RUANG BASIS SOLUSI Ii disusu utuk memeuhi tugas mata kuliah Aljabar Liier DISUSUN OLEH : DONNA SEPIAN CAHYA RINI (08411.114) FIRIA ASUI (08411.133) NURUL AISYAH (08411.211) SULIS SEYOWAI (08411.260) SULISIANI (08411.261) NORMA ADIYAS YULISANI (07411.145/PL) Dose Pegampu : Darmadi,S.Si.,M.Pd. PROGRAM SUDI PENDIDIKAN MAEMAIKA FAKULAS PENDIDIKAN MAEMAIKA DAN ILMU PENGEAHUAN ALAM IKIP PGRI MADIUN 2010 1
KAA PENGANAR Puji syukur peulis pajatka kehadirat uha Yag Maha Esa atas terselesaikaya peulisa makalah yag berjudul Ruag Basis Solusi utuk memeuhi tugas mata kuliah Aljabar Liier. Makalah ii disusu berdasarka sumber yag ada. Kerja keras ii tidak luput dari campur taga berbagai pihak. Utuk itu peulis meyampaika ucapa terima kasih : 1. Bapak Drs. Parji, M.Pd., sebagai rektor IKIP PGRI Madiu 2. Bapak Darmadi,S.Si.,M.Pd., sebagai dose pegampu dalam mata kuliah Aljabar Liier. 3. Semua pihak yag telah membatu terselesaikaya makalah ii. Akhirya peulis meyadari sepeuhya bahwa makalah ii jauh dari kesempuraa. Oleh karea itu dega segala keredaha hati, peulis sagat megharapka kritik da sara dari semua pihak demi meigkatka mutu da kesempuraa makalah-makalah yag aka datag. Peulis berharap semoga makalah ii dapat diterima da memberi mafaat bagi peulis khususya da pembaca pada umumya. Utuk itu peulis ucapka bayak terima kasih sebelumya kepada para pembaca. Madiu, 20 Desember 2010 Peyusu 2
DAFAR ISI HALAMAN JUDUL... i KAA PENGANA... ii DAFAR ISI... iii BASIS RUANG SOLUSI 3
BASIS RUANG SOLUSI Suatu matriks A da da trasposya ruag vektor yag petig, yaitu: A secara bersamaa, maka terdapat eam ruag baris dari A ruag baris dari A ruag kolom dari A ruag kolom dari A ruag ul dari A ruag ul dari A Dega metraspos suatu matriks, aka megubah vektor-vektor barisya mejadi vektor-vektor kolom da megubah vektor-vektor kolomya mejadi vektor-vektor baris. Sehigga, kecuali perbedaa otasi, ruag baris dari adalah sama dega ruag kolom dari A, da ruag kolom dari A A adalah sama dega ruag baris dari A. Dea ii, kita tiggal memiliki empat ruag vektor yag petig, yaitu: ruag baris dari A ruag kolom dari A ruag ul dari A ruag ul dari A Keempat ruag vektor ii dikeal sebagai ruag matriks dasar (fudametal matrix space) yg terkait dega A. Jika A adalah suatu matriks m x, maka ruag baris dari A da ruag ul dari A adalah sub ruag dari kolom dari A da ruag ul dari A adalah sub ruag dari m R da ruag Ruag Baris da Ruag Kolom yag Memiliki Dimesi Sama Pada cotoh sebelumya, kia megetahui bahwa ruag baris da ruag kolom dari mariks berikut ii: 1 2 A = 2 1 3 6 6 3 4 9 9 4 2 1 1 2 5 8 9 5 4 2 7 4 Masig-masig memiliki tiga vektor basis, yag berarti keduaya berdimesi tiga. Bukalah merupaka suatu kebtula, jika teryata dimesi-ddimesi ii sama. Hal ii merupaka kosekuesidari hasil umu berikut. 4
