LANGKAH-LANGKAH PENENTUAN SUATU BARISAN SEBAGAI SUATU GRAFIK DENGAN DASAR TEOREMA HAVEL-HAKIMI Erly Listiyaa, Susilo Hariyato 2 da Lucia Ratasari 3, 2, 3 Jurusa Matematika FMIPA UNDIP Jl. Prof. H. Soedarto, S.H., Tembalag, Semarag. Abstract. Cosider a o icreasig sequece of o egative itegres d = (d, d 2,, d ). A sequece s called a graphic if it is sequce of degrees o a simple graph with order. I this paper will be discussed ecessary ad sufficiet coditios of a sequece d be a graphic. Ad the will be costructed a algorithm to determie a sequece be a graphic, particularly a sequce with large order. Keywords : sequce of degrees, graphic.. PENDAHULUAN Graf G didefiisika sebagai pasaga himpua (V, E) dega V = himpua tidak kosog dari titik (vertex) da E = himpua garis (edge) yag meghubugka sepasag titik atau dapat ditulis dega otasi G = (V,E). Represetasi visual dari graf adalah dega meyataka objek sebagai titik da hubuga atara objek diyataka dega garis. Sebagai cotoh, sebuah jariga komuikasi dapat dimodelka ke dalam betuk graf, dega titik meyataka pusat komuikasi da garis meyataka jariga komuikasi. Apabila diberika suatu graf sederhaa G maka barisa derajat dari graf G pasti dapat ditetuka. Namu tidak berlaku sebalikya yaki jika diberika suatu barisa bilaga bulat tak egatif yag tidak aik d=(d, d 2,, d ), maka belumlah tetu terdapat suatu graf sederhaa G dega barisa derajat d. Agar barisa d merupaka grafik diataraya harus dipeuhi - utuk setiap i =, 2,..., da geap. Namu kodisi ii teryata belum cukup mejami bahwa d adalah Oleh karea itu perlu diteliti syarat perlu da cukup agar barisa d merupaka 2. DASAR TEORI 2.. Jeis-jeis graf Graf dapat dikelompokka mejadi beberapa jeis. Pegelompoka graf dapat dipadag berdasarka ada tidakya garis gada atau loop, berdasarka jumlah titik da berdasarka orietasi arah pada garis. Berdasarka ada tidakya garis gada atau loop, maka graf digologka mejadi 2 jeis yaki sederhaa da tak sederhaa.graf Sederhaa (Simple Graph) adalah graf yag tidak megadug garis gada maupu loop. Sedagka graf tak sederhaa (Usimple Graph) adalah graf yag megadug garis gada maupu loop. Berdasarka jumlah titik pada suatu graf, maka secara umum graf dapat digologka mejadi graf berhigga da tak berhigga.graf berhigga dalah graf yag jumlah titikya berhigga da sebalikya disebut graf tak berhigga. Berdasarka orietasi arah pada garis graf dapat dibedaka mejadi 2 jeis, yaitu graf tak berarah yag garisya tidak mempuyai orietasi arah. Da graf berarah yag garisya mempuyai orietasi arah. 2.2. Operasi Switchig Defiisi 2. [5] Operasi switchig σ (a, b, c, d) =σ pada graf G adalah operasi peggatia garis 60
Erly Listiyaa, Susilo Hariyato da Lucia Ratasari (Lagkah-Lagkah Peetua Suatu Barisa Sebagai ) ab, cd E(G) dega garis ac, bd E(G) ( a, b, c, d ) da =(G {ab, cd})+{ac, bd}) G σ Lemma 2.2 [3] Misalka G adalah graf berorder da barisa derajatya adalah d = (d, d 2,, d ) sedemikia sehigga d d 2 d, dega d G (v i ) = utuk i =,2,3,, maka terdapat graf G yag diperoleh dari G dega suatu barisa dari beberapa switchig sedemikia sehigga eighbourhood dari v pada graf G adalah N G (v ) = {v 2, v 3,..., v d + }. Misalka (G) = d. Misalka terdapat titik v i dega 2 i d + sedemikia sehigga v v i E(G). Karea d G (v ) = d, maka terdapat v j dega j d + 2 sedemikia sehigga v v j E(G). Disii d j, karea j > i. Oleh karea v v j E(G), maka terdapat v t dega 2 t sedemikia sehigga v i v t E(G), tetapi v j v t E(G). Sehigga dapat dilakuka switchig terhadap titik-titik v, v j, v i, v t. Sehigga dapat diperoleh graf baru yaitu graf H, dega v v i E(H) da v v j E(H) da titik-titik lai yag adjacet dega v tetap adjacet dega v. Ketika proses ii diulag utuk setiap idek i dega v v i E(G) utuk 2 i d + maka aka diperoleh graf G da terbukti bahwa v adjacet dega v 2, v 3,..., v d +. Teorema 2.3[3] Dua graf G da H atas himpua titik V memeuhi sifat d G (v)= d H (v) utuk semua v aggota V jika da haya jika H dapat diperoleh dari G dega barisa dari