METODE ELEMEN BATAS (MEB) UNTUK SOLUSI NUMERIK MASALAH STATIK DARI MATERIAL ELASTIS ISOTROPIK TAK-HOMOGEN

METODE ELEMEN BATAS (MEB) UNTUK SOLUSI NUMERIK MASALAH STATIK DARI MATERIAL ELASTIS ISOTROPIK TAK-HOMOGEN Mohammad Ivan Azis ) ABSTRACT A boundary element method is derived for the solution of static boundary value problems for inhomogeneous isotropic elastic materials. Some particular problems are considered to illustrate the application of the method. Keywords: Boundary Element Method, Static, Boundary Value Problem, Inhomogeneous, Isotropic, Elastic ) Dosen tetap pada Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Hasanuddin Makassar PENDAHULUAN Pendekatan persamaan integral untuk masalah nilai batas elastostatik sudah lama telah diperkenalkan oleh Rizzo (1967). Sejak saat itu sudah banyak penulis yang ikut menggunakan metode elemen batas untuk menentukan solusi numerik dari berbagai masalah statik untuk material elastis, isotropik dan homogen (lihat misalnya Brebbia dan Dominguez (1989)). Dalam pertentangan, applikasi dari metode elemen batas ke masalah untuk material elastis isotropik tak-homogen sangat terbatas jumlahnya dan hal ini disebabkan oleh karena kesulitan dalam memperoleh 1

fungsi Green sebagai kernel dari persamaan integral batas yang bersesuaian. Baru-baru ini Manolis and Shaw (1996) menurunkan suatu fungsi Green dari persamaan gelombang vektor untuk media isotropik heterogen lemah (mildly heterogeneous). Fungsi Green ini diturunkan untuk material dengan parameter yang bervariasi secara tertentu dan secara khusus terbatas untuk kasus dimana parameter Lamé λ dan µ sama. Hal ini berarti nilai ratio Poisson s adalah 0, 25 yang membatasi applikasi. Tetapi seperti yang Manolis dan Shaw (1996) katakan nilai ratio Poisson s ini adalah biasa untuk material batuan (lihat Turcotte dan Schubert (1982)). Tulisan ini mengembangkan kerja Manolis dan Shaw (1996) untuk membangun suatu prosedur perturbasi untuk menentukan solusi masalah statik dua dimensi untuk media isotropik tak-homogen dengan parameter Lamé λ(x) = λ (0) g(x) + ɛλ (1) (x), µ(x) = µ (0) g(x) + ɛµ (1) (x), dimana x = (x 1, x 2, x 3 ) adalah suatu vektor di R 3, g(x) suatu fungsi yang memenuhi batasan tertentu, λ (0) = µ (0) adalah konstanta dan ɛ suatu parameter kecil. Dalam batasan ini, bentuk parameter Lamé di atas menawarkan pilihan keberagaman parameter λ(x) dan µ(x) yang cukup luas. PERSAMAAN DASAR Dengan merujuk pada kerangka Cartesian Ox 1 x 2 x 3 persamaan kesetimbangan (the equilibrium equations) dalam suatu material elastis tanpa gaya badan (body force) dapat ditulis dalam bentuk σ ij,j = 0, (1) dimana σ ij untuk i, j = 1, 2, 3 melambangkan tensor stress, tanda koma terindeks mengindikasikan turunan parsial terhadap kordinat 2

