan, tulis x(t) = e t (a cos t b sin t) + ie t (a sin t + b cos t) Jika x(t) ditulis dalam bentuk x(t) = u(t) + iv(t); maka kita peroleh bahwa u(t) = e t (a cos t b sin t) ; v(t) = e t (a sin t + b cos t) adalah solusi bebas linier bernilai riil dari sistem persamaan (0). Contoh: Dapatkan solusi dari masalah nilai awal berikut 5 _x(t) = x(t); x(0) = 3 () Jawab: Misalkan x(t) = e rt : Subtitusikan x(t) = e rt ke dalam (), diperoleh () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 3 / 6
5 re rt = 3 e rt 5, r e rt = e 3 rt 5 0, ri 3 e rt = 0 r 5 0, e 3 r rt = 0 Karena e rt 6= 0; maka mestilah r 5 3 r = 0 () () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 4 / 6
5 re rt = 3 e rt 5, r e rt = e 3 rt 5 0, ri 3 e rt = 0 r 5 0, e 3 r rt = 0 Karena e rt 6= 0; maka mestilah r 5 3 r = 0 () Persamaan () mempunyai solusi nontrivial jika dan hanya jika r 5 3 r = r + r + = 0; yang memberikan r = + i dan r = i: () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 4 / 6
Untuk r = + i; diperoleh i 5 i = 0 () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 5 / 6
Untuk r = + i; diperoleh i 5 i = 0 Baris-baris matriks i 5 i saling berkelipatan, sehingga baris kedua menghasilkan ( + i) = 0: () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 5 / 6
Untuk r = + i; diperoleh i 5 i = 0 Baris-baris matriks i 5 i saling berkelipatan, sehingga baris kedua menghasilkan ( + i) = 0: Akibatnya, vektor eigen yang berkaitan dengan nilai eigen r = dapat diambil () + i = + i () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 5 / 6
Untuk r = + i; diperoleh i 5 i = 0 Baris-baris matriks i 5 i saling berkelipatan, sehingga baris kedua menghasilkan ( + i) = 0: Akibatnya, vektor eigen yang berkaitan dengan nilai eigen r = dapat diambil () + i = Selanjutnya, untuk r = i; diperoleh () i = + i () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 5 / 6
Sehingga solusi sistem () adalah x () + i (t) = e ( +i)t ; x () (t) = i e ( i)t () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 6 / 6
Sehingga solusi sistem () adalah x () + i (t) = e ( +i)t ; x () i (t) = e ( i)t Untuk mendapatkan solusi bernilai riil, kita harus mendapatkan bagian riil dan bagian imaginer dari x(t). + i x(t) = C e ( +i)t i + D e ( i)t = Ce t + i e it + De t i e it (3) () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 6 / 6
Sehingga solusi sistem () adalah x () + i (t) = e ( +i)t ; x () i (t) = = Ce t + i e ( i)t Untuk mendapatkan solusi bernilai riil, kita harus mendapatkan bagian riil dan bagian imaginer dari x(t). + i x(t) = C e ( +i)t i + D e ( i)t e it + De t i e it (3) Dengan menggunakan syarat awal x(0) = + i i C + D = yang dapat ditulis sebagai ( + i)c + ( i)d = C + D = ; ; diperoleh ; () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 6 / 6
yang mempunyai penyelesaian C = ( + i) dan D = ( i) : Sehingga persamaan (3) dapat ditulis menjadi x(t) = e t + i ( + i) e it + e t i ( i) = e t + 3i e it + e t 3i e it + i i = e t + 3i (cos t + i sin t) + e t 3i + i i = e t cos t 6 sin t cos t sin t : = e t cos t 3 sin t cos t sin t e it (cos t i sin t) () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 7 / 6
Gra k solusinya diperlihatkan dibawah ini: () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 8 / 6
Nilai Eigen Berulang () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 9 / 6
Nilai Eigen Berulang Perhatikan kembali sistem persamaan diferensial linier homogen berikut: _x(t) = Ax(t) (4) dengan A R nn atau A C nn : () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 9 / 6
Nilai Eigen Berulang Perhatikan kembali sistem persamaan diferensial linier homogen berikut: _x(t) = Ax(t) (4) dengan A R nn atau A C nn : Jika r = adalah suatu nilai eigen dari matriks A dengan pengulangannya sebanyak k kali, maka dikatakan nilai eigen dengan multiplisitas k: () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 9 / 6
