Kemudian, diterapkan pengortonormalan terhadap x 2 dan x 3 pada persamaan (1), sehingga diperoleh
|
|
- Teguh Pranata
- 6 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 SOLUSI VAKUM PERSAMAAN MEDAN EINSTEIN UNTUK BENDA SIMETRI AKSIAL STASIONER MENGGUNAKAN PERSAMAAN ERNST Aldytia Gema Sukma 1, Drs. Bansawang BJ, M.Si, Dr. Tasrief Surungan, M.Sc 3 Universitas Hasanuddin, Indonesia Abstrak. Telah diperoleh solusi vakum persamaan medan gravitasi Einstein simetri aksial stasioner. Solusi ini diperoleh dengan penelusuran tensor Ricci dari metric Lewis-Papapetrou. Persamaan yang diperoleh selanjutnya diselesaikan menggunakan metode Ernst dengan potensial Ernst orde pertama sehingga didapatkan metrik Kerr. Sebagai pelengkap, disajikan pula metrik Kerr dalam koordinat Boyer-Lindquist, persamaan geodesik dan gambaran horison peristiwa dalam kasus lubanghitam Kerr untuk m > a. Kata Kunci: medan gravitasi Einstein, persamaan Ernst, simetri aksial stasioner, geodesik. I. PENDAHULUAN Penelitian yang dilakukan ini merupakan penelusuran kembali solusi vakum persamaan medan Einstein simetri aksial stasioner. Pencarian solusi dilakukan dengan memilih jalan penelusuran tensor Ricci dari metrik Lewis sampai kepada tensor Ricci dari metrik Papapetrou, untuk kemudian diselesaikan persamaan medannya dengan menggunakan persamaan Ernst. II. METRIK LEWIS-PAPAPETROU DAN PERSAMAAN MEDAN VAKUMNYA Karakteristik metrik dari ruangwaktu simetri aksial stasioner mengharuskan adanya koefisien metrik yang tidak bergantung terhadap t (waktu) dan ϕ (azimuth), dalam hal ini diperkenalkan g μν = g μν (x,x 3 ) dengan x dan x 3 merupakan dua koordinat spasial. Elemen garis berdasarkan metrik tersebut ditulis sebagai = g 00 (dx o ) g 01 dx 0 dx 1 g 11 (dx 1 ) g (dx ) g 3 dx dx 3 g 33 (dx 3 ) (1) Kemudian, diterapkan pengortonormalan terhadap x dan x 3 pada persamaan (1), sehingga diperoleh = g 00 (dx o ) g 01 dx 0 dx 1 g 11 (dx 1 ) ±e μ [(dx ) (dx 3 ) ] () dengan μ merupakan fungsi dari x dan x 3 [1]. Persamaan () dapat ditulis kembali dalam bentuk [] = A(dt) B dt dφ C(dφ) e μ (dx ) e μ 3 (dx 3 ) (3) dengan menampakkan sumbu azimut dan temporal, serta pemilihan ansatz berbeda pada dx dan dx 3. Persamaan (3) dikenal sebagai elemen garis Lewis. Jika dilakukan pemilihan koordinat silinder kanonik x = dan x 3 = z pada persamaan (3), kemudian dilakukan transformasi A = f, B = ωf, C = fω dan μ = μ 3 = γ 1 f ln(f)[3], dan selanjutnya dikenakan syarat vakum, maka akan diperoleh bentuk tensor Ricci dari metrik Papapetrou. Penerapan beberapa aljabar sederhana pada tensor Ricci
2 metrik Papapetrou, menghasilkan persamaan medan vakum Papapetrou f ( f z f 1 f4 f) [( ω) ( z ω) ] ( z f) ( f) = 0 f ( ω z ω 1 ω) ( f ω z f z ω) = 0 z γ = f f f zf ω z ω γ = 4f [( f) ( z f) ] f 4 [( ω) ( z ω) ] (4) III. PERSAMAAN ERNST Metode Ernst merupakan salah satu metode yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan (4) yakni persamaaan differensial non-linier, dengan membawa fungsi potensial f, ω, γ ke dalam bentuk potensial kompleksnya. Dari salah satu persamaan (4) dapat diperloleh bentuk f ω = 0 (5) dengan dalam koordinat silinder. Diperkenalkan vektor A yang memenuhi hubungan f ω = A (6) yang mana ω orthogonal terhadap azimutal (φ ). Melalui hubungan persamaan (5) dan (6) diperoleh ( A) φ = 0 (7) yang memberikan syarat A z z A = 0 sehingga A z = z A (8) yang mana persamaan (8) mengharuskan munculnya sebuah fungsi F(, z, φ) yang memberikan A = F dan A z = z F (9) Subtitusi persamaan (9) ke dalam persamaan (7), diperoleh jalinan persamaan A = [ 1 ( φ z F z A φ )] z [ 1 ( A φ φ F)] (10) Diperkenalkan fungsi potensial baru dengan definisi Ω φ F A φ yang selanjutnya disubtitusikan ke dalam persamaan (10), Sehingga dari persamaan (10) tersebut diperoleh bentuk persamaan (6) ( ω ẑ z ω) = f ( z Ω z Ω) (11) Hubungan ruas kiri dan ruas kanan persamaan (11) memberikan hubungan z Ω = f ω dan Ω = f zω (1) Persamaan (4) bagian satu dan dua dapat ditulis kembali berdasarkan persamaan (1) dengan ekspresi f f f f Ω Ω = 0 (13) f Ω ( f Ω) = 0 (14) dengan dan adalah operator gradien dan operator Laplacian dimensi dalam koordinat silinder. Mengalikan persamaan (14) dengan bilangan imaginer, didapatkan if Ω i( f Ω) = 0 (15) Penjumlahan persamaan (13) dan (15) menghasilkan f f if Ω = f f Ω Ω i( f Ω) (16) Diperkenalkan suatu fungsi potensial kompleks Ԑ (, z) dengan definisi [13] Ԑ f iω (17) Penerapan persamaan (17) ke dalam persamaan (16) memberikan