spasial x j dan konvensi penjumlahan indeks berulang (jumlahan dari 1 sampai 3) diterapkan. Hubungan displacement-stress dapat dituliskan sebagai σ ij = λ(x) δ ij u k,k + µ(x) (u i,j + u j,i ), (2) dimana u k untuk k = 1, 2, 3 menyatakan displacement dan δ ij adalah operator delta Kronecker. Juga dalam Pers. (2) λ(x) dan µ(x) dengan x = (x 1, x 2, x 3 ) adalah parameter Lamé yang diasumsikan fungsi yang punya turunan kedua (twice differentiable). Substitusi Pers. (2) ke Pers. (1) menghasilkan [λ(x) δ ij u k,k + µ(x) (u i,j + u j,i )],j = 0. (3) MASALAH NILAI BATAS Suatu material isotropik tak-homogen berada pada daerah Ω dalam ruang tiga dimensi R 3 dengan batas Ω yang terdiri atas sejumlah berhingga permukaan tertutup dan mulus (smooth) bagian demi bagian. Pada Ω 1 displacement u i ditentukan dan pada Ω 2 vektor stress P i = σ ij n j diketahui dimana Ω = Ω 1 Ω 2 dan n = (n 1, n 2, n 3 ) melambangkan vektor normal satuan mengarah keluar pada permukaan Ω. Dikehendaki untuk menentukan displacement dan stress dalam material. Dengan demikian solusi untuk Pers. (3) yang berlaku dalam domain Ω dan memenuhi syarat batas pada Ω akan dicari. PENURUNAN PERSAMAAN DENGAN KOFI- SIEN KONSTAN Dalam pasal ini prosedur yang dikembangkan dalam Manolis dan Shaw (1996) dipakai untuk menurunkan suatu metode persamaan integral batas untuk kelas kofisien λ(x) and µ(x) tertentu. Penurunan ini diperoleh dengan memperkenalkan suatu transformasi dari peubah 3

tak-bebas u i (x) untuk mentransformasikan Pers. (3) ke suatu persamaan dengan kofisien konstan. Kofisien λ(x) dan µ(x) disyaratkan mengikuti bentuk λ(x) = λ (0) g(x), µ(x) = µ (0) g(x), (4) dimana λ (0) dan µ (0) konstan. Misalkan ψ i (x) = g 1/2 (x) u i (x) (5) Substitusi Pers. (4) dan Pers. (5) ke dalam Pers. (3) menghasilkan g [ 1/2 λ (0) δ ij ψ k,k + µ (0) (ψ i,j + ψ j,i ) ],j [ λ (0) ψ k g 1/2,ki + µ (0) ψ i g 1/2,jj + µ (0) ψ j g 1/2 ],ij ( λ (0) µ (0)) [ ] 1 2 g 1/2 [g,k ψ k,i g,i ψ k,k ] = 0. (6) Jika g(x) diasumsikan memiliki bentuk g(x) = (αx 1 + βx 2 + γx 3 + δ) 2, (7) dimana α, β, γ dan δ adalah konstanta dan λ (0) = µ (0), (8) sehingga λ(x) = µ (0) (αx 1 + βx 2 + γx 3 + δ) 2 = µ(x) maka Pers. (6) dapat ditulis sebagai [ λ (0) δ ij ψ k,k + µ (0) (ψ i,j + ψ j,i ) ],j = 0 (dengan λ(0) = µ (0) ). (9) Dengan kata lain, jika ψ i adalah solusi displacement dari persamaan kesetimbangan untuk material isotropik homogen dengan konstanta 4

Lamé λ (0) dan µ (0) maka solusi bersesuaian dari persamaan kesetimbangan untuk material elastis isotropik tak-homogen dengan parameter Lamé λ(x) dan µ(x) yang diberikan dalam bentuk multiparameter Pers. (4) dapat ditulis, dari Pers. (5), dalam bentuk u i (x) = g 1/2 (x) ψ i (x) = (αx 1 + βx 2 + γx 3 + δ) 1 ψ i (x). Tensor stress diperoleh dari Pers. (2) diberikan oleh dimana σ ij = ψ k σ [g] ijk + g1/2 σ [ψ] ij σ [g] ijk = λ (0) δ ij (g 1/2 ),k + µ (0) [ δ ki (g 1/2 ),j + δ kj (g 1/2 ),i ], σ [ψ] ij = λ (0) δ ij ψ k,k + µ (0) (ψ i,j + ψ j,i ) dan vektor stress dimana P [g] ik P i = ψ k P [g] ik = σ[g] ijk n j, + g1/2 P [ψ] i, (10) P [ψ] i = σ [ψ] ij n j. (11) Persamaan integral batas untuk solusi Pers. (9) dengan ψ i diberikan pada Ω 1 dan P [ψ] i diberikan pada Ω 2 diberikan dalam Brebbia dan Dominguez (1989) dalam bentuk η ψ j (x 0 ) = Ω [ Φij P [ψ] i Γ ij ψ i ] ds. (12) dimana x 0 adalah titik sumber, η = 0 jika x 0 / Ω Ω, η = 1 jika x 0 Ω dan η = 1 jika x 2 0 Ω dan Ω memiliki tangen membelok 5