eorema 4.24. Jika A adalah suatu matriks sembarag, maka ruag baris da ruag kolom dari A memiliki dimesi yag sama. Misalka R adalah betuk eselo baris sembarag dari A. Sesuai orema 4.21, maka: dim(ruag baris dari A ) = dim(ruag baris dari R ) da sesuai eorema 4.22, maka: dim(ruag kolom dari A ) = dim(ruag kolom dari R ) Jadi, bukti ii aka mejadi sempura jika kita dapat meujukka bahwa ruag baris da ruag kolom dari R memiliki dimesi yag sama. etapi, dimesi ruag baris dari R adalah bayakya baris takol, da dimesi ruag kolom dari R adalah bayakya kolom yag megadug 1 utama (eorema 4.23). Aka tetapi, baris-baris takol tepatya merupaka baris-baris dimaa terdapat 1 utama, sehigga bayakya 1 utama dari bayakya baris takol adalah sama. Hal ii meujukka bahwa ruag baris da ruag kolom dari R memiliki dimesi yag sama. Defiisi 4.11. Dimesi umum dari ruag baris da ruag kolom darsuatu matriks A disebut rak dari A da diyataka sebagai rak ( A ). Dimesi ruag ul dari A disebut sebagai ulitas (ullity) dari A da diyataka sebagai ulitas ( A ). eorema 4.25. Jika A adalh suatu matriks sembarag, maka rak ( A ) = rak ( A ) rak( A ) = dim(ruag baris dari A ) = dim(ruag kolom dari A ) = rak( A ). eorema berikut ii, meyusu hubuga petig atara rak da ulitas suatu matriks. 5
eorema 4.26. Jika A adalah suatu matriks dega kolom, maka: rak ( A ) + ulitas ( A ) = Karea A memiliki kolom, maka sistem liier homoge A x = 0 memiliki faktor yag tidak diketahui (variabel). Variabel ii teragi dalam dua kategori, yaitu: variabel utama a variabel bebas. Jadi, [Bayakya variabel utama] + [Bayakya variabel bebas] = etapi, bayakya variabel utama adalah sama dega bayakya 1 utama di dalam betuk eselo baris terduksi dari A, da agka ii merupaka rak dari A. Jadi, rak( A ) + [bayakya variabel bebas] = bayakya variabel bebas adalah sama dega litas dari A. Hal ii erjadi karea ulitas dari A aalah dimesi ruag solusi dari A x = 0, yag sma dega parameter pad solusi umum, yag sama dega bayakya variabel bebas. Jadi, Bukti dari teorema sebelumya terdiri dari dua hasil yag sama-sama petig. eorema 4.27. Jika A adalah suatu matriks x, maka: a) rak ( A ) = bayakya variabel utama pada solusi dari A x = 0. b) ulitas ( A ) = bayakya parameter pada solusi umum dari A x = 0. Nilai Maksimum utuk Rak Jika A adalah suatu matriks m x, maka vektor-vektor barisya terletak pada R da vektor-vektor kolomya terletak pada m Ii megimplikasika bahwa ruag baris dari A palig bayak berdimesi, da ruag kolom dari A palig bayak berdimesi m. Karea ruag baris da ruag kolom memiliki dimesi yag sama (rak dari A ), kita harus kecil atara ilai-ilai m da. Kita meotasika dega meulis: 6
rak ( A ) mi(m,) dimaa mi(m,) meotasika ilai yag lebih kecil atara ilai m da ilai jika m, atau ilai yag sama jika m =. eorema 4.28. eorema Kosistes Jika A x = b adala suatu sistem liier yag terdiri dari m persamaa dega faktor yag tidak diketahui, maka peryataa-peryataa berikut ii adalah ekuivale. a) A x = b adalah kosiste. b) b berada pada ruag kolom dari A. c) Matriks koefisie A, da matriks yag diperbesar [ A b] memiliki rak yag sama. Kita haya perlu membuktka dua ekuivalesi (a) (b) da (b) (c), karea sesuai dega atura logika, maka (a) (c). (a) (b). Sesuai teorema 18, suatu sistem persamaa liier A x = b adalah kosiste jika da haya jika b berada pada ruag kolom dari A. (b) (c). Kita aka meujukka bahwa jika b berada pada ruag kolom dari A, maka ruag kolom dari A da dari [ A b] bear-bear sama, sehigga selajutya kedua matriks ii memiliki rak yag sama. (c) (b). Asumsika bahwa A da [ A b] memliki rak r yag sama. erdapat beberapa sub himpua yag terdiri dari vektor-vektor kolom dari A yag membetuk suatu basis utuk ruag kolom dari A. eorema 4.29. Jika A x = b adalah suatu sistem liier yag terdiri dari m persamaa dega faktor yag tidak diketahui, maka peryataa-peryataa berikut ii adalah ekuivale. 7
