TRANSFORMASI GEOMETRI BAB Suatu transformasi bidang adalah suatu pemetaan dari bidang Kartesius ke bidang yang lain atau T : R R (x,y) ( x', y') Jenis-jenis transformasi antara lain : Transformasi Isometri yaitu transformasi yang tidak mengubah jarak Translasi ( Pergeseran), Rotasi ( Pemutaran ), Refleksi ( Pencerminan ). Dilatasi ( Perbesaran), Stretch ( Regangan ), Shear ( Gusuran / kecondongan ). TRANSLASI ( PERGESERAN) Translasi atau pergeseran adalah transformasi yang memindahkan titik-titik dengan jarak dan arah tertentu. Jarak dan arah ditunjukkan oleh vektor translasi. a Vektor translasi dpt ditunjukkan oleh bil. berurutan yang ditulis dlm bentuk matriks kolom. b Suatu translasi T dengan vektor translasi dapat dituliskan : a T = : P(x,y) P' (x + a, y + b) b Jika P'(x',y'), secara aljabar dapat dituliskan dengan hubungan : x' = x + a y' = y + b a Titik P' disebut bayangan titik P oleh translasi T =. b Contoh : a. Mentransformasikan titik P ke P' secara pemetaan b Tentukan bayangan PQR dengan P(,), Q(,4) dan R(-,3) bila dilakukan translasi oleh P(,) P' ( +, +3) atau P' (3,4) Q(,4) Q' (+, 4+3) atau Q' (4,7) R(-,3) R' (-+, 3+3) atau R' (,6). 3 Latihan.. Tentukan peta dari grafik y x jika ditranslasikan oleh bentuk 4 83
. Tentukan bayangan parabola 5 oleh translasi y 3x x 3. Diketahui suatu pergeseran yang dinyatakan oleh pemetaan T: (x,y) (x-3, y+4). Tentukan peta dari garis y = 3x + 4 4. Suatu lingkaran x y r apabila pada lingkaran tersebut dilakukan pergeseran bentuk a b, tunjukkan bahwa peta dari lingkaran tersebut mempunyai persamaan 5. Tentukan translasi untuk mendapatkan parabola dengan persamaan ( x a) ( y b) r y x x 4 dari parabola y x x 3 x y 6. Suatu ellips ditransformasikan dengan suatu tarnsformasi yang bersesuaian dengan 6 4 matriks, tentukan bayangannya serta beri kesimpulan tentang bayangnnya 7. Tentukan bayangan titik dan garis berikut oleh suatu transformasi yang bersesuaian dengan matriks 3 a. (-,3) b. y x + 6 = 8. Suatu hiperbola yang puncaknya (,3) dan (,-3) serta fokusnya (,5) dan (,-5) ditarnslasikan oleh T tentukan : 4 a. Persamaan hiperbola b. Bayangan hiperbola oleh translasi T 9. Oleh suatu pemetaan P9 x, y) P'( x', y') dengan x'= 3x-4y dan y' = 4x-3y a. Tentukan matriks yang berkaitan dengan dengan pemetaan itu b. Carilah peta dari segitiga ABC jika A(,- ), B( 5, - ) dan C( 5, -3 ). Tentukan puncak dan focus parabola y 6x yang ditranslasikan dengan. REFLEKSI Refleksi atau pencerminan adalah transformasi yang memindahkan titik-titik dengan menggunakan sifat bayangan oleh suatu cermin yaitu : ) Garis yang menghubungkan setiap titik dengan bayangannya tegak lurus dengan cermin (sumbu pencerminan) 84
) Jarak antara setiap titik dan cermin sama dengan jarak bayangan ke cermin 3) Bangun dan bayangannya adalah kongruen Pencerminan dilambangkan dengan Beberapa pencerminan yang telah dipelajari antara lain : a. Pencerminan terhadap garis y = x b. Pencerminan terhadap garis y = - x c. Pencerminan terhadap sumbu X d. Pencerminan terhadap sumbu Y M a dengan a adalah cermin (sumbu simetri) e. Pencerminan terhadap garis yang sejajar sumbu Pencerminan terhadap garis y = mx adalah suatu pemetaan T : R R ( x, y) ( x', y') dimana