secara kontinyu pada x 0. Juga untuk kasus tiga dimensi 1 Φ ij = 16πµ (0) (1 ν)d [(3 4ν)δ ij + d,i d,j ], (13) 1 Γ ij = 8π(1 ν)d 2 [ ] d n {(1 2ν)δ ij + 3d,i d,j } + (1 2ν) (n i d,j n j d,i ) (14) dan untuk kasus dua dimensi 1 Φ ij = [(3 4ν) log 1 ] 8πµ (0) (1 ν) d δ ij + d,i d,j, (15) 1 Γ ij = 4π(1 ν)d [ ] d n {(1 2ν)δ ij + 2d,i d,j } + (1 2ν) (n i d,j n j d,i ), (16) dimana d = x x 0, ν = λ (0) /(2(µ (0) + λ (0) )) dan d/ n = d,k n k. Substitusi Pers. (5) dan Pers. (10) dalam Pers. (12) menghasilkan [( ) ηg 1/2 (x 0 )u j (x 0 ) = g 1/2 Φ ij Pi ( g 1/2 Γ kj P [g] ki Φ ] ij) uk ds. Ω (17) Persamaan integral batas ini dapat dipakai untuk penentuan solusi u i dan σ ij pada semua titik dalam domain Ω. METODE PERTURBASI Prosedur elemen batas yang disebutkan dalam pasal sebelumnya menawarkan metode numerik efektif untuk penentuan solusi u i (x) pada saat g(x) memiliki bentuk Pers. (7) dan parameter λ (0) dan µ (0) memenuhi Pers. (8). Pada pasal ini suatu prosedur baru ditemukan untuk kasus pada saat kofisien λ(x) dan µ(x) diganggu sedikit 6

(perturbed) di sekitar λ (0) g(x) dan µ (0) g(x) sementara Pers. (7) dan Pers. (8) tetap dipertahankan. Kofisien λ(x) dan µ(x) disyaratkan mengambil bentuk dengan λ(x) = λ (0) g(x) + ɛλ (1) (x), (18) µ(x) = µ (0) g(x) + ɛµ (1) (x), (19) λ (0) = µ (0) and g 1/2,ij = 0 dimana λ (1) dan µ (1) fungsi yang memiliki turunan kedua. Sehingga dari Pers. (3) [ g { λ (0) δ ij u k,k + µ (0) (u i,j + u j,i ) }],j = ɛ [ λ (1) δ ij u k,k + µ (1) (u i,j + u j,i ) ],j. (20) Penggunaan transformasi (5) dan mengikuti analisis yang digunakan untuk menurunkan Pers. (6) dari Pers. (3) menghasilkan [ λ (0) δ ij ψ k,k + µ (0) (ψ i,j + ψ j,i ) ],j = ɛg 1/2 [ λ (1) δ ij u k,k + µ (1) (u i,j + u j,i ) ],j. (21) Solusi dari Pers. (21) dicari dalam bentuk ψ i (x) = r=0 ɛ r ψ (r) i (x). (22) Dari Pers. (5) dan Pers. (22) displacement u k dapat dituliskan dalam bentuk deret u k (x) = ɛ r u (r) k (x), (23) r=0 7

dimana u (r) k berkorespondensi dengan ψ (r) k menurut relasi ψ (r) k (x) = g1/2 u (r) (x), untuk r = 0, 1,.... (24) k Substitusi Pers. (22) ke dalam Pers. (21) dan menyamakan kofisien dari suku-suku dalam ɛ berpangkat menghasilkan [ λ (0) δ ij ψ (r) k,k + ( µ(0) ψ (r) i,j + ψ (r) )] j,i =,j h(r) untuk r = 0, 1,..., (25) dimana h (0) (x) = 0, (26) h (r) (x) = g 1/2 [ λ (1) δ ij u (r 1) k,k untuk r = 1, 2,.... + µ (1) (u (r 1) i,j Persamaan integral untuk Pers. (25) adalah η(x 0 ) ψ (r) j (x 0 ) = + Ω untuk r = 0, 1,..., dimana P [ψ(r) ] i Ω [ Γ ij (x, x 0 ) ψ (r) + u (r 1) j,i ) ],j i (x) Φ ij (x, x 0 ) P [ψ(r) ] i ] (x) (27) ds(x) h (r) i (x) Φ ij (x, x 0 ) ds(x) (28) = [ λ (0) δ ij ψ (r) k,k + µ(0) ( ψ (r) i,j + ψ (r) j,i )] nj. Juga dimana P [ψ(r) ] i = g 1/2 P (r) i + u (r) k P [g] ik untuk r = 0, 1,..., (29) P (r) i (x) = [ λ (0) δ ij u (r) k,k + ( µ(0) u (r) i,j + u (r) )] j,i nj, (30) 8

