Bab 2. Persamaan Einstein dan Ricci Flow. 2.1 Geometri Riemann

Transkripsi

1 Bab 2 Persamaan Einstein dan Ricci Flow 2.1 Geometri Riemann Sebuah himpunan M disebut sebagai manifold jika tiap titik Q dalam M memiliki lingkungan terbuka S yang dapat dipetakan 1-1 melalui sebuah pemetaan f secara sinambung (kontinyu) ke sebuah himpunan terbuka S dalam R n untuk n tertentu [9]. Dengan demikian, secara lokal manifold mirip dengan R n. Hasil pemetaan f dari Q pada R n disebut sebagai koordinat dari Q menurut pemetaan f. Sembarang sistem koordinat dapat digunakan untuk memetakan manifold dengan sama baiknya, sebab pada sistem koordinat manapun yang digunakan, sebuah sistem fisis akan berperilaku sama [10]. Misal sebuah daerah pada M dapat dipetakan ke sistem koordinat x α dan x α. Jika terdapat fungsi terdiferensialkan yang menghubungkan kedua koordinat tersebut, maka M disebut sebagai manifold terdiferensialkan (differentiable manifold) [9, 11]. Jarak (selang/interval) ds antara dua titik yang saling berdekatan x α dan x α +dx α dalam manifold diberikan oleh ds 2 = g αβ (x)dx α dx β, (2.1) dengan g αβ (x) merupakan tensor kovarian tingkat dua yang simetrik (memenuhi 4

2 2.1 Geometri Riemann 5 g αβ = g βα ) dan komponen-komponenya bergantung pada posisi (koordinat). Tensor tersebut dinamakan metrik [1, 2]. Pemilihan metrik akan menambahkan struktur manifold [12]. Selanjutnya, panjang atau norm dari sebuah vektor kontravarian X α diberikan oleh X 2 = g αβ (x)x α X β. (2.2) Sebuah manifold terdiferensialkan yang vektor-vektor tak nol di dalamnya memiliki norm definit positif, disebut sebagai manifold Riemann [10, 12]. Karena suatu besaran fisis dapat digambarkan pada sembarang sistem koordinat, diharapkan bahwa operasi dan formulasi yang menggambarkan sistem fisis tersebut berbentuk sama pada sembarang kerangka koordinat yang digunakan (prinsip kovariansi umum, [2, 10]). Formulasi yang demikian disebut formulasi kovarian. Salah satu operasi penting dalam fisika adalah turunan (derivative). Turunan kovarian dari sebuah vektor kontravarian dan kovarian masing-masing diberikan oleh dengan Γ β αγ α X β = α X β + Γ β αγx γ, (2.3) α X β = α X β Γ γ αβ X γ, α x α, (2.4) disebut simbol Christoffel, yaitu sebuah besaran bukan tensor yang menggambarkan perubahan basis koordinat dari suatu titik ke titik lain dalam manifold [12]. Komponen-komponen simbol Christoffel ditentukan melalui hubungan Γ γ µν = 1 2 gγα ( ν g αµ + µ g αν α g µν ), (2.5) yang ditentukan berdasarkan identitas [2, 12, 14], µ g αβ 0. (2.6) Kelengkungan suatu ruang dicirikan oleh tensor kelengkungan (curvature tensor). Secara umum, tensor kelengkungan tersebut dinyatakan sebagai tensor Riemann yang merupakan tensor penghubung antara turunan kovarian-kedua dari suatu tensor dengan komponen tensor itu sendiri [2, 12, 13], [ α, β ] V µ = R µ ναβ V ν, (2.7)

3 2.2 Persaman Einstein 6 dengan [ α, β ] α β β α. Hubungan antara komponen tensor Riemann dengan simbol Christoffel dinyatakan oleh R µ ναβ = αγ µ νβ βγ µ να + Γ µ σαγ σ νβ Γ µ σβ Γσ να. (2.8) Komponen-komponen tensor Riemann terhubung satu sama lain melalui sifat-sifat simetri, R µανβ = R µαβν = R αµνβ = R νβµα, (2.9) R µανβ + R µβαν + R µνβα = 0, (2.10) dan identitas Bianchi λ R µανβ + β R µαλν + ν R µαβλ = 0. (2.11) Jika dilakukan kontraksi terhadap indeks pertama dan ketiga pada tensor Riemann, akan diperoleh identitas Bianchi terkontraksi α G α β = 0, (2.12) dengan disebut tensor Einstein, merupakan tensor Ricci, dan G αβ R αβ 1 2 g αβr (2.13) R αβ = R µ αµβ (2.14) R = g αβ R αβ (2.15) merupakan skalar Ricci. 2.2 Persaman Einstein Persamaan Einstein merupakan persamaan diferensial tak linear yang menghubungkan antara kelengkungan ruang (yang dinyatakan oleh G αβ ) dengan kerapatan massaenergi (T αβ ) menurut G αβ = 8πT αβ. (2.16)