m m x' x y m m m m y' x y m m Dari difinisi diatas dapat dilihat hal-hal khusus yaitu apabila m= ; m = - dan m =. a. Jika m =, maka pencerminan diatas merupakan pencerminan terhadap sumbu X. akibatnya persamaan pencerminan menjadi : x' = x dan y' = -y Jadi pencerminan terhadap sumbu X adalah pemetaan T : (x,y) ( x, -y ) Matriks Refleksinya b. Jika m, maka pencerminan diatas merupakan pencerminan terhadap sumbu Y. yang mengakibatkan persamaan pencerminan menjadi ; x' = -x dan y' = y Pencerminan terhadap sumbu Y adalah pemetaan T :( x, y) ( x, y) A(x,y) y=mx A'(x',y') X Matriks Refleksinya 85
c. Jika m=, maka pencerminan diatas merupakan pencerminan terhadap garis y = x yang mengakibatkan persamaan pencerminan menjadi ; x' = y dan y' = x Pencerminan terhadap garis y = x adalah pemetaan T :( x, y) ( y, x) Matriks Refleksinya d. Jika m=-, maka pencerminan diatas merupakan pencerminan terhadap garis y = -x. yang mengakibatkan persamaan pencerminan menjadi ; x' = - y dan y' = -x Pencerminan terhadap garis y = x adalah pemetaan T :( x, y) ( y, x) Matriks Refleksinya e. Pencerminan terhadap garis y = k x' = k x dan y' = y f. Pencerminan terhadap garis y = k x' = x dan y' = k - y g. Pencerminan terhadap titik (a,b) Contoh : x' = a x dan y' = b y Tentukan bayangan lingkaran x y x y 4 6 jika dicerminkan terhadap garis y x Persamaan dari pencerminan terhadap garis y x adalah x' y dan y' x Dari persamaan tersebut maka x = y' dan y = - x', kemudian substitusikan ke persamaan lingkaran akan didapat : ( y') ( x') 4( y') 6( x') atau ( x') ( y') 6 x' 4 y' dengan membuang "aksen" diperoeh bentuk x y x y 6 4 yang merupakan bayangan lingkaran. Latihan.. Diketahui titik A(3,), B(4,-) dan C(5,4) dicerminkan terhadap garis x = 5. Lukislah dan tentukan bayangan masing-masing titik serta tentukan titik invariannya ( titik yang terletak pada cermin. Suatu lingkaran x y x y 6 dicerminkan terhadap garis y = - x, tentukan bayangan dari lingkaran itu 3. Belah ketupat PQRS dengan P(,), Q(3,-),R(5,) dan S( 3,5 ). Tentukan bayangan PQRS oleh refleksi terhadap pusat koordinat. 4. Tentukan bayangan dari persamaan garis 3x y 4 = jika dicerminkan terhadap garis x = - 86
5. Tentukan bayangan parabola y x x 3 4 oleh pencerminan terhadap (, - 4 ) 6. Tentukan bayangan garis 3x + y 4 = oleh pencerminan terhadap garis x 7. Tentukan bayangan ellips x y oleh pencerminan terhadap titik (5,3) 6 9 8. Tentukan matriks yang bersesuaian dengan pencerminan terhadap garis y 3x dengan menentukan sudut antara garis dan sumbu X 3. ROTASI Suatu transformasi yang memindahkan titik-titik dengan cara memutar titik-titik sejauh dengan pusat titik P. Jika positip maka arah putaran berlawanan arah putaran jarum jam dan jika negatip akan searah dengan arah putaran jarum jam. disebut dengan sudut rotasi dan P disebut pusat rotasi dan suatu rotasi dengan pusat P dan sudut rotasi ditulis R (P, ) T : R R ( x, y) ( x', y') dimana x' xcos ysin y' xsin ycos Jika R(P, ) : ( x, y) ( x', y') dengan P(a,b) Terdapat hubungan : x' ( x a)cos ( y b)sin a y' ( x a)sin ( y b)cos b (x',y') P (x,y) Matriks yang bersesuaian dengan rotasi : Rotasi Matriks R R(,9 ) 9 R R R(, 9 ) 9 R(,8 ) 8 R(, ) x' x y' y x' x y' y x' x y' y x' cos sin x y' sin cos y 87