3 (ReԐ) Ԑ = Ԑ Ԑ (18) Persamaaan (18) dikenal sebagai persamaan Ernst. Selanjutnya diperkenalkan potensial kompleks baru ξ(, z) melalui transformasi Mobius untuk memperoleh bentuk alternatif persamaan Ernst, yakni: Ԑ = ξ1 ξ1 (19) Mensubtitusi persamaan (19) ke dalam persamaan (18) diperoleh (ξξ 1) ξ = ξ ξ ξ (0) dengan ξ merupakan kompleks konjugat ξ [4]. IV. ANZATS PAPAPETROU DALAM POTENSIAL ERNST Dari persamaan (17) dan (19) diperoleh jalinan f iω = ξ1 ξ1 (1) Berdasarkan persamaan (1), diperoleh f dan Ω dalam potensial Ernst sebagai berikut. f = Ω = ξξ 1 (ξ1)(ξ 1) ξξ i(ξ1)(ξ 1) () (3) Mensubtitusi persamaan () dan (3) ke dalam persamaan (1) diperoleh ω = [ z ξ(ξ 1) z ξ (ξ1) ] i(ξξ 1) (4) z ω = [ ξ(ξ 1) ξ (ξ1) ] i(ξξ 1). (5) Mensubtitusi persamaan (), (3), (4) dan (5) ke dalam persamaan (4) diperoleh γ = (ξξ 1) { ξ ξ z ξ z ξ } (6) z γ = (ξξ 1) { ξ z ξ ξ z ξ} (7) Sumber medan gravitasi yang ditinjau merupakan benda berbentuk elipsoid yang berotasi stasioner, sehingga persamaan Ernst lebih mudah diselesaikan dalam koordinat spheroidal. Untuk itu dipilih koordinat prolate spheroidal (x,y) = k(x 1) 1 (1 y ) 1 (8) z = kxy (9) Dengan membawa persamaan (0) ke dalam koordinat prolate spheroidal berdasarkan persamaan (8) dan (9) diperoleh (ξξ 1)[(x 1) x ξ x x ξ (1 y ) y ξ y y ξ] = ξ [(x 1)( x ξ) (1 y )( y ξ) )] (30) Kemudian, pemilihan parameter ξ = e iα coth ψ (31) pada persamaan (30) dengan α sebagai konstanta dan ψ = ψ(x, y), memberikan persamaan Laplace ψ = 0 (3) Penerapan separasi variabel terhadap persamaan (3) memberikan dua persamaan Legene (x 1) d X dx dx x l(l 1)X = 0 (33) dx (x 1) d X dx dx x l(l 1)X = 0 (34) dx dengan solusi untuk l = 0 yakni ψ = a 0 ln (x1 ) (35) x1 yang mana a 0 merupakan parameter deformasi. Dengan menerapkan syarat limit medan lemah dan mensubtitusi persamaan (35) ke dalam persamaan (31), kemudian dipilih a 0 = 1 maka diperoleh solusi kombinasi linier yang memenuhi persamaan (30), yakni ξ = px iqy (36) dengan p dan q merupakan konstanta yang memenuhi hubungan p q = 1. [3] V. METRIK KERR Sajian persamaan (), (4), (5), (6) dan (7) dalam koordinat prolate
4 speroidal dengan potensial (36) adalah f = p x q y 1 (px1) q y (37) dω dx dω ) ((px 1) q y ) kq (1y = (38) (p x q y 1) 1)(px 1) = 4kpqy(x (39) dy (p x q y 1) dγ dx = x(1 y ) (p x q y 1)(x y ) dγ = y(x 1) dy (p x q y 1)(x y ) (40) (41) Kemudian, dilakukan pengintegralan pada persamaan (38), maka diperoleh potensial ω ω = kq(1y )(px1) (4) p(p x q y 1) Selanjutnya, dengan mengintegralkan persamaan (40) diperoleh e γ = C p x q y 1 (43) x y Untuk x dan y diperoleh konstanta integrasi C = 1 p sehingga persamaan (43) menjadi e γ = p x q y 1. (44) p (x y ) Selanjutnya, dilakukan transformasi pada persamaan (3) melalui hubungan (8) dan (9), kemudian mensubtitusi persamaan (37), (4) dan (44) pada metrik (3), maka diperoleh = p x q y 1 [dt (px1) q y kq(1y )(px1) dφ] p(p x q y 1) (px1) q y x q y 1 p x q y 1 {p [( x y p (x y ) ( x y 1y ) k dy ] k (x 1)(1 x 1 ) k dx y )dφ } (45) yang mana persamaan (4.10) merupakan metrik Kerr dalam koordinat prolate spheriodal (t, φ, x, y). Ekspresi ruangwaktu Kerr dalam koordinat Boyer-Lindquist (t, φ, r, θ) (bentuk standar metrik Kerr) diperoleh dengan mentransformasi persamaan (45) melalui hubungan t = t, φ = φ, px = r m 1 dan qy = a cos θ dengan p = k, q = a m m m, k = (m a ) 1 r m, x = dan y = cos θ, sehingga diperoleh = (1 mr (m a ) 1 ) (dt mra sin θ mr mr sin θ dφ dφ) dθ (46) dengan r a cos θ, r mr a. Jika dipilih a = 0 pada persamaan (4.1), maka diperoleh = (1 m ) r (dt) r sin θ dφ (1 m r )1 r dθ (47) yang mana persamaan (47) merupakan metrik Scwarzschild untuk solusi vakum medan gravitasi statik simetri bola [1]. Perbedaan antara metrik Scwarzschild dan metrik Kerr terletak pada rotasi dari sumber medan gravitasi. Untuk itu dapat diidentifikasi bahwa a pastilah merupakan parameter momentum sudut. VI. GEODESIK KERR Persamaan geodesik yang menggambarkan perilaku gerak dari partikel uji di sekitar ruangwaktu Kerr diperoleh melalui persamaan d x α Γ μν α dxμ dx ν = 0[6], sehingga berdasarkan persamaan (46) diperoleh geodesik Kerr : - Untuk x α = x 0 = t diperoleh d t m sin θ (r a cos θ) [(r a mr a sin θ ) r a cos θ (r a cos θ) mr a sin θ r a cos θ (a cos θ r )] dt 4mr a sin 3 θ cos θ (r a cos θ) [ (r a mr a sin θ r a cos θ ) mr ( a sin θ r a cos θ
5 1)] dt dθ 4 ma sin θ (r a cos θ) [r 4mr a sin θ mr a sin θ (r a cos θ) r a cos θ a cos θr r a cos θ (r a mr a sin θ dφ )] r a cos θ 4mr a 3 sin 5 θ cos θ (mr (r a cos θ) r dθ = 0 a ) dφ - Untuk x α = x 1 = φ diperoleh d φ ma sin θ [ a cos θr dt (r a cos θ) ] 4mra sin θ cosθ sin θmr (r a cos θ) (a r a cos θ (48a) 1) dt dθ sin θ ( m ra 4 sin θ cos θ4m r a sin θm r 3 a sin θ (r a cos θ) 3 m ra sin θmr a sin θ (r a cos θ) d t mr ma sin θmr r) dφ r 4 r a cos 4ma θ r 4 sin θ cos θ [r a 4mr a sin θmr 3 mr a r a cos θ mr a 4 sin 4 θ4m r a 8m r a sin θ (r a cos θ) 4m r a 4 sin 4 θ4m r a 4 sin θ ] dφ dθ = (r a cos θ) 3 0 (48b) - Untuk x α = x = r diperoleh d r m(r a cos θ)(r mra ) ( dt (r a cos θ) 3 ma sin θ(a cos θr )(r mr a ) dt (r a cos θ) 3 (r mr a ) sin θ r a cos θ mr a sin θ (r a cos θ) m a sin θ ] r a cos θ (dφ ) [r rm r mr a) ( ) a cos θ sin θ dθ r a cos θ r(r mr a ) r a cos θ (dθ ( ) = 0 - Untuk x α = x 3 = θ ) r r a cos θ (48c) dφ d θ mr a cos θ sin θ (r a cos