a) A x = b adalah kosiste utuk setiap matriks b, m x 1. b) Vektor-vektor kolom dari A meretag c) rak ( A ) = m. m Kita haya perlu membuktika dua ekuivale a (b) da a (c), karea sesuai dega atura logika, maka b (c). a (b) Dari rumus (2) Subbab 4.6. sistem A x = b dapat diyataka sebagai: x 1 c 1 + x 2 c 2 + + x c = b Di maa kita dapat meyimpulka bahwa A x = b adalah kosiste utuk setiap matriks b. m x l, jika da haya jika setiap b semacam ii dapat diyataka sebagai suatu kombiasi liier dari vektor vektor kolom c1, c 2,, c atau secara ekuivale, jika da haya jika vektor vektor kolom ii meretag R m. a (c) dari asumsi bahwa A x = b adalah kosiste utuk setiap matriks b, m x l, da dari eorema Kosistesi bagia (a) da (b), maka setiap vektor b pada Rm. erletak pada ruag kolom dari A, yaitu ruag kolom dari A adalah seluruh R m. Jadi, rak (A) = dim ( Rm) = m. c (a) dari asumsi bahwa rak (A) = m, maka ruag kolom dari A adalah sub ruag da R m dega dimesi m, da oleh karea itu pasti seluruh R m sesuai dega eorema 17. Sesuai dega eorema Kosistesi bagia (a) da (b), A x = b adalah kosiste utuk setiap vektor b pada R m, karea setiap b semacam ii berada pada ruag kolom A. Suatu sistem liier dega jumlah persamaa lebih bayak dibadigka jumlah faktor yag tidak diketahui disebut Sistem Liier Overdetermied (Overdetermied Liier System). Jika A x = b adalah Sistem Liier Overdetermied yag terdiri dari m persamaa dega faktor yag tidak diketahui (sehigga m>), maka vektor vektor kolom dari A tidak dapat meretag R m. Sesuai teorema terakhir bahwa utuk suatu matrik A, m x tertetu, dega m>, Sistem Liier Overdetermied A x = b tidak dapat kosiste utuk setiap b yag mugki. 8
eorema 4.30. Jika A x = b adalah suatu Sistem Liier Kosiste yag terdiri dari m persamaa dega faktor yag tidak diketahui, da A memiliki rak r, maka solusi umum dari sistem tersebut terdiri dari r parameter. Pada subbab sebelumya, kita telah memperoleh berbagai macam syarat dimaa suatu sistem liier homoge Ax = 0 yag terdiri dari persamaa dega faktor yag tidak diketahui dipastika haya memiliki solusi trivial. eorema berikut memperoleh beberapa hasil yag bersesuaia utuk sistem yag terdiri dari m persamaa dega faktor yag tidak diketahui, dimaa m da mugki berbeda. eorema 4.31. Jika A adalah suau matriks m x, maka peryataa-peryataa berikut adalah ekuivale. a) A x = 0 haya memiliki solusi trivial. b) Vektor-vektor kolom A adalah bebas liier. c) A x = b memiliki palig bayak satu solusi (tidak ada atau satu) utuk setiap matriks b, m x 1. Kita haya perlu membuktika dua ekuivale a (b) da a (c), karea sesuai dega atura logika, maka b (c). a (b) jika c 1, c 2,, c adalah vektor vektor kolom dari A, maka sistem liier Ax = 0 dapat ditulis sebagai: x 1 c 1 + x 2 c 2 + + x c = 0 (6) Jika c 1, c 2,, c adalah vektor vektor bebas liier, maka persamaa ii haya aka terpeuhi oleh x 1 = x 2 = = x = 0, dimaa Ax = 0 haya memiliki solusi trivial. Sebalikya, jika Ax = 0 haya memiliki solusi trivial, maka persamaa (6) haya aka terpeuhi oleh x 1 = x 2 = = x = 0, yag berarti c 1, c 2,, c adalah bebas liier. a (c) asumsika Ax = 0 haya memiliki solusi trivial. Ax = b bisa bersifat kosiste atau tidak. Jika tidak kosiste, maka Ax = b tidak memiliki solusi, da 9