dan P [g] ik diberikan dalam Pers. (11). Sehingga persamaan integral (28) dapat ditulis dalam bentuk η(x 0 ) g 1/2 (x 0 ) u (r) { (r) j (x 0 ) = u i (x) [ g 1/2 (x) Γ ij (x, x 0 ) Ω P [g] ki (x) Φ kj(x, x 0 ) ] P (r) i (x) [ g 1/2 (x) Φ ij (x, x 0 ) ]} ds(x) + Ω h (r) i (x) Φ ij (x, x 0 ) ds(x). (31) Nilai P i dapat ditulis sebagai dimana P i = gp (0) i + r=1 ɛ r (gp (r) i + G (r) i ), (32) G (r) i (x) = [ λ (1) δ ij u (r 1) k,k + µ (1) (u (r 1) i,j + u (r 1) j,i ) ] n j. Untuk memenuhi syarat batas seperti yang disebutkan dalam pasal sebelumnya disyaratkan bahwa u (0) P (0) i = u i pada Ω 1, i = g 1 P i pada Ω 2, dimana u i mengambil nilai tetapannya pada Ω 1 dan P i mengambil nilai tetapannya pada Ω 2. Akibatnya, bahwa untuk r = 1, 2,... dari Pers. (23) dan Pers. (32) diperoleh u (r) P (r) i i = 0 pada Ω 1, = g 1 G (r) i pada Ω 2 Sekarang, persamaan integral (31) dapat digunakan untuk menentukan nilai numerik dari anu (unknowns) pada batas Ω dan nilai 9

numerik dari u (r) i dan turunannya dalam domain Ω untuk r = 0, 1,.... Pers. (23) dan Pers. (32) kemudian memberikan nilai u i dan P i di seluruh domain Ω. HASIL NUMERIK Dalam pasal ini beberapa masalah renggangan bidang (plane strain) akan diselesaikan secara numerik dengan menggunakan persamaan integral yang diperoleh pada pasal sebelumnya. Dalam pemakaian metode ini untuk memperoleh hasil numerik prosedur elemen batas baku digunakan (lihat misalnya Clements (1981)). Untuk variasi parameter elastisitas terpilih ruas kanan dari Pers. (27) dianggap sangat kecil sehingga hanya perlu untuk mempertahankan dua suku pertama dari ekspresi deret Pers. (23). Untuk semua masalah yang diperhatikan domain Ω berupa suatu bujur sangkar bersisi l dan masing-masing sisi dari bujur sangkar itu dibagi menjadi sejumlah M (kelipatan dari 5) segmen dengan panjang sama. Integral numerik Gaussian dipakai untuk penghitungan integral garis pada setiap segmen. Sedangkan untuk integral domain dalam Pers. (31) domain dibagi atas sejumlah M 2 sel bujur sangkar yang sama dan fungsi yang diintegralkan (integrand) diasumsikan konstan dan mengambil nilainya pada titik pusat dari setiap sel. Tetapi, nilai dari solusi iterasi sebelumnya u (r 1) i beserta turunannya dalam Pers. (27) dihitung hanya pada sejumlah 5 5 titik pusat dari bujur sangkar bagian bersisi l/5 dan diasumsikan konstan di dalam setiap bujur sangkar bagian itu. Dengan kata lain nilai u (r 1) i beserta turunannya dalam suatu bujur sangkar bagian tertentu adalah sama untuk sejumlah (M/5) 2 sel yang termuat dalam bujur sangkar bagian itu. Problem 1 Perhatikan masalah nilai batas yang memenuhi solusi analitik u 1 = x 1/[4.4(1 + 0.1x 1)], u 2 = x 2/[4.4(1 + 0.1x 1)] dan σ 11 = 10