beberapa switchig. ( ) Operasi switchig merupaka operasi yag mempertahaka derajat. Sehigga jika graf H dapat diperoleh dari graf G dega switchig, maka titik-titik pada H memiliki derajat-derajat yag sama dega G. ( ) Misalka graf G da H memiliki derajatderajat yag sama. Misalka juga d = (G). Dega lemma 2.2.2, terdapat barisa-barisa dari beberapa switchig yag metrasformasika G ke G da H ke H sedemikia sehigga N G (v ) = {v 2, v 3,..., v d + } = N H (v ). Sekarag graf G - v da H - v memiliki derajat-derajat yag sama. Dega iduksi hipotesis, G da juga G, dapat ditrasformasika ke H dega suatu barisa dari beberapa switchig. Akhirya dapat diamati bahwa H dapat ditrasformasi ke H dega membalik barisa dari beberapa switchig yag metrasformasika H ke H. 3. PEMBAHASAN Suatu barisa bilaga bulat tak egatif d, d 2,, d dikataka barisa derajat dari suatu graf G jika merupaka derajat dari titik v i utuk setiap i =, 2,...,. Jumlah dari d, d 2,, d sama dega 2e, dimaa e meyataka jumlah garis pada graf G. Apabila diberika suatu graf G, maka barisa derajat dari graf G dapat ditetuka. Namu jika diberika suatu barisa bilaga bulat tak egatif d = (d, d 2,, d ) maka harus diselidiki terlebih dahulu apakah ada graf G dega barisa derajatya adalah d = (d, d 2,, d ). Oleh karea itu pada tulisa ii aka dibahas syarat perlu da cukup agar suatu barisa dikataka Sebagai lagkah awal membahas syarat perlu da cukup agar suatu barisa merupaka grafik terlebih dahulu diberika defiisi berikut. Defiisi 3.[] Misalka d = (d, d 2,, d ) merupaka barisa bilaga bulat tak egatif yag tidak aik. Barisa tersebut dikataka grafik, jika terdapat suatu graf sederhaa G = (V, E) dega V = {v, v 2,..., v } da = d G (v i ) utuk setiap, 2,,. Dalam hal ii G dikataka realisasi dari d. Barisa grafik kadag-kadag disebut sebagai graphical atau realizable. 6
Jural Matematika Vol., No.2, Agustus 2008:60-64 Cotoh 3.: Gambar 3. Graf H Barisa derajat dari graf H pada Gambar 3. adalah 4,3,2,2, atau,2,2,3,4 atau 2,,4,2,3 da lai sebagaiya. Pada Gambar 3. barisa derajatya pasti memeuhi kodisi: - utuk setiap i =,2,..., da geap, karea syarat perlu agar d merupaka grafik adalah harus dipeuhi - utuk setiap, 2,..., da geap. Namu kodisi ii belum cukup mejami bahwa barisa d = (d, d 2,, d ) adalah Sebagai cotoh barisa 4,4,3,2, buka Meskipu kodisi () da (2) terpeuhi, amu barisa ii tidak mugki dapat digambarka mejadi suatu graf sederhaa. Syarat perlu da cukup agar suatu barisa dikataka grafik dapat diperoleh dari teorema berikut. Teorema 3.2 [3] Barisa bilaga bulat tak egatif d = (d, d 2,,d ) dega d d 2 d, d da 2 adalah grafik jika da haya jika d = (d 2, d 3,, d d +, d d + 2, d d +3, d ) adalah ( ) Misalka d adalah grafik, maka terdapat graf sederhaa G dega V(G ) = {v 2, v 3,..., v } sedemikia sehigga d i, jika 2 i d + d G' ( vi ) = d i, jika d + 2 i Sebuah graf baru yaitu graf G dapat digambarka dega meambahka sebuah titik baru yaitu v ke G da meghubugka v ke v 2, v 3,, v d +. Tampak bahwa G adalah graf sederhaa da mempuyai barisa derajat d = (d, d 2,,d ), sehigga d adalah ( ) Misalka d adalah barisa Maka terdapat graf G dega barisa derajat d, da V(G) = {v, v 2,..., v } sedemikia higga d(v i ) = utuk mempuyai dua kemugkia. Kemugkia : i. Hal ii Jika v adjacet dega v 2, v 3,..., v d + maka graf G-v mempuyai barisa derajat d sehigga merupaka Kemugkia 2: Jika v tidak adjacet dega semua titik v 2, v 3,..., v d + maka terdapat titik v r da v s dega d r > d s sedemikia sehigga v adjacet dega v s tetapi tidak dega v r. Jika d r = d s maka titik v r da v s dapat diubah tapa mempegaruhi derajatderajatya. Misalka d r > d s, oleh karea derajat dari v r lebih besar dari v s da terdapat titik v t sedemikia sehigga v t adjacet dega v r tetapi tidak dega v s. Misalka Graf G adalah graf yag diperoleh dari G dega meghapus garis v v s da v r v t da meambahka garis v v r da v s v t. Graf G Graf G Gambar 3.2. Graf G da graf G Hasilya graf G mempuyai barisa derajat d. Aka tetapi di G, jumlah derajat-derajat dari titik-titik yag adjacet dega v lebih besar dari pada di G. Akibatya, jika dilajutka prosedur ii aka diakhiri saat sebuah graf dega barisa derajat d dimaa v memeuhi hipotesis dari kemugkia pertama. Jadi d adalah 62