Contoh : Tentukan bayangan dari titik A(,4), B(-3, 5) dan C(, -3) jika dirotasi dengan : a. seperampat putaran b. setengah putaran a. Rotasi seperempat putaran berarti x' xcos9 ysin9 atau x' = -y y' xsin9 ycos9 y' = x 9 maka Jadi rotasi seperempat putaran adalah T :( x, y) ( y, x) Maka A'(-4,), B'(5,-3) dan C'(3,) b. Rotasi setengah putaran berarti x' xcos8 ysin8 8 maka atau x' = - x y' xsin8 ycos8 y' = - y Jadi rotasi setengah putaran adalah T :( x, y) ( x, y) Maka A'(-,-4), B'(3,-5) dan C'(,3) Contoh : Tentukan peta dari garis y = -x + jika dirotasi seperempat putaran. Persamaan rotasi seperempat putaran x' = -y dan y' = x Maka dari persamaan didapat x = y' dan y = -x' yang selanjutnya disubstitusikan pada persamaan y' = -x' + atau x' = -y' + dengan menghilangkan tanda " aksen" diperoleh -x = -y + atau y = x + yang merupakan peta dari garis y = -x + Latihan 3.. Tentukan peta dari segitiga ABC dengan A(, ), B( 3, ) dan C (, 5 ) jika diputar dengan sudut 9 dan pusatnya titik B(3,). Tentukan bayangan dari garis y = -x + jika diputar 9 dengan pusat titik (,) 3. Tentukan peta dari lingkaran x y x y 4 6 jika diputar oleh bentuk,8 4. Jika M(,), tentukan bayangan dari lingkaran x y 5 jika dirotasi oleh bentuk M,9 5. Diketahui A(,) dan B(4,) di[etakan ke A'(, ) dan B'(, ). Tentukan matriks transformasinya dan tulis jenis transformasinya. 88
6. Persegi panjang KLMN dengan K(,-), L(5,-). M(5,) DAN n(,) Dirotasikan terhadap (,),. Tentukan bayangan dari koordinat titik sudut persegi panjang tersebut. 3 7. Tentukan matriks yang bersesuaian oleh rotasi, 4 8. Tentukan bayangan titik A(- 3, ), B( 4,5) C (, - ) oleh rotasi yang berpusat di (,) sebesar 7 4. DILATASI Adalah suatu transformasi yang mengubah jarak titik-titik dengan faktor skala (pengali) tertentu dipusat dilatasi tertentu. Dilatasi suatu bangun akan mengubah ukuran tanpa mengubah bentuk bangun tersebut. Transformasi Dilatasi dengan faktor saa sebesar k adalah suatu pemetaan yang didefinisikan sbb: T : R R ( x, y) ( kx, ky) dimana k real. Suatu dilatasi dengan faktor skala k dan pusat dilatasi P ditulis : Pk, Jika P, k: A( x, y) A'( x', y') dengan P(a,b) maka terdapat hubungan : Y A x' = a + k (x a ) y' = b + k (y b ) Jika dengan pusat O (,) terdapat hubungan : x' = kx y' = ky dengan matriks yang sesuai k Pada dilatasi faktor k akan menentukan ukuran dan letak bangun bayangannya. k ) Jika k, maka bangun bayangan diperbesar dan searah terhadap pusat dan bangun semula ) Jika k, maka bangun bayangan diperkecil dan searah terhadap pusat dan bangun semula 3) Jika k, maka bayangan diperkecil dan berlawanan arah dengan pusat dan bangun semula 4) Jika k, maka bangun bayangan diperbesar dan berlawanan arah terhadap pusat dan bangun semula O A B B X Contoh : Diketahui dilatasi dengan pusat (,) dan faktor skala 3. Oleh dilatasi tsb tentukan bayangan dari : a. titik A(3,) dan B9-4,3) 89