θ) 3 (dt ) 4mra sin θ cos θ ( a sin θ (r a cos θ) r a cos θ 1) dt dφ 4mr a sin θ r a cos θ sin θ cos θ r a cos θ [r a mr a 4 sin 4 θ (r a cos θ) ] (dφ ) a cos θ sin θ (r a cos θ)(r mra ) ( ) r dθ r a cos θ a sin θ cos θ r a cos θ (dθ ) = 0 (48d) Untuk gerak pada daerah equator sumber massa (θ = π dθ dan = 0) diperoleh persamaan geodesik berdasarkan persamaan (48a)-(48d) : - Untuk x α = x 0 = t d φ (r a ) dt 4ma r 3 ma a dφ r] - Untuk x α = x 1 = φ [3 = 0 ma dt a r (4m r 4 ma 4m a ma m r r 3 r r) dφ = 0 - Untuk x α = x = r d r m ( dt r 4 ) ma r 4 ma r 3 dt dφ ma ] r (dφ ) r [r (49a) (49b) ( 1 rm ) r ( ) = 0 (49c) - Untuk x α = x 3 = θ d θ = 0 (49d) VII. LUBANGHITAM KERR Karakteristik singularitas untuk kasus lubanghitam Kerr dapat dilihat pada persamaan (46) untuk kasus g 00 = 0 dan g =. Pada g diperoleh singularitas koordinat dengan syarat = 0, sehingga horison peristiwa dapat diidentifikasi melalui
6 persamaan r mr a = 0 yang akarakar persamaannya yaitu r ± = m ± m a (50) Batas permukaan horison peristiwa tidak berhimpit pada g 00, sehingga untuk batas limit statik hanya bisa diperoleh dari g 00 = 1 mr a cos θmr r a cos θ = 0 yang mana hanya bisa terpenuhi pada r a cos θ mr = 0, yang mana akar-akar persamaannya adalah r e± = m ± m a cos θ (51) Melalui persamaan (50) dan (51) dapat dipetakan batas singularitas dan masingmasing horison r = m m a (5a) r = m m a (5b) r e = m m a cos θ (5c) r e = m m a cos θ (5d) r = 0 (5e) Diperkenalkan parameter transformasi dari Boyer-Lindquist (t, φ, r, θ) ke Kerr-Schild (t, x, y, z) t = t x = (r a ) 1 sin θ cos φ y = (r a ) 1 sin θ sin φ z = r cos θ (53) Dengan menggunakan parameter transformasi (53) diperoleh hubungan z = r (1 x y r a (54) Berdasarkan persamaan (5a)-(5e) dan (54) diperoleh gambaran horison metrik Kerr berdasarkan hasil plot Gambar 1 Batas-batas permukaan horison dan singularitas lubanghitam Kerr untuk m > a. Urutan permukaan horison pada gambar 1 diperoleh dengan meninjau daerah ekuator (θ = 90) pada persamaan (5a) (5d), sehingga dapat disimpulkan bahwa r e > r > r > r e. Pada persamaan (54) dan (5e) diperoleh singularitas pada daerah x y = a dengan z = 0. Pada permukaan r e, berdasarkan persamaan (46) diperoleh metrik = a sin θ dt dφ (r a a sin θ) sin θ dφ mr mrdθ (55) yang mengartikan bahwa benda apapun pada daerah antara r e dan r tidak boleh berada pada kondisi statik melainkan harus berotasi dibawa pengaruh parameter momentum sudut sebesar a sin θ menuju pusat medan gravitasi. Pada daerah r g menjadi tak hingga sehingga permukaan r ini disebut horison peristiwa, yang mana pada daerah ini foton tidak dapat lolos dari tarikan gravitasi. Karena r > r > r e, maka pengamat tidak dapat memperoleh informasi dari daerah r dan r e (daerah dalam lingkup horison peristiwa). r e r r r e r = 0
7 DAFTAR ACUAN [1] Chanasekhar, S The Mathematical Theory of Black Holes. Oxford University Press. [] Lewis, T Some Special Solutions of the Equations of Axially Symmetric Gravitational Fiel. ( [3] Carmeli, M Classical Fiel: General Relativity and Gauge Theory. John Wiley and Sons. [4] Ernst, F. J New formulation of the axially symmetric gravitational field problem. Phys. Rev. 167, [5] Heinicke, C., Hehl W,F Schwarzschild and Kerr Solutions of Einstein s Field Equation - an introduction -. arxiv: v1. [6] Purwanto, A Pengantar Kosmologi. Surabaya: ITS Press.
SOLUSI VAKUM PERSAMAAN MEDAN EINSTEIN UNTUK BENDA SIMETRI AKSIAL STASIONER MENGGUNAKAN PERSAMAAN ERNST
Skripsi Fisika SOLUSI VAKUM PERSAMAAN MEDAN EINSTEIN UNTUK BENDA SIMETRI AKSIAL STASIONER MENGGUNAKAN PERSAMAAN ERNST ALDYTIA GEMA SUKMA H 09 8 JURUSAN FISIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
Lebih terperinciPRISMA FISIKA, Vol. I, No. 1 (2013), Hal ISSN : Analisis Lintasan Foton Dalam Ruang-Waktu Schwarzschild
Analisis Lintasan Foton Dalam Ruang-Waktu Schwarzschild Urai astri lidya ningsih 1, Hasanuddin 1, Joko Sampurno 1, Azrul Azwar 1 1 Program Studi Fisika, FMIPA, Universitas Tanjungpura; e-mail: nlidya14@yahoo.com
Lebih terperinciPRISMA FISIKA, Vol. I, No. 1 (2013), Hal. 1-7 ISSN : Visualisasi Efek Relativistik Pada Gerak Planet
PRISMA FISIKA, Vol. I, No. 1 (13), Hal. 1-7 ISSN : 337-8 Visualisasi Efek Relativistik Pada Gerak Planet Nurul Asri 1, Hasanuddin 1, Joko Sampurno 1, Azrul Azwar 1 1 Program Studi Fisika, FMIPA, Universitas
Lebih terperinciMetrik Reissner-Nordström dalam Teori Gravitasi Einstein
JURNAL FISIKA DAN APLIKASINYA VOLUME 13, NOMOR 1 JANUARI 17 Metrik Reissner-Nordström dalam Teori Gravitasi Einstein Canisius Bernard Program Studi Fisika, Fakultas Teknologi Informasi dan Sains, Universitas
Lebih terperinciSOLUSI PERSAMAAN MEDAN GRAVITASI EINSTEIN-KLEIN-GORDON SIMETRI BOLA
SOLUSI PERSAMAAN MEDAN GRAVITASI EINSTEIN-KLEIN-GORDON SIMETRI BOLA Abdul Muin Banyal 1, Bansawang B.J. 1, Tasrief Surungan 1 1 Jurusan Fisika Universitas Hasanuddin Email : muinbanyal@gmail.com Ringkasan