Erly Listiyaa, Susilo Hariyato da Lucia Ratasari (Lagkah-Lagkah Peetua Suatu Barisa Sebagai ) Teorema 3.2 di atas dikeal dega ama Teorema Havel-Hakimi. Teorema tersebut dilakuka berulag-ulag utuk megetahui suatu barisa adalah grafik atau buka. Apabila saat proses pegujia diperoleh suatu barisa yag setiap agkaya adalah ol maka proses berheti. Sehigga dapat disimpulka bahwa barisa yag diberika semula adalah Apabila saat dilakuka proses pegujia terdapat barisa yag memuat agka bilaga bulat egatif maka barisa yag diberika semula buka Cotoh 3.2 Apakah barisa d = (3, 3, 2, 2, 2, 2) merupaka grafik? Peyelesaia: d = (3, 3, 2, 2, 2, 2) d = (2,,, 2, 2) = (2, 2, 2,, ) d = (,,, ) d = (0,, ) = (,, 0) d = (0, 0) Sehigga meurut Teorema Havel-Hakimi barisa d = (3, 3, 2, 2, 2, 2) merupaka Apabila suatu barisa d = (d, d 2,, d ) dega yag cukup besar, maka perhituga secara maual dega megguaka Teorema 3.2 utuk megetahui suatu barisa adalah grafik atau buka cukup rumit. Oleh karea itu disusu lagkah-lagkah atau algoritma berdasarka Teorema Havel-Hakimi di atas, sebagai berikut: Lagkah-lagkah peetua suatu barisa grafik Diberika suatu barisa bilaga bulat tak egatif d = (d, d 2,, d ) dega pajag (legth), lakuka lagkahlagkah berikut ii utuk meetuka bahwa barisa yag diberika merupaka Lagkah Tulis d = (d, d 2,, d ) dega uruta meuru (descedig order). Lagkah 2 2.. Jika barisa memiliki tepat satu jeis agka, maka berheti. Sehigga d = (d, d 2,, d ) adalah grafik jika da haya jika agka tersebut adalah 0. 2.2. Apabila pada barisa tersebut memuat agka berilai egatif maka berheti, da dapat disimpulka bahwa barisa yag diberika buka Lagkah 3 Hilagka agka terbesar dari barisa tersebut (misal agka terbesaya adalah d ), sedemikia sehigga barisa yag baru memiliki pajag (legth) -. Lagkah 4 4.. Jika barisa yag baru, bayakya agka lebih kecil dari d, maka berheti. Sehigga d = (d, d 2,, d ) buka 4.2. Jika pada barisa yag baru, bayakya agka lebih besar sama dega d, maka lajutka pada lagkah 5. Lagkah 5 Masig-masig d eleme pertama dikuragi, da barisa yag baru disebut sebagai d = (d 2 -, d 3 -,, + -, +2, +3,, d ). Ulagi algoritma ii dari lagkah utuk meguji d. Teorema Havel-Hakimi megataka bahwa barisa d = (d, d 2,,d ) adalah grafik jika da haya jika d = (d 2, d 3,, d d +, d + 2 d, d d + 3,, d ) Sehigga apabila pada saat pegujia barisa pada algoritma tersebut ditemuka barisa yag buka grafik, maka berheti da dapat disimpulka bahwa d buka 4. PENUTUP 4. Kesimpula Kesimpula yag dapat diambil adalah:. Suatu barisa d agar dapat dikataka grafik adalah barisa tersebut harus merupaka barisa bilaga bulat tak egatif yag tidak aik, derajat 63
Jural Matematika Vol., No.2, Agustus 2008:60-64 maksimalya harus lebih kecil dari pajag barisa. 2. Syarat perlu da cukup agar d dikataka grafik dapat diuji dega megguaka Teorema Havel-Hakimi. 4.2 Sara Artikel ii dapat diguaka sebagai dasar pada peyusua program komputasi agar peetua barisa merupaka grafik dapat dilakuka secara cepat da akurat, terutama utuk ilai yag cukup besar. 5. DAFTAR PUSTAKA [] Blitzstei, J. ad Diacois, P. (2006), A Sequetial Importace Samplig Algorithm For Geeratig Radom Graphs With Prescribed Degrees. [2] Chartrad, G. da Lesiak, L. (996), Graphs & Digraphs, New York, Chapma & Hall / crc. [3] Harju, Tero (2007), Lecture Notes O Graph Theory, Filad, Departmet of Mathematics Uiversity of Turku. [4] Naskar, S, Sarma, S. S, Dey, K. N. ad Basuli, K. (2008), O Degree Sequece, ACM Ubiquity Vol.9, Issue 6, Idia, Departmet of Computer Sciece ad Egieerig Uiversity of Calcutta. [5] Puim, Narog (2005), Switchig, Realizatio, Ad Iterpolatio Theorems For Graph Parameters, Iteratioal Joural of Mathematics Ad Mathematical Sciece, Vol.3 : 2095 27 64