PENYELESAIAN MASALAH STURM-LIOUVILLE DARI PERSAMAAN GELOMBANG SUARA DI BAWAH AIR DENGAN METODE BEDA HINGGA

Transkripsi

1 PENYELESAIAN MASALAH STURM-LIOUVILLE DARI PERSAMAAN GELOMBANG SUARA DI BAWAH AIR DENGAN METODE BEDA HINGGA oleh FIQIH SOFIANA M SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA 2013 i

2 perpustakaan.uns.ac.id ii

3 ABSTRAK Fiqih Sofiana, PENYELESAIAN MASALAH STURM-LIOUVILLE DARI PERSAMAAN GELOMBANG SUARA DI BAWAH AIR DENGAN METODE BEDA HINGGA. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Universitas Sebelas Maret. Persamaan gelombang suara di bawah air merupakan penerapan dari bidang fisika yang dapat diformulasikan ke dalam bentuk matematis. Melalui persamaan kontinuitas, persamaan momentum, dan persamaan keadaan dapat dikonstruksikan persamaan gelombang suara di bawah air 1 r r(rp r ) + ρ(z) z ( 1 ρ(z) p z ) + ω2 c 2 (z) p = 0. Persamaan gelombang suara di bawah air dapat diformulasikan ke dalam masalah Sturm-Liouville ( ) 1 ω 2 ρ(z) Z (z) + Z(z) = λz(z) c 2 (z)ρ(z) ρ(z), dengan ρ sebagai densitas, z sebagai kedalaman, dan λ sebagai nilai eigen. Bentuk normal masalah Sturm-Liouville y (x) + V (x)y(x) = λy(x), digunakan untuk mempermudah dalam perhitungan numerik. Metode beda hingga dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah Sturm-Liouville dari persamaan gelombang suara di bawah air. Melalui bentuk normal masalah Sturm- Liouville dapat diperoleh pendekatan sistem persamaan linear y, kemudian dibentuk ke dalam matriks (N 1) (N 1). Dari matriks (N 1) (N 1) dapat ditentukan penyelesaian pendekatan nilai eigen λ dan fungsi eigen y. Kata kunci: masalah sturm-liouville, persamaan gelombang suara di bawah air, metode beda hingga, nilai eigen, fungsi eigen iii

4 ABSTRACT Fiqih Sofiana, SOLUTION OF STURM-LIOUVILLE PROBLEMS FROM UNDERWATER ACOUSTICS EQUATION BY FINITE DIFFERENCE METHOD. Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Sebelas Maret University. Underwater acoustics equation is an application of physics which can be formulated into a mathematical form. An underwater acoustics equation is constructed by a continuity equation, a momentum equation, and an equation of state 1 r r(rp r ) + ρ(z) z ( 1 ρ(z) p z ) + ω2 c 2 (z) p = 0. We obtain Sturm-Liouville problems of underwater acoustics equation ( ) 1 ω 2 ρ(z) Z (z) + Z(z) = λz(z) c 2 (z)ρ(z) ρ(z), where ρ is a densitas, z is a depth, and λ is an eigenvalue. The normal form of Sturm-Liouville problems, which is y (x) + V (x)y(x) = λy(x), is used to simplify the numerical computation. Here we use finite difference method to solve Sturm-Liouville problems of underwater acoustics equation. Through normal form of Sturm-Liouville problems, we approach the solution of the linear equation system y. Then, it is formed into matrix of (N 1) (N 1). From that matrix we find the solution of the approximation of eigenvalues λ and eigenfunction y. Key words: underwater acoustics equation, sturm-liouville problem, finite difference method, eigenvalue, eigenfunction iv

5 MOTO SEMANGAT itu sejatinya ada pada DIRI SENDIRI, jadi sehebat apapun PENYEMANGATmu jika tak ada TEKAD dan SEMANGAT tak akan ada gunanya. Jangan takut untuk memulai sesuatu, ketika sudah memulai jangan ragu untuk menyelesaikannya, percayalah Allah SWT akan memberi hasil terbaik v

6 PERSEMBAHAN Karya sederhana ini kupersembahkan kepada : kedua orang tuaku yang tersayang. vi

7 KATA PENGANTAR Segala puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat dan hidayah-nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Penulis menyadari bahwa dalam penulisan skripsi ini tidak lepas dari bantuan, dorongan, serta bimbingan berbagai pihak. Oleh karena itu penulis mengucapkan terima kasih kepada 1. Bapak Drs. Sutrima, M.Si sebagai Pembimbing I dan Ibu Dra. Etik Zukhronah, M.Si sebagai Pembimbing II yang telah membimbing dan mengarahkan dalam penyusunan skripsi ini. 2. Teman-teman mahasiswa Jurusan Matematika angkatan 2009 atas kebersamaan dan kebahagiaan yang telah menambah semangat penulis, serta seluruh pihak yang telah membantu dalam penulisan skripsi ini. Semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi pihak yang memerlukan. Surakarta, Oktober 2013 Penulis vii