Lebih terperinciBab 2. Persamaan Einstein dan Ricci Flow. 2.1 Geometri Riemann
Bab 2 Persamaan Einstein dan Ricci Flow 2.1 Geometri Riemann Sebuah himpunan M disebut sebagai manifold jika tiap titik Q dalam M memiliki lingkungan terbuka S yang dapat dipetakan 1-1 melalui sebuah pemetaan
Lebih terperinciPRISMA FISIKA, Vol. I, No. 3 (2013), Hal ISSN :
PRISMA FISIKA, Vol. I, No. (01), Hal. 1-17 ISSN : 7-804 Aplikasi Persamaan Einstein Hyperbolic Geometric Flow Pada Lintasan Cahaya di Alam Semesta Risko 1, Hasanuddin 1, Boni Pahlanop Lapanporo 1, Azrul
Lebih terperinciSoal-Jawab Fisika Teori OSN 2013 Bandung, 4 September 2013
Soal-Jawab Fisika Teori OSN 0 andung, 4 September 0. (7 poin) Dua manik-manik masing-masing bermassa m dan dianggap benda titik terletak di atas lingkaran kawat licin bermassa M dan berjari-jari. Kawat
Lebih terperinciTeori Dasar Gelombang Gravitasi
Bab 2 Teori Dasar Gelombang Gravitasi 2.1 Gravitasi terlinearisasi Gravitasi terlinearisasi merupakan pendekatan yang memadai ketika metrik ruang waktu, g ab, terdeviasi sedikit dari metrik datar, η ab
Lebih terperinciBab 2. Geometri Riemann dan Persamaan Ricci Flow. 2.1 Geometri Riemann Manifold Riemannian
Bab 2 Geometri Riemann dan Persamaan Ricci Flow 2.1 Geometri Riemann Geometri Riemann pertama kali dikemukakan secara general oleh Bernhard Riemann pada abad ke 19. Pada bagian ini akan diberikan penjelasan
Lebih terperinciDinamika Lubang Hitam Reissner-Nordtsrӧm Dalam Kosmologi Frieedman-Robertson-Walker (FRW)
Dinamika Lubang Hitam Reissner-Nordtsrӧm Dalam Kosmologi Frieedman-Robertson-Walker (FRW) 1*) Muh. Fachrul Latief, 1) Bansawang BJ., 1) Wira Bahari Nurdin 1) Laboratorium Fisika Teoritik dan Komputasi,
Lebih terperinciPENENTUAN MEDAN GRAVITASI EINSTEIN DALAM RUANG MINKOWSKI MENGGUNAKAN SIMBOL CHRISTOFFEL JENIS I DAN II
Proseding Seminar Nasional Fisika dan Aplikasinya Sabtu, 19 November 2016 Bale Sawala Kampus Universitas Padjadjaran, Jatinangor PENENTUAN MEDAN GRAVITASI EINSTEIN DALAM RUANG MINKOWSKI MENGGUNAKAN SIMBOL
Lebih terperinciBAB II PENGANTAR SOLUSI PERSOALAN FISIKA MENURUT PENDEKATAN ANALITIK DAN NUMERIK
BAB II PENGANTAR SOLUSI PERSOALAN FISIKA MENURUT PENDEKATAN ANALITIK DAN NUMERIK Tujuan Instruksional Setelah mempelajari bab ini pembaca diharapkan dapat: 1. Menjelaskan cara penyelesaian soal dengan
Lebih terperinciKAJIAN TEORITIS TRANSFORMASI METRIK SCHWARZCHILD DALAM DUA KOORDINAT
Proseding Seminar Nasional Fisika dan Aplikasinya Sabtu, 19 November 2016 Bale Sawala Kampus Universitas Padjadjaran, Jatinangor KAJIAN TEORITIS TRANSFORMASI METRIK SCHWARZCHILD DALAM DUA KOORDINAT ALMIZAN
Lebih terperinciPerluasan Model Statik Black Hole Schwartzchild
Perluasan Model Statik Black Hole Schwartzchild Abd Mujahid Hamdan Fakultas Sains dan Teknologi UIN Ar-raniry, Banda Aceh, Indonesia mujahid@ar-raniry.ac.id Abstrak: Telah dilakukan perluasan model black
Lebih terperinciDERET FOURIER. n = bilangan asli (1,2,3,4,5,.) L = pertemuan titik. Bilangan-bilangan untuk,,,, disebut koefisien fourier dari f(x) dalam (-L,L)
DERET FOURIER Bila f adalah fungsi periodic yang berperioda p, maka f adalah fungsi periodic. Berperiode n, dimana n adalah bilangan asli positif (+). Untuk setiap bilangan asli positif fungsi yang didefinisikan
Lebih terperinciRingkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1. Integral Lipat Dua Atas Daerah Persegipanjang
ingkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1 Integral Lipat Dua Atas Daerah Persegipanjang Perhatikan fungsi z = f(x, y) pada = {(x, y) : a x b, c y d} Bentuk partisi P atas daerah berupa n buah persegipanjang
Lebih terperinciAplikasi Persamaan Bessel Orde Nol Pada Persamaan Panas Dua dimensi
JURNAL FOURIER Oktober 2013, Vol. 2, No. 2, 113-123 ISSN 2252-763X Aplikasi Persamaan Bessel Orde Nol Pada Persamaan Panas Dua dimensi Annisa Eki Mulyati dan Sugiyanto Program Studi Matematika Fakultas
Lebih terperinciANALISIS VEKTOR. Aljabar Vektor. Operasi vektor
ANALISIS VEKTOR Aljabar Vektor Operasi vektor Besaran yang memiliki nilai dan arah disebut dengan vektor. Contohnya adalah perpindahan, kecepatan, percepatan, gaya, dan momentum. Sementara itu, besaran
Lebih terperinci1. (25 poin) Sebuah bola kecil bermassa m ditembakkan dari atas sebuah tembok dengan ketinggian H (jari-jari bola R jauh lebih kecil dibandingkan
. (5 poin) Sebuah bola kecil bermassa m ditembakkan dari atas sebuah tembok dengan ketinggian H (jari-jari bola R jauh lebih kecil dibandingkan dengan H). Kecepatan awal horizontal bola adalah v 0 dan
Lebih terperinciBAB 2 TINJAUAN PUSTAKA
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA Hukum gravitasi Newton mampu menerangkan fenomena benda-benda langit yang dipengaruhi oleh gaya gravitasi antar benda. Namun, hukum gravitasi Newton ini tidak sesuai dengan teori
Lebih terperinciBINOVATIF LISTRIK DAN MAGNET. Hani Nurbiantoro Santosa, PhD.