1 + 0.12x 1, σ 12 = 0.1x 2/4.4, σ 22 = 1 + 0.32x 1 untuk suatu material dengan kofisien elastisitas λ (x) = 1.2(1 + 0.1x 1) 2, (33) µ (x) = (1 + 0.1x 1) 2, (34) dimana x i = x i /l, u i = u i /u, σ ij = σ ij /P (untuk i, j = 1, 2), λ = λ/λ, µ = µ/λ, l, λ dan u masing-masing adalah panjang, modulus elastis dan displacement rujukan, serta P = λu/l. Kofisien elastisitas Pers. (33) dan Pers. (34) memiliki bentuk Pers. (18) dan Pers. (19) dengan g(x) = (1 + 0.1x 1) 2, λ (0) = µ (0) = λ, λ (1) = λ(1 + 0.1x 1) 2, µ (1) = 0 dan ɛ = 0.2. Syarat batasnya (lihat Gambar 1) adalah dimana P i = P i /P. P 1 dan u 2 diketahui pada AB, P 1 dan P 2 diketahui pada BC, P 1 dan u 2 diketahui pada CD, u 1 dan u 2 diketahui pada AD, Tabel 1 2 memperlihatkan solusi eksak dan MEB untuk beberapa titik dalam domain dan untuk kasus dimana batas domain dibagi atas 80, 160 dan 320 segments. Hasil dalam tabel konvergen ke solusi eksak sejalan dengan bertambahnya jumlah segmen. Hal ini sesuai dengan apa yang diharapkan, karena semakin kecil ukuran segmen semakin akurat nilai integral numerik. Khusus untuk kasus 320 segmen solusi displacement memperlihatkan keakuratan sampai pada desimal keempat, dan solusi stress pada desimal ketiga. Problem 2 Perhatikan masalah nilai batas untuk suatu material bujur sangkar tak homogen yang diberi beban dari atas dan terklem pada bagian bawah serta dibiarkan bebas pada sisi kiri dan kanan, seperti 11

x 2 (0, 1) D P 1, u 2 diketahui C u 1, u 2 diketahui P 1, P 2 diketahui A P 1, u 2 diketahui B x 1 (1, 0) Gambar 1: Geometri untuk Problem 1 Tabel 1: Solusi MEB dan eksak untuk σ ij dari Problem 1 Posisi 80 segmen 160 segmen (x 1, x 2) σ 11 σ 12 σ 22 σ 11 σ 12 σ 22 (.1,.5).9967 -.0124 1.0063.9997 -.0127 1.0055 (.3,.5) 1.0027 -.0122 1.0223 1.0043 -.0122 1.0214 (.5,.5) 1.0093 -.0124 1.0377 1.0106 -.0124 1.0365 (.7,.5) 1.0165 -.0124 1.0528 1.0173 -.0123 1.0516 (.9,.5) 1.0241 -.0125 1.0698 1.0209 -.0109 1.0696 Posisi 320 segmen Eksak (x 1, x 2) σ 11 σ 12 σ 22 σ 11 σ 12 σ 22 (.1,.5).9997 -.0130 1.0060 1.0027 -.0114 1.0073 (.3,.5) 1.0052 -.0121 1.0208 1.0082 -.0114 1.0218 (.5,.5) 1.0112 -.0122 1.0359 1.0136 -.0114 1.0364 (.7,.5) 1.0174 -.0122 1.0511 1.0191 -.0114 1.0509 (.9,.5) 1.0213 -.0134 1.0673 1.0245 -.0114 1.0655 12