pembuktia kita selesai. Jika Ax = b kosiste, misalya x 0 adalah solusi sembarag. Dari pembahasa eorema 19 da fakta bahwa Ax = 0 haya memiliki solusi trivial, kita meyimpulka bahwa solusi umum dari Ax = b adalah x 0 + 0 = x 0. Jadi, satu satuya solusi dari Ax = b adalah x 0. c (a) asumsika bahwa Ax = b memiliki palig bayak satu solusi utuk setiap matriks b. m l. Maka, secara khusus, Ax = 0 memiliki palig bayak satu solusi trivial. Suatu sistem liier dega jumlah faktor yag tidak diketahui lebih bayak dari jumlah persamaa disebut Sistem Liier Uderdetermied (Udertermied Liier System). Jika Ax = b adalah suatu sistem liier uderdetermied kosiste yag terdiri dari m persamaa dega faktor yag tidak diketahui (sehigga m < ), maka solusi umumya memiliki palig tidak satu parameter. Sehigga, suatu sistem liier uderdetermied kosiste harus memiliki bayak solusi takterhigga. Secara khusus, suatu sistem liier homoge udertermied memiliki takterhigga bayakya solusi, tetapi hal ii telah dibuktika pada Bab I. eorema 4.32. Peryataa-peryataa yag Ekuivale Jika A adalah suatu matriks x, da A : R A, maka peryataa-peryataa berikut ii adalah ekuivale. R adalah perkalia dega a) A dapat dibalik. b) A x = 0 haya memiliki solusi trivial. c) Betuk eselo baris tereduksi dari A da I. d) A dapat diyataka sebagai suatu hasil kali dari matriks-matriks elemeter. e) A x = b kosiste utuk setiap matriks b, x 1. f) A x = b memiliki tepat satu solusi utuk setiap matriks b, x 1. g) det( A ) 0. h) Rage dari A adalah i) A adalah satu ke satu. j) Vektor-vektor kolom dari A adalah bebas liier. 10
k) Vektor-vektor bares dari A adalah bebas liier. l) Vektor-vektor kolom dari A adalah meretag m) Vektor-vektor baris dari A adalah meretag ) Vektor-vektor kolom dari A adalah membetuk basis utuk o) Vektor-vektor baris dari A adalah membetuk basis utuk p) A memiliki rak. q) A memiliki ulitas 0. Kita telah megetahui bahwa peryataa (a) higga (i) adalah ekuivale. Utuk melegkapi bukti, kami aka meujukka bahwa (j) higga (q) ekuivale (b) dega membuktika uruta sebab akibat (b) (j) (k) (l) (m) () (o) (p) (b). (b) (j) jika Ax = 0 haya memiliki solusi trivial, maka sesuai eorema 31, vektor vektor kolom A adalah bebas liier. (j) (k) (l) (m) () (o) hal ii sesuai eorema 15 fakta bahwa R, maka ruag baris dari A adalah berdimesi. (detil detilya telah ditiadaka) (o) (p) jika vektor vektor baris dari A membetuk suatu basis utuk R, maka ruag baris dari A adalah berdimesi da A memiliki rak. (p) (q) ii sesuai dega eorema Dimesi. (q) (b) jika A memiliki ulitas 0, maka ruag solusi dari Ax = 0 memiliki dimesi 0, yag berarti haya memiliki vektor ol. Oleh karea itu, Ax = 0 haya memiliki solusi trivial. 11