BINOVATIF LISTRIK DAN MAGNET Hani Nurbiantoro Santosa, PhD hanisantosa@gmail.com 2 BAB 2 MEDAN LISTRIK DAN HUKUM GAUSS Pendahuluan, Distribusi Muatan Kontinu, Mencari Medan Listrik Menggunakan Integral,
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang Permasalahan
1 BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Permasalahan Upaya para fisikawan, khususnya fisikawan teoretik untuk mengungkap fenomena alam adalah dengan diajukannya berbagai macam model hukum alam berdasarkan
Lebih terperinciGerak rotasi: besaran-besaran sudut
Gerak rotasi Benda tegar Adalah kumpulan benda titik dengan bentuk yang tetap (jarak antar titik dalam benda tersebut tidak berubah) Gerak benda tegar dapat dipandang sebagai gerak suatu titik tertentu
Lebih terperinciKINEMATIKA. Fisika. Tim Dosen Fisika 1, ganjil 2016/2017 Program Studi S1 - Teknik Telekomunikasi Fakultas Teknik Elektro - Universitas Telkom
KINEMATIKA Fisika Tim Dosen Fisika 1, ganjil 2016/2017 Program Studi S1 - Teknik Telekomunikasi Fakultas Teknik Elektro - Universitas Telkom Sasaran Pembelajaran Indikator: Mahasiswa mampu mencari besaran
Lebih terperinciKalkulus Multivariabel I
Integral Lipat-Dua dalam Koordinat Kutub Atina Ahdika, S.Si, M.Si Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 214 / 2 Integral Lipat-Dua dalam Koordinat Kutub Terdapat beberapa kurva tertentu pada suatu
Lebih terperinciK 1. h = 0,75 H. y x. O d K 2
1. (25 poin) Dari atas sebuah tembok dengan ketinggian H ditembakkan sebuah bola kecil bermassa m (Jari-jari R dapat dianggap jauh lebih kecil daripada H) dengan kecepatan awal horizontal v 0. Dua buah
Lebih terperinci, ω, L dan C adalah riil, tunjukkanlah
. Jika z j j PROBLEM SE# Sistem Bilangan Kompleks, tentukanlah bagian riil dan bagian imajiner dari bilangan kompleks z z. Carilah harga dan y yang memenuhi persamaan : y j y, j, ( ) ( ). Carilah bentuk
Lebih terperinciKumpulan soal-soal level Olimpiade Sains Nasional: solusi:
Kumpulan soal-soal level Olimpiade Sains Nasional: 1. Sebuah batang uniform bermassa dan panjang l, digantung pada sebuah titik A. Sebuah peluru bermassa bermassa m menumbuk ujung batang bawah, sehingga
Lebih terperinciBab 2 TEORI DASAR. 2.1 Model Aliran Panas
Bab 2 TEORI DASAR 2.1 Model Aliran Panas Perpindahan panas adalah energi yang dipindahkan karena adanya perbedaan temperatur. Terdapat tiga cara atau metode bagiamana panas dipindahkan: Konduksi Konduksi
Lebih terperinciGambar 7.1 Sebuah benda bergerak dalam lingkaran yang pusatnya terletak pada garis lurus
BAB 7. GERAK ROTASI 7.1. Pendahuluan Gambar 7.1 Sebuah benda bergerak dalam lingkaran yang pusatnya terletak pada garis lurus Sebuah benda tegar bergerak rotasi murni jika setiap partikel pada benda tersebut
Lebih terperinciLAMPIRAN A. Ringkasan Relativitas Umum
LAMPIRAN A Ringkasan Relativitas Umum Besaran fisika harus invarian terhadap semua kerangka acuan. Kalimat tersebut merupakan prinsip relativitas khusus yang pertama. Salah satu besaran yang harus invarian
Lebih terperinciSolusi Problem Dirichlet pada Daerah Persegi dengan Metode Pemisahan Variabel
Vol.14, No., 180-186, Januari 018 Solusi Problem Dirichlet pada Daerah Persegi Metode Pemisahan Variabel M. Saleh AF Abstrak Dalam keadaan distribusi temperatur setimbang (tidak tergantung pada waktu)
Lebih terperinciBAB III TENSOR. Berdasarkan uraian bab sebelumnya yang telah menjelaskan beberapa
BAB III TENSOR Berdasarkan uraian bab sebelumnya yang telah menjelaskan beberapa istilah dan materi pendukung yang berkaitan dengan tensor, pada bab ini akan dijelaskan pengertian dasar dari tensor. Tensor
Lebih terperinciTeori Relativitas. Mirza Satriawan. December 23, Pengantar Kelengkungan. M. Satriawan Teori Relativitas
Teori Relativitas Mirza Satriawan December 23, 2010 Pengantar Kelengkungan Quiz 1 Apakah basis vektor dalam sistem koordinat melengkung selalu konstan? 2 Dalam sistem koordinat apakah basis vektornya selalu
Lebih terperinciKajian Konstanta Kosmologi Einstein pada Solar System Effect di ruang waktu Schwarzschild de Sitter
Kajian Konstanta Kosmologi Einstein pada Solar System Effect di ruang waktu Schwarzschild de Sitter Philin Yolanda Dwi Sagita 1, Bintoro Anang Subagyo 2 1 Program Studi Fisika FMIPA Institut Teknologi
Lebih terperinciSaat mempelajari gerak melingkar, kita telah membahas hubungan antara kecepatan sudut (ω) dan kecepatan linear (v) suatu benda
1 Benda tegar Pada pembahasan mengenai kinematika, dinamika, usaha dan energi, hingga momentum linear, benda-benda yang bergerak selalu kita pandang sebagai benda titik. Benda yang berbentuk kotak misalnya,
Lebih terperinci3. ORBIT KEPLERIAN. AS 2201 Mekanika Benda Langit. Monday, February 17,
3. ORBIT KEPLERIAN AS 2201 Mekanika Benda Langit 1 3.1 PENDAHULUAN Mekanika Newton pada mulanya dimanfaatkan untuk menentukan gerak orbit benda dalam Tatasurya. Misalkan Matahari bermassa M pada titik
Lebih terperinciLAMPIRAN A. (Beberapa Besaran Fisika, Faktor konversi dan Alfabet Yunani)
LAMPIRAN A (Bebeapa Besaan Fisika, Fakto konvesi dan Alfabet Yunani) Bebeapa Tetapan dan Besaan Fisika Massa matahai Jai-jai matahai Massa bumi Kecepatan cahaya Konstanta gavitasi = 1,99 10 30 kg = 6,9599
Lebih terperinciDEPARTMEN IKA ITB Jurusan Fisika-Unej BENDA TEGAR. MS Bab 6-1
Jurusan Fisika-Unej BENDA TEGAR Kuliah FI-1101 Fisika 004 Dasar Dr. Linus Dr Pasasa Edy Supriyanto MS Bab 6-1 Jurusan Fisika-Unej Bahan Cakupan Gerak Rotasi Vektor Momentum Sudut Sistem Partikel Momen
Lebih terperinciLAMPIRAN. Hubungan antara koordinat kartesian dengan koordinat silinder:
LAMPIRAN A.TRANSFORMASI KOORDINAT 1. Koordinat silinder Hubungan antara koordinat kartesian dengan koordinat silinder: Vector kedudukan adalah Jadi, kuadrat elemen panjang busur adalah: Maka: Misalkan
Lebih terperinciDINAMIKA ROTASI DAN KESETIMBANGAN
FIS A. BENDA TEGAR Benda tegar adalah benda yang tidak mengalami perubahan bentuk dan volume selama bergerak. Benda tegar dapat mengalami dua macam gerakan, yaitu translasi dan rotasi. Gerak translasi
Lebih terperinciListrik Statik. Agus Suroso
Listrik Statik Agus Suroso Muatan Listrik Ada dua macam: positif dan negatif. Sejenis tolak menolak, beda jenis tarik menarik. Muatan fundamental e =, 60 0 9 Coulomb. Atau, C = 6,5 0 8 e. Atom = proton
Lebih terperinciListrik Statik. Agus Suroso
Listrik Statik Agus Suroso Muatan Listrik Ada dua macam: positif dan negatif. Sejenis tolak menolak, beda jenis tarik menarik. Muatan fundamental e =, 60 0 9 Coulomb. Atau, C = 6,5 0 8 e. Atom = proton
Lebih terperinciBAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN. dan medan hidrodinamik. Pertama, dengan menentukan potensial listrik V dan
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN 4. 1 Analisis Elektrohidrodinamik Analisis elektrohidrodinamik dimulai dengan mengevaluasi medan listrik dan medan hidrodinamik. Pertama, dengan menentukan potensial listrik
Lebih terperinciPROPOSAL TUGAS AKHIR PENGARUH JUMLAH SUKU FOURIER PADA PENDEKATAN POLAR UNTUK SISTEM GEOMETRI KARTESIAN OLEH : IRMA ISLAMIYAH
PROPOSAL TUGAS AKHIR PENGARUH JUMLAH SUKU FOURIER PADA PENDEKATAN POLAR UNTUK SISTEM GEOMETRI KARTESIAN OLEH : IRMA ISLAMIYAH 1105 100 056 JURUSAN FISIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA. tegak, perlu diketahui tentang materi-materi sebagai berikut.