b. garis y-x+5= x' 3 3 4 5 6 a. y' 3 3 4 7 Bayangan nya adalah :A' (5,4) dan B'(-6,7) x' 3 x b. y' 3 y 3x6 3x4 3y3 3y x 4 x' 3x 4 x 3 y y' 3y y 3 substitusi ke y x+5= didapatkan : y' x4. 5 3 3 y' x' 8 5 y' x' 9 maka bayangannya adalah : y x +9 = Latihan 4.. Tentukan peta dari garis y = x 3 apabila dilakukan transformasi perkalian sebesar 4 dengan pusat dilatasi : a. titik (,) b. titk M (,). Titik P(x,y) didilatasikan dengan pusat A(a,b) dan faktor skala k sehingga didapat bayangan P'(x',y'). ' a. Tunjukkan bahwa x x a k k y' y b b. Jika EFG adalah segitiga dengan E(3,3), F(-,-6) dan G(7,-4), maka tentukan bayangan segitiga EFG oleh dilatasi A, 4 dengan A(-6,8) 3. Tentukan bayangan dari 5 3 oleh dilatasi, y x x 4. Dilatasi,k mentransformasikan titik L(-4,6) ke L'(,-3). Tentukan faktor dilatasinya 5. Titik B (4,6) didilatasikan dengan pusat A dan faktor dilatasi 3 sehingga bayangannya adalah B' (-, ). Tentukan koordinat titik A 9
6. Lingkaran 4 6 3 didilatasikan oleh (,),. Tentukan persamaan x y x y bayangannya. 7. Dengan menggunakan matriks yang sesuai, tentukan bayangan titik K(- 3,- 4 ) oleh dilatasi (,3), 8. Diketahui titik-titik P(,4), Q(,), R(3,) jika P'(6,8) merupakan hasil dilatasi titik P dengan faktor skala 3 a. Tentukan pusat dilatasi b. Tentukan koordinat titik Q' dan R' 9. Suatu lingkaran dengan pusat (3,) dan jari-jari 4 ditarnsformasikan oleh dilatasi dengan pusat ( - 3, 6 ) dan faktor skala 3. Tentukan : a. persamaan lingkaran tersebut b. bayangan oleh transformasi tersebut. Lingkaran dengan persamaan x y x y faktor skala. Tentukan bayangannya 4 4 oleh dilatasi dengan pusat (,4) dan 5. TRANSFORMASI GUSURAN ( SHEAR) Transformasi gusuran adalah suatu transformasi yang menggeser suatu titik menurut arah sumbu X atau sumbu Y, jadi ada macam transformasi gusuran, yaitu:. Transformasi gusuran arah sumbu X q Matriks transformasi yang bersesuaian adalah dengan q =factor skala tg Titik A ( x, y ) ditransformasikan menjadi ( x', y' ) dengan : A B A B x' = x + qy y' = y X. Transformasi gusuran dengan arah sumbu Y O Matriks transformasi yang bersesuaian adalah dengan p =factor skala p tg Titik A ( x, y ) ditarnsformasikan menjadi ( x', y' ) dengan : x' = x y' = y + p Contoh : Diketahui titik (, -3 ). Tentukan bayangan titik itu oleh a. gusuran searah sumbu Y dengan faktor skala 3 9
b. gusuran searah sumbu X dengan faktor skala 4 a. b. x' x y' 3 y 3 3 9 x' 4 x 4 y' y 3 3 LATIHAN 5.. Tentukan bayangan garis x 3y + = oleh transformasi gusuran searah sumbu x dengan faktor skala. Diketahui persegi ABCD dengan titik sudutnya A(,), B(4,),C(4,) dan D(,). Tentukan koordinat titik sudut bayangan persegi ABCD oleh transformasi gusuran dengan factor skala dan garis invariant sumbu X, gambarkan hasil gusurannya. 3. Diketahui titik (, -3). Tentukan bayangan titik itu oleh : a. gusuran searah sumbu Y dengan factor skala 3 b. gusuran searah sumbu X dengan factor skala 4 4. Persegi OABC dengan O(,), A(6,),B(6,6) dan C(,6) digusur dengan sumbu Y sebagai garis invariant sehingga bayangan titik B adalah B' (9,6). a. gambar gusuran tersebut b. tentukan skala gusuran dan matriks yang bersesuaian dengan gusuran tersebut 5. Tentukan bayangan suatu lingkaran dengan persamaan x y 6 oleh gusuran 6. REGANGAN ( STRETCHING) Merupakan suatu transformasi yang memetakan himpunan titik pada bidang ke himpunan titik lainnya dengan cara memperbesar/memperkecil jarak titik-titik itu ke garis tertentu ( invariant ). Perbandingan antara jarak titik peta ke garis invariant dengan jarak titik semula ke garis invariant disebut factor regangan. Arah garis yang tegak lurus dengan garis invariant disebut arah regangan. a. Regangan searah sumbu X Artinya garis searah sumbu Y ( garis invariant) dengan factor regangan k k Matriks tarnsformasi yang bersesuaian A A Titik A ( x, y ) ditransformasikan menjadi ( x', y' ) dengan : x' = kx y' = y b. Regangan searah sumbu Y B B 9