Nilai Eigen Berulang Perhatikan kembali sistem persamaan diferensial linier homogen berikut: _x(t) = Ax(t) (4) dengan A R nn atau A C nn : Jika r = adalah suatu nilai eigen dari matriks A dengan pengulangannya sebanyak k kali, maka dikatakan nilai eigen dengan multiplisitas k: Ada kemungkinan kasus yang mungkin terjadi: () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 9 / 6
Nilai Eigen Berulang Perhatikan kembali sistem persamaan diferensial linier homogen berikut: _x(t) = Ax(t) (4) dengan A R nn atau A C nn : Jika r = adalah suatu nilai eigen dari matriks A dengan pengulangannya sebanyak k kali, maka dikatakan nilai eigen dengan multiplisitas k: Ada kemungkinan kasus yang mungkin terjadi: Ada sebanyak k vektor eigen bebas linier yang berkaitan dengan nilai eigen () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 9 / 6
Nilai Eigen Berulang Perhatikan kembali sistem persamaan diferensial linier homogen berikut: _x(t) = Ax(t) (4) dengan A R nn atau A C nn : Jika r = adalah suatu nilai eigen dari matriks A dengan pengulangannya sebanyak k kali, maka dikatakan nilai eigen dengan multiplisitas k: Ada kemungkinan kasus yang mungkin terjadi: Ada sebanyak k vektor eigen bebas linier yang berkaitan dengan nilai eigen Banyak vektor eigen bebas linier yang berkaitan dengan nilai eigen kurang dari k: () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 9 / 6
Nilai Eigen Berulang Perhatikan kembali sistem persamaan diferensial linier homogen berikut: _x(t) = Ax(t) (4) dengan A R nn atau A C nn : Jika r = adalah suatu nilai eigen dari matriks A dengan pengulangannya sebanyak k kali, maka dikatakan nilai eigen dengan multiplisitas k: Ada kemungkinan kasus yang mungkin terjadi: Ada sebanyak k vektor eigen bebas linier yang berkaitan dengan nilai eigen Banyak vektor eigen bebas linier yang berkaitan dengan nilai eigen kurang dari k: Kasus terjadi jika matriks A simetris, yakni A T = A: () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 9 / 6
Nilai Eigen Berulang Perhatikan kembali sistem persamaan diferensial linier homogen berikut: _x(t) = Ax(t) (4) dengan A R nn atau A C nn : Jika r = adalah suatu nilai eigen dari matriks A dengan pengulangannya sebanyak k kali, maka dikatakan nilai eigen dengan multiplisitas k: Ada kemungkinan kasus yang mungkin terjadi: Ada sebanyak k vektor eigen bebas linier yang berkaitan dengan nilai eigen Banyak vektor eigen bebas linier yang berkaitan dengan nilai eigen kurang dari k: Kasus terjadi jika matriks A simetris, yakni A T = A: Kita akan mendiskusi bagian, yaitu banyak vektor eigen bebas linier yang berkaitan dengan nilai eigen kurang dari k: () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 9 / 6
Nilai Eigen Berulang Perhatikan kembali sistem persamaan diferensial linier homogen berikut: _x(t) = Ax(t) (4) dengan A R nn atau A C nn : Jika r = adalah suatu nilai eigen dari matriks A dengan pengulangannya sebanyak k kali, maka dikatakan nilai eigen dengan multiplisitas k: Ada kemungkinan kasus yang mungkin terjadi: Ada sebanyak k vektor eigen bebas linier yang berkaitan dengan nilai eigen Banyak vektor eigen bebas linier yang berkaitan dengan nilai eigen kurang dari k: Kasus terjadi jika matriks A simetris, yakni A T = A: Kita akan mendiskusi bagian, yaitu banyak vektor eigen bebas linier yang berkaitan dengan nilai eigen kurang dari k: Perhatikan contoh berikut: () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 9 / 6
Contoh 5. Tentukan himpunan solusi fundamental dari sistem berikut ini _x(t) = Ax(t) = x(t): (5) 3 () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 0 / 6
Contoh 5. Tentukan himpunan solusi fundamental dari sistem berikut ini _x(t) = Ax(t) = x(t): (5) 3 Jawab: () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 0 / 6
Contoh 5. Tentukan himpunan solusi fundamental dari sistem berikut ini _x(t) = Ax(t) = x(t): (5) 3 Jawab: Misalkan x(t) = e rt : Subtitusikan x(t) = e rt ke dalam (5), diperoleh re rt = e 3 rt, r e rt = e 3 rt 0,, r 3 0 r 3 r e rt = 0 0 0 e rt = 0 () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 0 / 6
