BAB V INFERENSI STATISTIK SATU POPULASI NORMAL Bab ini membahas inferensi statistik untuk mean dan variansi satu populasi normal berdasarkan sampel random berukuran kecil dan besar. Untuk membahas hal tersebut diperlukan beberapa distribusi sampling statistik. 5.1. Beberapa Distribusi Sampling Statistik Teorema 5.1 Jika X1,...,X n adalah sampel random berasal dan populasi normal dengan mean dan variansi 2 maka variabel random berdistribusi normal standar N(0,1). Teorema 5.2 (distribusi t) Jika X1,...,X n adalah sampel random berasal dari populasi normal dengan mean dan variansi 0-2 maka variabel random berdistribusi t dengan derajat bebas (n-1) Distribusi ini digunakan untuk Inferensi mean populasi normal dengan ukuran sampel (n) kecil (n<30) dan tidak diketahui. Untuk n yang semakin besar maka distribusi t ini akan mendekati distribusi normal Teorema 5.3 (Distribusi Chi-Kuadrat) Diketahui Y 1, Y 2,, Y k adalah variable random yang berdistribusi normal standar yang independen satu dengan yang lain. Distribusi probabilitas variable random berdistrbusi Chi-Kuadrat berderajat bebas k dengan mean E( 2 ) =k dan variansi var( 2 ) = 2k Universitas Gadjah Mada 1
Teorema 5.4 Apabila sampel sampel random berukuran n diambil dari suatu populasi yang berdistribusi normal dengan mean dan variansi 2 makavariabel random berdistribusi chi-kuadrat dengan derajat bebas n-1. Teorema 5.5 Apabila sampel sampel random berukuran n diambil dari suatu populasi yang berdistribusi normal dengan mean dan variansi 2 maka variable random berdistribusi normal standar N(0,1) untuk n besar. 5.2. Inferensi Statistik Untuk Mean Populasi Normal Estimasi Interval Mean Populasi Normal Misalkan X 1, X 2,..., X n adalah sampel random yang diambil dari populasi normal dengan mean,u dan variansi 6 2 maka Interval Konfidensi (1-a) 100% untuk µ adalah a. Bila 2 diketahui maka menurut teorema 5.1 diperoleh dengan nilai Z /2 diperoleh dari tabel distribusi normal standar ( tabel 4 ) b. Bila 2 tidak diketahui maka menurut teorema 5.2 diperoleh dengan nilai t n-1; /2 diperoleh dari tabel distribusi t ( tabel 5 ) c. Bila 2 tidak diketahui dan n besar maka menurut teorema limit pusat diperoleh Universitas Gadjah Mada 2
dengan nilai Z /2 diperoleh dari tabel distribusi normal standar ( tabel 4 ) Contoh 5.1 Suatu unit kontrol dari suatu perusahaan logam ingin melihat kekuatan dari suatu jenis logam Baru. Dari 15 sampel diperoleh mean 39,3 dan standar deviasi standar 2,6. Dengan mengasumsikan bahwa kekuatan logam itu berdistribusi normal, hitung interval konfidensi 90% untuk mean kekuatan logam tersebut. Jawab: Diketahui : n=15; x =39,3 ; s=2,6 dan =0,10 Dari tabel distribusi t diperoleh t 14,0,05=1,761, sehingga kits dapatkan interval konfidensi 90% untuk mean kekuatan logam adalah dengan atau 38,12 40,48 Uji Hipotesis Untuk Mean Populasi Normal Ingin dilakukan pengujian apakah mean ( ) dari suatu populasi normal sama dengan o (konstanta) berdasarkan sampel random berukuran n. Langkah uji hipotesisnya dapat diurutkan sebagai berikut. 1. Hipotesis 2. Diambil tingkat signifikansi a 3. Statistik penguji Universitas Gadjah Mada 3