Artinya garis searah sumbu X ( garis invariant) dengan factor regangan k Matriks tarnsformasi yang bersesuaian k Titik A ( x, y ) ditransformasikan menjadi ( x', y' ) dengan : x' = x y' = k y Contoh : Carilah persamaan bayangan kurva 3x + y = 9 oleh regangan x x' y y' Latihan 6. x x' y y' x ' x x x' maka y y' y y' diperoleh : 3x + y = 9 3( x') y' 9 3 x' y' = - 8 diperoleh bayangannya adalah 3x y = - 8. Sebuah persegi panjang ABCD setelah diregangkan dengan skala regangan dan garis invariant sumbu Y diperoleh ppersegi panjang A'B'C'D' dengan koordinat A'(-, ), B'(4, ), C'(4, 3) dan D'( -, 3). Tentukan koordinat titik sudut persegi panjang ABCD. Penggal garis AB setelah diregangkan dengan skala dan garis invariant sumbu Y diperoleh penggal garis A'B' yang koordinat titik ujung A'(,3)dan B'(,). Tentukan koordinat titik A dan B. 3. Tentukan peta dari kurva x + 3y = 4 oleh transformasi regangan searah sumbu X dan factor regangan 3 4. Diketahui trapezium PQRS dengan koordinat titik sudutnya P(-, -),Q(4,-),R(,) dan S(-,). Tentukan koordinat bayangan titik sudut trapezium PQRS tersebut jika diregangkan dengan skala dan garis invariant sumbu Y 5. Persegi panjang OABC diregangkan menjadi OA'B'C. Bila A(6,), B(6,4),C(,4) dan A'(9,), maka: a. Gambar hasil regangan tersebut 93
b. Tentukan skala regangan c. Tulis matriks transformasinya. 7. Transformasi Komposisi Misalkan adalah transformasi yang didefinisikan oleh pemetaan : x,y T x',y' T 3 x",y" T Dari diagram terlihat bahwa ada suatu transformasi lain yaitu yang dinamakan komposisi dari T dan T a c Jika T adalah translasi oleh bentuk dan T b d maka komposisi T dengan T adalah T3 T T a c yang merupakan translasi oleh bentuk b d a. Pencerminan berturut-turut terhadap dua sumbu yang sejajar. A A A X X=a X=b 94
Pertama oleh sumbu x=a, dan dilanjutkan oleh sumbu sumbu x = b, maka titik A(x,y) akan ditranslasi ke A (a-x,y) kemudian ke A ( b-a+x, y) Jadi A(x,y) ke A (x,y ) dengan : x" x ( b a) y" y Titik bergeser :. sejauh kali jarak sumbu pertama dan sumbu kedua. arahnya dari sumbu pertama ke sumbu kedua. Jika cermin pertama y = c dan cermin kedua y=d maka titik A(x,y) akan pindah ke A (x, c y) kemudian ke A ( x, d c + y) x" x y" y ( d c) Contoh : Titik B(-,3) dicerminkan berturut-turut terhadap sumbu Y=-4 kemudian terhadap Y =. Tentukan koordinat bayangannya. x" y" 3 ( ( 4) x" y" 5 b. Pencerminan berturut-turut terhadap dua sumbu yang membentuk sudut A A A S S A(x,y) dicerminkan terhadap S kemudian S akan menghasilkan bayangan A (x,y ) dengan : x" cos sin x a a y" sin cos y b b Jika S sebagai cermin pertama dan S sebagai cermin kedua maka : x" cos( ) sin( ) x a a y" sin( ) cos( ) y b b Pencerminan berturut-turut terhadap dua sumbu yang membentuk sudut sama dengan : pemutaran terhadap titik potong kedua sumbu itu sebesar arah dari sumbu pertama ke sumbu kedua 95
