Suatu pemetaan dari himpunan A ke himpunan B disebut ungsi jika setiap anggota dari himpunan A dipetakan atau dikaitkan dengan tepat satu anggota dari himpunan B
Suatu Fungsi biasanya dinyatakan dengan huru tunggal, boleh huru kecil ataupun huru besarmisalnya, g, h, d, F, G, K, L, V dan sebagainya JikaadalahungsidariAkeB kitamenuliskan : A B yang artinyamemetakanakeb Adisebutdaerahasal(domain) daridanb disebut daerah hasil(codomain) dari.
DomainungsiditulisdengannotasiD Apabila tidak disebutkan maka disepakati bahwa domain ungsi adalah himpunan terbesar di dalam R sehingga terdeinisikan atau ada. { ( ) } D x x Himpunan semua anggota B yang mempunyai kawan di A dinamakan Range atau daerah hasil ungsi,ditulisr { ( ) } R x x D
Jika pada ungsi : A B,sebarang elemen x A mempunyai kawan y B, maka dikatakan y merupakan bayangan x oleh atau y merupakannilai ungsi di x danditulisy(x). Selanjutnya, x dan y masing-masing dinamakan variable bebas dan variabel tak bebas. Sedangkan y(x) disebut rumusungsi.
Tentukan domain dan range dari ungsi berikut: 1. ( x) x+ 3. 3. ( x) x 6 4. 5. ( x ) x 3 4 ( x) x x x ( ) 9
1. ( x) x+ 3 Untuk setiap x nilai dari ( x ) selalu ada dan ( x). D { x x }. dan R { y y } ( x) x Untuk setiap x nilai dari ( x ) selalu ada dan memiliki nilai positi ( ( x) + ) sehingga: D { x x } dan { + R } y y
3. ( x) x 6 Jika kita memasukan nilai x 1 maka (1) (1) 6 4 (tak terdeinisi), Karena akar hanya dideinisikan untuk bilangan yang lebih dari atau sama dengan nol. Jadi x 6 0 x 6 x 3. Jadi daerah asalnya dalah: D { x x 3, x } Daerah hasil diperoleh dengan cara memasukan R y y 0, y 0, ~ nilai x pada daerah asal. { } [ )
4. ( x) x 9 (x) akan terdeinisi jika bilangan dibawah tanda akar lebih dari atau sama dengan nol, sehingga x 9 0 ( x + 3)( x 3) 0-3 0 3 Dan nilai nilai x yang memenuhi pertidak samaan terakhir adalah x 3 atau x 3jadi daerah asalnya adalah D xx ataux. { 3 3} { 0, } [ 0, ~ ) R y y y
5. ( x ) x 3 4 Suatu pecahan akan terdeinisi jika penyebutnya tidak sama dengan nol. Jadi agar (x) terdeinisi maka x 4 0 x 4 sehingga: { 4} { 4 atau 4, } D xx xx < x > x 4 Nilai (x) tidak mungkin nol sehingga : { } R y y 0, y (, 0 ) (0, )
Carilah domain dan range dari ungsi: x ( ) 1 4x+ 3 Solusi: a. Mencaridomain Syarat agar ungsi tersebut terdeinisi adalah: 3 4x + 3 0 x 3 3 { 3 D,, } 4 4 4 4
b. Mencari Range (x) tidak mungkin bernilai nol, sehingga R R { 0} (,0) ( 0 ),
. Carilahdomain danrange dariungsi: x+ ( x) 3 x + 1 a. Mencari domain Syarat agar ungsi tersebut terdeinisi adalah: 3x+ 1 x 1 3 Sehingga 0 D t 1 1,, 3 3
b. Range ( x) y x+ 3x + 1 3 xy + y x + 3xy x x y ( 3y 1) y y x 3 y 1 Syarat ungsi tersebut terdeinisi, 3y 1 0 y Jadi R Atau 1 3 1 1,, 3 3 { 1} 3
Tentukan domain dan range dari ungsi-ungsi yang diberikan! a. ( x ) x + 3 d. ( x ) 4 x + 6 b. ( x ) 3x 9 c. ( x ) x 16 e. ( x ) x 5 3x 9
1. Fungsi polinom n ( x) a + ax+ a x +... a n x + -Fungsi konstan, 0 ( x) a0 -Fungsi linier, 1 ( x) a ax 1 0+ -Fungsi kuadrat, ( x) a + ax a + 0 1 x
. Fungsi Rasional Bentuk umum : p q ( x) ( x) contoh : ( x) x p(x), q(x) ungsi polinom dengan q(x) 0 ( x+ 1) 3 + x + 1 3. Fungsi harga/nilai mutlak Fungsi yang mengandung harga mutlak, contoh : ( x) 3x 1+ x
4. Fungsi bilangan bulat terbesar x Bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x 5 5 3, 3 1, 5. Fungsi Genap Disebut ungsi genap jika terhadap sumbu y ( x) ( x) dan graiknya simetris
Contoh : ( x) x ( x) x ( x ) cos ( x ) 6. Fungsi Ganjil Disebut ungsi ganjil jika simetris terhadap titik asal, contoh : ( x) sin( x) 3 ( x) x ( x) ( x) dan graiknya
7. Fungsi Komposisi Diberikan ungsi ( x) ( o g )( x ) ( ) ( x) dan g( x) g x ( og)( x) ( g( x) ), komposisi ungsi antara dan ditulis Domain dari adalah himpunan semua bilangan xdengan domain g ( x) sehingga g( x) di dalam D Syarat agar dua ungsi bisa dikomposisikan, terpenuhi R D g maka harus
R D g
Dengan cara yang sama, ( g o)( x) g( ( x) ) Syaratagar dua ungsi bisa dikomposisikan, terpenuhi R D g maka harus Domain dari komposisi ungsi dan g dideinisikan sbb : D D o g g o { x D ( ) } g g x D x D ( x) D { } g Sedangkan deinisi dari Range komposisi ungsikomposisi R R o g g o { y R y ( t) t R }, { y R y g( t) t R }, g g
1. Jika diketahui go dan o D [ 0, ) D g R [ 0, ) R (,1 ] ( x) x g( x) 1 x g R g R [ ) D g Tentukan beserta domain dan range-nya! Karena 0,, maka ungsi go terdeinisi ( go )( x) g ( x) ( ) g( x) x 1
a. Mencari Domain go { ( ) } D x D x D g o g { x [ 0, ) x } { } x 0 < < x { } x 0 0 x { x 0 0} x [ 0, ) [ 0 ) [ 0 ) x, x,
b. Mencari Range R g o R go Jadi go { y R ( ) } g y gt t R y (,1] y 1 t, t [ 0 ), { }, go y (, 1] (,1] y (,1] R
Karena o D g R g D ( 1] [ 0, ) terdeinisi dengan ( g)( x) c.domain o g( x) o g o g, [ ] ( ) ( 1 x ) { x D g( x) D } g { x 1 x [ 0, )} { x 1 x 0} { x 1 x 1} [ 1,1] 1,1 [ ] 0,1 1 x, maka ungsi
d. Range R o g og { y R y ( t) t R }, { [ ) ( ]} y 0, y t,,1 t { } y 0y t,0 1 t { y 0 0 1} y [ 0, ) [ 0,1] [ 0,1] g MA 1114 Kalkulus I
Tentukan og dan go beserta domain dan range-nya! a. ( x) x 5 dan gx ( ) x+ 3 b. ( x ) x 1 dan gx x ( ) + 4