BAB II TINJAUAN PUSTAKA Sebelum pembahasan mengenai irisan bidang datar dengan tabung lingkaran tegak, perlu diketahui tentang materi-materi sebagai berikut. A. Matriks Matriks adalah himpunan skalar (bilangan
Lebih terperinciPERSAMAAN SCHRÖDINGER TAK BERGANTUNG WAKTU DAN APLIKASINYA PADA SISTEM POTENSIAL 1 D
PERSAMAAN SCHRÖDINGER TAK BERGANTUNG WAKTU DAN APLIKASINYA PADA SISTEM POTENSIAL 1 D Keadaan Stasioner Pada pembahasan sebelumnya mengenai fungsi gelombang, telah dijelaskan bahwa potensial dalam persamaan
Lebih terperincia. Hubungan Gerak Melingkar dan Gerak Lurus Kedudukan benda ditentukan berdasarkan sudut θ dan jari jari r lintasannya Gambar 1
. Pengantar a. Hubungan Gerak Melingkar dan Gerak Lurus Gerak melingkar adalah gerak benda yang lintasannya berbentuk lingkaran dengan jari jari r Kedudukan benda ditentukan berdasarkan sudut θ dan jari
Lebih terperinciPertemuan 1 dan 2 KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL
Pertemuan 1 dan 2 KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL A. PENGERTIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL Dalam pelajaran kalkulus, kita telah berkenalan dan mengkaji berbagai macam metode untuk mendiferensialkan suatu
Lebih terperinciPENENTUAN MEDAN GRAVITASI EINSTEIN DALAM RUANG MINKOWSKI MENGGUNAKAN SIMBOL CHRISTOFFEL JENIS I DAN II SKRIPSI MELLY FRIZHA
PENENTUAN MEDAN GRAVITASI EINSTEIN DALAM RUANG MINKOWSKI MENGGUNAKAN SIMBOL CHRISTOFFEL JENIS I DAN II SKRIPSI Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains MELLY FRIZHA
Lebih terperinciBab 2 TEORI DASAR. 2.1 Linearisasi Persamaan Air Dangkal
Bab 2 TEORI DASAR 2.1 Linearisasi Persamaan Air Dangkal Persamaan air dangkal merupakan persamaan untuk gelombang permukaan air yang dipengaruhi oleh kedalaman air tersebut. Kedalaman air dapat dikatakan
Lebih terperinci1/32 FISIKA DASAR (TEKNIK SIPIL) KINEMATIKA. menu. Mirza Satriawan. Physics Dept. Gadjah Mada University Bulaksumur, Yogyakarta
1/32 FISIKA DASAR (TEKNIK SIPIL) KINEMATIKA Mirza Satriawan Physics Dept. Gadjah Mada University Bulaksumur, Yogyakarta email: mirza@ugm.ac.id Definisi KINEMATIKA Kinematika adalah cabang ilmu fisika yang
Lebih terperinciMEDAN SKALAR DENGAN SUKU KINETIK POWER LAW
Prosiding Seminar Nasional Fisika (E-Journal) SNF016 http://snf-unj.ac.id/kumpulan-prosiding/snf016/ VOLUME V, OKTOBER 016 p-issn: 339-0654 e-issn: 476-9398 DOI: doi.org/10.1009/030500505 KOMPAKTIFIKASI
Lebih terperincidengan vektor tersebut, namun nilai skalarnya satu. Artinya
1. Pendahuluan Penggunaan besaran vektor dalam kehidupan sehari-hari sangat penting mengingat aplikasi besaran vektor yang luas. Mulai dari prinsip gaya, hingga bidang teknik dalam memahami konsep medan
Lebih terperinciSoal-Soal dan Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 2012 Tanggal Ujian: 13 Juni 2012
Soal-Soal dan Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 01 Tanggal Ujian: 13 Juni 01 1. Lingkaran (x + 6) + (y + 1) 5 menyinggung garis y 4 di titik... A. ( -6, 4 ). ( -1, 4 ) E. ( 5, 4 ) B. ( 6, 4) D. ( 1, 4 )
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Teori Gravitasi Newton Mengapa planet, bulan dan matahari memiliki bentuk mendekati bola? Mengapa satelit bumi mengelilingi bumi 90 menit, sedangkan bulan memerlukan waktu 27
Lebih terperinciBab 5. Migrasi Planet
Bab 5 Migrasi Planet Planet-planet raksasa diduga memiliki inti padat yang dibentuk oleh material yang tidak dapat terkondensasi jika terletak sangat dekat dengan bintang utamanya. Karenanya sangatlah
Lebih terperinciPENGARUH JUMLAH SUKU FOURIER PADA PENDEKATAN POLAR UNTUK SISTEM GEOMETRI KARTESIAN
PENGARUH JUMLAH SUKU FOURIER PADA PENDEKATAN POLAR UNTUK SISTEM GEOMETRI KARTESIAN IRMA ISLAMIYAH 1105 100 056 FISIKA FMIPA INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER SURABAYA 2010 PENDAHULUAN LATAR BELAKANG
Lebih terperinciCatatan Kuliah FI1101 Fisika Dasar IA Pekan #8: Osilasi
Catatan Kuliah FI111 Fisika Dasar IA Pekan #8: Osilasi Agus Suroso update: 4 November 17 Osilasi atau getaran adalah gerak bolak-balik suatu benda melalui titik kesetimbangan. Gerak bolak-balik tersebut
Lebih terperinciPERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER NON HOMOGEN
LINIER NON HOMOGEN Contoh PD linier non homogen orde 2. Bentuk umum persamaan PD Linier Non Homogen Orde 2, adalah sebagai berikut : y + f(x) y + g(x) y = r(x) ( 2-35) Solusi umum y(x) akan didapatkan
Lebih terperinciBAB II DASAR TEORI. 2.1 Teori Relativitas Umum Einstein
BAB II DASAR TEORI Sebagaimana telah diketahui dalam kinematika relativistik, persamaanpersamaannya diturunkan dari dua postulat relativitas. Dua kerangka inersia yang bergerak relatif satu dengan yang
Lebih terperinciGERAK BENDA TEGAR. Kinematika Rotasi
GERAK BENDA TEGAR Benda tegar adalah sistem benda yang terdiri atas sistem benda titik yang jumlahnya tak-hinggadan jika ada gaya yang bekerja, jarak antara titik-titik anggota sistem selalu tetap. Gerak
Lebih terperinciTransformasi Datum dan Koordinat
Transformasi Datum dan Koordinat Sistem Transformasi Koordinat RG091521 Lecture 6 Semester 1, 2013 Jurusan Pendahuluan Hubungan antara satu sistem koordinat dengan sistem lainnya diformulasikan dalam bentuk
Lebih terperinciKalkulus Multivariabel I
Integral Lipat-Dua dalam Koordinat Kutub Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Terdapat beberapa kurva tertentu pada suatu bidang yang lebih mudah dijelaskan dengan menggunakan koordinat Kutub.