Contoh : Ditentukan titik A(5,), garis k : y= x +, garis l : = 3x 3 Tentukan koordinat titik bayangan yang terjadi jika titik A dicermnkan berturut-turut terhadap a) garis k kemudian garis l b) garis l kemudian garis k a) garis k dan l berpotongan di P(,3) m, m 3 sudut antara k dan l = k l tg 3.3 maka 45 x" cos9 sin9 5 4 y" sin9 cos9 3 3 6 b.coba sendiri. c. Rotasi berturut-turut terhadap pusat yang sama. Titik A(x,y) diputar sebesar terhadap titik P(a,b) kemudian diputar lagi sebesar terhadap pusat yang sama, maka bayangannya adalah A (x,y ) dengan : x" cos( ) sin( ) x a a y" sin( ) cos( ) y b b c. Transformasi berturut-turut dengan matriks M dilanjutkan dengan M, memindahkan titik A(x,y) ke titik A (x,y ) dengan : x" x M. M y" y Latihan 7.. Diketahui T 3, T, T3. Tentukan bayangan dari : 5 6 a. A(-4,) oleh T dilanjutkan T b. Transformasi tunggal T3 T T dan tentukan pula bayangan titik A oleh T 3. Diketahui R adalah rotasi dengan pusat (,) sebesar 3, R rotasi dengan pusat (,) sebesar 9, dan R 3 dengan pusat (,) sebesar 5, Tentukan bayangan titik C(6,-4) oleh : a. R R b. R R R3 96
3. Tentukan bayangan garis 3x y = 3 oleh refleksi terhadap garis x = 3 dilanjutkan dengan rotasi dengan pusat (,) sebesar 7 4 4. Diketahui T. Bayangan titik A(,5) oleh T T adalah A'(-3,). Carilah matriks translasi 3 T 5. Tentukan matriks yang ekuivalen dengan rotasi yang berpusat di (,) sebesar dengan rotasi yang berpusat di (,) sebesar 6 75 dilanjutkan 6. Tentukan bayangan titik (4,-8) jika dicerminkan terhadap garis x = 6 dilanjutkan dengan rotasi (,6 ) 7. Garis x y 3 = dicerminkan terhadap sumbu Y kemudian dicerminkan terhadap sumbu X. Tentukan persamaan bayangannya 8. Lingkaran berpusat di (3,-) dan berjari-jari 4 diputar dengan terhadap sumbu X. Tentukan persamaan bayangannya. R (,9 ) kemudian dicerminkan 9. parabola x y y 3 3 dirotasikan dengan R (,9 ) dilanjutkan dengan transformasi regangan 3. Tentukan bayangannya.. Garis g: x y + 4 = adalah bayangan garis l oleh pencerminan terhadapsumbu X dilanjutkan rotasi yang berpusat di (,) sebesar 7. Tentukan persamaan garisnya. 8.Perubahan Luas Bangun Karena Transformasi. Jika luas bangun semula = L, kemudian bangun itu ditransformasikan dengan matriks a b, maka luas bangun bayangannya = L = ad c d bd xl. Latihan 8.. Diketahui persegi PQRS dengan P(,),Q(5,),R(5,4) dan S(,4) oleh transformasi 4. Tentukan luas bangun bayangannya.. Trapesium ABCD dengan A(,), B(7,), C(6,4) dan D(,4). Carilah luas bangun bayangnnya jika ditarnsformasikan terhadap garis y=-x. 97
3. Dikatahui segitiga ABC dengan A(3,3), B(5,7) dan C(8,3). Tentukan : a. Luas segitiga ABC b. Luas bayangannya oleh dilatasi dengan pusat (,) dan factor skala 3 4. Segi empat ABCD dengan A(3,-), B(3,3), C(7,3) dan D(7,-). a. Gambar segi empat yang dimaksud pada koordinat kartesius b. Tentukan luas segi empat ABCD tersebut c. Tentukan luas bayangannya oleh transformasi yang ekuivalen dengan matriks 5. Diketahui segitiga P(3,-),Q(5,4) dan R(-,). a. Hitung luas segitiga dengan metode determinan b. Hitung luas bayangannya oleh gusuran searahsumbu Y dengan factor skala 3. 4 3 98