Contoh 5. Tentukan himpunan solusi fundamental dari sistem berikut ini _x(t) = Ax(t) = x(t): (5) 3 Jawab: Misalkan x(t) = e rt : Subtitusikan x(t) = e rt ke dalam (5), diperoleh re rt = e 3 rt, r e rt = e 3 rt 0,, r 3 0 r 3 r Karena e rt 6= 0; maka mestilah r 3 r e rt = 0 0 0 = 0 0 e rt = 0 (6) () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 0 / 6
Persamaan (6) mempunyai solusi nontrivial jika dan hanya jika r 3 r = r 4r + 4 = 0; yang memberikan r = r = : () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 / 6
Persamaan (6) mempunyai solusi nontrivial jika dan hanya jika r 3 r = r 4r + 4 = 0; yang memberikan r = r = : = 0; yang menghasilkan persamaan + = 0 dan vektor eigen yang berkaitan dengan nilai eigen r = adalah () = : () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 / 6
Persamaan (6) mempunyai solusi nontrivial jika dan hanya jika r 3 r = r 4r + 4 = 0; yang memberikan r = r = : = 0; yang menghasilkan persamaan + = 0 dan vektor eigen yang berkaitan dengan nilai eigen r = adalah () = : Sehingga satu solusi dari sistem (5) adalah x () (t) = () e t = e t dan tidak ada solusi kedua dalam bentuk x(t) = e rt : () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 / 6
Untuk mendapatkan solusi kedua, coba subtitusikan x(t) = te t (7) ke dalam (5), diperoleh te t + e t Ate t = 0: (8) () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 / 6
Untuk mendapatkan solusi kedua, coba subtitusikan ke dalam (5), diperoleh x(t) = te t (7) te t + e t Ate t = 0: (8) Agar persamaan (8) berlaku untuk setiap t; maka haruslah = 0; yang bermakna bahwa tidak ada solusi tak nol dalam bentuk (7) untuk sistem persamaan diferensial (5). () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 / 6
Untuk mendapatkan solusi kedua, coba subtitusikan ke dalam (5), diperoleh x(t) = te t (7) te t + e t Ate t = 0: (8) Agar persamaan (8) berlaku untuk setiap t; maka haruslah = 0; yang bermakna bahwa tidak ada solusi tak nol dalam bentuk (7) untuk sistem persamaan diferensial (5). Kita melihat bahwa persamaan (8) memuat suku te t ; dan juga e t : () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 / 6
Untuk mendapatkan solusi kedua, coba subtitusikan ke dalam (5), diperoleh x(t) = te t (7) te t + e t Ate t = 0: (8) Agar persamaan (8) berlaku untuk setiap t; maka haruslah = 0; yang bermakna bahwa tidak ada solusi tak nol dalam bentuk (7) untuk sistem persamaan diferensial (5). Kita melihat bahwa persamaan (8) memuat suku te t ; dan juga e t : Oleh karena itu kita bisa mencoba x(t) = te t + e t ; (9) dan subtitusikan ke dalam persamaan (5), kita peroleh: te t + ( + )e t = A(te t + e t ): (0) () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 / 6
Untuk mendapatkan solusi kedua, coba subtitusikan ke dalam (5), diperoleh x(t) = te t (7) te t + e t Ate t = 0: (8) Agar persamaan (8) berlaku untuk setiap t; maka haruslah = 0; yang bermakna bahwa tidak ada solusi tak nol dalam bentuk (7) untuk sistem persamaan diferensial (5). Kita melihat bahwa persamaan (8) memuat suku te t ; dan juga e t : Oleh karena itu kita bisa mencoba x(t) = te t + e t ; (9) dan subtitusikan ke dalam persamaan (5), kita peroleh: te t + ( + )e t = A(te t + e t ): (0) Dengan menyamakan koe sien-koe sien te t dan e t pada kedua ruas persamaan (0), diperoleh (A I) = 0 () () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 / 6
dan (A I) = : () Persamaan ( ) dipenuhi jika adalah vektor eigen yang berkaitan dengan nilai eigen r = : () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 3 / 6
dan (A I) = : () Persamaan ( ) dipenuhi jika adalah vektor eigen yang berkaitan dengan nilai eigen r = : Karena det(a I) = 0; maka persamaan () mungkin tidak dapat diselesaikan. () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 3 / 6
dan (A I) = : () Persamaan ( ) dipenuhi jika adalah vektor eigen yang berkaitan dengan nilai eigen r = : Karena det(a I) = 0; maka persamaan () mungkin tidak dapat diselesaikan. Namun demikian, persamaan () mungkin saja dapat diselesaikan untuk suatu vektor : () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 3 / 6