8 DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL i PENGESAHAN ii ABSTRAK iii ABSTRACT iv MOTO v PERSEMBAHAN vi KATA PENGANTAR vii DAFTAR ISI viii DAFTAR TABEL x DAFTAR GAMBAR xi DAFTAR NOTASI DAN SIMBOL xii I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah Perumusan Masalah Batasan Masalah Tujuan Manfaat II LANDASAN TEORI Tinjauan Pustaka Persamaan Gelombang Suara Di Bawah Air Masalah Sturm-Liouville commit. to. user Ruang Fungsi Eigen Sturm-Liouville viii

9 2.1.4 Bentuk Normal Masalah Sturm-Liouville Metode Beda Hingga Kerangka Pemikiran III METODE PENELITIAN 14 IV PEMBAHASAN Persamaan Gelombang Suara di Bawah Air Persamaan Kontinuitas Persamaan Momentum Persamaan Keadaan Masalah Sturm-Liouville dari Persamaan Gelombang Suara di Bawah Air Bentuk Normal Masalah Sturm Liouville dari Persamaan Gelombang Suara di Bawah Air Penyelesaian Masalah Sturm-Liouville dengan Metode Beda Hingga Contoh Penerapan V PENUTUP Kesimpulan Saran DAFTAR PUSTAKA 40 ix

10 DAFTAR TABEL 4.1 Penyelesaian pendekatan nilai eigen dan eksak dari Contoh dengan metode beda hingga dengan N = 5, 10, 20, 40, 80, Eror penyelesaian pendekatan nilai eigen dari Contoh dengan metode beda hingga dengan N = 5, 10, 20, 40, 80, Penyelesaian pendekatan nilai eigen dan eksak dari Contoh dengan metode beda hingga dengan N = 5, 10, 20, 40, 80, Eror penyelesaian pendekatan nilai eigen dari Contoh dengan metode beda hingga dengan N = 5, 10, 20, 40, 80, Penyelesaian pendekatan nilai eigen dari Contoh dengan metode beda hingga dengan N = 5, 10, 20, 40, 80, Estimasi eror penyelesaian pendekatan nilai eigen dari Contoh dengan metode beda hingga dengan N = 5, 10, 20, 40, 80, x

11 DAFTAR GAMBAR 3.1 Diagram alur penulisan Pusat sumber untuk gelombang suara di medium bertingkat Gelombang suara yang dipantulkan dari Contoh xi

12 DAFTAR NOTASI DAN SIMBOL u(x, t) : fungsi gelombang ϕ : fungsi potensial v : kecepatan t : waktu ω : frekuensi sudut (2πf) f : frekuensi : operator Laplace atau gradien (turunan berarah) t : waktu c : kecepatan suara k : frekuensi getaran suara ρ : densitas ρ 0 : densitas awal P : tekanan p : perubahan tekanan p 0 : tekanan awal λ : nilai eigen dari suatu matriks A u x : disubstitusikan x ke u δ : delta atau perubahan << : jauh lebih sedikit y j : fungsi eigen dari suatu matriks A Z j : fungsi eigen dari suatu matriks A dengan kedalaman z [a, b] : interval tertutup a dan b τ j : eror pemotongan lokal ke-j η j : sisa dari pendekatan y (x j ) ξ j : sisa dari pendekatan y (x j ) O(h 2 ) : eror pemotongan lokal pada orde dua xii

13 x : norma dari x u : vektor u : turunan parsial t : turunan parsial terhadap t ρ t : ρ diturunkan terhadap t : dot product pada R 3 R 3 : ruang vektor berdimensi tiga C : himpunan bilangan kompleks H : ruang Hilbert L 2 : himpunan fungsi penyelesaian (ruang Hilbert) dari masalah Sturm-Liouville X : ruang vektor kompleks 0 : vektor 0 f, g : hasil kali dalam dari fungsi f dan g L : operator Sturm-Liouville y (n) : turunan ke-n V : elemen volume x : panjang y : lebar z : tinggi N : pengambilan nilai N h : panjang langkah (step) i : 1 atau bilangan imajiner xiii