Lebih terperinciKeep running VEKTOR. 3/8/2007 Fisika I 1
VEKTOR 3/8/007 Fisika I 1 BAB I : VEKTOR Besaran vektor adalah besaran yang terdiri dari dua variabel, yaitu besar dan arah. Sebagai contoh dari besaran vektor adalah perpindahan. Sebuah besaran vektor
Lebih terperinciSELEKSI OLIMPIADE NASIONAL MIPA PERGURUAN TINGGI (ONMIPA-PT) 2014 TINGKAT UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH JAKARTA BIDANG FISIKA
SELEKSI OLIMPIADE NASIONAL MIPA PERGURUAN TINGGI (ONMIPA-PT) 2014 TINGKAT UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH JAKARTA BIDANG FISIKA Hari, tanggal: Rabu, 2 April 2014 Waktu: 60 menit Nama: NIM: 1. (50 poin) Sebuah
Lebih terperinciKONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL
KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL A. PENGERTIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL Dalam pelajaran kalkulus, kita telah berkenalan dan mengkaji berbagai macam metode untuk mendiferensialkan suatu fungsi (dasar). Sebagai
Lebih terperinciFT UNIVERSITAS SURABAYA VARIABEL KOMPLEKS SUGATA PIKATAN. Bab V Aplikasi
Bab V Aplikasi Selain aplikasi yang sudah diperkenalkan di bab I, teori variabel kompleks masih memiliki banyak ragam aplikasi lainnya. Beberapa di antaranya akan dibahas di dalam bab ini. Perhitungan
Lebih terperinciFungsi Gamma. Pengantar Matematika Teknik Kimia. Muthia Elma
Fungsi Gamma Pengantar Matematika Teknik Kimia Muthia Elma Fungsi Gamma Defenisi Merupakan salah satu fungsi khusus yang biasanya disajikan dalam pembahasan kalkulus tingkat lanjut Dalam aplikasinya fungsi
Lebih terperinciPengaruh Konstanta Kosmologi Terhadap Model Standar Alam Semesta
B-8 JURNAL SAINS DAN SENI ITS Vol. 5 No. (6) 7-5 (-98X Print) Pengaruh Konstanta Kosmologi Terhadap Model Standar Alam Semesta Muhammad Ramadhan dan Bintoro A. Subagyo Jurusan Fisika, Fakultas MIPA, Institut
Lebih terperinciFISIKA XI SMA 3
FISIKA XI SMA 3 Magelang @iammovic Standar Kompetensi: Menerapkan konsep dan prinsip mekanika klasik sistem kontinu dalam menyelesaikan masalah Kompetensi Dasar: Merumuskan hubungan antara konsep torsi,
Lebih terperinciPERSAMAAN DIFFERENSIAL LINIER
PERSAMAAN DIFFERENSIAL LINIER Persamaan Differensial Linier Pengertian : Suatu persamaan differensial orde satu dikatakan linier jika persamaan tersebut dapat dituliskan sbb: y + p x y = r(x) (1) linier
Lebih terperinciPersamaan Diferensial Biasa
Persamaan Diferensial Biasa Pendahuluan, Persamaan Diferensial Orde-1 Toni Bakhtiar Departemen Matematika IPB September 2012 Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September 2012 1 / 37 Pendahuluan Konsep Dasar Beberapa
Lebih terperinciSolusi Persamaan Laplace pada Koordinat Bola
Solusi Persamaan Laplace pada Koordinat Bola Syafruddin Side 1, Ahmad Zaki 1 1, a), dan Nurhaeda 1 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Negeri Makassar, 90224 a) nhaeda24@gmail.com Abstrak. Penelitian
Lebih terperinciSOLUSI STATIK PERSAMAAN MEDAN EINSTEIN UNTUK RUANG VAKUM BERSIMETRI SILINDER DAN PERSAMAAN GERAK PARTIKEL JATUH BEBAS DARI SOLUSI TERSEBUT
SOLUSI STATIK PERSAMAAN MEDAN EINSTEIN UNTUK RUANG VAKUM BERSIMETRI SILINDER DAN PERSAMAAN GERAK PARTIKEL JATUH BEBAS DARI SOLUSI TERSEBUT SKRIPSI Oleh A.Syaiful Lutfi NIM 081810201005 JURUSAN FISIKA FAKULTAS
Lebih terperinciPAPER FISIKA DASAR MODUL 7 MOMEN INERSIA
PAPER FISIKA DASAR MODUL 7 MOMEN INERSIA Nama : Nova Nurfauziawati NPM : 240210100003 Tanggal / jam : 18 November 2010 / 13.00-15.00 WIB Asisten : Dicky Maulana JURUSAN TEKNOLOGI INDUSTRI PANGAN FAKULTAS
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Energi-diri sebuah elektron adalah energi total elektron tersebut di dalam ruang bebas ketika terisolasi dari partikel-partikel lain (Majumdar dan Gupta, 1947).