dan (A I) = : () Persamaan ( ) dipenuhi jika adalah vektor eigen yang berkaitan dengan nilai eigen r = : Karena det(a I) = 0; maka persamaan () mungkin tidak dapat diselesaikan. Namun demikian, persamaan () mungkin saja dapat diselesaikan untuk suatu vektor : Perhatikan matriks diperbesar (augmented) dari persamaan (): () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 3 / 6
dan (A I) = : () Persamaan ( ) dipenuhi jika adalah vektor eigen yang berkaitan dengan nilai eigen r = : Karena det(a I) = 0; maka persamaan () mungkin tidak dapat diselesaikan. Namun demikian, persamaan () mungkin saja dapat diselesaikan untuk suatu vektor : Perhatikan matriks diperbesar (augmented) dari persamaan (): Sistem ini dapat diselesaikan, karena kedua baris saling berkelipatan. Dari baris ke dua diperoleh: + = : () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 3 / 6
dan (A I) = : () Persamaan ( ) dipenuhi jika adalah vektor eigen yang berkaitan dengan nilai eigen r = : Karena det(a I) = 0; maka persamaan () mungkin tidak dapat diselesaikan. Namun demikian, persamaan () mungkin saja dapat diselesaikan untuk suatu vektor : Perhatikan matriks diperbesar (augmented) dari persamaan (): Sistem ini dapat diselesaikan, karena kedua baris saling berkelipatan. Dari baris ke dua diperoleh: + = : Jika diberikan = m maka = m: () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 3 / 6
dan (A I) = : () Persamaan ( ) dipenuhi jika adalah vektor eigen yang berkaitan dengan nilai eigen r = : Karena det(a I) = 0; maka persamaan () mungkin tidak dapat diselesaikan. Namun demikian, persamaan () mungkin saja dapat diselesaikan untuk suatu vektor : Perhatikan matriks diperbesar (augmented) dari persamaan (): Sistem ini dapat diselesaikan, karena kedua baris saling berkelipatan. Dari baris ke dua diperoleh: + = : Jika diberikan = m maka = m: Jadi dapat ditulis m 0 = = = m + m () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 3 / 6 :
Dengan mensubtitusikan dan ke dalam persamaan ( 9), diperoleh x(t) = te t 0 + + m e t = te t 0 + e t + m e t : (3) () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 4 / 6
Dengan mensubtitusikan dan ke dalam persamaan ( 9), diperoleh x(t) = te t 0 + + m e t = te t 0 + e t + m e t : (3) Suku m e t dalam persamaan ( 3) merupakan kelipatan dari x () (t) sehingga dapat diabaikan, tetapi dua suku pertama merupakan solusi baru: x () (t) = te t 0 + e t : () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 4 / 6
Dengan mensubtitusikan dan ke dalam persamaan ( 9), diperoleh x(t) = te t 0 + + m e t = te t 0 + e t + m e t : (3) Suku m e t dalam persamaan ( 3) merupakan kelipatan dari x () (t) sehingga dapat diabaikan, tetapi dua suku pertama merupakan solusi baru: x () (t) = te t 0 + e t : Karena Wronskian dari x () (t) dan x () (t) adalah h W x () ; x ()i (t) = e t te t e t te t e t = e4t 6= 0; maka x () dan x () membentuk himpunan solusi fundamental. () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 4 / 6
Oleh karena itu solusi umum adalah x(t) = c x () (t) + c x () (t) = c e t + c 0 t + e t : () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 5 / 6
Oleh karena itu solusi umum adalah x(t) = c x () (t) + c x () (t) = c e t + c 0 t + e t : Catatan: Vektor yang diperoleh dengan cara seperti persamaan () disebut sebagai vektor eigen diperumum yang berkaitan dengan nilai eigen r = : () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 5 / 6
Reduksi persamaan orde tinggi menjadi sistem orde. Contoh Diberikan persamaan diferensial linier orde 3 sebagai berikut:... x + 3x + 4 _x 5x = g(t); (4) x(0) = ; _x() = ; x (0) = : Ubah persamaan (4) menjadi sistem persamaan diferensial orde. Jawab. () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 6 / 6
Reduksi persamaan orde tinggi menjadi sistem orde. Contoh Diberikan persamaan diferensial linier orde 3 sebagai berikut:... x + 3x + 4 _x 5x = g(t); (4) x(0) = ; _x() = ; x (0) = : Ubah persamaan (4) menjadi sistem persamaan diferensial orde. Jawab. Misalkan y = x; y = _x; y 3 = x; maka _y = y _y = y 3 _y 3 = 5y 4y 3y 3 + g(t); yang dalam bentuk matriks dapat ditulis: () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 6 / 6