4. Daerah Kritik : daerah dimana Ho di tolak (H 1 di terima). Nilai kritiknya dapat dilihat pada tabel yang disesuaikan dengan statistik pengujinya. 5. Kesimpulan. Contoh 5.2: Seorang peneliti ingin mengetahui apakah rata-rata banyaknya bekteri per unit volume pada suatu air danau masih berada dibawah batas aman yaitu 200 bakteri/per unit volume. Dari sampel sebanyak 10 diperoleh rata rata 194,8 bakteri/per unit volume dengan deviasi standar s=13,14 bakteri/per unit volume. Dengan asumsi data berasal dari populasi normal, apakah data menunjukkan bahwa banyak bakteri masih dibawah batas aman? ( =0,01) Jawab: Disini ukuran sampel kecil sehingga kita gunakan uji t diatas. 1. Hipotesis 2. Diambil tingkat signifikansi a=0,01 Universitas Gadjah Mada 4
3. Statistik penguji karena a tidak diketahui maka digunakan 3. Daerah kritis Hitungan: dari data diperoleh 4. Kesimpulan Karena t >- t (9,0,01) maka H o tidak di tolak, berarti fakta tidak cukup kuat untuk mendukung pernyataan bahwa air danau masih di bawah ambang batas. 5.3. Inferensi Untuk Variansi Populasi Normal Estimasi Interval Variansi Populasi Normal Berdasarkan Teorema 5.4 dapat diturunkan interval kondidensi (1- )100% untuk ² melaui sehingga diperoleh Interval Konfidensi (1- ) 100% untuk ² dengan dengan nilai diperoleh dari tabel chi-kuadrat (tabel 6). Untuk n yang cukup besar maka perlu digunakan Teorema 5.5, diperoleh Interval Konfidensi (1- a) 100% untuk a 2 adalah dengan Universitas Gadjah Mada 5
Contoh 5.3: Ingin di uji keandalan suatu jenis jam tangan. Diambil sampel berukuran 10 dari jenis jam tangan tersebut, dan kemudian diukur perbedaan waktu dari jam jam tersebut dengan jam standar, dan diperoleh data rata rata 0,7 detik dan standar deviasi 0,4 detik. Dengan asumsi data berdistribusi normal, hitung interval konfidensi 90% untuk deviasi standar selisih jam tangan dengan jam standar. Jawab: Diketahui : Dari tabel chi-kuadrat diperoleh sehingga interval konfidensi 90% untuk 2 adalah Universitas Gadjah Mada 6
Uji Hipotesis Untuk Variansi Populasi Normal Langkah langkah untuk uji hipotesis adalah sebagai berikut 1. Hipotesis 2. Ditentukan tingkat signifikansi a 3. Statistik penguji 4. Daerah Kritik Disini dihitung dan table chi-kuadrat dan x 2 adalah nilai statistik yang dihitung dan sampel Universitas Gadjah Mada 7
5. Kesimpulan Contoh 5.4: Suatu mesin pembuat uang dikatakan masih balk jika mampu memproduksi uang logam dengan standar deviasi 0,025. Ujilah apakah mesin itu masih balk bile sampel 20 uang logam mempunyai standar deviasi 0,030, dengan mengasumsikan bahwa berat uang logam berdistribusi normal (a=0,05) Jawab: Diketahui : n=20; s=0,030 dan a =0,05 1. 1. Hipotesis 2. Ditentukan tingkat signifikansi a=5% 3. Statistik penguji 4. Daerah Kritik Hitungan: Dari data didapat 5. Kesimpulan Disini terlihat bahwa statistik penguji tidak masuk dalam daerah kritik, yakni H o tidak ditolak. Dengan kata lain, dapat disimpulkan bahwa mesin tersebut masih baik. Universitas Gadjah Mada 8
Latihan 1. Untuk menguji pengaruh pupuk baru terhadap hasil kacang tanah, sebidang tanah dibagi menjadi 42 petak kecil yang sama luasnya. Pengaruh-pengaruh lain seperti air, sinar matahari, kegemburan tanah dan sebagainya dianggap sama. Pupuk baru digunakan pada tanaman kacang sebanyak 21 petak, sedangkan sisanya dengan pupuk lama, diperoleh hasil sebagai berikut: a) Dengan tingkat signifikansi 1%, apakah dapat disimpulkan bahwa pupuk Lama menghasilkan rata-rata berat kacang tanah kurang dari 30 kg? b) Dengan tingkat signifikansi 1%, apakah dapat disimpulkan bahwa pupuk Baru menghasilkan rata-rata berat kacang tanah Iebih dari 30 kg? c) Hitunglah interval konfidensi 95% untuk rata-rata berat kacang hasil panen dengan menggunakan pupuk baru. d) Hitunglah interval konfidensi 90% untuk vanansi kacang hasil panen dengan menggunakan pupuk lama. Universitas Gadjah Mada 9