4 2.2 Persaman Einstein 7 Divergensi dari besaran pada kedua ruas persamaan tersebut bernilai nol; α G αβ = 0 merupakan identitas Bianchi yang terkontraksi, dan α T αβ = 0 menyatakan hukum kekekalan energi-momentum [1, 2, 12, 14]. Mengingat µ g αβ = 0, persamaan Einstein dapat dimodifikasi menjadi G αβ Λg αβ = 8πT αβ, (2.17) dengan Λ sebuah konstanta yang disebut konstanta kosmologi [2, 12, 14]. Persamaan Einstein dapat digunakan untuk menentukan metrik berdasarkan sebaran materi di suatu ruang 1 (dengan kata lain persamaan dibaca dari kanan ke kiri), menentukan sebaran materi berdasarkan metrik tertentu (persamaan dibaca dari kiri ke kanan), atau digunakan sebagai batasan (constraint) bagi pemilihan g αβ dan T αβ yang simultan [2]. Karena g αβ dan T αβ bersifat simetrik, akan diperoleh sepuluh persamaan yang memberikan hubungan komponen-komponen kedua tensor tersebut. Jumlah ini lebih sedikit dibanding jumlah kuantitas yang tak diketahui (yaitu dua puluh: sepuluh komponen g αβ dan sepuluh komponen T αβ ). Dengan demikian, diperlukan constraint tertentu agar persamaan tersebut dapat dipecahkan [1, 2]. Kurang dari setahun setelah persamaan Einstein dipublikasikan, K. Schwarzschild menemukan solusi eksak persamaan tersebut dengan menambahkan asumsi simetri bola pada metrik dan meninjau kasus vakum (T αβ = 0)[2]. Berawal dari bentuk kanonik dari metrik bersimetri bola [1, 2], ds 2 = e ν dt 2 e λ dr 2 r 2 ( dθ 2 + sin 2 θ dφ 2), (2.18) dengan ν = ν (r, t) dan λ = λ (r, t), Schwarzschild mendapatkan solusi berbentuk ( ds 2 = 1 2m ) ( dt 2 1 2m ) 1 dr 2 r ( 2 dθ 2 + sin 2 θdφ 2). (2.19) r r Solusi tersebut dapat digunakan untuk menjelaskan fenomena gerak presesi perihelion planet Merkurius, pelengkungan lintasan cahaya (light bending), pergeseranmerah gravitasional (gravitational redshift), dan lubang hitam tak berotasi (nonrotating black hole) yang tak bermuatan [1, 2, 12]. 1 hal ini sejalan dengan prinsip Mach, bahwa sebaran materi di suatu ruang menentukan geometri ruang tersebut.

5 2.3 Ricci Flow Ricci Flow Persaman Ricci flow diperkenalkan oleh Richard Hamilton [3] pada tahun 1982 dalam usahanya membuktikan dugaan (conjecture) Thurston tentang geometrisasi manifold tertutup tiga dimensi [4], yang di dalamnya tercakup dugaan Poincaré bahwa manifold tiga dimensi yang tertutup, smooth, dan tersambung sederhana (simply connected) adalah difeomorfik 2 dengan bola tigaa dimensi atau S 3 [5]. Persaman tersebut merupakan analogi dari persamaan transfer panas difusif [15] pada geometri [6]. Persamaan Ricci flow dituliskan sebagai g αβ τ = γr αβ, (2.20) dengan γ adalah konstanta. Persamaan tersebut mirip dengan persamaan transfer panas difusif, karena tensor Ricci R αβ merupakan besaran yang mengandung sukusuku turunan kedua dari metrik g αβ. Persamaan (2.20) menggambarkan deformasi dari metrik Riemannan g αβ terhadap parameter τ. Deformasi tersebut ditentukan oleh tensor kelengkungan Ricci, sehingga bagian manifold yang memiliki kelengkungan lebih besar akan mengalami deformasi yang lebih besar pula [4]. Sebagai hasilnya, tensor kelengkungan akan berubah secara difusif, dan cenderung menyebarkan kelengkungan secara seragam ke seluruh bagian manifold [13]. 2 manifold M dan N yang keduanya terdiferensialkan tak hingga kali (C ) dikatakan difeomorfik jika pemetaan yang menghubungkan keduanya bersifat 1-1 dan C pemetaan tersebut juga C. serta balikan (invers) dari