Lebih terperinciRingkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1. Integral Lipat Dua Atas Daerah Persegipanjang
ingkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1 Integral Lipat Dua Atas Daerah Persegipanjang Perhatikan fungsi z = f(x,y) pada = {(x,y) : a x b, c y d} Bentuk partisi P atas daerah berupa n buah persegipanjang
Lebih terperinciBab 1 Vektor. A. Pendahuluan
Bab 1 Vektor A. Pendahuluan Dalam mata kuliah Listrik Magnet A, maupun mata kuliah Listrik Magnet B sebagaii lanjutannya, penyajian konsep dan pemecahan masalah akan banyak memerlukan pengetahuan tentang
Lebih terperinciBENDA TEGAR FISIKA DASAR (TEKNIK SISPIL) Mirza Satriawan. menu. Physics Dept. Gadjah Mada University Bulaksumur, Yogyakarta
1/36 FISIKA DASAR (TEKNIK SISPIL) BENDA TEGAR Mirza Satriawan Physics Dept. Gadjah Mada University Bulaksumur, Yogyakarta email: mirza@ugm.ac.id Rotasi Benda Tegar Benda tegar adalah sistem partikel yang
Lebih terperinciTeori Relativitas. Mirza Satriawan. December 7, Fluida Ideal dalam Relativitas Khusus. M. Satriawan Teori Relativitas
Teori Relativitas Mirza Satriawan December 7, 2010 Fluida Ideal dalam Relativitas Khusus Quiz 1 Tuliskan perumusan kelestarian jumlah partikel dengan memakai vektor-4 fluks jumlah partikel. 2 Tuliskan
Lebih terperinciPENGARUH TEMPERATUR DAN SIFAT SUPERSIMETRI LUBANG HITAM SFERIS SKRIPSI RAHMADANI
PENGARUH TEMPERATUR DAN SIFAT SUPERSIMETRI LUBANG HITAM SFERIS SKRIPSI Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains RAHMADANI 060801045 DEPARTEMEN FISIKA FAKULTAS MATEMATIKA
Lebih terperinciperpindahan, kita peroleh persamaan differensial berikut :
1.1 Pengertian Persamaan Differensial Banyak sekali masalah terapan (dalam ilmu teknik, ilmu fisika, biologi, kimia, sosial, dan lain-lain), yang telah dirumuskan dengan model matematika dalam bentuk persamaan
Lebih terperinciDinamika Rotasi, Statika dan Titik Berat 1 MOMEN GAYA DAN MOMEN INERSIA
Dinamika Rotasi, Statika dan Titik Berat 1 MOMEN GAYA DAN MOMEN INERSIA Dalam gerak translasi gaya dikaitkan dengan percepatan linier benda, dalam gerak rotasi besaran yang dikaitkan dengan percepatan
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
1.4. Hipotesis 1. Model penampang hamburan Galster dan Miller memiliki perbedaan mulai kisaran energi 0.3 sampai 1.0. 2. Model penampang hamburan Galster dan Miller memiliki kesamaan pada kisaran energi
Lebih terperinciPENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 1 - I
PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 1 - I 1. Pendahuluan Pengertian Persamaan Diferensial Metoda Penyelesaian -contoh Aplikasi 1 1.1. Pengertian Persamaan Differensial Secara Garis Besar Persamaan
Lebih terperinciSoal dan Solusi Materi Elektrostatika
P Soal dan Solusi Materi Elektrostatika 1. Tentukan medan listrik pada jarak z di atas salah satu ujung kawat sepanjang L yang membawa muatan berdistribusi seragam dengan rapat muatan, seperti gambar berikut
Lebih terperinciPertemuan Kesatu. Matematika III. Oleh Mohammad Edy Nurtamam, S.Pd., M.Si. Page 1.
Pertemuan Kesatu Matematika III Oleh Mohammad Edy Nurtamam, S.Pd., M.Si Page 1 Materi 1. Persamaan Diferensial Orde I Pengenalan bentuk dasar Pers. Diff. Orde I. Definisi Derajat,Orde. Konsep Pemisahan
Lebih terperinciDIKTAT KULIAH KALKULUS PEUBAH BANYAK (IE-308)
DIKTAT KULIAH (IE-308) BAB 7 INTEGRAL PERMUKAAN Diktat ini digunakan bagi mahasiswa Jurusan Teknik Industri Fakultas Teknik Universitas Kristen Maranatha Ir. Rudy Wawolumaja M.Sc JURUSAN TEKNIK INDUSTRI
Lebih terperinciHusna Arifah,M.Sc : Persamaan Bessel: Fungsi-fungsi Besel jenis Pertama
Bentuk umum PD Bessel : x 2 y"+xy' +(x 2 υ 2 )y =...() Kita asumsikan bahwa parameter υ dalam () adalah bilangan riil dan tak negatif. Penyelesaian PD mempunyai bentuk : y(x) = x r m = a m x m = a m xm
Lebih terperinciBAB III TEORI DASAR (3.1-1) dimana F : Gaya antara dua partikel bermassa m 1 dan m 2. r : jarak antara dua partikel
BAB III TEORI DASAR 3.1 PRINSIP DASAR GRAVITASI 3.1.1 Hukum Newton Prinsip dasar yang digunakan dalam metoda gayaberat ini adalah hukum Newton yang menyatakan bahwa gaya tarik menarik dua titik massa m
Lebih terperinciBAB 2 TINJAUAN PUSTAKA
BAB TINJAUAN PUSTAKA. Definisi Gelombang dan klasifikasinya. Gelombang adalah suatu gangguan menjalar dalam suatu medium ataupun tanpa medium. Dalam klasifikasinya gelombang terbagi menjadi yaitu :. Gelombang
Lebih terperinciKONSTRUKSI METRIK EINSTEIN SELFDUAL PADA
BAB IV KONSTRUKSI METRIK EINSTEIN SELFDUAL PADA MANIFOLD BERDIMENSI-4 4.1 Struktur Selfdual dengan Simetri Torus Dalam 4-dimensi, untuk mengatakan bahwa sebuah manifold adalah quaternionic Kähler adalah
Lebih terperinciDiferensial Vektor. (Pertemuan III) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya
TKS 4007 Matematika III Diferensial Vektor (Pertemuan III) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya Perkalian Titik Perkalian titik dari dua buah vektor A dan B pada bidang dinyatakan
Lebih terperinciDAFTAR SIMBOL. : permeabilitas magnetik. : suseptibilitas magnetik. : kecepatan cahaya dalam ruang hampa (m/s) : kecepatan cahaya dalam medium (m/s)
DAFTAR SIMBOL n κ α R μ m χ m c v F L q E B v F Ω ħ ω p K s k f α, β s-s V χ (0) : indeks bias : koefisien ekstinsi : koefisien absorpsi : reflektivitas : permeabilitas magnetik : suseptibilitas magnetik
Lebih terperinciMomen Inersia. distribusinya. momen inersia. (karena. pengaruh. pengaruh torsi)
Gerak Rotasi Momen Inersia Terdapat perbedaan yang penting antara masa inersia dan momen inersia Massa inersia adalah ukuran kemalasan suatu benda untuk mengubah keadaan gerak translasi nya (karena pengaruh
Lebih terperinciPersamaan Poisson. Fisika Komputasi. Irwan Ary Dharmawan
(Pendahuluan) 1D untuk syarat batas Robin 2D dengan syarat batas Dirichlet Fisika Komputasi Jurusan Fisika Universitas Padjadjaran http://phys.unpad.ac.id/jurusan/staff/dharmawan email : dharmawan@phys.unpad.ac.id
Lebih terperinci(translasi) (translasi) Karena katrol tidak slip, maka a = αr. Dari persamaan-persamaan di atas kita peroleh:
a 1.16. Dalam sistem dibawah ini, gesekan antara m 1 dan meja adalah µ. Massa katrol m dan anggap katrol tidak slip. Abaikan massa tali, hitung usaha yang dilakukan oleh gaya gesek selama t detik pertama!
Lebih terperinciBAB 2 TINJAUAN PUSTAKA
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Teori Relativitas Einstein Relativitas merupakan subjek yang penting yang berkaitan dengan pengukuran (pengamatan) tentang di mana dan kapan suatu kejadian terjadi dan bagaimana
Lebih terperinci