Tabel 2: Solusi MEB dan eksak untuk u i dari Problem 1 Posisi 80 segmen 160 segmen 320 segmen Eksak (x 1, x 2) u 1 u 2 u 1 u 2 u 1 u 2 u 1 u 2 (.1,.5).0217.1124.0220.1124.0222.1124.0225.1125 (.3,.5).0650.1102.0655.1102.0657.1102.0662.1103 (.5,.5).1067.1081.1073.1081.1076.1081.1082.1082 (.7,.5).1469.1062.1476.1062.1479.1062.1487.1062 (.9,.5).1857.1044.1864.1044.1867.1044.1877.1043 terlihat pada Gambar 2. Material ini memiliki kofisien elastisitas λ (x) = 1.5(1 + αx 1 + βx 2) 2, (35) µ (x) = (1 + αx 1 + βx 2) 2. (36) Kofisien elastisitas pada Pers. (35) dan Pers. (36) memiliki bentuk Pers. (18) dan Pers. (19) dengan g(x) = (1+αx 1+βx 2) 2, λ (0) = µ (0) = λ, λ (1) = λ(1 + αx 1 + βx 2) 2, µ (1) = 0 dan ɛ = 0.5. Bila λ = 2.49 10 3 ksi maka material yang diperhatikan adalah magnesium alloy. Kordinat titik sudut material ini adalah A(-0.5,-0.5), B(0.5,-0.5), C(0.5,0.5) dan D(-0.5,0.5), dan syarat pada batas adalah u 1 = 0, u 2 = 0, pada AB, P 1 = 0, P 2 = 0, pada BC, P 1 = 0, P 2 = 1, pada CD, P 1 = 0, P 2 = 0, pada AD. Empat kasus yang diperhatikan menyangkut kofisien keelastikan material λ dan µ yaitu kasus material homogen (α = β = 0) dan tiga kasus material tak-homogen (α = 0, β = 0.1; α = 0.1, β = 0; α = 0.1, β = 0.1). 13

D(-.5,.5) C(.5,.5) x 2 x 1 A(-.5,-.5) B(.5,-.5) Gambar 2: Geometri untuk Problem 2 Gambar 3 dan 4 memperlihatkan hasil deformasi sisi material dan sisi daerah 0.25 x 1 0.25, 0.25 x 2 0.25 dalam material. Dari kedua gambar ini dapat disimpulkan bahwa fungsi ketakhomogenan g sangat mempengaruhi hasil deformasi. Dalam hal ini peningkatan nilai fungsi ketakhomogenan g akan meningkatkan nilai kofisien keelastikan khususnya rigiditas µ. Sistem kordinat baru X i dalam Gambar 3 dan 4 adalah sistem untuk material hasil deformasi. Dalam hal ini variabel kordinatnya didefinisikan sebagai X i = x i + u i untuk i = 1, 2. SUMMARY Metode elemen batas untuk solusi suatu kelas masalah nilai batas untuk material isotropik tak-homogen telah berhasil ditemukan. Metode ini cukup mudah digunakan untuk memperoleh solusi nu- 14

0.2 0.1 X 2 0-0.1-0.2-0.3-0.4 α = 0.0, β = 0.0 α = 0.0, β = 0.1 α = 0.1, β = 0.0 α = 0.1, β = 0.1-0.5-0.6-0.4-0.2 0 0.2 0.4 0.6 X 1 Gambar 3: Hasil deformasi sisi material X 2 0-0.05-0.1-0.15-0.2-0.25-0.3 α = 0.0, β = 0.0 α = 0.0, β = 0.1 α = 0.1, β = 0.0 α = 0.1, β = 0.1-0.35-0.3-0.2-0.1 0 0.1 0.2 0.3 X 1 Gambar 4: Hasil deformasi sisi daerah 0.25 x 1 x 2 0.25 dalam material 0.25, 0.25 15

merik dari suatu masalah tertentu. Hasil numerik yang telah diperoleh mengindikasikan bahwa metode ini mampu memberikan solusi yang akurat. DAFTAR RUJUKAN Brebbia, C. A. dan Dominguez, J., (1989), Boundary Elements An Introductory Course, Computational Mechanics Publications, Boston. Clements, D. L., (1981), Boundary Value Problems Governed by Second Order Elliptic Systems, Pitman. Manolis, R. P. dan Shaw, R. P., (1996), Green s function for the vector wave equation in a mildly heterogeneous continuum, Wave Motion, Volume 24, Halaman 59 83. Rizzo, F. J., (1967), An Integral Equation Approach to Boundary Value Problems of Classical Elastostatics. Quarterly of Applied Mathematics, Volume 25, Halaman 83 95. Turcotte, D. L. dan Schubert, P., (1982), Geodynamic Applications of Continuum Physics to Geological Problems, Wiley, New York. 16